Соперничающие сети обоснования математики и происхождение теоремы Гёделя

Линия Фреге — Рассела была представлена Карнапом, приехавшим в Вену в 1926 г., и Витгенштейном, вскоре после этого начавшим дискуссии с Кружком (см. рис. 13.6). У обоих в ранний период карьеры были значимые для их профессионального становления контакты с Фреге: Карнап был его учеником в Йенском университете в 1910-1914 гг., а Витгенштейн приезжал к Фреге в 1911 г. и вновь в 1912 г. за советами относительно выбора своего интеллектуального пути; после этого Фреге постоянно вдохновлял Витгенштейна через переписку в течение Первой мировой войны — во время написания последним «Трактата» [Monk, 1990, р. 36, 70, 1 15-157]. Фреге, у которого до этого не было значительных профессиональных последователей, вдруг обрел сразу двоих. На обоих сильное влияние оказал Рассел. Витгенштейн был личным учеником Рассела, благословленным на осуществление логицистской программы. Карнап был вовлечен в действо в 1920 г., когда прочел расселовский программный призыв к созданию движения философов с научной подготовкой и способностью противостоять вводящим в заблуждение литературным методам, причем Карнап воспринял этот призыв — и достаточно естественно для фрегевского протеже — как адресованный лично себе [Coffa, 1991, р. 208]. Он вступил в переписку с Расселом и начал строить основания знания на основе сходного с расселовским совершенного языка, иерархизованного с помощью теории типов.

Линия Гильберта представлена в сети Венского кружка несколькими его бывшими учениками, включая профессора математики Ганса Гана, который в самом начале пригласил Шлика в Вену и был главным организатором Кружка [DSB, 1981, vol. 14, р. 88-92, 281-285; Wang, 1987, р. 52-57, 76-88). Гёдель был протеже Гана; Ган также учил Поппера, вошедшего в периферийный слой Круж-

Рис. 13.6. Сеть исследователей математической логики и оснований математики

              = личное знакомство               > = связь «учитель — ученик»

¦^-nnjLrri-M-n = конфликтная связь я-гышпы-ъ^^ = направление критики ц/ = психолог

ка в тот год, когда Гёдель объявил о доказательстве своей зьаменитой теоремы. В 1920-х гг. школа Гильберта напряженно трудилась над доказательством непротиворечивости арифметики; одним из наиболее активных в этой работе был фон Нейман — коллега Рейхенбаха в Берлине в 1927-1929 гг., работавший над новой аксиоматизацией, вскоре подхваченной Гёделем. Противостоящий лагерь — брауэровские интуиционисты — расположился в Амстердаме и также сплетался с сетью Венского кружка и его темами. Герман Вейль, учившийся, как и Рейхен- бах, в Геттингене вместе с Гильбертом, в 1920-х гг. перешел на сторону лагеря

Брауэра, соединяя интуиционистские и формалистские методы в попытке реконструировать математику на основе интуиционизма. Те же самые математики были в это время весьма активны в вопросах обоснования новой релятивистской физики и квантовой механики, что пересекалось с основными предметами занятий физиков Венского кружка.

Конфликтующие философские школы также оказались связанными с битвой по поводу оснований математики. Гуссерль был вдохновлен идеями интуициони- стов, особенно когда он в 1920-х гг. стал делать упор на существовании некоего жизненного мира до формализации, внутри которого виделось происхождение геометрии [Heyting, 1983; Coffa, 1991, p. 253-255]. Растущее чувство антагонизма между феноменологами и логическими позитивистами было перекрыто соперничеством между математическими лагерями. Тарский, происходивший, как и Гуссерль, из школы Брентано, взял от Гуссерля иерархию семантических категорий, играющих ту же роль, что и расселовская теория типов, но в более строгой манере обобщения от логики к языкам. Тарский приезжал на математический факультет Венского университета в феврале 1930 г., оказав вдохновляющее влияние на Карнапа.

Еще в большей мере троянским конем был Витгенштейн. Изначально прямой наследник программы Фреге — Рассела, к 1930 г. он явно повернул в направлении, все больше напоминавшем путь математических интуиционистов. Его мощное личное влияние вело к углубляющемуся расколу Кружка.

Дилыей

Рис. 13.7. Венский кружок: объединенная сеть

: личное знакомство               > = связь «учитель — ученик»

’ = конфликтная связь

Творчество Гёделя и позднего Витгенштейна во многом вышло из одной исходной позиции при взаимных разногласиях. Это были столкновения двух пользовавшихся большой поддержкой любимцев группы — младшего и старшего. Наставники Венского кружка из математиков поддерживали Гёделя как блестящего молодого ученика, способного разрешать самые острые и центральные проблемы; благодаря им, его результаты быстро и широко распространялись.

Все новые фейерверки вспыхивали именно в тот период, когда конфликты внутри Кружка стали наиболее интенсивными. В течение следующего года Поппер— периферийный член сети Венского кружка—провозгласил конец верификационного критерия и его замену принципом фальсификации[460]. В то же самое время, когда дебютировал Поппер, Гёдель развеял надежды логицизма Рассела— Карнапа на обеспечение неопровержимого обоснования и тем самым на возможное построение критерия демаркации науки от ненауки. Без сомнения,

идеи Поппера получили быстрое и дружеское одобрение от некоторых групп Кружка, поскольку он попал в некую появившуюся брешь. Вскоре Карнап, Ней- рат и Витгенштейн объявили об отходе от ранних программ к новым основным направлениям.

Характерная черта творческих кружков состоит в том, что одна инновация вызывает другую; главные творческие идеи должны развиваться в разных направлениях, подчас противоположных (см. рис. 13.7). Доказательство Гёделем теоремы о неполноте стало фундаментальным поражением логицистской программы Фреге — Рассела; при этом доказательство было сформулировано в ядре той самой группы, в которой данной программе следовали в большей мере, чем где-либо еще в мире. Работа Гёделя стала результатом сетевого смешения, составившего сам Венский кружок; это был случай творчества через наложение оппозиций. В области наиболее фундаментальных вопросов, которая и является почвой философии, творчество представляет собой плотно сфокусированный конфликт, пробивающийся, подобно буру, в суть проблем, пока не обнаруживаются глубокие изъяны; вокруг них происходит реконцептуализация. В этом смысле Поппер прозорливо усмотрел в фальсификации нечто.центральное для интеллектуальной жизни — возможно, не в подлинной истории научных открытий, но в мире окружавших Поппера философов.