От Ньютона до Эйнштейна: математические модели пространства и принцип относительности

.геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения [Ньютон, 1936.

Очевидность, кажущаяся ясность и однозначность концепции Ньютона вместе с основными законами движения и невероятной прикладной успешностью классической механики обеспечили длительное господство механицизма не только в области физики, но и более широко, в интеллектуальной культуре человечества. Ранее также отмечалось, что в рамках первоначальной формы выражения физического пространства евклидовой геометрией вопрос об объективном содержании геометрии фактически не ставился. Отношение геометрии как концептуальной системы к реальному пространству в рамках ньютоновской механики рассматривалось как однозначное воспроизведение геометрической структуры реального пространства при достижении определенного, не вызывающего ни у кого сомнения, уровня абстрагирования от реальных вещей. Таким образом, опытные факты, которые указывали на справедливость физических законов, в данном случае законов ньютоновской механики, одновременно являлись и эмпирическим базисом евклидовой геометрии.

Поскольку мы говорим о том, что принцип относительности реализуется не только в классической механике, но и, например, в рамках СТО, в виде наличия инвариантов (в первую очередь речь идет об инвариантности пространственно-временого интервала), то предметом философско- методологического анализа принципа относительности может являться содержание теоретических оснований, позволяющих «прийти» к инварианту и симметричному описанию природы на основе представления о сохранении законов физики.

Предварительные замечания: соотношение физики и геометрии

До сих пор одно из наиболее широко распространенных мнений состоит в том, что евклидова геометрия рассматривалась как фон, на котором создавалась классическая механика.

Эмпирические данные свидетельствуют о том, что окружающее нас физическое пространство достаточно хорошо представляется евклидовой геометрией. Вообще говоря, это факт нетривиальный. Пространство характеризует взаиморасположение точек системы, причем это взаиморасположение может характеризоваться не только состоянием самой системы (расположением точек, составляющих ее элементов), но и свойствами самого пространства. Это один из наиболее важных постулатов нашего представления о пространстве. Например, расстояние между двумя точками всегда определяется структурой пространства, оно неоднозначно, однозначность определения расстояния задается пространством, точнее, его метрическими свойствами (см. § 1.4). Постулируя определение физического пространства, мы определяем однозначно понятие расстояния. Поскольку в механической системе взаиморасположение точек изменяется во времени, то можно утверждать, что пространство (как и время) есть мера изменения (эволюции) системы. Таким образом, мы уже можем указать на одну очевидную взаимосвязь физической и геометрической составляющих модели - эволюционный характер пространства (и времени), который в идеале должен находить отражение и в физике, и в геометрии.

Приведем ряд предварительных замечаний. В течение почти двух с половиной тысяч лет полагалось, что физическое пространство точно описывается геометрией Евклида, что обусловлено рядом причин начиная от ее необычной стройности, законченности и лаконичности до определенной психологической очевидности и успешного практического применения. Евклидова геометрия, полагавшаяся верхом математической премудрости, со временем канонизировалась в сознании многих поколений и считалась единственно возможной и абсолютно законченной и неизменной. Однако еще в древности было очевидно следующее: доказать, что физическая геометрия евклидова, невозможно, поскольку, в частности, в процессе измерения всегда имеются эмпирические погрешности. Один из крупнейших ученых начала ХХ в. А. Пуанкаре утверждал, что вообще невозможно определить физическую геометрию, поскольку в каждом опыте нам дано «сочетание» физики и геометрии (см. § 1.1). Экспериментально наблюдается лишь совокупность геометрических представлений и физических законов, на что указывал еще Ньютон. Говорим ли мы об измерениях длины окружности или суммы углов треугольника, мы всегда явно или неявно постулируем некоторые физические законы.

Таким образом, проверка евклидовости пространства всегда является косвенной проверкой, однако имеются достаточно хорошие основания утверждать, что, по крайней мере, окружающее нас макропространство евклидово. С позиции философии описанные выше трудности определения физической геометрии не важны, мы легко можем перевести разговор в плоскость соотнесения теоретической и эмпирической составляющих модели. Поскольку их нельзя проверить независимо, мы говорим о том, что имеем дело с теоретическим объектом, содержание которого нельзя свести к терминам наблюдения (см., например, [Головко, 2005б]).

Замечание 1. Согласимся с тем, что окружающее нас макропространство евклидово. Однако мы знаем, что пространство СТО не является евклидовым, поэтому нам необходимо показать возможность общего подхода к описанию как евклидовых, так и неевклидовых пространств (по крайней мере, для того, чтобы было основание для их сравнения). Основная заслуга в создании общей теории неевклидовых пространств принадлежит Георгу Риману (1826-1866). Его подход основан на постулировании инвариантных (неизменных) количественных характеристик пространств. Существование инвариантов предполагает наличие преобразований, которые данные характеристики оставляют инвариантными.

Евклидово пространство обладает двумя примечательными свойствами: оно изотропно и однородно, т. е. свойства пространства не зависят от направления наблюдения и местоположения точки отсчета, которую можно отождествить, например, с началом координат. Именно допущение того, что пространство изотропно и однородно, выражает факт, что физические наблюдения дают один и тот же результат независимо от того, в какой точке пространства мы проводим эксперимент. Математически это выражается в инвариантности скалярного произведения двух векторов, в частности, нормы вектора от вращения и трансляции системы координат. Введем необходимые обозначения. Здесь и далее, не нарушая общности, будем рассматривать (когда это возможно) случай двумерной евклидовой плоскости.

(1)

a = (a, a) = a2 = x2 + y2.

Произведем трансляцию начала координат. Это означает, что координаты концов вектора изменятся на постоянные величины, а следовательно, при таком преобразовании его компоненты останутся инвариантными (неизменными).

x = x cos a — y sin a, y = x sin a + y cos a.

Пусть a( x, y) - вектор с началом в начале координат, тогда его норма есть сумма квадратов координат:

Легко убедиться, что преобразование (2) оставляет инвариантным норму вектора (1):

(а')2 = (х')2 + (y ')2 = a2. (3)

Для бесконечно малых векторов, взятых в окрестности начала координат, (3) записывается в виде

(da')2 = (dx')2 + (dy'f = (da)2. (4)

Изотропия и однородность пространства, отраженные в соотношениях (3) и (4), однозначно определяют пространство Евклида. Отметим, что в силу этих особенностей структуры пространства выбор начала отсчета времени t не будет играть решающей роли и не будет влиять на результат, например, наблюдений. Иначе говоря, кроме инвариантности относительно трансляции и вращения пространства необходимо потребовать инвариантность относительно трансляции времени, т. е. инвариантность относительно замены:

t ' = t + a, (5)

где a = const.

Зададимся вопросом, являются ли условия однородности и изотропности необходимыми и достаточными для доказательства евклидовости пространства. Нет, они необходимы, но не достаточны. Существует класс пространств (так называемые пространства постоянной кривизны), которые характеризуются изотропией и однородностью, но являются неевклидовыми. Простейший пример - двумерная сфера. Очевидно, что ее поверхность в каждой точке однородна и изотропна, однако она явно отличается от евклидова пространства - плоскости. Возникает вопрос: как же количественно характеризовать отличие поверхности от евклидовости? Изучением этого вопроса занимается риманова геометрия. Кратко остановимся на ее основных представлениях. Для любой достаточно гладкой поверхности вводится интервал

ds2 = g/V dxdxV, (6)

где /І,V = 1,2,..., n ; n - размерность пространства; наличие одинаковых

mn /V/ \

индексов означает суммирование по ним; g = g (x1;...,xn)- компо- ненты метрического тензора.

11 22 і 12 21 р. понент: g = g = 1, g = g = 0.

Для более полного понимания дальнейших рассуждений необходимо понимать различие между метрическими свойствами пространства в целом и пространства в бесконечно малом: бесконечно малый объем есть следствие операции выделения из пространства бесконечно малого элемента. Дело в том, что любой очень малый элемент гладкой поверхности можно с хорошей точностью представить евклидовым пространством. Напомним школьный пример: аналитическую функцию y = f (x) в малом интервале вблизи точки (x0, y0) можно аппроксимировать линейной функцией y = y0 + f'(x0)(x — x0). Аналогичную аппроксимацию можно

привести для неевклидовых пространств; в близкой окрестности любой точки неевклидово пространство почти евклидово, однако это свойство утрачивается при переходе к большим масштабам. Иначе говоря, для неевклидова пространства соответствующим выбором координат можно добиться того, чтобы интервал выражался аналогом метрики (4):

n

ds2 =Х dx,2, (7)

i=1

однако нельзя получить аналог (3) для любых конечных интервалов. Если

выражение для ds2 может быть во всем пространстве (а не только локально) приведено к виду (7), то пространство евклидово. Инвариантность интервала в форме (7) относительно вращений и трансляций декартовых систем координат однозначно определяет евклидовость пространства, в частности его однородность и изотропность. (Пример двумерной сферы, заданной в полярных координатах, изложен, например, в работе И. Л. Розенталя [Розенталь, 1990. С. 15].)

Замечание 2. Это замечание касается собственно предположения о связи динамики изменения (эволюции) механической системы с геометрией. Так как в определение евклидова пространства не входит время или какие-либо кинематические величины, содержащие время (скорость, ускорение), то необходимо сделать какое-либо предположение, связывающее динамику и геометрию. Таким предположением является постулат о существовании класса избранных (выделенных) систем - инерциальных систем отсчета. По определению, существует по крайней мере одна ИСО - система координат, относительно которой пространство изотропно и однородно. Это допущение тривиально, оно отражает евклидовость пространства. Нетривиальным динамическим допущением является предположение о существовании класса ИСО: все системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью V относительно единственной, постулированной ИСО, также являются ИСО. Нетривиальность, в частности, заключается в следующем: движение ИСО относительно первоначальной системы отсчета выделяет определенное направление, совпадающее с вектором V , тем не менее для новых ИСО свойства изотропии и однородности сохраняются.

С учетом двух указанных замечаний (однородность и изотропность пространства, а также наличие класса ИСО) можно прийти к механике Ньютона, которая является теоретическим воплощением того, о чем говорил Галилей.