Математика в социологии

Возможности математического анализа в физических науках не подлежат никакому сомнению. С помощью математики можно исключительно точно описывать и прогнозировать такие физические явления, как движение маятника, движение тела в свободном падении, даже движение звездных систем. Поведение человека потенциально значительно сложнее, чем самая сложная из физических систем.

Математические теории, или модели, не являются универсальными. Например, некоторые из них строго дескриптивны, другие служат основанием для прогнозов и т. д. Скажем, так называемая теория доминирования представляет собой инструмент описания. Она заключается в математическом описании группы взаимодействующих индивидов, связанных между собой таким отношением, при котором в каждой из возможных пар взаимо действующих один из них имеет власть над другим (либо доминирует над ним, либо управляет им, либо выражает свое превосходство как-то еще). Одна из разновидностей этой теории — теория соперничества, при котором каждый противостоит каждому в одиночку, причем ни одно единоборство не может перейти в союз. Такое взаимодействие, хотя оно и кажется простым!, на самом деле является очень сложной социальной организацией. Если в нее вовлечено, скажем, лишь восемь индивидов, количество возможных шаблонов доминирования оказывается равным 268 миллионам. Десять индивидов дают уже более 35X1012 различных шаблонов. В настоящее время имеется целый ряд действенных дескриптивных теорем, касающихся структур доминирования, однако знаний, на основании которых можно было бы строить прогнозы, они почти не дают.

Другой осью, на которой можно расположить математические теории, является ось «детерминизм — вероятность». В соответствии с различными детерминистскими теориями поведение отдельных элементов полностью регулируется математическими законами. Так, например, положение в пространстве, скорость и ускорение тела, испытывающего свободное падение в вакууме, можно точно рассчитать на основе соответствующих детерминирующих -законов. Разрабатываются детерминистские теории и в области социальных наук, где их пелью является объяснение таких феноменов, как последствия законов родства, обращение денег и т. д. К сожалению, эти теории редко подвергаются эмпирической проверке. Целью вероятностных теорий, напротив, является не детерминация индивидуального поведения, а описание совокупного поведения отдельных элементов. Поведение каждого элемента детерминируется такими теориями только до уровня вероятности события. Заметим, что в физике основой для вероятностных теорий служит статистическая механика.

В социальных науках они занимают значительно большее место, чем детерминистские теории. Отчасти это вопрос индивидуального выбора, однако, с другой стороны, такое соотношение между двумя типами теорий отражает взгляды на природу Вселенной и на восприятие ее чело веком, высказывавшиеся еще древними. В настоящее время социологи-теоретики склонны согласиться на том, что либо социальное поведение определяется главным образом законами, которые по своей сути являются вероятностными, либо детерминистские законы (если они вообще существуют) столь беспредельно сложны и многогранны, что анализировать их оказывается делом безнадежным.

Наконец, рассмотрим такое измерение, как время. Не' которым кажется смешным, когда время наделяется таким же статусом аналитической переменной, как масса, давление, плотность. Для них время — в лучшем случае вспомогательная переменная, подлежащая упразднению в окончательном анализе формальной теории.

Уже сейчас имеется много самых различных проблем, которые изучаются с помощью математического анализа. Процессы взаимодействия и мобильности, формирование коалиций, экономические шаблоны — вот лишь немногие из социологических явлений, математические модели которых уже построены. Судя по работам, появившимся за последнее десятилетие, математика стала применяться в социологии чрезвычайно широко. Назову лишь несколько из этих работ: «Введение в математическую социологию» Джеймса С. Коулмена («Introduction to Mathematical Sociology»), «Математические модели в социальных науках» Джона Кемени и Лоури Снелла («Mathematical Models in the Social Sciences»), «Формальные теории массового поведения» Уильяма Макфи («Formal Theories of Mass Behavior»). Диапазон математических приемов, использовавшихся в этих исследованиях, столь же широк. Несмотря на это, многие модели Достаточно просты, чтобы их могли освоить люди, располагающие не бо лее чем средними математическими навыками.

Чтобы показать возможности и границы применения математики з социальной теории, я хочу кратко остановиться па феномене социальной мобильности. Социологов давно занимают различные аспекты' этого явления, такие, как статусная мобильность, прохождение через семейный цикл, миграция. Таких аспектов много, цричем каждый из них имеет глубокое эмоциональное содержание.

Аппарат, необходимый для построения математической теории социальной мобильности, поистине прост. Другое дело — способ его применения. Теоретический подход, который я сейчас кратко обрисую, обладает прогностическим, вероятностным и временным характером. Необходимый для него аппарат включает в себя, во-первых, заранее обусловленный контингент элементов (обычно это специфическая человеческая популяция) и набор классов, или категорий, которые ученый, стоящий на позициях теории вероятности, назвал бы «состояниями природы». Эти состояния таковы, что в данной временной точке каждый элемент популяции может находиться в одном, и только одном, из них. Эти состояния, во-вторых, могут представлять собой социальные статусы, географическое положение, позиции в семейном цикле и любую другую классификацию популяций, в рамках которой их элементы могут переходить во времени из одного состояния в другое. Таким образом, при данном подходе нам требуется и единица времени, в качестве которой может выступать, скажем, календарный год.

Наконец, нам требуется два математических инструмента: вектор, или упорядоченное множество т целых чисел (где т — количество состояний природы), и матрица т2 чисел, расположенных в т рядах и т столбцах. Вектор показывает долю популяции в каждом из т состояний в момент t. Ряды квадратной матрицы P(t) показывают местоположение групп популяции в момент t—1, а столбцы — в момент і.

Таков способ переложения на математический язык и сведения к последовательному ряду матриц столь слож- кого социального явЛЬййй, К<ш мобильйость. Действительно, существо человеческих эмоций и нюансы мотивов при этом теряются, однако компенсация за такую потерю весьма значительна. Использование математического анализа для выявления будущих последствий альтернативных систем мобильности может дать такие результаты, получить которые при помощи других, менее формальных способов анализа совершенно невозможно.

Описанный нами аппарат достаточно прост.

В соответствии с правилами адекватности процедур первыми должны исследоваться те подходы, которые являются простейшими. Именно такой стратегии придерживалась группа ученых Коряелльского университета, когда десять-пятнадцать лет назад она занялась изучением мобильности рабочей силы США, точнее — изучением дв; JHHH рабочих из одного сектора промышленности (например, сталелитейного) в другой (например, угледобывающий) .

Прежде всего исследователи приняли два упрощающих допущения, которые вместе составили то, что принято называть вероятностной моделью, основанной на марковских цепях. В соответствии с первым допущением вероятность мобильности, скажем, из сталелитейной промышленности в угольную остается во времени инвариантной. Это допущение, по крайней мере для непродолжительного периода, не является некорректным. Однако границы второго допущения значительно строже: в соответствии с этим допущением предполагается, что передвижение из одного сектора промышленности в другой н© зависит от шаблонов каких-либо предыдущих передвижений.

Сопоставив свою модель с фактическими данными, исследователи обнаружили, что ее соответствие действительности довольно посредственно. Иными словами, оказалось, что второе допущение было нереалистичным: оно предполагало, что для любых двух индивидов, находящихся в одном и том же секторе промышленности, будут верны одни и те же схемы мобильности. В действительности же люди отнюдь не столь однообразны. Прошлый оіШт — вот что отличает друг от друга и ИХ, и шаблоны их мобильности.

Приняв во внимание вышеизложенное, ученые разделили исследовавшуюся популяцию рабочих на две категории: преимущественно мобильных («movers») и преимущественно немобильных («stayers»). Оказалось, что эти две категории характеризуются явно различными матрицами перехода. Подвергнув эти матрицы вторичному, уже раздельному анализу, исследователи обнаружили, что при таком подходе прогностическая способность марковской модели относительно кратковременных шаблонов мобильности значительно возрастает.

Для некоторых критиков подобные исследования — не что иное, как упражнения в практической статистике. «Где же здесь теория?» — вопрошают они. Ответим, что теория заключается именно в упрощающих допущениях модели. Высказанные в утвердительном порядке, эти допущения суть теория. В качестве таковой они должны и появляться из самостоятельного социологического контекста (а не из математики), и проверяться в нем же. В приведенном выше примере теория заключалась первоначально в двух допущениях. Первое допущение, будучи переведенным ыа «обычный» язык, предполагает, что «величина мобильности постоянна во времени». Второе — что |«вероятность мобильности индивида не зависит от каких-либо других его характеристик».

Как мы уже видели, последнее теоретическое допущение оказалось явно нереалистичным, поэтому оно и было модифицировано третьим теоретическим предположением, которое на «обычном» языке утверждает, что «существует две категории рабочих: склонных и несклонных к передвижению, и второе допущение можно считать соответствующим истине только для каждой из этих категорий в отдельности».

Недавно другая группа исследователей Корнелльского университета разработала третью часть этой теории. Начали эти ученые с рассуждения о том, что вряд ли можно так просто разделить людей на две вышеуказанные категории. Вероятность передвижения индивида из окружающей его в данное время среды зависит от бесчисленного множества факторов его с ней взаимодействия. Эта идея легла в основу их аксиомы, которую стали называть «аксиомой кумулятивной инерции».

Если употребить метафору, то в соответствии с этой аксиомой окружающую среду можно уподобить банке с клеем, который постепенно застывает вокруг каждой попадающей в него частицы. Чем дольше та или иная частица находится в банке, тем она прочнее «схватывается» клеем. На более формальном языке эта аксиома утверждает следующее: вероятность того, что индивид останется в данном состоянии природы, увеличивается с каждым моментом его пребывания в этом состоянии. Можно сказать, что аксиома кумулятивной инерции импонирует в какой-то степени с интуитивной точки зрения, отражая такие обыденные понятия, как «пускать корни», постепенно сживаться с местом или условиями, обрастая путами привычек и сантиментов. Более того, результаты предварительных эмпирических проверок аксиомы оказались весьма обнадеживающими.

Ввод этой аксиомы в марковскую модель делает математику хаотично сложной. Прежде всего время становится «двухмерным». В дополнение к традиционному учету фактора времени как истории системы данная аксиома требует его введения в расчеты и как истории отдельных элементов системы. Это в свою очередь требует не просто единой последовательности матриц перехода, а целой матрицы матриц. Математический аппарат новой модели столь сложен, что исследователям пришлось недавно обратиться за помощью, но не к психологам, а к быстрорешающим компьютерам.