<<
>>

Программы обоснования математики. Позиции Витгенштейна.

Обнаружение в конце XIX — начале XX в. парадоксов теории множеств и их логических «дубликатов» неожиданно выявило шаткость логического фундамента всей столь добротно выстроенной к тому времени классической математики.
Это послужило новым стимулом для тщательной логической экспликации ее основ. Если в XIX столетии исследования оснований математики стимулировались потребностями ее теоретической проработки, систематизации, — то в XX веке ситуация драматизируется обстоятельствами кризиса оснований математики, — и тут уже главным делается разрешение возникших трудностей, восстановление былой надежности и достоверности математического знания. Возникают различные направления обоснования математики. Вскоре определились три ведущие программы: логицизм, связанный с именами ФРЕГЕ И РАССЕЛЭ, формализм (по сути близкий логицизму), пер- сонифицированый ГИЛЬБЕРТОМ, И интуиционизм, теоретиком которого выступил БРАУЭР. Позже набирает вес конструктивное направление. Исходный импульс программе логицизма дал ФРЕГЕ. Опубликовав в послесловии ко второму тому Основных законов арифметики антиномию РАССЕЛЭ. он впервые указал на связь такого рода противоречий с характером употребления языка. Постепенно эта связь осозновалась все отчетливее. Если в логических парадоксах, включающих только логические и математические термины, эта связь несколько завуалирована, то в семантических антиномиях она выступает явственно. Такие парадоксы возникают из-за двусмысленных и неопределенных выражений естественного языка и потому требуют особого логического анализа языка. Этот верно поставленный «диагноз» недуга побудил к скрупулезному логическому анализу оснований математики и активному поиску средств ее логического «врачевания». РАССЕЛ, изучая открытый им в системе ФРЕГЕ парадокс, пришел к построению оригинального варианта аксиоматической теории множеств и к последующей попытке сведения математики к логике.
Изучение причин парадоксов и поиск выхода из них РАССЕЛ тесно связал с разработанными им идеями логического анализа языка. Отсюда, из логического анализа оснований математики, ведет свое начало столь характерное для XX в. направление исследований, как анализ языка науки. У истоков современного логического исследования языка стояли ФРЕГЕ И РАС СЕЛ. Именно они поставйли те серьезные, животрепещущие вопросы, на решение которых в последующие десятилетия (и по сей день) направлено так много усилий логиков, лингвистов, философов.

Поиску выхода из тупиковой для математики ситуации РАССЕЛ отдал в общей сложности около двадцати лет напряженной .работы, увенчавшейся созданием — в соавторстве с А, УАЙТХЕДОМ — капитального трехтомного исследования F*jincipia mathematical (Основания математики, сокр. РМ) 31. В фокусе внимания авторов этого капитального труда оказались логические затруднения математики и логики, что было весьма актуально в связи с обнаружением парадоксов в логико-математической системе ФРЕГЕ. Исследование подтвердило предположение ФРЕГЕ О том, что причины парадоксов и, стало быть, смысловых сбоев мышления следует искать в логике, способах употребления языка. Анализ показал, что самой общей причиной парадоксов является определенного рода «порочный круг», в который нас завлекают неправильно образованные всеобщности («множество всех множеств» и др.), некорректное обращение с универсалиями (общими понятиями) в качестве предикатов. Для разрешения трудностей были использованы все достижения логического анализа — и те, автором которых был ФРЕГЕ, и новые, принадлежавшие РАССЕЛУ . Новым шагом РАССЕЛИ прежде всего явилась его теория описаний, разграничившая имена в собственном смысле слова и описания предметов по тем или иным прйзнакам. Другим его достижением стала знаменитая теория логических типов. В ней йредусмотрено строгое различение символов (объектов) разных логических уровней: индивидуумы, классы, классы классов и т. д. Им соответствует градация предикатов и отношений (предикаты индивидов, предикаты классов, предикаты классов классов и г.

д.). Иначе говоря, выход из логических парадоксов был найден в четком разделении логических типов (или категорий) и установлении запретов на такие подстановки аргументов, которые ведут к бессмысленности функций. Авторы РМ стремились осуществить замысел ФРЕГЕ О сведении чистой математики к логике, наведя более строгий порядок в самой логике. То есть это была еще одна грандиозная попытка взять «крепость» математики, все-таки, логическим «штурмом». И дело, казалось бы, увенчалось успехом. Логические противоречия удалось устранить. И. понятно, что логика РлссЕла и концепция РМ воспринимались как очень важный и убедительный научный результат. Логические идеи РАССЕЛЯ и мысли ФРЕГЕ, несшие в себе и немалый философский «заряд», вдохновили ВитгЕнттЕйна на создание целостной и изящной концепции Логико-философского трактата, которая явилась своеобразным переводом на философский язык новых идей логического анализа, легших в основу РМ.

Однако в начале 1930-х годов свои известные теоремы сформулировал КУРТ ГЕДЕЛЬ, И ПОД ударом серьезной критики теперь уже оказывается система РМ. Отсюда, правда, не следовало, что она всецело ошибочна и бесполезна, однако стало ясно: логицизм не дает радикального выходя из «кризиса в математике», что связывавшиеся с ним надежды на «логический рай» тщетны. Другой школой обоснования математики, школой отчасти вышедший из РМ, стал формализм. Его принципы были разработаны немецким математиком и логиком ДАВИДОМ ГИЛЬБЕРТОМ (1862-1943) 32 в 1922-39 годах во «спасение» классической математики от антиномий. Начальный вариант программы формализма был изложен ГИЛЬБЕРТОМ В Основах: теоретической логики (в соавторстве с В. АККЕРМАНОМ, 1928). Вообще под формализмом понимается, как известно, предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием. Формализм в логике и математике отталкивался от представления, что чистая математика'есть «логический синтаксис» —- наука о формальных (не наделенных смыслом) структурах символов. Одной из своих целей школа ставила доказательство того, что манипуляции символами по строгим правилам не дают противоречий, что весьма сближало ее с логицизмом.

Вначале концепция формализма была еще во многом наивной. Позднее ГИЛЬБЕРТ предложил значительно более продуманный и обширный план обоснования математики путем ее полной формализации . Решение задач обоснования логики и математики он связал теперь с метаматематикой (специальной теорией доказательства), позволяющей придать обеим дисциплинам вид исчислений. Для этого, по замыслу ГильвЕРта, метаязык — для доказательства непротиворечивости выбранной системы аксиом, теории множеств — должен включать в себя лишь финитные (конечные) средства выражения и дедукции, притом средства абсолютно безупречные по ясности и убедительности. Иначе говоря, непротиворечивость, согласно этому замыслу, должна достигаться ценой отказа от каких бы то ни было намеков на понятие актуальной бесконечности, «повинное», как выяснилось, в возникновении антиномий. Гиль БЕРТОМ и его школой (П. БЕРНАЙС, В. АККЕРМАН, Г. ГЕНЦЕН И др.) был получен ряд важных результатов в разработке проблем теории доказательства, полноты, непротиворечивости аксиоматики и др.

Однако формализм: столкнулся с теми же серьезными трудностямии, что и логицизм. И это неудивительно, поскольку программы эти во многом близки: в обеих возлагались большие надежды на строго аксиоматическое построение основ математики (идеал логической строгости, уходящий корнями еще в античность) и полную формализацию знания (его выражение в искусственной символике и подчинение всех преобразований знаковых выражений четко выявленным правилам). С конца 1920-х все явственнее обнаруживает - сл кризис обеих программ. Своей кульминации он достиг после публикации известной статьи К. ГЕДЕЛЯ «О формально неразрешимых предложениях Piincipia mathernatica и родственных систем». КУРТ ГЕДЕЛЬ (1906—1978) — австрийский логик и математик, с 1940 года живший в Америке, известен своими трудами по математической логике и теории множеств. Его важнейший результат, полученный в 1931 году и изложенный в названной работе,— доказательство принципиальной неполноты достаточно богатых формальных систем (в том числе арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств).

ГЕДЕЛЬ показал, что в таких системах имеются истинные предложения, которые в их рамках не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Иначе говоря, результаты ГЕДЕЛЯ опровергали центральную предпосылку и логицизма, и формализма, допускавшую, что для каждой отрасли математики может быть указана совокупность аксиом, достаточных для выведения всех остальных положений. ГЕДЕЛЬ же с бесспорностью доказал, что аксиоматический метод имеет внутренние ограничения. С философской точки зрения, теорема ГЕДЕЛЯ О неполноте предполагала принципиальную невозможность полной формализации какого бы то ни было содержательного раздела научного знания.

ГЕДЕлевская работа была для своего времени чрезвычайным научным событием, мимо которого невозможно было пройти. Идеи логицизма, подкрепленные успехом РМ, владели умами многих логиков, математиков, философов науки в течение трех десятилетий, и неоспоримые открытия ГЕДЕЛЯ не могли не вызвать потрясения. Правда, революционное (особенно с философской точки зрения) значение ГЕДЕЛЄВСКОЙ работы было понято не сразу. Но совершенно очевидно, что она была в высшей степени причастна к подрыву слепой веры в аксиоматический метод и формализацию. Из работы ГЕДЕЛЯ следовало по крайней мере два вывода: 1) что для большей части математики невозможна окончательная аксиоматизация, 2) что для многих важных отраслей математики не существует бесспорного доказательства их внутренней непротиворечивости. Понятно, что результаты ГЕДЕЛЯ явились кульминационной точкой формалистских дискуссий. И, хотя эти результаты убеждали в том, что цель формализма иллюзорна, авторы программы сначала не сдавались. В первом томе своей книги (1934) ГИЛЬБЕРТ И БЕРНАЙС обещали преодолеть трудности, порожденные теоремой ГЕДЕЛЯ, И разъяснить это во втором томе. Однако время шло, и все яснее осознавалась иллюзорность надежд на строго логическое обоснование математики, каким оно мыслилось в программах и логицизма и формализма. Но, с другой стороны, работа ГЕДЕЛЯ утверждала, что математические теоремы, недоступные строгой аксиоматизации, могут быть тем не менее установлены менее формальным математическим рассуждением.

Этот вывод имел серьезный философский смысл и предполагал далеко идущие следствия — отказ от многих иллюзий в понимании природы математики, формирование более реалистичной концепции математического знания.

Сторонники философского направления в математике и логике, именуемого интуиционизмом, подошли к задаче обоснования математики менее ортодоксально, чем теоретики логицизма и формализма. Эта программа, основателем которой был голландский математик Л. БРАУЭР (1881 — 1966), а его последователями — Г. ВЕЙЛЬ, А. ГЕЙТИНГ и др. — ориентировалась на исследование умственных математических построений. Они отрицали базисный характер логики по отношению к математике, а последним основанием математики и логики признавали интуитивную убедительность. Постулатом здесь стала мысль о том, что возможность «построения» бесконечного числового ряда есть «базисная интуиция^ человеческого сознания. В основу своего подхода к математике интуиционизм кладет понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним понимание существования математических объектов как принципиальной возможности их построения. При этом была решительно отвергнута идея актуальной бесконечности 34. одна из основных в классической математике и логике. Интуиционизм возник на рубеже XIX—XX вв. как реакция на теорию множеств Г. Клнтора, в которой идея актуальной бесконечности нашла наиболее полное выражение. Сформировавшийся в обстановке кризиса оснований математики, интуиционизм подверг острой критике классическую математику, что усугубило кризис и способствовало широкой постановке проблемы обоснования и логики. В программе интуиционизма акцентировалась не столько иде альная («божественная»), сколько человечески-земная, социальная природа всякого, в том числе и математического познания. Этот более трезвый и реалистичный, по сравнению с уже рассмотренными точками зрения, взгляд приняли многие математики. С 1904 года БРАУЭР последовательно проводил критику так называемых чистых математических доказательств существования, опирающихся на логический принцип исключенного третьего. Это в конечном счете и положило начало математическому интуиционизму как целому направлению в обоснованиях математики. Но проведенный БРАУЭРОМ анализ существования оказался ценным и независимо от фил осо фии интуиционизма, — с точки зрения конструктивного построения тех объектов, существование которых доказывается. Идеи Брлуэра нашли реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем (это было показано А. Н. КОЛМОГОРОВЫМ).

Пожалуй, наиболее жизнеспособным и творческим, учитывающим сильные моменты разных точек зрения, оказалось математическое мировидение, получившее название конструктивного и приведшее к созданию конструктивной математики и логики. Оно связано с именами А. Н. Колмогорова. А. А. МАРКова, С. Клини и др. В этом направлении основной задачей математики признается исследование конструктивных процессов и конструктив- ных объектов. По ряду позиций конструктивное направление близко интуиционистскому, хотя исходные принципы того и другого значительно расходятся. И там и тут отвергаются принцип исключенного третьего и закон двойного отрицания. Оба закона считаются неприемлемыми с конструктивной точки зрения. Для обеих позиций характерна финитная установка, то есть такой подход к основаниям логики и математики, при котором их сфера ограничивается конструктивными объектами и такими рассуждениями о них, в которых не присутствует идея актуальной бесконечности. На основе таких «философем» возникла конструктивная математика, представляющая собой, по определению А. А. Мдркова, абстрактную науку о конструктивных процессах, о человеческой способности осуществлять такие процессы, а также о результатах таких процессов — конструктивных объектах 35. в конструктивной математике не применяется абстракция актуальной бесконечности, характерная для теоретико-множественной математики и связанная с рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы завершенных. Существование объекта в конструктивной математике подразумевает, что построение такого объекта потенциально осуществимо, то есть, что человек владеет способом его Построения. Систематически применяются две абстракции — абстракция потенциальной осуществимости и абстракции отождествления, первая — когда отвлекаются от практических ограничений конструктивных возможностей в пространстве, времени, материале, вторая — когда говорят о двух, в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте.

<< | >>
Источник: Витгенштейн Л.. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ, статья М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство «Гнозис».. 1994

Еще по теме Программы обоснования математики. Позиции Витгенштейна.:

  1. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ (К публикации заметок Л. Витгенштейна)
  2. Глава III ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
  3. Соперничающие сети обоснования математики и происхождение теоремы Гёделя
  4. § 2. Критический анализ основных направлений в обосновании математики
  5. ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ В РАЦИОНАЛЬНОМ ОБОСНОВАНИИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Михайлова Н.В.
  6. Анализ и обоснование программ развития региона на основе оптимального финансового планирования
  7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА „ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ" (для студентов)
  8. § 1. Субстанциализм как мировоззренческая программа для позиции объектно-вещной активности. Философский редукционизм
  9. 5.1. Родительская позиция в интегральном взаимодействии позиций личности родителя
  10. «Отдадим честь уроку математики», или Диалоги на математике Ольга КУЗНЕЦОВА, Светлана ПЕТРЕНКО