ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ В РАЦИОНАЛЬНОМ ОБОСНОВАНИИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Михайлова Н.В.

Проблема обоснования математики была сформулирована как проблема обоснования непротиворечивости математических теорий. Целесообразно разделить математический и философский подходы к этой проблеме, которые различаются не только по своим задачам, но и по своим средствам.

С точки зрения философской рефлексии, программа обоснования сама нуждается в обосновании - математическом и философском, соответствующем их задачам. Как утверждает известный философ математики В.Я. Перминов, «общая методология программ обоснования математики, выдвинутая в начале ХХ века, с современной точки зрения должна быть признана совершенно неудовлетворительной» [1, с. 148]. Общезначимое понимание результатов, достигнутых в истории обоснования математики, и перспектив в решении этой проблемы, невозможно без философско-методологического анализа тенденций развития современной математики. Все исторически оправданные программы обоснования математики содержат в себе некоторую систему допущений, имеющих гносеологический характер. Возможно, в связи с этим, несмотря на некоторое продвижение в прояснении и обосновании этих допущений, проблема обоснования современной математики все еще далека от своего окончательного решения, поэтому она является актуальной целью философско-методологических исследований.

Современная методология обоснования математических теорий опирается на онтологическое различие математических структур, существенно учитывая при этом их логические и внелогические степени обоснованности. В соответствии с принципом рациональности, принятым в естественных науках, природа никогда не формирует в сознании человека ничего такого, что могло бы ухудшить его познавательные способности.

Может ли анализ философских проблем содействовать решению собственно математических задач и открытию новых фактов? В качестве ответов на эти вопросы можно заметить, что обоснование математики как таковое не ведет непосредственно к открытию новых фактов в самой математике, но в процессе обоснования могут создаваться методы, которые со временем приобретают самостоятельную ценность. Это оправдано тем, что философия математики подходит к своему объекту - математике - с теоретико-мировоззренческих позиций. После работ математика и философа Георга Кантора о бесконечных точечных совокупностях и теории множеств, стало ясно, что математика в целом, как математический процесс, зависит от сущности натурального ряда и опирается на идею непрерывности, отражающую природу континуума. Несмотря на важность глобальных вопросов об истории оснований математики, после знаменитых рефлексивных результатов математика и логика Курта Геделя, основной проблемой философии математики стала проблема обоснования.

Философы математики всегда обращали особое внимание на выяснение логической структуры положений, лежащих в основе различных программ математики. При этом преследовались две цели, вообще говоря, не совпадающие между собой для математики в целом, которые можно назвать «программа-минимум» и «программа-максимум». Если первая призвана обеспечить непротиворечивость и методическую ясность преподавания математических курсов, то вторая стремится обеспечить истинность всей математики как целостного знания. По этому поводу известный специалист по математическому моделированию Ю.П.

Синтез основных программ обоснования математики как объектов данного исследования является новой концептуальной идеей философии математики. Ее суть состоит в том, что надо не бороться с противоречиями программ обоснования, а выявлять, упорядочивать и прогнозировать их результирующие пересечения, которые имеют непосредственное онтологическое обоснование некоторой части трансфинитной математики. Заметим, что синтез элементов как метод исследования предваряется их выделением из не- расчлененного целого. Это необходимо для анализа их отличия друг от друга с целью соединения их частей на новом теоретическом уровне. Обоснование математики - это попытка найти такую общую теорию, с помощью которой можно было бы вывести всю математику по определенным правилам вывода, исходя из некоторых формальных систем аксиом. Если бы удалось обосновать такую математическую теорию, которую можно принять за основание математики, то на этом базисе можно было бы пытаться обосновать другие математические теории в соответствии с общей архитектурой математических теорий.

Но так ли существенна для математики проблема ее обоснования? При ответе на этот вопрос мы исходим из того, что логический статус теоретико-множественных принципов, используемых в современной математической практике, в действительности не является широко известным в сообществе работающих математиков даже сейчас. Единство математики проявляется, прежде всего, в том, что даже ее деление на чистую и прикладную математику не может быть строго проведено в силу общей сущности той и другой.

Учитывая исторически сложившиеся рабочие программы обоснования математики, в рамках которых происходит реальное формирование единого пространства математики, надо стремиться не просто к «синтезу как способу рассуждения» или к «синтезу как мыслительной операции», а к взаимопониманию различных направлений философии современной математики, определяющему философско-методологический синтез, который обогащает общематематический опыт, опирающийся на рациональное знание (см. [3]). Замысел философско-методологического синтеза обоснования современной математики определяет цель, состоящую в том, чтобы связать непротиворечивость аксиоматики с ее фактологической истинностью в рамках системных понятий.

Литература

1. Перминов, В.Я. Философия и основания математики / В.Я. Перминов. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.
2. Петров, Ю.П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика / Ю.П. Петров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 448 с.
3. Михайлова, Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики /

Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2008. - 330 с.