ПРАВИЛА, ПО КОТОРЫМ МОЖНО С ПОМОЩЬЮ ЧИСЕЛ СУДИТЬ О ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫВОДОВ, О ФОРМАХ И МОДУСАХ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СИЛЛОГИЗМОВ

Если мы возьмем какое-либо предложение, то вместо каждого его термина, будь то субъект или предикат, будем писать два числа, одно — отмеченное знаком плюс (+), другое — знаком минус (—). Например, пусть предложение будет: «Всякий мудрый есть благочестивый». Число, соответствующее «мудрому», будет +20 — 21 \ число, соответствующее «благочестивому», будет +10 — 3. Я буду в дальнейшем называть их характеристическими числами каждого термина (притом произвольно взятыми). Нужно только, чтобы два числа одного и того же термина не имели общего делителя, потому что если вместо + 20 — 21, замещающего «мудрого», мы поставили бы числа + 9 — 6 (из которых оба делятся на одно и то же число, а именно па 3), то такие числа были бы непригодны. Вместо чисел мы можем также воспользоваться буквами, как в символическом анализе 2. Под буквами может пониматься любое число, отвечающее тем же условиям; панример, если число «благочестивого» будет +а — при этом обязательно а и b должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общего делителя. (II)

Истинное общеутвердительное предложение, например:

Всякий мудрый есть благочестивый

+ 70-33 +10-3

•i-cdh — ef +cd—е

есть такое, в котором любое характеристическое число субъекта (например, + 70 — 33) может точно, т. е. без остатка, делиться на характеристическое число с тем же знаком, принадлежащее предикату (+ 70 на + 10 и — 33 на — 3); так что, если + 70 разделить на + 10, получится 7 без остатка, если — 33 разделить на — 3, получится 11 без остатка. И наоборот, когда это не получается, предложение ложно. (III) Частноотрицательпое предложение истинно, когда общеутвердительпое не истинно. И наоборот. Например:

Некоторый благочестивый не есть мудрый.

+ Ю-3 +70-33

+ cd —е + cdh — ef

Ясно, что ни + 10 пе может делиться на + 70, ни — 3 не может делиться на — 33. Різ этих двух недостатков даже одного было бы достаточно, для того чтобы сделать истинным частноотрицательпое предложение (либо, что то же самое, чтобы сделать общеутвердительпое предложение ложным); так, если сказать:

Некоторый мудрый но есть богатый,

+ 70 — 33 +8 — 11

+ cdh ef + *-/

ясно, что + 70 невозможно точно разделить на + 8; этого достаточно, хотя —33 может делиться на —11.

Теорема 7.

Истинное общеотрицателъное предложение, например:

Ни один благочестивый не есть несчастный

+ Ю-3 +5-14

+ cd — е -\-l-cm

есть такое, в котором два числа с разными знаками и относящиеся к разным терминам (как +10 и — 14, поскольку первое имеет знак плюс, второе — знак минус,, первое взято из субъекта, второе — из предиката) имеют общий делитель (а именно + 10 и — 14 оба могут точно делиться на 2). И наоборот, когда этого нет, предложение ложно.

Теорема 2. Отсюда общеотрицательное предложение может быть обращено просто. Т. е. из предложения: «Ни один благочестивый не есть несчастный» — следует: «Ни один несчастный не есть благочестивый». Или наоборот. Потому что безразлично, как это сказать и какой термин считать субъектом, а какой — предикатом; ведь в условно истинного общеотрицательного предложения не входит упоминание о различии субъекта и предиката, но достаточно того, чтобы число с одним зпаком одного термина могло делиться на число с другим знаком другого термина, какой бы из этих двух терминов ни был субъектом или предикатом.

(V) Частноутвердительное предложение истинно, когда общеотрицательное не является истинным. И наоборот. Например:

Некоторый богатый есть вссчастпый,

+ 11-9 +5-14

+ п — р +1 — cm

потому что пи + И п — 14, ни — 9 и + 5 не имеют общего делителя (иначе любой пары было бы достаточно, для того чтобы сделать общеотрицательное предложение истинным). Подобным же образом:

Некоторый мудрый есть благочестивый,

+ 70-33 +10«—3

+ cdh — ej +cd — e

потому что ни + 70 и — 3, ни — 33 и + 10 не имеют общего делителя.

Теорема 3. Общеотрицательное предложение и частно- утвердительное противополагаются друг другу как противоречивые, так что не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Это ясно из сказанного.

Теорема 4.

Таковы дефиниции, или условия, истинных категорических предложений в соответствии с их различным качеством и количеством, охватывающие основы всего логического исчисления, исходя из которых мы теперь с помощью одного лишь изложенного нами способа применения чисел докажем наиболее известные логические выводы.

Эти выводы бывают или простые, или силлогистические. Наиболее известные простые выводы — это подчинение, противоположение, обращение. Подчинением называется выведение частного из общего.

Теорема 5. Подчинение имеет место всегда, т. е. всегда из общего можно вывести частное.

Всякий мудрый есть благочестивый.

+ 70-33 +10-3

-\-cdh — ef +cd — е

Следовательно, «Некоторый мудрый есть благочестивый». Я доказываю это следующим образом: — 33 может делиться на — 3 (поскольку это общеутвердительноо предложение, по правилу II). Следовательно, + 70 и — 3 не имеют общего делителя (иначе * + 70 и — 33 имели бы один и тот же общий делитель, что противоречит правилу I). Подобным же образом + 70 может делиться на + 10 (по правилу II), следовательно, — 33 и + 10 не имеют общего делителя (ведь иначе * — 33 и + 70 также имели бы общий делитель, что противоречит правилу I). Следовательно, поскольку как + 70 и — 3, так и — 33 и + 10 не имеют общего делителя, частноутвердительное предложение, а именно: «Некоторый мудрый есть благочестивый» — будет истинным (по правилу IV). (Основание вывода, обозначенное через *, очевидно для каждого, понимающего природу чисел, потому что делитель делителя есть также делитель делимого. Таким образом, если, например, — 33 как третье число и + 10 как делитель имеют общий делитель, то это делитель делителя + 10 и числа — 33; он будет также делителем делимого па + 10,; а именно + 70.

Так же можно строить доказательство и в случае отрицательных предложений, например:

Ни один благочестивый во есть несчастный.

+10 — 3 +5 — 14

+ cd—е +/— cm

Следовательно, «Некоторый благочестивый не есть несчастный». Ибо поскольку + 10 и — 14 имеют общий делитель (так как предложение общеотрицательное, по пра- виду IV), следовательно, — 3 и — 14 не имеют общего делителя (иначе — 3 и + 10 имели бы также общий делитель, вопреки правилу I). Следовательно, — 3 не может делиться на — 14 (ведь иначе они имели бы общий делитель, потому что делитель делителя есть также делитель делимого). Итак, — 3 не может делиться на — 14. Следовательно, частпоотрицательное предложение истинно (по правилу V). Что и требовалось доказать 3.

Эти два доказательства в высшей степени важны не для того, чтобы сделать ясное еще более очевидным, но для того, чтобы заложить основания нашего исчисления и для постижения гармонии. Во всяком случае, я только тогда в полной мере понял, что мною получены истинные законы исчисления, когда мне удалось построить эти два доказательства, от успеха которых зависело все. Смысл этого состоит в том, что, рассматривая общие понятия, я прежде всего искал переход от рода к виду: ведь я не рассматриваю род как нечто большее, чем вид, т. е. как целое, составленное из видов, как это обычно делают (и делают правильпо, ибо индивидуумы рода относятся к индивидуумам вида как целое к части), но я рассматриваю род как часть вида, поскольку понятие вида производится из понятия рода и отличительного признака. На этом принципе я построил настоящий способ исчисления, потому что я рассматривал не индивидуумы, а идеи. Однако па этом пути было чрезвычайно трудное нисхождение от рода к виду, поскольку это продвижение от части к целому. И я укрепил этот путь теми самыми доказательствами,; с помощью которых продвигаются от общего к частному.

За подчинением следует противоположение.

Теорема 6. Общеутвердительное и общеотрицательное предложения противополагаются друг другу как противные. Например:

Всякий мудрый есть богатый

4-70 — 33 +8-11

-Ycdh-ef +g-f

и Tin одіш мудрый пе есть богатый

пе могут быть одновременно истинными. Потому что, если первое и второе одновременно истинны, из второго будет следовать: «Некоторый мудрый не есть богатый» (по теор.5), первое же было: «Всякий мудрый есть богатый». Следовательно, два этих предложения будут одновременно истинными вопреки теореме 1. Однако они могут быть одновременно ложными. Потому что может оказаться, что ни + 70 не может делиться на 8 (следовательно, первое ложно, по правилу II), ни + 70 и — 11 и — 33 и 8 не имеют общих делителей (следовательно, второе ложно, по правилу IV). (Можно было бы взять и другой пример, где число, которое заменяло бы — 33, пе могло бы делиться на число, заменяющее — И, но результат был бы тот же.)

Теорема 7. Частноутвердительное и частноотрицатель- ное предложения находятся в подпротнвном противоположении друг к другу, т. е. могут быть одновременно истинными, но не одновременно ложными. Например: «Некоторый мудрый есть богатый» и «Некоторый мудрый не есть богатый». Это следует из сказанного выше, поскольку общим предложениям с противоположными знаками противополагаются как противоречивые частные (по теор. 1, 3); отсюда если первые истинны, то вторые ложны, и наоборот. Но первые могут быть одновременно ложными (по теор. 6), следовательно, вторые — одновременно истинными. Первые не могут быть одновременно истинными (по той же теор. 6), следовательно, вторые не могут быть одновременно ложными. Обращение бывает или простое, или через ограничение. Простое обращение имеет место в общеотрицательпом предложении, по теор. 2 («Ни один благочестивый пе есть несчастный», следовательно, «Ни один несчастный не есть благочестивый», или наоборот), и в частиоутвердительном, по теор. 4 («Некоторый богатый есть несчастный», следовательно, «Некоторый несчастный есть богатый», и наоборот). Обращение через ограничение имеет место в общеутвердительном предложении, как я это сейчас покажу. Ни то ни другое обращение (в силу формы) не имеет места в частноотрицательном предложении. Я не говорю здесь об обращении через противопоставление, ибо оно вводит новый термин. Например: «Всякий мудрый есть благочестивый», следовательно, «Тот, кто есть не-благочести- вый, не есть мудрый». Т. е. «Ни один не-благочестивый не есть мудрый». Мы имеем здесь три термина: «мудрый»,, «благочестивый», «не-благочестивый». Я же веду речь о простых выводах, в которых сохраняются те же термины. Кроме того, нет никакой необходимости в такого рода обращении для доказательства фигур и модусов силлогизмов. И свойства такого рода неопределенных терминов, как «не-благочестивый», «не-несчастный» и т. д.,( должны и могут быть доказаны с помощью нашего исчисления отдельно, точно так же как и модальных предложений. Ведь они имеют много специфического, и, если использовать их, силлогизм может иметь четыре термина и все же быть правильным 4; имеется и многое другое, что уже не относится к данному вопросу, потому что цель наша состоит в том, чтобы с помощью исчисления показать общие модусы и фигуры трехтерминных категорических силлогизмов.

Теорема 8. Общеутвердительное предложение может обращаться через ограничение. «Всякий мудрый есть благочестивый». Следовательно, «Некоторый благочестивый есть мудрый». Ибо раз «Всякий мудрый есть благочестивый», следовательно (по теор. 5), «Некоторый мудрый есть благочестивый». Следовательно (по теор. 4), «Некоторый благочестивый есть мудрый».

545

18 Лейбипц, т. 3 От простых выводов, в которых участвуют только два термина, я перехожу к трехтерминным выводам, т. е. к категорическим силлогизмам. Но тогда требуется несколько больше внимания к выбору подходящих чисел для терминов, потому что один и тот же термин, а именно средний,; присутствует в обеих посылках и потому его характеристические числа должны быть приспособлены к нравилахМ каждой посылки. Для этого средний термин прежде всего должен быть приспособлен к одному из крайних, к большему или к мепьшему, а затем другой крайний должен быть приспособлен к нему. Здесь следует заметить, что лучше приспосабливать субъект к предикату, а не наоборот, как это станет ясным из вышеприведенных правил. Таким образом, если существует какая-то посылка, в которой средний термин является субъектом, нужпо начать с нее и, взяв произвольно числа ее предиката^ приспосо- бить к ним числа субъекта, т. е. среднего термина. Когда таким образом найдены числа среднего термина, к ним нужно приспособить также числа другого термина во второй посылке. Когда мы получили таким образом характеристические числа большего и меньшего терминов, становится ясным, подчиняются ли они закону, предписываемому формой заключения, т. е. выводится ли заключение из посылок в силу формы. Но для облегчения выбора чисел я укажу некоторые четкие правила б.