<<
>>

См. ниже, § V и VI. § 3. ПЕРЕНОС ОСНОВ ФОРМАЛЬНОЙ ЗНАЧИМОСТИ НА УРОВЕНЬ СИНТАКСИСА II СЕМАНТИКИ: БИФУРКАЦИИ СЕМАНТИЧЕСКОЙ ДОКТРИНЫ

Семантика формальных языков устанавливается на перекрестке многочисленных дорог. Мы следовали одной из них, основанной на идеях Фреге, выдвигая на первый план вопрос о порождении математических понятий или, во всяком случае, об их логической реконструкции. К многочисленным следствиям семантики ведет другой вопрос — о включении математических выражений в дедуктивную систему п критериях их значимости. Ита тема, впервые возникшая в анализе Фреге, приобретает свои особые черты в теоретической и мстатеоретической концепции Гильберта и затем уступает место проблематике современной семантики (об этом этапе необходимо упомянуть, чтобы попять последующее развитие).
Фактически анализ Гильберта лежит вне прямых интересов семантики, поскольку он устанавливает условия формальной значимости па уровне неинтерпретирован- ных языков. Однако он упорядочивает п область семантического исследования, причем делает это различными способами. В центре его размышлений о значимости высказываний один главный объект — формальная структура самих языков, и это прямо противоположно интуиционистским представлениям Брауэра, в которых условия значимости переносятся на построение «объектов» или содержание выражений. Но, с другой стороны, он открывает область проблем, в которую проникнет семантический анализ, поднимая вопрос об отношениях между синтаксисом п его интерпретацией, а также требуя, чтобы формальные языки находились под контролем оправдывающих их метаязыков. Существенная черта, отличающая аксиоматическую концепцию Гильберта,—- это перенос выводов об общезначимости предложений на формальную структуру систем, в которых они сформулированы. Его исследование, начавшееся с вопроса о предложениях общей геометрии и продолженное фундаментальной темой о предложениях и теории множеств, убедительно раскрыло функциональную по сути своей природу аксиоматических систем. Аксиомы ни в коей мере не являются утверждениями, содержащими истину или очевидность: они образуют со- вокуппость выражений — независимых, взаимно непротиворечивых и достаточно полных для вывода всех формулируемых внутри системы положений. Именно сама эта гарантия непротиворечивости, утверждаемая системой, устранит веяную непоследовательность, возникающую в ходе размышлений над парадоксами. Тем самым концепция некоей свойственной математическому изложению логики, которая была внутренне присуща цермеловскому использованию аксиоматического метода, обретает всю полноту самоосознания: математические теории, возникшие, в сущности, на основе языка множеств, надежно обеспечивают свою собственную значимость и тем самым освобождаются от необходимости поиска внешних гарантий в общей логике предложений или в их референциальных связях. Необходимо, однако, чтобы критерии формальной непротиворечивости и полноты были достаточно надежными, и в этих целях аксиоматические формы, сводимые к их синтаксическому выражению, должны стать объектом метаматематического изучения, удостоверяющего, что правила их записи удовлетворяют множеству логических условий. Таким образом, оказывается, что гильбертовское учение выдвигает проблемы, связанные с разработкой современной семантики и в более общем смысле — металогики, и открывает поле для дискуссий. Оно устанавливает очень четкое различие между формальными условиями значимости выражений и теми интерпретациями, на которые они опираются, причем оно усиливает этот дуа- лиЗхМ, утверждая независимость первых от вторых.
Оно намечает путь размышления, ведущий от языков к метаязыкам, и считает возможным завершить его, полагая, что метаматематические интуитивные или финитистские средства, заимствованные им из арифметики или булевой алгебры, достаточны для изучения базовых языков математики. Этот, если угодно, «методологический вызов» был замечен, но отвергнут современной семантикой, хотя без применения гильбертовскоп программы нельзя было бы установить и ее собственные пределы. Внутренние пределы исходной программы обозначились в метаматематических работах гильбертовской ориентации. Мы имеем в виду «ограничительные положения» Геделя. Если предположить, что мы строим строго определенную систему, с помощью которой можно было бы формализовать арифметику (а значит, постепенно и ®сю математику), систему, аксиомы и правила вывода которой могли бы быть перечислены, можно доказать, что такая система неспособна собственными средствами обеспечить свою непротиворечивость; более того, если бы эта непротиворечивость была доказана, мы получили бы формулы, построенные в ее языке и относительно которых па основании этой дедукции нельзя было бы заключить ни об их истинности, ни об их ложности44. Следовательно, если формальная непротиворечивость теории п может быть установлена, то лишь с помощью средств языка, более мощного, чем ее собственный, хотя и порожденного фипитистекими средствами. К тому же если нужно непосредственно удостоверить непротиворечивость или последовательность формального языка, то придется прибегнуть к семантическим средствам, которыми рас/полагают модели этого языка. Это двойное ограничение оказало большое влияние на логику математики. Однако независимо от этих технических моментов положения формализма Гильберта требовали разъяснений, которые должны были привести к углублению семантических проблем. Отказ от рассмотрения «содеря^а- ний» при формальной трактовке языков привлек внимание к особенностям неинтерпретированного синтаксиса и тем (без сомнения, многочисленным) отношениям, которые связывают синтаксис с его интерпретациями. Учитывая то наиболее непосредственное отношение между знаками и означаемыми понятиями, которое допускает семантика Фреге, можно понять и более широкое, относительно «эмпирическое» отношение между теорией и некоторыми объектами, взятыми из обширной области интуиции и практики. Следовало бы вместе о тем отметить значительную строгость связей между формой син- takctica и структурой тех реально Существующих объектов, которые служат ему моделью. Вероятно, что «отвлечения», требуемые формализацией, будут иметь весьма разнообразные последствия. Подчеркнем особо отношение между аксиоматическим синтаксисом и его моделями: это отношение занимает центральное место во всяком определении семантики, которое строится на требуемом математической логикой уровне точности и к тому же непосредственно входит в учение о доказательстве. Кроме того, заметим, что именно вокруг понятия «модели» сосредоточивались многие понятия и проблемы математической эпистемологии. В строгом математическом смысле слова модель есть множество сущностей, наделенных структурой, посредством которой они удовлетворяют выражениям и правилам формальной аксиоматики. Такое отношение существует, например, между законами формализма теории групп и множеством объектов той или иной алгебры, которые соблюдают эти законы45. Но это логическое положение о соответствии не лишено скрытых эпистемологических следствий. Можно сразу же заметить, что оно восстанавливает в правах понятие «эксплицитных определений», посредством которых языковые символы полу- чают некий предметный смысл.
Утверждалось, не без некоторого упрощения, что требование аксиоматической замкнутости, выдвинутое Гильбертам, сводит всякое определение к положению «имплицитного» определения, где смысл терминов или выражений определяется лишь их употреблением или связями, которые устанавливают границы этого употребления. Это «внутрисистемное» условие определения воздвигает преграду против взятых не из области математики референтов или даже против очевидных допущений, имевших место в аксиоматике Фреге. Но оно не исключает той формы технического объяснения, при которой обоснование аксиоматики включает правила образования множества объектов, подчиняющихся ее положениям: таким образом, оно очерчивает уровень «моделирования» этой аксиоматики 46. Это означает также, что категория «структуры» вновь естественно появляется, чтобы служить опорой этой связи между синтаксисом и его различными ?моделями или интерпретациями. На все объекты, которые служат моделями одной и той же теории, налагаются некоторые условия изоморфности; структуры вполне можно было бы разместить в позиции, промежуточной между языками, в которых формулируются их черты или упорядочиваются их свойства, и предметамипмоделями, которые их иллюстрируют. Необходимо будет — а это, как мы увидим, вовсе не разумеется само собой — придать определенный эпистемологический статус этому понятию, выражающему структурную общность. Прежде чем попытаться кратко проанализировать возможные интерпретации этих ключевых понятий, обратим внимание на то, каким образом процедура моделирования и структурирования действует в ходе построения аксиоматик, а порой и в доказательстве их общезначимости. Любая конкретная теория, интерпретирующая свои объекты с помощью квазиинтуитивных понятий, может послужить тем источником, из которого, через абстракцию, извлекается формальная и тем самым доступная аксиоматизации структура. Попятно, однако, что при движении в обратном направлении эта структура допускает вторичные реализации, которые строят уже в повой области объектов новую модель, соответствующую формальной теории. Таким образом, между моделями и объясняющими их теориями существует опистемическая циркуляция на основе структурного изоморфизма47. Однако еще более примечательна роль моделирования в подходах к доказательству, которое, с точки зрения современных логиков, необходимо предполагает семантическую концепцию истины. Эта роль по сути своей вполне соответствует обычной практике математика, причем ее право на существование и пределы значимости выявлены логическим анализом. Посредством моделирования проверяются логические свойства теории, непротиворечивость, надежность которой трудно проверить в ее собственных границах: это модельное соответствие могло бы действовать и в случае абстракт ной или «искусственной» теории, относительно которой установлено, что она скопирована о более конкретной, признанной теории — как в случае проекции неевклидовых геометрий на область объектов евклидовой геометрии; это соответствие играет роль также и тогда, когда производные теории сводятся к более фундаментальной и более надежной теории — как в случае с аналитической моделью объектов и дедуктивной системы геометрии. В известном смысле эта практика отошла на задний план в ходе развития программы Гильберта. Эта программа исходит из возможности доказать формальную непротиворечивость фундаментальной части математического языка, позволяющую аксиоматизацию его в целом. Но само признание существенной роли моделирования тем самым оказалось лишь отсроченным. Эта роль должна была найти свое новое подтверждение с того момента, когда упомянутые нами ограничительные теоремы выявили невозможность обосновать внутренними средствами непротиворечивость языка — одновременно и формальную, и фундаментальную. Есть все основания считать длительным соперничество между этими двумя методами: тем, который формально устанавливает непротиворечивость синтаксиса, и тем, который верифицирует его, показывая, как множество следствий, вытекающих из аксиом системы, воспроизводится во всякой его модели. В § 4 настоящей главы при изложении взглядов А. Тарского мы увидим, что этот последний метод получает свое полное обоснование в результате уточнения самого понятия истины. Во всяком случае, этот метод предполагает очень точное воспроизведение формальных структур в тех структурах, которые их интерпретируют; он дает новый критерий для установления логической последовательности или непоследовательности. Но эта практика обязывает логика заново объяснить понятия структуры и смысла. Обоснование аксиоматических языков и у самого Гильберта не свободно от рационалистических предпосылок, по крайней мере имплицитных: автономность фор мального наводит на мысль о существовании законов чистого мышления, отделимых от закономерностей «состояния вещей», взятых в качестве примера. Вообще главная традиция аксиоматики состоит в том, чтобы подчеркнуть существование идеальных объектов — самих «структур», то есть инвариантов, допускающих определенные изменения в процедурах их аксиоматического представления48. Но когда статус аксиоматик п их связь с моделями были переосмыслены в духе лингвистического позитивизма, тогда перспективы с необходимостью сместились: возникла проблема более полного объединения структур и форм выражения, и, кроме того, условия значения оказались объектом номиналистической редукции. Исследования Р. Карнапа в области метаматематики ставят прежде всего целью более полное категориальное объяснение. Устанавливается точное разграничение синтаксического и семантического планов, между которыми и распределяется анализ выражений. Кроме того, сохраняется разграничение между «эмпирическим» и «структурным» слоями обозначаемого: основой последнего становится «интенсиональная» способность языков, в силу чего сам он попадает в зависимость от их аксиоматизации. Категории синтаксиса и семантики заимствуются из общей лингвистики, но в анализе формальных языков они находят область эффективного применения. Использование самого термина «синтаксис» указывает на особенности, которые обнаруживают формальные системы в птльбер- товоком смысле: говоря о «логическом синтаксисе», имеют в виду правила композиции символов и выведения выражений, реализуемые на уровне линейной упорядоченности, в направлении от исходных формул, включенных в алгоритм, к порожденным на их основе формулам. Однако Карнап, принимая некоторые априорные ограничения синтаксического порядка, считает необходимым присоединить к нему и семантическое измерение А. После того как выделены логические константы, создающие дедуктивный костяк языка, следует найти место и внелогическим константам, предикатам или операторам, которые, собственно, и являются обозначаемыми данной теории, а кроме того, указывают собственную сферу подлежащего интерпретации, когда рассматриваются модели теории. Утвердиться на уровне семантики — значит ввести то, что было выше названо «явными определениями», то есть указать способ построения объектов, удовлетворяющих определенным требованиям, налагаемым теорией, и аксиоматически фиксировать существенные характеристики последних. Следовательно, «металогическое» изучение систем, пришедшее на смену метаматематическому анализу Гильберта, расширит поле применения: оно возьмет под контроль непротиворечивость чисто синтаксических систем, но выявит также и семантику знаков, их соответствия с означаемыми объектами и содержание понятий теории. Именно таковы общие методологические положения, которые приобретают апистемическую ценность в резуль- 49 тате дайной им интерпретации. Отметим две существенные черты карналовской металогики: с одной стороны, «интенсиональный» статус, приобретаемый порождающими понятиями теории, и, с другой стороны, связь, в которую они (наряду с синтаксическими составляющими) вступают с областью соглашений, устанавливающих системы, нак таковые. Лингвистика освещает общее значение термина «интенсиональный»: смысл некоторых терминов можно зафиксировать лишь обозначением их объема, указывая их виелингвистические референты; однако имеются и такие термины, смысл которых определяется посредством установления их эквивалентности другим терминам того же самого языка, и это будет интенсиональный путь. Однако Карнап полагал, что математические сущности, которые соответствуют, если угодно, идеальным объектам, не имеют референциального смысла; смысл вводится через определение свойств п связывающие их аксиомы. Следовательно, «числом» будет вся совокупность сущностей, подчиняющихся некоему закону порядка композиции и удовлетворяющих требованиям отношения равенства. Впрочем, установление такого критерия, как критерий «числового равенства», основывается на принятии аксиоматических правил, которые необходимо особо уточнить для всех категорий чисел 1. Следует отметить здесь полное единство между тем, что вообще можно назвать «математическими структурами», и полем применения интенсиональных понятий. В самом деле, структуры — это области объектов, подчиненных определенным законам, но детерминация этих законов зависит от того или иного выбора, согласующегося с использованием тех явных определений и тех семантических правил, которые принадлежат интенсионально- 50 му порядку. Таким образом, семантика Карнапа, с одной стороны, сводит математические объекты к языковой сфере, но, с другой стороны, удерживает их за пределами чистого синтаксиса, не относя их в силу этого к «эмпирическому» порядку референтов. Впрочем, уже сама цель — вычленение интенсиональных контекстов — требует формальной «замкнутости» теоретических языков. Эта замкнутость требуется вообще для того, чтобы снабдит к языковой синтаксис устойчивым кодом; ио она становится необходимой вторично, если нужно наделить язык интенсионально определяемыми понятиями. Здесь имеет смысл подумать о пределах применимости того принципа, который сам Карнап назвал принципом «толерантности» или «конвенциональ- ности». Творец математического языка полностью распоряжается принимаемыми им конвенциями, и этим подчеркивается расстояние, отделяющее позитивиста от концепции аксиоматики Фреге или даже Гильберта: невозможно ни скопировать математическое выражение с трансцендентных сущностей, ни даже помыслить о его унификации на универсальных основах51. Но зато, когда язык установлен на каком-нибудь уровне абстракции, описок конвенций должен быть ограничен, что исключает случай неполноты кодов или двусмысленности определений. Можно сблизить принципы толерантности и замкнутости, заметив, как усиливается это свойство конвен- циональности в построении языка: Карнап отдает скорее предпочтение идее нередуцируемой множественности правильно построенных языков, нежели допускает возможность совпадения частично неопределенных языков. Именно эти жесткие положения карнаповской металогики могли вызвать и действительно вызвали споры о степени возможной завершенности языка, о возможности эффективного ограничения интенсиональной области понятий. В целом эти споры пронизаны духом более радикального номинализма. Номинализм без труда оспаривает существование математических языков, структура которых построена по аксиоматическим предписаниям. Достаточно перейти к куайповской интерпретации логики множеств, уже упомянутой во втором параграфе, чтобы попять, что она выходит за рамки карнаповской концепции. Правила этой логики — от их элементарной стадии, надежно обеспеченной нормами предикации, до их дополнительной стадии, на которой действуют аксиомы и правила абстрактных классов,— опираются на процедуры, оправданные практикой и сформировавшиеся в соответствии с ее потребностями. Аксиоматические конвенции сохраняют свою связь с моделями, которые им предшествуют, и требованиями, к которым они приспособлены. «Предписывающий» подход навсегда сохраняет свое единство с «дискурсивным» подходом, поскольку соглашения, в которых фиксируются принципы дедукции, взяты на этапах действительного становления теории52. Этот обмен между этапами формализации и этапами исследования удерживает теоретические языки под знаком непреодолимой относительности. Но центр тяжести в споре переносится в конце концов на сами источники математических понятий и предложений. У номиналистических учений есть повод отказаться от области интенсиональных понятий или определений или от уготованного этой области промежуточного положения между правильно построенным синтаксисом, с одной стороны, и теми содержаниями, которые обозначаются и подкрепляются его референтами, — с другой. Научный язык, рассматриваемый в номиналистической перспективе, не способен устанавливать свои понятия, перенося их на тот уровень абстракции, который превышает допустимую методом правильного обобщения меру. Таким образом, оказывается, что частичный «формализм» Карнапа весьма далеко отстоит от «номинализма» Куайна или Тарского. Однако различие эпистемологий влияет и на само понятие структур и моделей: как мы видели, учение об интенсиональное™ обеспечивает такой способ существования структур, который относительно независим от способа существования их моделей. Напротив, структура в строго экстенсиональном учении — это не что иное, как инвариант соответствия между моделями, причем формальный язык призван эксплицировать законы этого соответствия. Таким образом, хотя и Карнагг, и Тарский делают акцепт на семантических гарантиях общезначимости математических выражений, они оказываются разделенными соответственно интенсиональной и экстенсиональной интерпретацией этой общезначимости. В первом из подходов язык развертывает истинные предложения об объектах, свойства которых упорядочены определенным понятием, в силу чего он и является математическим языком. Так, например, математика выявляет импликации понятия «равенство», которое приписывает объектам эквивалентность сообразно с некоторыми экстенсивными или метрическими свойствами. Однако с точки зрения модельного подхода Тарского понятие равенства не может быть первичным: оно является результатом извлечения, посредством самого формализма, реляционных свойств симметрии или транзитивности из конкретных связей, служащих моделями; таковы, например, конгруэнтность сегментов или эквивалентность совокупностей. В этом случае существование математического языка сливается с процессом формализации и моделирования, который он способен осуществить; это возвращает нас к положениям номиналистической эпистемологии. Итак, сами принципы математической семантики, снизывая между собой форму и содержание, отмечены некоей двусмысленностью, вследствие чего их и соотносят либо с интенсиональными, либо с экстенсиональными мерками. Мы же должны теперь лучше уяснить аргументы, сходящиеся к номиналистической интерпретации математического рассуждения.
<< | >>
Источник: Мулуд Н.. Очерк семантических предпосылок логики и эпистемологии. 1979

Еще по теме См. ниже, § V и VI. § 3. ПЕРЕНОС ОСНОВ ФОРМАЛЬНОЙ ЗНАЧИМОСТИ НА УРОВЕНЬ СИНТАКСИСА II СЕМАНТИКИ: БИФУРКАЦИИ СЕМАНТИЧЕСКОЙ ДОКТРИНЫ:

  1. Занятие 4 Реконструкция субъективного семантического пространства психических состояний Методы исследования семантических пространств психических состояний
  2. НИЖЕ РЫНКА
  3. Семантика городской среды
  4. 15.2. Метод семантического радикала
  5. НИЖЕ НУЛЕВОЙ ОТМЕТКИ
  6. Синтаксис и интонация
  7. Лебедев Александр Александрович. ПОЭТИЧЕСКИЙ СИНТАКСИС П. А. ВЯЗЕМСКОГО. Диссертация, Петрозаводский государственный университет., 2016
  8. ПОЭТИЧЕСКИЙ СИНТАКСИС
  9. Лекция 19 СТИЛИСТИКА. ПОЭТИЧЕСКИЙ СИНТАКСИС
  10. Мулуд Н.. Очерк семантических предпосылок логики и эпистемологии, 1979
  11. 25. Семантическая вселенная В.В. Налимова
  12. ФИЛАТОВА Вера Борисовна. СЕМАНТИКА И ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ЛОКАТИВНО-ПОСЕССИВНЫХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С МЕСТОИМЕННО-ИНФИНИТИВНЫМ ОБОРОТОМ, 2014