6.4. Аналитические экономико-математические модели

Под аналитической моделью понимается формула, представляющая математическую зависимость и показывающая, что результаты (выходы) находятся в функциональной зависимости от затрат (входов).

U = f(x),

где х — совокупность (вектор) входов; / — зависимость, которая записана в виде математической функции.

В оптимизационных моделях отыскивается такой вектор переменных х, при котором критерий, характеризующий качество функционирования системы (обычно это скаляр, а не вектор), получает наибольшее или наименьшее значение (либо вообще достигает какого-то желательного уровня). Это записывается, например, для случая максимизации:

[/ = /(х,у)-gt;тах.

где у — вектор переменных, не поддающихся управлению, но влияющих на значение U; / — функция, задающая отношения между всеми указанными величинами.

Таким образом, аналитическая модель представляет собой систему таких соотношений между данными и искомыми величинами, которые выражены математическими формулами, в явном виде. Благодаря этому аналитические модели особенно удобны для анализа свойств решений, а также для расчетов. В благоприятных случаях решение аналитической модели удается получить в явном виде с помощью алгебраических формул — тогда такое решение называется аналитическим. Обычно аналитические модели представляют системы уравнений и/или неравенств различного типа (алгебраических, дифференциальных, разностных, интегральных, функциональных). Однако далеко не всегда связи между величинами можно выразить формулами (например, единственным доступным способом задания зависимости одной величины от другой может оказаться алгоритм расчета значения функции по значениям ее аргументов). Даже если это удалось, построенная таким образом аналитическая модель может в принципе не иметь аналитического решения, либо же оно может оставаться не найденным. Тогда модель исследуют средствами численного анализа или косвенными методами.