3.5 Идентификация коэффициентов математической модели.

идентификации (п.п. 3.1) математическую модель процесса сушки в барабанной сушильной установке, входят обыкновенные линейные дифференциальные уравнения вида [44] :

X Z bJJ> , (3.3)

і = 0 У = 0

где х^^ - і-я производная функции x(t), - у-я

производная функции >>(7^, т.е.

x(i) =d(i)x/dt(iKy(j) =d(j)y/dt(J),ap=\;l

Как видно модель определяется /?+/+1 параметрами С = I'^O'""^ • (3 - 4)

Структурными параметрами модели (3.3) являются числа р и /, которые должны быть выбраны в процессе структурной идентификации.

х, =х;х2 =х^;х3=х(2);...;хк

Легко убедиться, что в общем виде модель будет выглядеть следующим образом:

р I

Х\ = Z ?

i = 1 у = о

(3.5)

р / //1 X = I а ,*,+ ? b j/"

Данная модель считается наиболее общей формой непрерывной параметрической модели динамического детерминированного линейного стационарного объекта [44] .

Эту модель удобно записывать в векторной форме:

X = АХ + BU , (3.6)

где X - () - вектор состояния; U = () - вектор возмущения; А и В матрицы коэффициентов модели, причем А=

aqi

квадратная матрица (р*р), а V

5 =

- прямоугольная матрица [рх (I +1^] Таким образом, идентифицируемыми параметрами модели (3.1) являются элементы матриц А и В, т. е. р(р + 1 + \) параметров, которые и образуют две матрицы неизвестных параметров

С = (А9В) .

Исходной информацией для идентификации в этом случае являются функции xt и yf в промежутке 0 характеризующие состояния входа и выхода

идентифицируемого объекта

(xvyt) 0Таким образом, для построения процедуры идентификации необходимо определить р 4- / +1 параметров <*// = (),...,/7-і; и bj(j = 0,..J).

В общем случае, т.е.

(3.3) равенство в (3.3) выполняться не будет.

Естественно подобрать параметры а- и Ь такими, чтобы

1 J

равенство (3.3) было восстановлено или хотя бы правая и

левая части выражения (3.3) отличались друг от друга

наименьшим образом. Чтобы выполнить это условие,

необходимо построить функцию невязки правой и левой

частей этого уравнения и минимизировать ее с помощью

вариации параметров а- и Ъ •.

1 J

Требования, которым должна удовлетворять эта функция невязки следующие [44]: -

она не должна принимать отрицательных значений; -

ее минимум должен соответствовать решению поставленной задачи; -

этот минимум должен быть равен нулю в случае совпадения структуры модели и объекта.

Этим условиям удовлетворяет невязка в виде среднего квадрата разности правой и левой частей уравнения модели (3.3) при подстановке туда функций х{ к yt -

наблюдений объекта, т.е.

- ? ъ}у,

j = О

Р

X

/ = о

(і)

(J)

Т

dt

(3.8)

aixt

Q(C)= J о

Минимизируя это выражение по параметрам а- и Ъ •,

1 J

которые образуют вектор (3.4), определим искомые параметры. Такая задача минимизации формулируется в виде

Q(C) -» min С* =(ao,...,ap_i;bo,...,b*) . (3.9)

Результат минимизации С и дает значения идентифицируемых параметров, для которых при совпадении структуры объекта и модели

Q(C*) = о. (3.10)

В модели (3.1) с коэффициентом скорости сушки R =klX + k2Tm+k3Tg, (т.е. модели M_L_YP_RV1)

идентифицируемыми параметрами являются коэффициенты

По экспериментальным данным, полученным при сушке в печи кальцита с различным начальным содержанием влаги при различных температурах сушащего газа, были построены кривые изменения влажности.

Для нахождения функции невязки кривые влажности при решении модели (3.1) (M_L_YP_RV1) строились для тех же начальных условий.

Результат минимизации представлен на рисунке 3.5. 4.5е-08 5 е-OS

0.0014 0.001

и.

0.004-

0.002-

0.0006

-- ~ '^У

^ "4е-08

Рисунок 3. 5 Результат минимиз а и,и и функции невязки для коэффициентов A-J . В результате решения задачи минимизации были получены следующие значения коэффициентов

к{ - O.OGU2 -О.А'з =4?-8 .

В решаемой модели (3.1) элементы параметрической матрицы А системы (матрицы пространства состояний) п р е д с т а в л я ют? собой с л ожные фу н кци о нал ь ные

зависимости не во зможным

делает

что

от параметров системы, в ып о л н е ние у сло ви я (3.10). т

v

т

к\ат

т

т

к2°т *gGg

V

О, О,

avVv

avVv

Лк*

?Які

А =

(3.11)

т

т

О,

vrrPm

Якj vwPm avVv Ютк З

avVv Ютк 2 g

g

g

g

О,

V7*

v*c*

Ютк 1 Так как добиться равенства нулю функции невязки при постоянных коэффициентах k^k^k-^ невозможно, то

поведение переменных состояния модели и теплофизических характеристик объекта будет отличаться.

Кривые изменения влажности кальцита с начальным содержанием влаги 2,5% при начальной температуре сушащего газа 4 93К представлены на рисунке 3.6 [ 9 ] . Кривая влажности аналитического решения модели (3.1) получена с использованием коэффициентов, приведенных выше (п.п. 2.2). Отклонение для сравнения экспериментальных данных по сушке в печи и результатов расчета по идентифицированной модели определяется по формуле

п

і

/=1

•100%,

Af>-Af>

(0)

I

/=1

и составляет для указанного случая 16,4%

(3.12) з

Длина, м

-а—Эксперимент -«s—Модель

Рисунок 3.6. Крива я изменения влажности кальцита с начальным содержанием влаги 2,5% при начальной температуре сушащего газа 493К в печи ) [9] и кривая аналитического решения модели (3.1} с использованием идентифицированных параметров( ? ) .

Примеры изменения влажности кальцита при других начальных условиях приведены в приложениях.