5.8. Этап восьмой. Экспериментальное исследование систем

Легко воспринимается, что эксперимент нужен для совершен­ствования модели. Важно понять также, что эксперимент невозмо­жен без модели. Они находятся в одном цикле (рис. 5.11). Однако вращение по этому циклу напоминает не вращающееся колесо, а ка­тящийся снежный ком — с каждым оборотом он становится все боль­ше, весомее.

Рис. 5.11

Эксперимент и измерения. Разнообразие экспериментов мож­но упрощенно описать их классификацией. Если мы не вмешиваемся в ход событий, а только регистрируем, что происходит на входах и вы­ходах интересующей нас системы, то опыт называется пассивным эк­спериментом (или наблюдением). Если же мы не только созерцаем (и фиксируем) происходящее на входах и выходах, но и воздейству­ем на некоторые из них (одни намеренно поддерживая неизменны­ми, другие — меняя должным образом), то опыт называется актив­ным (или управляемым) экспериментом. Как и любая классификация, эта лишь приближенно описывает реальность. В абсолютно чистом виде эти два эксперимента невозможны: активный — потому, что все входы и выходы контролировать невозможно (некоторые даже неиз­вестны), пассивный — потому, что всякое измерение и наблюдение — взаимодействие, и вовсе не вмешаться в получаемый результат нельзя. Ближайшими реальными, близкими к идеальным, экспериментами являются активный лабораторный опыт и пассивные наблюдения в астрономии, истории, археологии, психологии и т.п.

Еще одна важная классификация — деление экспериментов на прямые и косвенные. Е[рямой эксперимент — это наблюдение непос­редственно той характеристики, которая нас интересует (например, привес молодняка можно измерять ежедневным взвешиванием). Иногда интересующая нас характеристика не поддается прямому из­мерению, но есть наблюдаемая величина, связанная с нею, из наблю­дений которой можно извлечь нужную нам информацию; это и будет косвенное наблюдение (например, по некоторым действиям матери можно судить о силе материнской любви, по ценам — о стоимости, по артериальному давлению — о состоянии сердечно-сосудистой систе­мы). Деление измерений на прямые и косвенные важно потому, что их надо обрабатывать по-разному, даже если они описаны в одинако­вой шкале.

Осуществившиеся результаты эксперимента фиксируются в ви­де протокола наблюдений. Эта запись — не сам эксперимент, а описа­ние его результата, т.е. его модель. Е1онимая термин «язык» широко,

можно сказать, что протокол наблюдений — это запись результатов эксперимента на некотором языке. Разнообразие экспериментов та­ково, что одним языком не обойтись; существует несколько таких языков, называемых измерительными шкалами. Следует ознакомить­ся с ними, так как в практике придется иметь дело с обработкой дан­ных в разных шкалах, а делать это нужно по-разному для каждой шкалы. Как в любом языке, неправильно построенная фраза теряет смысл, так и неправильно преобразованные данные эксперимента не несут ожидаемой информации.

Измерительные шкалы. На примере измерительных шкал мож­но проследить явление, характерное для всех языков (вспомните об­суждение языковых моделей в главе 3): начиная с универсального, но малоинформативного языка, можно, включая, присоединяя к нему дополнительную информацию, получать все более и более информа­тивные языки, вплоть до наиболее математизированного.

1. Шкала наименований (номинальная, классификационная). В разделе об абстрактных моделях главы 3 отмечалось, что простей­шей моделью разнообразия является классификация.

Фамилии, диагноз заболевания, номера домов, автомобилей, игроков спортивных команд, названия цветов, адреса и т.д. — приме­ры наблюдений в номинальной шкале.

Пусть введено & классов: А_и А₂, ..., А_к (А₃ — имя х-го класса). Пусть поочередно наблюдаются объекты х_ь х₂, ..., х_ы (их совокуп­ность называется выборкой, Ы— объем выборки). Относительно каж­дого х_{ (г =1,Ы ) делается заключение, к какому из классов А_ь ..., А_к он относится (х_{ е А₃). Итог и будет протоколом наблюдений.

Поскольку единственным отношением, определяющим шкалу, является отношение эквивалентности (объект либо принадлежит к дан­ному классу, либо нет), то единственной допустимой операцией над данными в этой шкале является проверка на совпадение. Эта опера­ция изображается с помощью символа Кронекера 4>= {1: х., = Хр 0: х, = = л,}, т.е. совпадение двух разных наблюдений (принадлежность к од­ному классу) обозначается единицей, несовпадение — нулем. С резуль­татами этой первичной обработки можно выполнить вторичную обра-

N

ботку. Например, число наблюдений одного класса с л:; равно п_у = ^, делать нельзя — результат не будет иметь силы. Например, если вы знаете, что на улице сто домов, то неправильно говорить, что географическая середина улицы около 50-го.

2. Шкала порядковая (ординальная, ранговая). Если ввести меж­ду классами номинальной шкалы дополнительное отношение поряд­ка (предпочтения; обозначим его символом ™), получится новая, уси­ленная в информационном смысле шкала, называемая порядковой или ординальной.

Е1римерами наблюдений, регистрируемых в порядковой шка­ле, являются: армейские и чиновничьи звания, школьные оценки, магнитуда землетрясений (шкала Рихтера), твердость минералов (шкала Мооса), сила ветра (шкала Бофорта), призовые места в со­ревнованиях.

Допустимое преобразование 4> (^сР^азУ заметим, что допустимые преобразования для более слабых шкал допустимы и в более силь­ных, но не наоборот) теперь дополняется операцией проверки пред­почтения Су. Су = {1: x_t >xß 0: x_t < Xj}. Итак, первичная обработка дан­ных в порядковой шкале состоит из двух допустимых преобразований: dy и Су. Е1рименение других операций приведет к недоразумениям. Е1римером служит безуспешная попытка учитывать «средний школь­ный балл» при поступлении в вузы. В этом неудачном эксперименте баллы рассматривались как числа и складывались. Операция сложе­ния в порядковой шкале недопустима и дает бессмысленный резуль­тат. Эксперимент пришлось отменить.

С результатами первичной обработки (двоичными числами) можно производить подходящую вторичную. Например, можно ус­тановить номер наблюдения в упорядоченном ряду всех наблюде-

N

ний: . Этот номер называется рангом i-го объекта (отсюда

j=1

происходит еще одно название для данного типа шкалы —ранговая). Возможны и другие использования чисел 4> и С_гу кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), появляется возмож­ность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом, ближайшим к числу — ), можно разбить всю выборку на части в лю­бой пропорции, находя выборочные квантили любого уровня р, О —р— 1 (т.е. наблюдения с рангом R_b ближайшим к величине Np), мож­но определить коэффициенты ранговой корреляции между двумя се­риями порядковых наблюдений (r_s Спирмэна, т Кендалла), строить другие статистические процедуры.

Несколько дополнительных замечаний о порядковых шкалах.

Разновидностями предпочтений являются упорядочивание при наличии стандартных опорных образцов (например, шкала Мооса основана на десяти конкретных минералах разной твердости), при нечетко заданных образцах (шкала силы ветра, школьные оценки), при отсутствии образцов (спортивные соревнования, музыкальные конкурсы).

Кроме шкал совершенного порядка, однозначно определяющих предпочтения (нумерация очередности, воинские звания и т.п.), су­ществуют шкалы квазипорядка, когда некоторые элементы упорядо­ченного ряда неразличимы (мать = отец > сын = дочь; дядя = = тетя < брат = сестра), а также шкалы частичного порядка, когда имеются несравнимые между собой пары классов (например, в соци­ологических исследованиях субъект иногда не в состоянии оценить, что ему больше нравится — клетчатые носки или фруктовые консер­вы, велосипед или магнитофон, читать или плавать и т.п.).

В порядковых шкалах не существует понятия расстояния меж­ду классами, поэтому любые преобразования, сохраняющие поря­док («монотонные») не влияют на информативность данных. (Можно рядовым повесить на погоны звездочку и всем вышестоя­щим чинам добавить по звездочке — будет красивее, но суть не ме­няется.)

3. Шкала интервалов (разностей). Если упорядочение объек­тов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение станет заметно более информативным, чем в шкале порядка. Естественно выражать все расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей

длине шкалы. Это означает, что объективно равные интервалы из­меряются одинаковыми отрезками шкалы, где бы они на ней ни рас­полагались (рис. 5.12).

Рис. 5.12

В итоге оказывается, что у нашей новой шкалы — шкалы интер­валов — начало отсчета и единица длины интервала произвольны Ли

(—= const).

Ат

Примеры наблюдений, фиксируемых в шкале интервалов:

— температура (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Кельвина);

— летоисчисление (от Рождества Христова, от переезда Мухам­меда в Медину — на 622 года позднее, от императорской династии в Китае — на 5000 лет раньше);

— высота местности (от уровня моря; Голландия почти вся име­ет отрицательную высоту).

Единственной новой допустимой операцией первичной обработ­ки над данными в новой шкале является вычитание, т.е. определение интервала между двумя отсчетами. Например, если сказать, что тем­пература увеличилась в два раза при нагреве от 9° до 18° по Цельсию, то для привыкших пользоваться шкалой Фаренгейта это будет зву­чать весьма странно, так как в этой шкале температура изменится от 48,2° до 64,4°. Операция деления для данной шкалы недопустима. Только интервалы имеют смысл настоящих чисел. Над ними (вто­ричная обработка) уже можно выполнять любые арифметические действия, а также статистические и другие процедуры.

4. Шкала циклическая (периодическая, разностей). Есть специ­альный вид интервальной шкалы, который характерен тем, что она замкнута на себя, т.е. после прохождения определенного периода ее значения повторяются. Примерами являются: угловые направления из одной точки (шкала компаса, роза ветров), время суток (цифер­блат часов), фаза периодических колебаний (в градусах или радиа­нах), географическая долгота (в градусах). Все сказанное об интер­вальной шкале относится и к циклической. Чтобы не возникло

недоразумений, отметим, что сложение часов — не сложение самих временных отметок (что является недопустимой операцией), а сло­жение временных интервалов, т.е. вторичная обработка. Надо еще помнить об условности начала отсчета (например, при переходе на зимнее время, при пересечении линии смены дат и т.п.). Данную шка­лу еще называют шкалой разностей, так как она инвариантна к сдви­гу на интервал, называемый периодом шкалы.

5. Шкала отношений. Введение еще одного определяющего от­ношения придает дополнительное усиление измерениям. Потребу­ем, чтобы не только отношения величин одного интервала в разных шкалах были константой, где бы этот интервал ни находился

, что характерно для шкалы интервалов, но чтобы и отно­шения значений одной и той же величины, измеряемой в разных шка­лах, тоже были константой, какое бы место эта величина ни занимала

в реальности I(рис. 5.13). Получаемая шкала именуется

шкалой отношений. При этом, хотя единица измерений остается про­извольной, нулевая отметка становится абсолютной, несдвигаемой.

Примерами величин, природа которых соответствует шкале от­ношений, являются:

— длина (измеримая в см, футах, аршинах, км и т.д.);

— вес (кг, фунты, пуды, тонны и т.д.);

— объем (м³, баррели, литры и т.д.);

— деньги (рубли, доллары, евро, йены и т.д.).

Данные в шкале отношений в еще большей степени становятся числами: в первичной обработке с ними имеют смысл любые ариф­метические операции, то же можно делать и во вторичной.

4. Абсолютная шкала. Предыдущие «числовые» шкалы (интер­вальная и отношений) имели степени свободы: интервальная — две (произвольный нуль и единицу), отношений — одну (фиксирован­ный, несдвигаемый нуль и произвольную единицу). Характерно, что «числовые»возможности данных в этих шкалах были ограничены: в интервальной шкале — операцией разности, в шкале отношений — арифметическими операциями.

Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный нуль, и абсолютную единицу. Эта шкала не имеет степеней свободы, она единственна, уникальна. Именно такими качествами обладает чис­ловая ось, которую естественно назвать абсолютной шкалой. Важная отличительная особенность абсолютной шкалы состоит в том, что зна­чения данных в ней не имеют размерности, наименований, ее едини­ца абсолютна («штука»). Это придает данным в этой шкале особый статус (в английском языке их называют риге пишЬегь — чистые чис­ла) — с ними можно производить такие операции, которые недопус­тимы с поименованными числами. (Можно записать 2 см², но бес­смысленно 3^2см.) Их можно употреблять в качестве показателя степени, основания логарифма, над ними допустимы любые триго­нометрические и другие трансцендентные преобразования.

Числовая ось используется как измерительная шкала при счете предметов, а как вспомогательное средство присутствует во всех ос­тальных шкалах. Внутренние свойства числовой оси, при всей кажу­щейся ее простоте, разнообразны и сложны — теория чисел не исчер­пала их до конца. А некоторые безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые и на самой оси, и в природе, вызывают изумление и восхищение: простые числа, числа Фибоначчи, гармонические от­ношения звуков, размеров; законы теории размерности и подобия; квантовые закономерности и т.д.

Итоговая таблица базовых измерительных шкал. Обсужден­ные выше шесть измерительных шкал не исчерпывают многообра­зия языков, на которых можно говорить о разнообразии реальности. Но они являются базовыми: остальные шкалы — производные от них, учитывающие некие сторонние, побочные, специфические условия. Для завершенности изложения важных особенностей базовых шкал приведем их сводную таблицу (табл. 5.2).

О других шкалах. Измерительная практика в разнообразных видах деятельности привела к целесообразности введения шкал, от-

личающихся от базовых. Учитывая предназначенность данного тек­ста профессионалам любой специальности, ограничимся кратким перечислением наиболее употребительных модификаций измери­тельных шкал, чтобы при желании можно было найти более подроб­ную информацию.

Очень распространены измерения непрерывных величин. Их значения поневоле фиксируются с конечной точностью, округленно. Особый случай представляют шкалы, когда конечное число разря­дов определяется не разрядностью регистрирующего устройства, а классом точности измерительного устройства, когда увеличивать число разрядов бессмысленно. Оба типа шкал, в отличие от целочис­ленных дискретных шкал, называются дискретизованными. Обработ­ка данных в дискретизованных шкалах имеет ряд особенностей.

Еще один практически важный класс шкал — нелинейные. Ин­тервалы этих шкал не отвечают условиям аддитивности, т.е. «цена» единичного деления такой шкалы зависит от того, в какой части этой шкалы находится это деление. Примерами могут служить квадратич­ная, логарифмическая, экспоненциальная шкалы, «вероятностная бумага», многие номограммы.

Предпринимаются попытки заполнить пробел между «слабыми» (номинальной и порядковой) и «сильными» (числовыми) шкалами: шкала гиперупорядочения, шкала Черчмена — Акоффа.

В принципе каждый исследователь может построить собствен­ную измерительную шкалу для лучшего представления результатов. Очень важно подчеркнуть, что каждая шкала должна сопровождать­ся перечнем допустимых операций первичной обработки, который специфичен для данной шкалы.

До сих пор речь шла о шкалах, основанных на четкой классифи­кации: элемент либо принадлежал к классу, либо нет. Реальная жизнь привела к необходимости рассмотрения случаев, когда требование жесткой эквивалентности не выполняется, т.е. когда элемент может одновременно принадлежать к двум и более классам. Для описания таких ситуаций разработаны два подхода.

Первый основан на теории расплывчатых (нечетких) множеств. В этой теории принадлежность к классу описывается функцией при­надлежности, которая характеризует степень уверенности, с которой мы относим объект к классу. Например, в какой степени сорокалет­ний человек относится к классу «молодые люди», а в какой степени к «немолодым»? В этой теории измерительной шкалой является шка­ла значений функции принадлежности.

Второй подход состоит в учете того, что распределения вероят­ностей классифицируемых переменных могут перекрываться. При­нимая решение о принадлежности величины к тому или другому клас­су, мы рассекаем область значений переменной на четкие классы, в результате чего появляются вероятности ошибок (рис. 5.14). Обра­боткой случайных переменных занимается развитая область знаний — математическая статистика.

Рис. 5.14

При осуществлении эксперимента получаемый информацион­ный «урожай» зависит от ряда факторов:

а) как был организован опыт, какие значения и в каком порядке придавались управляемым переменным;

б) каковы шумы, погрешности, искажения наблюдаемых пере­менных;

в) насколько справедливы предположения, заложенные в нашу модель исследуемой системы;

г) каковы способы, алгоритмы обработки полученных экспери­ментальных данных.

Значимость этих факторов различна в разных опытах, поэтому развиты специальные теории о том, как повысить качество выводов в зависимости от конкретной комбинации факторов. При необходи­мости можно обратиться к подходящей из них:

— теория интерполяции и экстраполяции;

— планирование эксперимента;

— непараметрическая статистика;

— робастные методы статистики;

— теория оптимизации;

— поиск и усиление закономерностей.

По этим ключевым словам можно найти в каталогах нужную литературу.

Зачем такие подробности? Действительно, предлагаемый текст адресован самому широкому кругу читателей: по убеждению автора, знание основ прикладного системного анализа необходимо, по край­ней мере полезно, специалистам любой профессии. Ясно, что если дело дойдет до экспериментов, измерений и обработки полученных данных, особенно в сложных условиях, то редко кто станет все это делать сам, он обратится к специалистам, чтобы получить от них го­товый результат.

Но практика показывает, что специалисты часто, пытаясь облег­чить себе задачу, пренебрегают некоторыми тонкостями анализа дан­ных, искренне полагая, что они несущественны. Типичным приме­ром является нередко применяемая «оцифровка» качественных данных — классам в порядковой и номинальной шкалах присваива­ются номера, а дальше эти номера обрабатываются не как символы, а как числа, с помощью арифметических операций. Но ведь это недо­пустимые операции для этих шкал! Другой пример — ослабление дан­ных для приведения их к однообразию. В таблице с разношкальны­ми данными сильные шкалы огрубляются до самой слабой (обычно порядковой), так что протокол эксперимента становится одношкаль­ным, что облегчает обработку. В отличие от оцифровки, здесь проис­ходит не навязывание чуждой информации, а отказ от части полез­ной. Это тоже снижает качество выводов.

Главной задачей при изложении данного этапа является напра­вить внимание пользователя услуг по проведению экспериментов на проверку того, а не случилось ли использования недопустимых опе­раций при обработке данных. Например, все числовые шкалы опери­руют цифрами. Но мы уже знаем, что цифры в шкале интервалов, отношений и абсолютной должны обрабатываться по-разному. При приемке заказа рекомендуется посмотреть, нет ли в алгоритме обра­ботки недопустимых операций.

Еще один важный момент следует иметь в виду — речь идет о сог­ласовании информационной силы измерительной шкалы с инфор­мационным потенциалом наблюдаемого явления. Чем сильнее шка­ла, тем больше «информационный урожай» с эксперимента. Поэтому каждый экспериментатор старается использовать как можно более сильную шкалу. Но ведь нельзя наблюдение с произвольно устанав­ливаемым нулем считать принадлежащим к шкале отношений. Та­ким образом, при прямых наблюдениях желательно шкалу измере­ний делать посильнее, но не сильнее самой природы явления.

Дело еще более осложняется при косвенных наблюдениях. На­блюдаемая величина, косвенно связанная с интересующим нас не­наблюдаемым явлением, может принадлежать к любой, в том числе и к самой сильной шкале; тогда как информационный потенциал самого явления может быть существенно ниже. Как обрабатывать данные эксперимента? Ответ состоит в том, чтобы при обработке косвенных данных, в сколь бы сильной шкале они ни фиксирова­лись, не употреблять операций, недопустимых в шкале, отвечающей природе исследуемого явления. Приведем один шутливый и два се­рьезных примера.

Пусть мы решили измерить силу материнской любви. Прямому измерению эта характеристика не поддается, но можно фиксировать количество поощрений и наказаний, которыми мать наделяет дитя в день. Количество шлепков и конфеток фиксируются в самой силь­ной — абсолютной (!) шкале. Гипотеза состоит в предположении, что эти величины связаны монотонно с силой любви матери к дитяти. Но если у одной мамы соответствующие характеристики лучше, чем у другой, неправомерно заключить, что она в два раза сильнее любит свое дитя; можно только сказать, что она сильнее любит, так как сила любви принадлежит к качественной, порядковой шкале.

Второй пример взят из медицины. За показатель интенсивнос­ти патологического процесса принимается скорость выпадения осад­ка при добавлении в пробирку с кровью цитрата натрия; скорость осаждения измеряется в миллиметрах в единицу времени. Эта идея основана на том, что увеличение интенсивности воспаления приво­дит к повышению содержания глобулина, что увеличивает скорость выпадения осадка. Функциональный вид этой связи неизвестен, для разных пациентов различен и нелинеен: изменение пропорции цит­рата натрия или времени осаждения приводит к непропорциональ­ным изменениям высоты осадка. Теперь пусть для одного больного лекарство А привело к уменьшению осадка (за 10 минут) с 75 до 60 мм, а для другого лекарство В — с 65 до 55 мм. И время осаждения, и вы­сота осадка измеряются в шкале отношений. Но отсюда нельзя зак­лючать, что лекарство А эффективнее, так как оно привело к умень­шению осадка на 15 мм, а лекарство В — только на 10! Интенсивность воспаления принадлежит к порядковой шкале.

Третий пример — испытание умственных способностей, при ко­тором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение те­стовой задачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в числовой шкале, но как мера интеллекта принадлежит к порядко­вой шкале.

Итак, главный пафос изложения данного этапа системного ана­лиза направлен на то, чтобы при необходимости экспериментально­го исследования системы, с которой вам приходится работать, вы, сами ли будете осуществлять эксперименты, или будете заказывать их другим лицам, проверили бы, правильно ли обработаны экспери­ментальные данные.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое «активный» и «пассивный» эксперименты?

2. Чем отличаются прямые и косвенные измерения? Как следует учитывать разницу между ними при обработке данных экспери­мента?

3. Усвоили ли вы характерные особенности базовых измеритель­ных шкал? Например, заметили ли вы, что количественные шка­лы различаются способами задания начал отсчета и единиц из­мерения?

4. Почему не следует всегда одинаково обрабатывать данные, отно­сящиеся к разным измерительным шкалам?

5. Попробуйте опознать, в каких шкалах сделаны записи в каждом столбце на странице вашей зачетной книжки.