§ 2. Критический анализ основных направлений в обосновании математики

Исторически первым из указанных направлений следует считать теоретико-множественный подход, начало формирования которого в конце прошлого века было подготовлено успехами и революционными преобразованиями в области геометрии (возникновение неевклидовых геометрий, столь же внутренне непротиворечивых, как и геометрия Евклида, новых алгебр) и математического анализа. Созданная Г. Кантором „наивная" теория множеств, появление которой было стимулировано арифметизацией анализа, сначала казалась достаточно надежным основанием всей математики.

Этот подход опирался на понятие актуальной бесконечности, которое, будучи сильной абстракцией, вызывало психологический протест людей, руководствующихся так называемым здравым смыслом. В самом деле, человек привык бесконечное ассоциировать с неоконченным, бесконечным рядом натуральных чисел, с незавершенным процессом (Ф.Энгельс)135, тогда как актуальная бесконечность предполагает завершенность, результат, при котором математический объект дан одновременно всеми своими частями и уподобляется конечному. Вынужденное использование понятия актуальной бесконечности объясняется дискретным подходом в теории множеств, тем, что любое множество элементов может быть элементом другого, более обширного множества (принцип свертывания), а успешные действия со множествами можно производить только в случае „завершенности" этих, в том числе бесконечных, множеств.

Итак, Кантор оперировал не только обычными, но и необыкновенными (бесконечными) множествами.

135 Маркс КЭнгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 51.

82

конечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа110. ^

Однако оперирование бесконечными множествами породило парадоксы, которые свидетельствовали о неблагополучии в самом фундаменте математики, о третьем по счету кризисе ее оснований и, стало быть, о необходимости преодоления, в лучшем случае модернизации, канторовской концепции. Это и было сделано путем аксиоматизации теории множеств, которая предполагает введение аксиом, ограничивающих образование множеств, ведущих к известным парадоксам (аксиоматизированная теория множеств Цермело-Френкеля, например).

Существенно, что непротиворечивость системы аксиом подобной теории множеств не доказана, а вышеупомянутые ограничения лишают ученого возможности пользоваться всем богатством созданного до сих пор математического знания. В силу этого сформировавшаяся во Франции усилиями ряда молодых талантливых исследователей школа Н. Бурбаки осуществила попытку создать более совершенную аксиоматизированную теорию множеств. При этом они настолько увлеклись, что сочли возможным объявить теорию множеств единственным фундаментом математического здания. '„Бели прежде можно было думать, — резюмируют они во Введении к трактату, — что каждая отрасль математики зависит от специфической интуиции, дающей ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника — Теории множеств.

Подобно тому как пифагорейцы не смогли унифицировать математику на основе арифметики, школе Н. Бурбаки не удалось это сделать с помощью теории множеств. Показывая несостоятельность подобного редукционизма, Г. И. Рузавин справедливо замечает, что и числа, и векторы, и треугольники, и т. п. математические объекты можно рассматривать как теоретико-множественные образования, но в результате такой редукции исчезает специфика, характерная для этих объектов112.

6*

83 Заметим, что аксиоматизированные теории множеств (как, впрочем, и геометрии) могут быть альтернативными, и это обстоятельство тоже свидетельствует в пользу того, что основа математики не может быть сведена к области дискретного. Абсолютизация роли теории множеств (и, соответственно, математической логики) в современной науке означает игнорирование дизъюнктивности этой области знания, противоположности дискретного и непрерывного в ней. Отсюда несостоятельность той реформы школьных программ математики и учебных пособий на теоретико-множественной основе, которая имела место у нас в 70-х гг.113

Парадоксы теории множеств вызвали к жизни также наиболее распространенное (и в прошлом, пожалуй, наиболее авторитетное) направление в обосновании математики, известное под названием логицизмаИстоки его можно обнаружить еще в философии Декарта, разрабатывавшего дедуктивный метод познания. В более явно выраженном виде эти идеи встречаются у Лейбница, который ратовал за вычисление не только в математике, но и в рассуждениях. В этом случае, по его мнению, „двум философам не придется больше прибегать к спору, как не прибегают к нему счетчики. Вместо спора они возьмут перья в руки, сядут за доски и скажут друг другу: давайте вычислять". Именно взгляд Лейбница на математику как частный случай логики лег в основу создания и математической логики, и логицизма.

Как реализовалась программа? Для этого саму математику предварительно редуцировали к небольшому числу исходных предложений, т.

Примечательно, что если древние греки в ходе преодоления первого кризиса оснований математики перестраивали ее на геометрической основе, то теперь арифметизация (анализа, например) символизировала переход к другому фундаменту — к теории чисел. Это означало, по существу, возврат к старому (но на новой основе), когда здание математики покоилось на арифметике.

Редукцией математики к логике вплотную занялся Фреге. Из исходных понятий и принципов математической логики он попытался вывести всю арифметику. Однако эта широко задуманная программа оказалась утопичной. Она была тесным образом связана с абсолютизацией законов формальной логики и привела Фреге к противоречиям, на которые ему указал Рассел. Пришлось в конце только что законченного двухтомного трактата по основаниям арифметики выразить сожаление по поводу своих, оказавшихся теперь несостоятельными, исходный позиций.

Впрочем, неудача постигла и самого Рассела, который попытался реализовать программу логицизма, введя разработан- ную им „теорию типов". Последняя позволяла избегать парадоксов теории множеств, но потребовала, в свою очередь, значительного усложнения всей логико-математической системы. Рассел, в частности, вынужден был ввести аксиому сводимости, которая выглядела инородным телом, поскольку имела прагматический характер: следование-правилам „теории типов" исключало использование импредикативных определений.

Аксиома сводимости, а также понятия множества и бесконечности оказались наиболее уязвимыми пунктами программы, предложенной Расселом в написанных им совместно с Уайтхедом „Принципах математики", поскольку эти понятия являются, конечно же, не логическими. К тому же многие „неарифметические" разделы в этом исследовании оказывались необоснованными.

Изложенная доктрина логицизма была подвергнута критике не только сторонниками интуиционизма, но и определенной ревизии со стороны единомышленников Рассела (Л.Витгенштейн и др.).

Несостоятельность логицизма, который в значительной мере способствовал интенсивным исследованиям в области оснований математики, еще раз подтвердила положение, что формализация представляет собой лишь вспомогательный прием научного познания, а математические теории далеко не исчерпываются дедуктивными построениями.

Другим направлением в обосновании математики является форма л изм, который'в определенном смысле может рассматриваться естественным завершением логицизма и теоретико-множественного подхода.

Логицизм рассматривает математику в качестве раздела, части логики, делая предметную область последней весьма неопределенной. „Логика, — образно говорил Рассел, — есть юность математики, а математика — зрелость логики"115. Последняя у логицистов не только имеет приоритет как орудие всякого доказательства и получения выводного знания, но и рассматривается в качестве основы и даже самого здания математики.

Сторонники формализма поставили перед собой четкую задачу - непротиворечивым образом вывести всю „чистую" математику из принятых аксиом и таким способом преодолеть кризис методологических основ математики, который возник при обнаружении парадоксов теории множеств, а заодно дать, наконец, окончательное, строгое и однозначное обоснование математики, „исключив из нее всякого рода метафизику" (Гильберт). При этом суть процесса создания „чистой" математики виделась ими в оперировании символами. В этом заключалось их философское кредо.

Гильберт выражал свою идею фикс так: „С помощью этого нового обоснования математики я надеюсь с вопросами обоснования математики, как таковыми, покончить тем, что каждое математическое высказывание превращу в доступную конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым перемещу весь комплекс вопросов в область чистой математики"116. Следует заметить, что в ходе попытки с помощью финитных средств конечной математики реализовать эту программу многие идеи Гильберта „явились переломным моментом в вопросах обоснования математики и началом нового этапа в развитии аксиоматического метода"117.

Первый том „Оснований математики" Д. Гильберта и П. Бернайса, где были изложены своего рода принципы этой школы, вышел в 1934 г., а второй — в 1939 г. Необходимо отметить, что еще начиная с 1920 г. реализацией формалистической программы вместе с Гильбертом и Бернайсом занимались также В. Аккерман и Дж. фон Нейман.

Жесткая программа, выдвинутая Гильбертом - основателем этой школы, оказалась не только в полной мере не реализованной, но и несостоятельной в своей основе. Еще до опубликования главных результатов формалистов Геделю удалось доказать неполноту всякой формальной системы, а также невозможность до конца провести, доказать ее непротиворечивость. Тем самым была продемонстрирована утопичность смелой программы Гильберта, который, что называется, бросил вызов математической и философской общественности своего времени.

Существенно, что Гёдель при этом пользовался настолько строгими аргументами, что они оказались приемлемыми для всех направлений в обосновании математики. Доказательство неизбежной ограниченности метода формализации принадлежит к числу выдающихся открытий века.

Как Расселу не удалось обойтись без обращения к „первоначальным высказываниям" (которые имеют явно интуитивный характер), так и Гильберт не смог это сделать путем полного исключения „метафизических" высказываний. Здесь неизменно вступал в силу принцип неполноты формальных систем, появлялась необходимость постоянного соотнесения с более широкой теоретической системой, с так называемой метатеорией. Эта потребность вызывалась тем, что не удавалась попытка ликвидировать всякую возможность возникновения математических предложений, которые средствами данной формальной системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Следовательно, оставалась невыполненной основная задача формалистической программы - дать окончательное обоснование математики точными методами и тем самым ликвидировать ее третий кризис. Одновременно с этим оказался несостоятельным и основной исходный методологический тезис формализма, отрицающий всякое содержание символов чистой математики, опытное происхождение ее исходных понятий, игнорирующий органическую связь (и не только в генетическом плане) математики с логикой, абсолютизированной ранее школой логицизма. Впрочем, как и последняя, формализм во многом способствовал ускорению развития многих разделов этой науки.

Чтобы дать адекватную оценку формалистического направления, необходимо учитывать, что основной философский вопрос математики об отношении ее понятий к объективной реальности сторонниками формализма трактуется непоследовательно, а зачастую и ненаучно. Выступая против субъективизма в математике (который всегда был свойственен интуиционизму), Гильберт вместе с тем обнаруживал уязвимость своей собственной позиции. Так, в 1927 г. он писал, что „нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно определенные внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления"118. Когда же он заявлял, что составление формул и их выбор полностью зависят от математиков, его позиция смыкалась со взглядами кон- венционалиста К.Пирсона, утверждавшего, будто имеет больше смысла полагать, что „человек дает законы Природе, а не наоборот"119. Саму же математику Гильберт довольно категорично определял как учение об отношениях между формулами, лишенными всякого содержания120. Тем самым он отсекал всякий „внешний" критерий истинности математических построений, фактически лишая практику ее итогового критериального статуса по отношению к математическому знанию.

В противоположность логицизму (и формализму) интуиционизму возникший как альтернатива теоретико-множествен- ному подходу, не абсолютизирует роль логики в математике. Его сторонники полагают, что она обладает не только чисто формальным, но и содержательным знанием, что язык и логика - весьма несовершенные средства выражения математического мышления, которое, по их мнению, только и является строгим и точным. Интуиции это направление отводит решающее место, а все формулы и выражения рассматривает как содержательные. „Теория типов" как ядро логицистской программы Рассела представителями интуиционизма расценивается как „искусственная и непригодная", формализм же, по их мнению, „грозит сделать математику совершенно тривиальной", так что она оказьюается уже не знанием, а управляемой некоторыми условными правилами „игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы" (Вейль).

Суть программы интуиционизма, начало которому положил голландский ученый J1. Брауэр (1907 г.), заключается в следующем.

Созданная Кантором теория бесконечных множеств вместе с понятием актуальной бесконечности решительным образом отвергается, а на место „завершенной" бесконечности и бесконечных множеств, в которых сразу определяются все элементы, предлагается становящаяся, потенциальная бесконечность и соответствующий ей конструктивный метод построения всех сложных математических объектов. Право на существование имеют только те из них, которые можно сконструировать за конечное число шагов из более элементарных, тоже, естественно, обладающих интуитивной ясностью. Объекты, не удовлетворяющие этим условиям, в расчет просто не принимаются. Подобно Евклиду, интуиционисты предлагают, таким образом, генетический метод развертывания теории. Особенностью интуиционизма, как видим, является представление о ней как точной части мышления и обращение к принципу наглядности.

Введение понятия потенциальной бесконечности, которое сторонники интуиционизма склонны рассматривать как революционный акт, как переход от статических представлений прежней, классической математики к динамическим (не случайно такого рода бесконечность Брауэр называет „свободно становящейся последовательностью", а Гейтинг - „потоком"), повлекло за собой другую характерную особенность интуиционизма - отрицание правомерности использования закона исключенного третьего применительно к бесконечным множествам. В самом деле, если натуральный ряд чисел рассматривать как незавершенный поток, то нельзя с уверенностью ответить на вопрос, обладает такой ряд чисел, например, свойством Р или нет. Нельзя потому, что бесконечность неисчерпаема. Отсюда следует, что ни одно из двух противоречащих суждений на.этот счет нельзя признать истинным или ложным; отсюда и особенность интуиционистской логики.

Простой пример, на который ссылаются сами интуиционисты, хорошо иллюстрирует высказанное выше положение. Число л = 3,14159... является числом иррациональным, представляет собой бесконечную непериодическую дробь. Правомерно ли утверждать, что при продолжении ряда знаков этого числа мы не встретим подряд 100 нулей? Очевидно, что нет, так же как мы не можем быть уверены и в обратном, поскольку имеем дело с потенциальной бесконечностью. (Утверждение, что в разложении числа л не существует 100 нулей подряд, было бы истинным, если бы существование их противоречило закону образования числа л. А такого закона человечество не знает.)

Возражение вызывает не столько утверждение интуицио- нистов о невозможности применять закон исключенного третьего к бесконечным множествам, сколько их попытка утвердить и даже абсолютизировать бесконечность потенциальную за счет ликвидации актуальной, в результате чего математический анализ, теория бесконечных множеств и др. не обосновываются интуиционистами, так что сфера „чистой" математики, развиваемая ими, оказывается крайне суженной. Между тем, остроумно замечает Ван Хао, дифференциальное исчисление, опирающееся на противоречивую теорию множеств, применяется при строительстве мостов, которые при этом не рушатся. „Практически, - продолжает он, - ни одна из важных математических теорий и ни одно из важных математи- ческих доказательств не были удалены из анализа вследствие противоречии теории множеств..."121

Но это еще.не все. Интуиция, которая рассматривается в качестве единственного источника и одновременно критерия истинности математических предложений, истолковывается при этом в духе субъективного идеализма и даже мистики122. Вследствие этого возведенное интуиционистами здание оказывается построенным на песке (так что можно говорить не только о „триумфе", но и о „трагедии" Брауэра).

Проблема интуиции получила свое научное решение лишь в диалектико- материалистической философии, где она рассматривается как непосредственное, прямое постижение истины без предварительного логического обоснования, о чем кратко говорилось в § 2 гл. П. Сегодня у нас уже имеется обширная литература на этот счет, и различия в толковании отдельных сторон данного феномена касаются лишь деталей123.

К сожалению, для многих ученых Запада диалектико-материалистическая философия, по образному выражению В. И. Ленина, все еще остается тайной за семью печатями. Интуицию многие из них расценивают как нечто противостоящее процессу познания, даже как разновидность божественного. „Теоретическая интуиция, - заявлял, например, Вейль, — покоится на вере, на вере в реальность собственного и чужого я, или в реальность внешнего мира, или в реальность божества"124.

Антинаучная трактовка интуиции в какой-то мере объясняется реакцией на индуктивизм и эмпиризм Милля, но оправдана никак быть не может, ибо она представляет собой жесткую альтернативу эмпирическому методу, т. е. другую метафизическую крайность — априоризм.

„Математика, - пишет, например, тот же Вейль, - несомненно априорна; она вовсе не основывается, как в этом хотел нас уверить Дж. Ст. Милль, на опыте, в том смысле, что только повторные испытания над числовыми примерами обеспечивают все большую и большую достоверность арифметической теории, гласящей, что для произвольных натуральных чисел т + п - п + т*125. Как показало дальнейшее развитие науки, математические предложения не могут рассматриваться ни как синтетические суждения априори, ни как аналитические в духе Канта и Лейбница.

Трактовка интуиции в качестве единственного критерия истины, конечно же, неприемлема, ибо то, что одному может показаться интуитивно несомненным, другому - далеко не очевидным. Строить науку на таких зыбких положениях нельзя, ибо они представляют собой не что иное, как произвол и субъективизм.

Именно поэтому представители такой школы, как конструктивизм (А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.), использующие и развивающие на материалистической основе те некоторые здравые идеи, которые содержатся в интуиционистской программе, не согласны с упомянутым критерием истинности126.

„Я никак, - справедливо заявляет глава советской школы конструктивизма академик А. А. Марков, - не могу согласиться считать „интуитивную ясность" критерием истинности в математике, так как этот критерий означает полное торжество субъективизма и идет вразрез с пониманием науки как вида общественной деятельности"127.

Следует отметить, что термин „ конструктивизм", пожалуй, лучше выражает суть дела. Нельзя абсолютизировать роль интуиции в обосновании математического знания и мистифицировать самое это понятие. Бели же дать ему более адекватное, научное истолкование, то обнаруживается главное, существенное в данной программе — конструктивный способ построения и развертывания математических теорий128. Конечно, интуиции при этом отводится значительная роль.

Итак, интуиционизм - это реакция на теоретико-множественный подход, на логицизм (и формализм), движение к стихийной диалектике. При наличии в нем некоторых положительных моментов он тоже грешил ошибочными философскими установками и не мог дать правильного обоснования математики: излишний акцент на интуицию, которая лежит в основе этой программы и выступает критерием истины, делает это невозможным. К тому же сама интуиция трактовалась, мягко говоря, ненаучно, а ряд разделов математики оказывался необоснованным. Несмотря на некоторые принципиальные различия, рассмотренные выше программы обоснования математики имеют общую характерную особенность, которая заключается в абсолютизации каких-то сторон сложного и противоречивого процесса познания. В этом заключаются гносеологические корни всякого, в том числе „математического", идеализма. „...С точки зрения диалектического материализма, - указывал В. И. Ленин, - философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное... развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный отчматерии,от природы, обожествленный"129.

Одни абсолютизировали возросшую в XX в. роль теории множеств, другие - логику в развертывании математических теорий, третьи - формализацию, а некоторые предпочтение отдавали интуиции и конструктивному методу. В итоге ни одно из упомянутых направлений не может считаться до конца истинным, адекватно описывающим действительный процесс возникновения и развития математического знания. При этом, как всегда, метафизика (в смысле антидиалектика) прокладывала дорогу идеализму.

Следует, однако, отметить, что все указанные направления вносят свой существенный вклад в развитие математического знания, хотя и грешат определенной непоследовательностью, вернее, ошибками метафизического, а подчас и идеалистического характера.

Конечно, современный „математический" идеализм отличается от той формы, которая в истории науки была представлена пифагорейской школой. В наше время вряд ли найдется такой ученый, который бы открыто заявил, что „мир создан великим Архитектором по математическому плану", „где нет числа и меры, там хаос и химеры", что в основе природы лежат божественные по своей сути числа. Среди исследователей Запада мы, по-видимому, найдем сегодня представителей лишь „смягченных", „стертых" форм идеализма. Аналогия „математического" идеализма с „физическим" не является чисто внешней. У них одинаковые гносеологические корни, так что положение В. И. Ленина о том, как усложнение науки и ее математизация способствуют тому, что за уравнениями перестают видеть объективную реальность, звучит вполне современно. Именно то, что математическому формализму трудно или даже невозможно отыскать соответству- ющий аналог в окружающей действительности, явилось важнейшей гносеологической причиной идеализма в математике. Во многом способствовало этому, конечно, и обнаружение парадоксов теории множеств.

Одни и те же гносеологические корни „математического" и „физического" идеализма предполагают и похожий путь выхода из кризиса методологических основ данных наук, преодоления ошибок и заблуждений - переход на позиции материалистической диалектики, сознательное усвоение и использование универсальной философской методологии. Лишь с таких позиций можно нарисовать адекватную картину мира, показать подлинную роль и значение математики в современной науке, решить проблему ее обоснования на действительно научной основе. Кстати говоря, эта проблема никогда не утратит своего философского характера, так как не может быть осуществлена „внутренними" средствами данной науки. Позиция многих профессиональных математиков Запада, считающих методологические проблемы математики чисто спекулятивными, является результатом позитивистского влияния на них, следствием позиции, определяемой доктриной „каждая наука сама себе философия".