§ 6. СОВПАДЕНИЯ И РАСХОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИИ В УЧЕНИЯХ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЯЗЫКАХ. РЕФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ И ОПЕРАТОРНАЯ СХЕМЫ. ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛЕЙ. КРАЙНИЕ И БОЛЕЕ УМЕРЕННЫЕ ТРАКТОВКИ СЕМАНТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Анализ математических языков в двух последних главах требует некоторых сопоставлений и уточнений. В самом деле, мы проследили за развитием двух технических тем, подчеркивая сначала референциальные, а затем операциональные аспекты символизма, и обнаружили их теоретическую близость.

Логические концепции, о которых шла речь во второй главе, сразу же предписывали формальным языкам определенные гарантии непротиворечивости и последовательности, снабженные логическими критериями; позднее они добавили к этим гарантиям и семантические характеристики, связанные либо с внутренним значением символов, либо с существованием референциальных областей. С этих пор дискуссии развернулись вокруг степени независимости формальных структур от их интерпретации или же вокруг распределения интенсиональных и экстенсиональных частей обозначаемого. Можно было бы рассматривать номиналистическую версию семантики, в которой семантика объединяется вокруг экстенсиональных гарантий, а формальные законы сводятся к эффективным ограничениям выражения как крайней степени развития и одновременно как «обращения» логистических тезисов. Но ввод в дело операциональной темы выявляет и существенно иные методологические и семантические моменты. Особенно важной становится задача уточнения природы символических средств, прямо приспособленных для математических выражений, а также задача обеспечения этих средств в процессе их использования конструктивными гарантиями, свободными от каких-либо онтологических или даже логических предпосылок. Тем самым становится проблематичной сама первичность аксиоматической формы; в качестве другого естественного следствия проблема означаемого и референтных полей отходит на второй план или по крайней мере меняет свою природу: она не включает более требований истипы, поскольку истина обнаруживает некие внутренние измерения, которые мы связывали с различными процессами решения.

Впрочем, эта проблема лишается своего оптологического звучания, поскольку признается нейтральность формализмов по отношению к различным способам возможной интерпретации форм. Связь — достаточно широкая — символических форм с полями означаемых становится мерой значимого, при этом математик вовсе не располагает какими-либо предварительными гарантиями в области знаков или понятий. Заметим, что эти споры о методе и смысле обоснований ни в коей мере не прерывают технических исследований в области формальной математики. Она умело сопрягает методы, сохраняет аксиоматическую процедуру как главное средство построения, а также и как наиболее последовательный путь открытий, прибегая, впрочем, и к эффективным процедурам как дополнительному средству доказательства. Она умело размещает исходные теории, которые обладают прямыми конструктивными гарантиями, а также составные или выводные теории, которые требуют автономного моделирования или которые оправдываются не прямо, но через формализуемые ими теории исходного уровня. Почти никаких общих споров не ведется относительно математических процедур; правда, споры по проблемам семантики затрагивают общие предпосылки этой практики: речь идет о выявлении статуса знаков, требований, удовлетворяющих функциям, способа бытия интерпретаций. Обратимся к этим основным обсуждаемым вопросам. Конструктивные и референциальные обязательства математической мысли находятся в равновесии, границы Которого нелегко определить. Необходимо, чтобы кон структоры были доступны интерпретации хотя бы в их совокупности, если и не во всех их составных частях. Можно последовательно рассматривать теорию как взаимосвязь означающих знаков или как единство комплекса фаз, удостоверяемого внутренними критериями разрешения. Можно было бы, по-видимому, сказать, что радикально номиналистическая интерпретация нарушает это равновесие, к установлению которого так стремятся операциональные подходы. Одпи пытаются приписать каждому отдельному знаку экстенсионально определенную функцию, область действия которой — конечный класс объектов.

Другие поначалу следуют путем «нейтрализации» референтов системы. Их объектами служат лишь знаки — как простейшие, так и образованные с помощью однозначных или многозначных функторов, так что ткань математической дискурсии строится путем различных «приложений» этих функций, выводимых одпи из других сообразно с законами комбинаторики. Эта проблема и в самом деле вызывает многочисленные споры технического и эпистемологического планов. Формализм, принимаемый логиком в соответствии с номиналистическими указаниями, позволяет пролить свет па операции над предикатами, которые допускаются обычной логикой или же выводятся из них с помощью операторов или обычных кванторов. Напротив, формализмы, построенные посредством комбинаторной логики, как это показали алгоритмы Шёнфинкеля и Карри, содержат операторы, воздействующие друг на друга таким образом, что это не приводит ни к референциальной интерпретации, ни даже к схематическому воспроизведению характера их воздействия на первичные объекты. Итак, налицо дискуссия о выборе правил формализма. Но эта дискуссия распространяется и на семантические возможности применяемых правил. Куайн ставит в вину сторонникам абстрагирования и комбинаторики то, что их учение вновь предполагает онтологию идеальных сущностей, допущение «платонизма» [130]. Однако Карри считает возможным избежать этого обвинения в онтологизме, настаивая на нейтральности комбинаторных алгоритмов по отношению к какому бы то ни было типу онтологии. Кроме того, обычные средства комбинаторной логики, которая с самого начала вовсе не интересовалась отношением референции, позволяют ей ввести последнюю на правах дополнения, связывая цодо- /Кения десигнации с сущностями, построенными операциональным методом В самом деле, как можно видеть, сами по себе аргументы, связанные с отказом от онтологии, не являются решающими: методы должны отвечать за их эффективность и выявлять их способность к описанию объектов логического уровня, избегая при этом гипостазировапия. Номинализм напоминает нам, что он стремится избежать онтологии прежде всего путем многоступенчатых референтов.

Теоретик комбинаторных форм стремится сделать то же самое другим способом: развертывая, без каких- либо внешних ограничении, поле возможных форм и уточняя условия их согласования с множеством означаемых предметов. Таким образом, распространение семантической программы на область математических языков требует решений весьма высокого технического уровня. Мы ограничимся лишь их упоминанием и обратимся к фундаментальным аспектам семантического отношения, служащего эпистемологическим ориентиром. Речь идет, в общем, о проблеме природы моделей, которая находится в самом центре учения о математических истинах, о значимости синтаксически построенных систем. Эта алетическая роль не исчерпывает, однако, всей целостности функций, осуществляемых ими в процессе исследования, ибо они служат также опорой порождения или экспансии математических форм. Именно семантика операциональной или прагматической ориентации должна выявить эти роли уже хотя бы потому, что она отдает предпочтение тем или иным формам и системам в зависимости от направленности их развития. 97 Ло сути, здесь налицо аспекты моделирования, которые привлекли шшмаине всех сторонником анализа и к* которым удачно прилагаются нее эти дополнения. В анализе Тарскою уже были ныянлеш>1 некоторые осиоманпя разнообразия, присущего построению моделей. Один и тот же формальный язык может обладать моделями различной мощности; причем самые строгие из них нключают законы исчисления и рекурронции и несут к себе эффективные гарантии конструктивности, а наиболее широкие обходятся без этих ограничений и применяют язык1 н широком области сущностей, подпадающих под теоретико-множественные характеристики. Иначе говоря, достаточно богатая теория устанавливает достаточно разнообразные отношения соответствия со своими моделями. Некоторые из моделей «обычны» или «стандартны» по отношению к теории: они обеспечивают полное воспроизведение интерпретируемой структуры в интерпретирующей структуре. Другие модели, «необычные» пли «нестандартные», реализуют это соответствие лишь частично.

Эта ситуация позволяет понять, что логическое условие соответствия не определяет само по себе ни оснований для принятия моделей, ни функций, которые они должны выполнять; именно эти моменты п требуют наиболее непосредственного обращения к тем операциональным категориям и прагматическим мотивациям, которые с ними обычно ассоциируются. Строго логические и семантические требования, предъявляемые к моделям, па деле оставляют, однако, теоретику некоторое поле выбора. Втце до всякого эксплицитно обоснованного выбора исторические или, если угодно, случайные обстоятельства вмешиваются в формирование теорий: некоторые их интерпретации присутствуют уже с самого момента их возникновения, поскольку они строятся для формализации тех или иных конкретных примеров. Однако с того момента, когда теоретик уже располагает целым полем возможных интерпретаций, к этим зависимостям добавляются и другие основания выбора, которые можно было бы назвать «функциональными». Создатель формализма принимает такие модели, которые дают теории более строгие гарантии, обеспечивающие ее конструктивные основы; кроме того, эпистемологические интересы науки заставляют его расширить область применения тео- рйи при соблюдении общих положений моделирования L Итак, можно в общем виде суммировать все условия существования тех моделей, которые зависят от логики соответствия, и тех, которые ставят вопрос о перспективных, исторических целях познания. Вновь находится место для тех моделей, которые особенно тесно связаны с теорией, поскольку последняя с самого начала сообразовывалась с ними или, скорее, поскольку само соответствие их предложений с функциональными формулами теории возникает в итоге длительной работы в этом направлении в процессе исследования и обобщения. Но сразу же должно быть обеспечено место и для моделей, которые вводятся по логическим основаниям общезначимости, и для тех моделей, которые появляются вследствие последующих столкновений теории с новыми предметными областями: прежде всего именно здесь и возникает значительная эпистемологическая напряженность между формулами теории и теми предметными областями, которые предоставляют специальные и внелогические основания непротиворечивости.

Разнообразие этой топологии моделей свидетельствует о возможности учесть, не жертвуя главными логическими критериями моделирования, всю совокупность целей создателей теории, равно как и практические и исторические условия их труда2. Эта сложность требований моделирования оправдывает тем самым проводимые в духе прагматики изучения формообразующих моментов исследования, обусловленности и путей его осуществления. Но эта точка зрения обращает 1 Дж. Кемейи выдвигает Мысль о том, что выбор моделей обосновывается лишь введением в дело практических целей теоретиз я- рования, а также инициативы создателей формализма [84]. 2 По этой теме о судьбе моделирования теоретик философии математики найдет богатый материал в истории учения о группах и их образцах. Ему придется найти место и для моделей, посредством которых вводятся алгоритмы, извлеченные из учения о числах, а также для индуктивных моделей из области векторной алгебры, полученных посредством обобщения алгебраических форм, построения кватернионов. Здесь уместно будет учесть и случаи соединения теорий, вычленив в них различные моменты алгебры, геометрии, топологии. Однако, следуя В противоположном направлении, необходимо достичь области точного анализа и принципиальных обоснований; тогда нам придется иметь дело с логическими моделями алгебры, в которых используются внутренние и внешние законы построения множеств. Все эти соображения должны быть отнесены и к семантике моделей. ISO йаШе внимание на тот существенный факт, Что Семантический акт развертывается на многих уровнях мысли и проявляется в самих переходах между уровнями. Моделирование возможно потому, что синтаксис формализованного языка предписывает, какие именно основные свойства надлежит обнаружить в структурах тех объектов, где он применяется. Тем самым устанавливается согласованность между алгебраическими свойствами отношений и распределением и упорядочением классов объектов. Однако эта согласованность осуществляется не в полной мере, пока интерпретирующая структура не выявляется во всех своих чертах. В ходе этого исследования обнаруживаются возможности либо соответствующего синтаксическим положениям дополнения, либо, напротив, их своего рода сопротивления некоторым предметным свойствам. Интерпретации некоего алгоритма представят отпасти черты предопределенности, отчасти же черты непредсказуемости, и в этом можно узнать черты любого поступательного движения. В этих размышлениях на первый план выходят семантические возможности языков знания. Внимание семантика останавливается на двусторонней направленности построения формализмов. Они развиваются в восходящем направлении посредством расширения чисто формальных средств и разработки содержащихся в них возможностей. Однако это движение восполняется нисходящей направленностью, поскольку они сохраняют или восстанавливают и свои дескриптивные возможности. Операциональные учения, как это было показано в предшествующем обсуждении, в наибольшей мере учитывают эту двоякую направленность: они допускают, что прямая и главная цель семантической записи некоего формализма — Это выявление формальной ткани без каких-либо пропусков и пробелов, хотя при этом сохраняется и побочная цель — введение в нее новых референтов. Эту сложную операцию нетрудно обнаружить в истории основных Моделей: они сразу же строятся таким образом, чтобы включать выражения, материально гарантированные на уровне общего или существенного (что и обеспечивает им все преимущества формализации высокого уровня), и в то Же время удерживать или воссоздавать связи формул с ситуациями, вводимыми интуицией или практическими соображениями. Сила семантической связи зависит от этой формообра- зугощсй направленности и от разнообразия ее проявлен liiiii. Хотя семантика особо останавливается на весьма технических задачах — надежном обеспечении соответствия между синтаксисом и его интерпретациями, — она оставляет место и для философского подхода к общей проблеме— выяснению способа существования формальных структур. Эта последняя проблема проходила через всю историю логистики. Как мы видели, логистике пришлось отказаться от решений Фреге, выявляющих в пределе совпадение между формулируемым и действительным, однозначным, предпочитая существование концептуальных объектов. Она допускала полярные способы нолагания бытия, стремясь вместе с тем отыскать условия их согласования. «Концептуалистские» решения сохраняют статус возможностей, а «номиналистические» решения сводят их частично к фикциям или языковым конвенциям. Впрочем, эти решения не уничтожают самой возможности компромиссов, особенно в том, что касается генезиса формализмов. Однако уже выявились те, несомненно, наиболее прямые пути, на которых семантическая проблематика вновь обретает свое единство. В начале этой главы мы отметили, что наиважнейшая задача операциональных доктрин состоит в разрешении онтологической оппозиции между идеальным и действительным существованием путем отождествления возможности с пределом обобщения процедур. Дальнейшие исследования позволяют нам обогатить в некоторых пунктах этот подход. Взаимопереходы возможного и действительного находятся в самом центре акта математизации, поскольку комбинаторные свойства формализмов развертываются без каких-либо внешних ограничений, обладая, однако, средствами конкретизации, которые сопровождают сам процесс их развития. Этот ритм порождения математических объектов обнаруживается в построении моделей, которые выступают одновременно и как новые интерпретации, и как возвращение знаков на референциальный уровень. Однако мы еще ближе подошли бы к самой сути семантической проблемы, выявляя задачи операционального языка. Математики постоянно трудятся над разработкой конструктивных процедур и вместе с тем стремятся к перестройке и переосмыслению связанной с абстрагированием тематики. Таков смысл обобщения схем конструктивной арифметики или комоппаторноп алгеоры. Математика обеспечивает непрерывность этих операциональных процедур на основе прерывностей, обусловленных самой поставленной целью. В описанных таким образом процедурах мы увидим отражение общего хода теоретической мысли, самой ее направленности. Ритм ее развития с необходимостью требует и разрывов, и восстановления связей. Она циркулирует между наперед установленными предметами, которые и выступают как модели-инициаторы, и вновь создаваемыми объектами, которые выступают как матрицы объединяющих и объясняющих теорий. Конструктивные процедуры, по мере того как они приводят к установлению переходов между отдельными моментами пли полюсами формирования знания, обретают свое место в этой общей ситуации поиска. Поучительны уже сами их ограничения, ибо возможности математики, не принимающей масштаба какого-либо заранее установленного языка, обнаруживаются в процессе постепенной и всегда лишь предварите л иной нормализации. Можно сказать, что конструктивная математика ставит перед собой требование — рационализировать свои собственные формообразующие процессы, не вынося за временные пределы этого процесса ни рациональные нормы, ни базисный предметный уровень. Именно это глубинное намерение скрывается под явной критикой аксиоматических законов. Можно было бы сказать также, что она придает наибольшее число позитивных черт той «релятивности» истин, которую более традиционные учения представляют прежде всего в отрицательном свете, подчеркивая вновь и вновь возникающий разрыв между мыслимым и действительным: математическая дискурсия — уже на другом уровне законосообразности — вновь принимает на себя ответственность за использование своих собственных возможностей. Таков результат, которого могли бы ожидать от размышлений о технических приемах математической формализации п их сопоставления. Мы видим, что все эти выводы близки проблемам реальной практики рациональных наук и ведут нас в то же время к горизонту семантических проблем, относящихся к учению о символических системах, к связям между языками и моделями, к отношению между теоретическими и практическими тре~ бованиями. Но это проблемы, ставшие постоянной темой исследований логиков. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы перенести уже проанализированные здесь понятия в новый референциальный план, который присущ общей логике предложений и фраз: эта логика намечает более общие рамки — трансцендентальную лингвистику всякой науки и всякого формулирования. Тем самым она воздерживается от принятия того привилегированного референта, который создается формальной деятельностью математики в области особо чистых и сложных объектов. Однако если точки семантических связей тем самым смещаются, то соотношение понятий и проблем, сама направленность теоретической аргументации не меняются, и мы вновь обнаружим их и на этой новой почве. В сущности, экспликации современной логики и лингвистики создают теоретические предпосылки анализа языков пауки, а в смысле осознания возникающих при этом проблем они служат большей частью его непосредственным продолжением»

<< | >>

↑

Источник: Мулуд Н.. Очерк семантических предпосылок логики и эпистемологии. 1979

Еще по теме § 6. СОВПАДЕНИЯ И РАСХОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИИ В УЧЕНИЯХ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЯЗЫКАХ. РЕФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ И ОПЕРАТОРНАЯ СХЕМЫ. ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛЕЙ. КРАЙНИЕ И БОЛЕЕ УМЕРЕННЫЕ ТРАКТОВКИ СЕМАНТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА:

- Адвайта - Диалектика - Избранные философские труды и речи - История философии - Логика - Неклассическая философия - Общая философия - Онтология и теория познания - Основы философии - Первоисточники по философии - Периодика по философии - Проблемы философии - Социальная философия - Теология, богословие - Теория эволюции - Философия истории - Философия культуры - Философия науки - Философия религии - Философия языка - Хрестоматии по философии - Эстетика - Этика -

- Безопасность жизнедеятельности и охрана труда - Химические науки - Бизнес и заработок - Горно-геологическая отрасль - Домашнему мастеру - Естественные науки‎ - Зарубежная литература - Информатика, вычислительная техника и управление - Искусство. Культура - История - Литературоведение. Фольклор - Международные отношения и политические дисциплины - Науки о Земле - Общеобразовательные дисциплины - Педагогика, образование, воспитание - Промышленность - Психология - Религиоведение - Социология - Строительство - Техника - Транспорт - Филология - Философские науки - Экология - Экономика - Юридические дисциплины -