ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ АНАЛИЗА ПОНЯТИЙ И ИСТИН 1

Не-сущее есть то же, что чисто отрицательное, т. с. лишенное всего, или не-У, т. е. не-Л, ІІЄ-В, не-С и т. д., т. е. то, о чем говорится: «у него нет никаких свойств».

Мы будем принимать здесь также всякий термин за полный, т. е. за существительное, так что «большой» есть то же, что и «большое сущее», или, так сказать, великость подобно тому как носатый [человек] называется «носатый». Итак, н в дапном случае мы не нуждаемся в различении прилагательного и существительного, за исключением необходимости обозначить эмфазу.

Сущее существует либо само по себе, либо акциден- тально, т. е. термин бывает либо необходимый, либо изменяемый. Так, «человек» есть сущее само по себе, но «ученый человек», «король» суть акцидентально сущие. Ведь вещь, называемая «человек», не может перестать быть человеком, без того чтобы не исчезнуть вообще; но кто-то может сделаться и перестать быть королем или ученым, хотя и остаться тем же существом.

Термин бывает либо интегральный, т. е. совершенный, как «сущее», «ученый», как «тот же самый, что и Л», или «подобный Л», — тогда он может быть или субъектом, или предикатом предложения, даже без всякого дополне- пия, — либо частичный, т.

Будет полезно позаботиться о том, чтобы термины пи- тегрировались. Поэтому потребуются некоторые общие знаки вещей или терминов. Так, если мы хотим в нашей характеристике всегда использовать только интегральные термины, не следует говорить «Цезарь подобен Александру», но «Цезарь подобен то> Л, которое есть Александр», т. е. подобен вещи, которая есть Александр. Следовательно, наш термин будет не «подобен», а «подобен тсо Л». Таким же образом мы не употребляем словесного выражения «меч Евандра», но «меч, который есть вещь Евандра», и «который есть меч Евандра» будет одним интегральным термином. Подобным образом мы сможем делить любой составпой термин на интегральные. Но в какой степени и как именно это можно выполнить, мы узнаем из дальнейшего.

Отсюда также ясно, что существуют интегральные термины, которые разлагаются на частичные, и существуют прямые, в которые, как это очевидно, входят косвенные, если разложить первые, т. е. подставить определение вместо определяемого. Следовательно, прежде чем объяснять интегральные термины, которые разлагаются па частичные термины и частицы, должны быть объяспены сами эти частичные термины и частицы, которые, будучії добавлены к косвенным терминам, создают прямые, а добавленные к частичным терминам, образуют интегральные. Но прежде частичных терминов и частичек должны быть объяснены те интегральные термины, которые или вообще не разлагаются, или разлагаются только в интегральные термины. Во всяком случае такого рода интегральные термины должны быть независимыми от частичных. Таковы по крайней мере общие термины, такие, как «термин», «сущее», ибо в них нуждаются сами частичные, чтобы перейти в интегральные, поскольку крайнее дополнение к частичному или косвенному термину, необходимое, чтобы сделать его интегральным, будучи само интегральным, не может снова быть разложено на интегральный и частичный. Следует перечислить такие интегральные термины, которые мы не можем разложить на косвенные и частичные термины; это будет осуществлено через анализ остальных терминов. Сначала будет достаточно перечислить в качестве чисто интегральных те, разложение которых в пеннтегральные, по-видимому, не столь необходимо. Анализ должен также привести к тому,; чтобы при небольшом число интегральных терминов, составленных из частичных и косвенных, все остальпые могли составляться из ннх прямо, т. с. подобно, или без косвенных терминов. Так станет возможным установить небольшое число интегральных терминов, или, во всяком случае, точно определенных, или расположенных в каком-то определенном порядке, которые могут рассматриваться как простые в прямом анализе и из которых возникают остальные, более сложные, подобно тому как производные числа — из простых.

Итак, мы имеем: во-первых, первоначальные простые интегральные термины, неразложимые или принимаемые за неразложимые, например А (Я имею в виду интегральный термин, ибо частичные возникают из интег- рального и частицы, как, например, «часть» есть «сущее в чем-то» и т. д.); во-вторых, простые частицы, т. е. первоначальные синкатегорематические термины, например «в»; в-третьих, первоначальные интегральные термины, составленные из одних простых терминов, и притом прямо, т. е. без участия частиц или синкатегорематических терминов, как, например, АВ\ в-четвертых, составные частицы, составленные из одних простых частиц, без участия категорематического термина, например «с — в». Этой частицей мы могли бы пользоваться для обозначения вещи, которая «с» чем-то находится «в» чем-то (если ее присоединить к категорематическому термину); в-пятых, мы имеем производные простые интегральные термины. Производными я называю те, которые возникают не в результате простого составления, а именно подобного, т. е. прямого с прямым, как, например, А В, но с помощью некоей флексии или частицы и синкатегорематического термина, например А в В, где А и В входят неподобно в составленный из них термип, а именно «то А в В». Это различие между составлением и деривацией в известной мере соблюдают грамматики. Итак, существуют простые производпые, которые не могут быть разложены па другие производные термипы, а только на первоначальные простыв термипы с частицами. В-шестых, мы имеем сложные производные интегральные термины, которые прямо, т. е. подобно, составляются из других производных, а последние также косвенно составляются из первоначальных сложных терминов вместе с частицами. В-седьмых, можно спорить, являются ли эти производные, состоящие из простых первоначальных терминов и составных частиц, простыми или составными. Конечно, они могут быть разложены на другие категорематические термины только дупликацией одного первоначального термина, пока из сложения его то с одной, то с другой частицей (так что из простого составляется сложный) не возникнут два цовых производных простых термина, из которых может возникнуть предложенный производный термин, как если бы он был составным.

Следует также принять во внимание, что и первоначальные простые частицы не объединяются столь же подобно, как простые первоначальные термины. Поэтому в сложении частиц может встретиться много разнообразия. Например, если я говорю «Иоанн Петра Павла», т. е. «Иоанн [сын] Петра, который есть [сын] Павла», то это некоторое подобное составление, но если я говорю «Сократ [сын] Софрониска из Афин», то это неподобпое составление частиц или флексий. Отсюда, несомненно, возникнут различные отношения, различные «косвенности» и их смешения, в точном установлении которых заключается главная часть искусства характеристики. Но об этом нельзя судить с достаточным основанием, пока с совершенной точностью не определены первоначальные простые как термины, так и частицы или по крайней мере вместо них не будут приняты [термины], хотя и производные и составные, но более близкие к первоначальным простым, пока постепенно путь дальнейшего анализа не откроет собственной гармонии.

Под частицами я здесь разумею некие первоначальные частности, если существуют такие, которые не могут быть разложены в другие первоначальные частности. Но я полагаю, что в действительности они возникают из сущего либо другого интегрального термина в соединении с частицей. Пусть первоначальными простыми терминами либо такими, которые следует принимать за них, будут следующие. Термин (под которым я понимаю как сущее, так и не-сущее). Сущее или возможное (я имею в виду только нечто конкретное, так как я исключил абстрактное как ис-необходимое).

577

19 Лейбниц, т. 3

Первоначальными простыми терминами являются также все те смутные чувственные явления, которые мы хотя п воспринимаем ясно, но не можем отчетливо ни объяснить, ни определить через другие понятия, ни обозначить словами. Так, хотя мы можем сказать слепому многое о распространении, интенсивности, форме и различных других признаках, которые сопровождают цвета, но помимо отчетливых сопровождающих понятий есть в цвете нечто невыразимое, что слепому но помогут воспринять никакие наши слова, и ему удастся сделать это только в том случае, если он когда-нибудь прозреет. И в этом смысле белое, красное, желтое и голубое, поскольку они складываются из этих недоступных нашему воображению невыразимых свойств, суть некие первоначальные термины. По поскольку они смутны и ничем не помогают рассуждению, представляется полезным избегать пх, насколько это возможно, применяя вместо дефиниций четкие сопутствующие понятия в той мере, в какой они достаточны для различения смутных понятий. Иногда будет полезным и смешивать оба метода, смотря по тому, как будет удобно, п таким образом мы сможем дать этим первоначальным терминам их собственные признаки, объясняя остальные через них. Так, «цветное» есть термин, объяснимый через отношение к нашим глазам, но так как это отношение невозможно точно выразить, не прибегая к многословным рассуждениям, и сам глаз, как некая машина, в свою очередь нуждается в пространном объяснении, то «цветное» может быть принято за первоначальный простой термин, такой, что, добавляя к нему некоторые отличительные признаки, можно будет обозначить разнообразные цвета. Однако «цветное», вероятно, можно определить через перцепцию поверхности без чувственного соприкосновения. Но какое из определений лучше, станет видно в дальнейшем.

В числе простых первоначальных терминов, по-видимому, могут рассматриваться все понятия, которые содержат материю определенного количества, т. е. в которых гомогенные вещи согласуются между собой, например «имеющее величину», «протяженное», «длящееся», «напряженное», но эти понятия, если не ошибаюсь, могут быть разложены дальше. В частности, можно сомневаться, действительно ли простыми являются понятия «протяженное» и «мыслящее», ведь многие 5 полагают, что это понятия, воспринимающиеся сами по себе и не нуждающиеся в дальнейшем разложении; но «протяжеппое», по-видимому, есть непрерывное, обладающее сосуществующими частями, и термин «мыслящее», по-видимому, пе является интегральным, ибо оп соотносится с некоторым объектом, который мыслится. Однако в самом мышлении есть какая-то абсолютная реальность, которую трудно выразить словами. И в протяженности мы, по- видимому, воспринимаем что-то еще кроме непрерывности и существования. Тем не менее понятие протяженности представляется достаточно полным, если воспринимать непрерывное сосуществование, так что все сосуществующее образует одно и любое существующее в протяженном есть «продолжение», т. е. «непрерывно повтори- мое». Между тем было бы полезным принять в качество первоначальных простых терминов «протяженное» или даже «положение», т. е. существующее в пространстве, а также и «мышление», т. е. нечто едипое, выражающее многое посредством имманентного акта, или сознающее, тем более если к этому мы присоединим некоторые аксиомы, из которых выводились бы все прочие положения посредством добавлений дефиниций. Но все это, как я уже но раз говорил, станет яснее из дальнейшего. Ведь лучше продвигаться вперед, чем из-за чрезмерного педантизма завязнуть в самом начале.

Постараемся теперь объяснить частичные термины, т. е. относительные, из которых рождаются и частицы, обозначающие отношения терминов. Первое, что приходит мне в голову, — это «то же самое». «А есть то же самое, что и В» означает, что одно может быть подставлено вместо другого в любом предложении, не нарушая его истинности 6. Ведь эти отпошепия раскрываются через предложения, или истины. Так, «Александр Великий» и «царь Македонии, победитель Дария», а также «треугольник» и «трех- сторонник» могут быть подставлены один вместо другого. Далее, всегда может быть показано путем разложения, что эти термины постоянно совпадают, а именно: если их разлагать до тех пор, пока не станет ясно априори, что это возможно, а если к тому же обнаруживается формально, что это одни и те же термины, тогда раздельные термины окажутся теми же самыми. Пусть будут термин Л и термин В; если вместо того или другого подставить дефиницию, а вместо любого составляющего термина — другую дефиницию, пока не дойдем до первоначальных простых терминов, если, кроме того, в одном обнаруживается то же, что и в другом, т. е. формально то же самое, то А и В будут, следовательно, совпадающими, или виртуально теми же самыми. Следовательно, можно дать такое определение:

А совпадает с В, если любое из них может быть подставлено вместо другого, не нарушая истинности, или если при разложении и того и другого путем подстановки их значений (т. е. дефиниций) на место терминов и тут и там появляется одно и то же, я повторяю, одно и то же формально. Например, если бы и тут и там появились L, М, N. Ведь при этом без нарушения истинности происходят изменения, являющиеся результатом подстановки определения вместо определяемого термина либо наоборот. Отсюда следует: если А совпадает с В, то и В совпадает с Л.

Следующее понятие: Л — субъект, В — предикат, если В может быть подставлено вместо Л, не нарушая истинности, т. е. если при разложении Л и В те же термины, которые появляются в В, появятся также и в Л. То же самое можно разъяснить иначе: Л есть В, если всякое А и некоторое В совпадают.

Итак, мы имеем знаки: совпадающее с В, субъект, предикату есть, всякое, некоторое.

Если говорят: «Некоторое Л есть В», смысл таков: некоторое Л и некоторое В совпадают. Отсюда следует: «Некоторое В есть Л».

Если всякое Л и некоторое В совпадают, также совпадают некоторое Л и некоторое В. По-видимому, это можно доказать и из отрицательных, а потому обратимся к ним.

Подобно тому как Л и Л суть первые совпадающие, так Л и не-Л суть первые раздельные. Раздельное — если ложно, что «Некоторое Л есть В». Так, если В = не-Л, то ложно, что некоторое Л есть В.

Вообще, если Л есть В, то ложно, что Л есть не-В.

Если ложно, что некоторое А есть не-/?, говорят: «Ни одно А не есть не-Z?», т. е. «Всякое А есть В».

Отсюда можно доказать следующий вывод. Всякое А есть В. Следовательно, некоторое А есть В. Т. е. всякое Л и некоторое В совпадают. Следовательно, некоторое А и некоторое В совпадают. Ведь если всякое Л и некоторое В совпадают, следовательно, ложно, что некоторое А и некоторое ие-В совпадают (из определения «всякого»). Следовательно, истинно, что некоторое Л и некоторое В совпадают.

Но весь вопрос о высказываниях и отношениях терминов, возникающих из различных высказываний, следует рассмотреть более внимательно. Ведь отсюда должно быть установлено происхождение большинства частичных терминов и частиц 7.

Я говорю, что высказывания совпадают, если одно может быть подставлено вместо другого без нарушения истины, т. е. если они заключают в себе друг друга. (1)

Совпадают: (прямое) высказывание L и (рефлексивное) высказывание «L истинно». Отсюда совпадают: «Истинно (ложно), что L истинно» и «Следовательно, L истинно (ложно)». (Это скорее следует различать в соответствии с разъяснением предложений.) (Вообще, если А есть термин, всегда можно будет сказать, что «Л истинно» совпадает с чем-то.)

* Совпадают: «L истинно» и «ложно, что /> ложно».

Совпадают: «истинно, что L ложно» н «L ложно». Я могу доказать это, как теорему, следующим образом: «L ложно» есть высказывание, которое будем называть Л/. Теперь «Л/ истинно» и «А/» соппадаюг (по п. 1). Следовательно, если подставить вместо самого Л/ его значение, совпадают «истинно, что L ложно» и «L ложно».

(То же самое доказывается иначе, хотя и пр< страннее, с помощью * так: «Истинно, что L ложно» совпадает с «Ложно, что ложно, что L ложно» (по *), и это в СВОИ) очередь совпадает с предложением «Ложно, что L истинно» (по тому же *), а это — со следующим предложением: aL ложно» (по п. 1).) (2)

Если совпадают Л п В, совпадают также пе-Л и не-Z?. Л не-Л противоречиво.

Возможное — это то, что не содержит противоречивого, т. е. Л не-Л. Возможно то, что не есть Y не-У.

Совпадают: не-не-Л и Л, поэтому, если совпадают не-Л и В, совпадают также не-Z? и Л. (3)

Совпадают: «пе истппно» и «ложно».

Следовательно, совпадают: «пе ложно» п «пстштио».

Если Л = В, также не-Л = ие-В.

Если Л == «нечто истинное», то не-Л = не-(нечто истинное), т. е. «не истинное», или «ложное», ибо не-Л содержит ие-Л У 8. (4)

Совпадают: «Истинно, что L истинно» п «Не истинно, что L пе истинно». Поэтому совпадают «Ь» и «Ложно, что L ложно». Потому что «L» — это то же, что и «L истинно», и это то же, что «Истинно, что L истинно» (по 11. 1), и это то же, что «Не истинно, что L не истинно» (по п. 4), и это то же, что «Ложно, что L ложно» (но п. 3).

Совпадают: «Л» и «Пе ложно, что L по ложно». Ибо «Л» есть то же, что «Истинно, что L истинно» (по п. 1), И это то же, что «Пе ложно, что L пе ложно» (по II. 3).

Совпадают: «Л ложно» и «Пе ложно, что L не истинно».

Совпадают: «L ложно» и «Не истинно, что L не ложно». Ото легко доказывается из предшествующего.

Вообще, если предложение называется истинным или не истинным, ложным или не ложным, тогда истинное, помноженное на истинное, ложное — па ложное дает истинное. «Пет», умноженное на «пет», равнозначно опущению обоих «нет».

Из этого доказывается также, что всякое предложение или истинно, или ложно. Т. е. если L по истинно, ТО ОНО ложно. Если оно истинно, то оно не ложно; если оно по ложно, то оно истинно; если оно ложно, то оно не истинно. Всё но п. 3.

Предложения же 1, 2, 3, 4 служат в качестве определения, и поэтому они принимаются без доказательства, поскольку они указывают на употребление некоторых знаков, а именно ложности и истинности, утверждения и отрицания 9.

Л есть В (т. е. В находится в Л, т. е. может быть подставлено вместо Л).

Категорическое предложение: «Л совпадает с В», «Л но совпадает с В».

А и В могут обозначать термины или другие предложения. (5)

«Л не совпадает с В» есть то же, что и «Ложно, что А совпадает с В».

(В) Если Л совпадает с В, В совпадает с Л.

(7) Если Л не совпадает с, В, В не совпадает с Л. (8)

Если Л совпадает с В и В совпадает с С, также и А совпадает с С. (9)

Если А совпадает с В, не-Л совпадает с не-В.

Эти четыре аксиомы суть королларии определения,

что те термины совпадают, один из которых может быть подставлен вместо другого. (10)

Предложение, истинное само по себе: А совпадает с А. (11)

Предложение, ложное само по себе: А совпадает с не-Л. (12)

Отсюда делается вывод, что ложно, что не-Л совпадает с Л (по п. 6). (13)

Также делается вывод, что истинно, что Л не совпадает с не-Л (по п. 5).

Эти предложения можно было бы рассматривать как истины, получаемые посредством выводов.

Кроме того, как я сказал, Л обозначает здесь термин или предложение. Отсюда пе-Л обозначает противоречащее термину или противоречащее предложению. (14)

Если принимается предложение и не говорится ничего дополнительно, считается, что оно истинно. Совпадает с п. 1. (15)

Не-В совпадает с не-В. Это королларий п. 10 при предположении, что не-В совпадает с Л. (16)

Утвердительное предложение: «Л есть В», или «Л содержит В», т. е, (как говорит Аристотель) «В присутствует в Л», разумеется прямо. Т. е., если подставить вместо Л его значение, получится: «Л совпадает с BY». Например, «Человек есть животное», т. е. человек есть то же, что и животное, а именно: человек есть то же, что и разумное животное. Знаком Y я обозначаю нечто неопределенное, так что BY есть то же, что и «некоторое В»9 т. е. животное (где подразумевается «разумное», если только нам известно, что это должно подразумеваться), т. е. «некоторое животное». Таким образом, «Л есть В» есть то же, что «Л есть совпадающее с некоторым В», т. е. Л = BY 10. (17)

Отсюда совпадают предложения: «Л есть В» и «Некоторое В совпадает с Л», т. е. BY = Л. (18)

Совпадают: Л и ЛЛ, и ЛЛЛ, и т. д. по природе этой характеристики, т. е. человек, и человек человек, и человек человек человек. Таким образом, если кто-нибудь будет одновременно пазван человеком и животным, то, разлагая «человек» до «разумного животного», его равным образом можно будет назвать «разумпым животным* и «животным», т. е. «разумным животным» 11. (19)

Если А есть В, то вместо А можно подставить В, когда речь идет только о содержании; например, если «А есть Вь и «В есть С», то «А будет С». Это доказывается из природы совпадения, ибо совпадающие могут быть подставлены друг вместо друга (за исключением предложений, которые можно было бы назвать формальными, где одно из совпадающих принимается столь формально, что отличается от остальных, которые в действительности рефлексивны и говорят не столько о вещи, сколько о пашем способе понимания ее; в этом и состоит различие между [тем и другим совпадением]). Таким образом, если (по п. 16) А = BY и В = CZ, то А = CYZ, т. е. А содержит С 12. (20)

Следует заметить, и это в нашем исчислении должно быть установлено заранее, что вместо любого числа букв можно подставить одну, например YZ = X, однако до этого еще не использованную в этом рациональном исчислении, чтобы не возникло неясности. (21)

Далее. Определенное обозначается мною первыми буквами алфавита, неопределенное — последними, если нот иных указаний. (22)

Таким образом, вместо любого числа определенных букв можно подставить одну определенную, значение которой, т. е. определение, суть те буквы, вместо которых она подставлена. (23)

Вместо любой определенной буквы можно подставить неопределенную, еще не использованную. Можно таким же образом подставлять и вместо любого числа определенных, и вместо определенных и неопределенных букв, т. е. можно положить А = Y. (24)

К любой букве может быть добавлена новая неопределенная, например, вместо А можно поставить A Yy ибо А = АА (по п. 18) и А есть Y (т. е. вместо А можно поставить Yy по п. 23). Следовательно, А = AY. (25)

«А есть В» (А содержит В) влечет (содержит) «Некоторое В есть (содержит) Л».

Ибо (А есть В) = (BY = А) (по п. 17) = (BY = AY) (по п. 24) == «Некоторое В есть А» (по п. 17). (26) В связи с этим следует напомнить еще кое-что установленное раньше относительно этого исчисления. А именно: то, что вообще утверждается или умозаключается, но не в качестве гипотезы, о любых еще не исполь- вованных буквах, должно мыслиться о любых другие буквах. Так, если А = А А, можно сказать также, что В = ВВ. (27)

Некоторое В = YB. Следовательно, подобным жо образом некоторое А = ZA; во всяком случае, это можно говорить, следуя примеру предыдущего (п. 26), однако надо принять новую неопределенную Ібукву] в последующем равенстве, а именно Z, как ранео была принята У. (28)

Термин, употребленный просто, я обычно рассматриваю как общий, например «Л есть В», т. е. «Всякое А есть В», т. е. в понятии А содержится понятие В. (29)

«Л есть В», следовательно, «Некоторое Л есть В» (или «Л содержит В» влечет, или содержит, «Некоторое Л содержит В»). Ведь «Л есть В» = «ЛУ есть В» (по п. 24). (30)

«Л есть В» и «В есть Л» — это то же самое, что «Л и В совпадают», т. е. Л совпадает с В, которое совпадает с Л. Ведь Л = ВУ и В = Л?. Следовательно (по п. 31), Л = ЛУЯ. Следовательно, YZ излишни, т. е. Z содержится в Л. Следовательно, вместо «В = ЛЯ» можно сказать «В = Л». (31)

Необходимо также отметить, что, если Л = ЛУ, тогда либо У излишне или скорео является общим термином, как «сущее», и во всяком случае может быть безболезненно опущено, как единица в арифметическом умножении, либо У есть в Л. Более того, У действительно всегда есть в Л, если говорят: «Л == УЛ». (32)

Отрицательное предложение: «Л не содержит В», т. е. «Ложно, что А есть (содержит) В» 13.

(32) «В не-В» невозможно, т. е. если В не-В = С, то 6" будет невозможно и.

Ш) Отсюда если Л = не-В, то Л В будет невозможно.

(34) То, что содержит «В не-В», есть то же, что и «невозможное», т. е. «ЕВ не-В» есть то же, что и «невозможное».

(35) Предложение ложно, если в нем содержится, что А В содержит не-В (при допущении, что В и Л возможны). Я понимаю под В п У как термины, так и предложения 15.

і'Зб) Л == В. Следовательно, А есть В, т. е. Л = В содержит, что Л есть В. Ведь еслп бы имелся излишний У, мы имели бы Л = ВУ, т. е. Л есть В 10. То же самое доказывается другим путем: Л = В есть то же, что Л = BY и В = ЛУ. Следовательно, Л = В содержит Л = ВУ. Точно так же Л = В, следовательно, Л Л ВЛ. Следовательно, А =ВЛ. Следовательно, Л есть В. (37)

В есть В. Ведь В = В (по п. 10). Следовательно, В есть В (по п. 36). (38)

А В есть В. Это недоказуемо и является либо тождественным [предложением], либо определением ИЛИ «то5 есть», ИЛИ «содержащего», ИЛИ «ИСТИННОГО предложения». Ибо имеется в виду, что АВ, т. е. то, что содержит В, есть В, т. е. содержит В. (39)

Если В содержит С, тогда А В содержит С. Ибо А В есть В (по п. 38), В есть С (по предположению). Следовательно (по п. 19), АВ есть С. (40)

Истинное предложение есть то, которое совпадает со следующим: «АВ есть В», т. е. может быть сведено к этому первоначально истинному. (Я полагаю, что это приложимо и к некатегорическим предложениям.) (41)

Следовательно, поскольку ложно то предложение, которое не является истинным (по п. 3), то (по п. 40) ложное предложение есть то же, что и предложение, которое ие совпадает с «АВ есть В»; т. е. ложное предложение есть ТО же, ЧТО И предложение, которое не МОЖЄТ быть доказано.

Предложения факта не всегда могут быть нами доказаны и поэтому принимаются как предположения. (42)

Из предложений «Л содержит В» и «Л не содержит В» одно истинно, другое ложно, т. е. они противоположны, потому что если одно может быть доказано, другое — не может — при условии, что термины возможны. Следовательно (по п. 41), они не являются одновременно истинными илп ложными. (43)

«В содержит не-В» ложно, т. е. В не содержит не-В. И в том и в другом случае это ясно из предыдущего. Ведь при любом разложении эта форма остается неизменной и никогда не станет «АВ есть В». Это ясно из п. 42 и [может быть доказано] иным способом. В содержит В (по п. 37); следовательно, не содержит не-В. Иначе бы оно было невозможным (по п. 32). (44)

Точно так же очевидно, что «ІІе-В содержит В» ложно. (45)

Ложно, что В и не-В совпадают. Очевидно из п. 43 и 44. При этом допускается, что термин В возможен. (46)

Ложно, что АВ содержит не-В, т. е. АВ пе содержит не-В. Я предполагаю, что АВ возможно. Доказывается, как и п. 43. Ведь АВ содержит В, следовательно, не содержит не-В, поскольку является пе-невозможным (по п. 32) 17. (47)

«Л содержит В» есть оои^еутвердительное по отношению к Л, субъекту. (48)

«Л У содержит Вь есть частно утвердительное по отношению к Л. (49)

Если АВ есть С, следует, что Л У есть С, т. е. следует, что некоторое Л есть С. Ведь может быть принято, что В = У, по п. 23. (50)

«ЛУ не есть В» есть общеотрицательное. (51)

Отсюда следует, что общеотрицательное и частно- утвердительное противоположны, т. е. если одпо есть истинное, другое — ложное (по п. 48, 50). (52)

Частноутвердительное может быть обращено просто, т. е. если «Некоторое Л есть В», то следует, что «Некоторое В есть Л». Я доказываю это так: ЛУ есть В по предположению, т. е. (по п. 16) Л У совпадает с BY. Следовательно (по п. 6), BY совпадает с Л У. Следовательно (по п. 16), BY есть Л, Что и требовалось доказать 18. (53)

Общеотрицательное обращается просто, т. е. если «Ни одпо Л пе есть 5», то следует: «Ни одно В не есть А». Ибо Л У не есть В (по предположению). Следовательно, Л У не совпадает с BY (по п. 6). Следовательно (по п. 16), BY не есть А. Что и требовалось доказать. (54)

Общеутвердительное предложение обращается через ограничение, т. е. если «Всякое Л есть В», то следует: «Некоторое В есть Л». Ведь Л есть В по предположению. Следовательно, «Некоторое Л есть В» (по н. 29). Следовательно (по п. 52), «Некоторое В есть Л». То же самое более кратко: Л совпадает с BY (по п. 16). Следовательно, BY совпадает с Л (по п. 6). Следовательно (по п. 36)f BY есть Л. Стоит сопоставить эти два доказательства, чтобы понять, приводят ли они к одному и тому же или же раскрывают истинность какого-то предложения, до сих пор принимавшегося без доказательств 19. (55)

Если Л содержит В ж А истинно, то и В также истинно. Под истинной или ложной буквой 20 я понимаю либо ложный термин (т. е. невозможный, или не-сущий), либо ложное предложение. И таким же образом под истинной [буквой] может пониматься возможный термин либо истинное предложение. И, как позднее будет разъяснено, целый силлогизм для меня также является предложением. Впрочем, то, что я здесь утверждаю, может быть выражено и следующим образом: любая часть истинного истинна, т. е. то, что содержится в истинном, является истинным. Это может быть доказано из следующего. (56)

Истинное вообще я определяю так: А истинно, если при подстановке значения вместо А, когда все, что входит в значение Л, рассматривается (если это возможно) как Af никогда не возникает В и не-5, т. е. противоречие. Отсюда следует, что для того, чтобы быть уверенными в истинности, нужно либо продолжать разложение до первых истин — по крайней мере или таких, которые уже получены рапее таким методом, или таких, о которых известно, что они истинны, — либо доказать из самого процесса разложения, т. е. из некоторого общеіч> отношения между предыдущими и последующими разложениями, что никогда не встретится такое, как бы долго ни продолжалось разложение. Это очень важно, ибо таким образом мы зачастую можем освободиться от длительного анализа. И может случиться, что сам этот анализ букв содержит нечто относительно последующих анализов, как в данном случае анализ «истинного». Можно также усомниться, необходимо ли всякое разложение доводить до первых истин, т. е. до перазложимого, особенно в отношении случайных истин, так как не хватит никакого времени, чтобы свести их к тождественным предложениям. (57)

Ложное вообще я определяю как то, что не есть истинное. Итак, чтобы утверждать, что нечто является ложным, необходимо, чтобы оно или было противоположно истинному, или содержало противоположное истинному, или содержало противоречие, т, е. В и не-В, или в случав доказательства было бы невозможно доказать его истинность, сколь бы долго не продолжался анализ. (58)

Таким образом, то, что содержит ложное, ложно. (59)

Однако нечто может содержать истинное и все же быть ложным, если, разумеется (по п. 58), оно содержит также и нечто ложное. (60)

Оказывается также, что отсюда можно узнать отличие необходимых истин от остальных, так как необходимые истины — это такие, которые могут быть сведены к тождественным предложениям, или такие, противоположные которым могут быть сведены к противоречивым; невозможные предложения — это такие, которые могут быть сведены к противоречивым, или такие, противопо- ложные которым могут быть сведены к тождественным. (61)

Возможные предложения — это такие, о которых можно доказать, что в процессе их разложения никогда пе возникнет противоречия. Случайные истинные предложения — такие, которые нуждаются в разложении, продолженном до бесконечности. Ложные же случайные предложения — такие, ложность которых можно доказать только тем, что невозможно доказать их истинность.

Представляется сомнительным, достаточно ли для доказательства истины того, что при продолжении анализа становится известно, что не возникнет никакого противоречия. Ведь отсюда будет следовать, что все возможное истинно. Несложный термин, который возможен, я называю истинным, а невозможный — ложным. Но можно усомниться в сложном термине, таком, как «Л, содержащее 5», т. е. «Л есть В». Разложение сложного термина я понимаю как разложение на другие сложные термины. Так, пусть (Л есть В) = L, и В = CD, и (Л есть С) = Л/, и (Л есть D) = Nf тогда получится L = MN. Если разложить субъект Л, то невозможно вместо Л подставить часть его значения, по следует подставить все значение, о чем я хотел заметить попутно. И если С = EG, и D = г-. FG, и Л = EFG, М может быть разложено на следующие два: (Л = EFG) = Р и (EFG = Л?) = По если идти дальше, для определения требуется, чтобы была очевидна его возможность, т. е. необходимо доказать, что Л возможно, т. е. доказать, что EFG не включает противоречия, т. е. не включает X пе-Х. Но в этом можно убедиться только на опыте, если известно, что Л существует или существовало и поэтому возможно (или по крайней мере существовало нечто подобное Л, хотя на деле, может быть, и нельзя привести такой случай, ибо две полные вещи никогда не бывают подобными, а что касается неполных, достаточно, чтобы из двух подобных существовала одна как неполная, т. е. чтобы общая деноминация считалась возможной (более того, это представляется полезным; так, если существует хоть одна сфера, то можно по праву утверждать, что любая сфера возможна)) 21.

Отсюда ясно, что дело обстоит одинаково как в случае сложных1 так и в случае несложных терминов. Ибо дока- зать истинность сложного термина — значит свести его к другим истинным сложным терминам, а их в конце концов — к сложным терминам, являющимся первыми истинами, т. е. к аксиомам (т. е. предложениям, которые истинны сами по себе), определениям пес ложных терминов, о которых доказано, что они истинны, и к данным опыта. Подобным же образом истинность несложных терминов доказывается сведением их к другим истинным несложным терминам, а их в свою очередь — к другим несложпым термипам, которые являются первыми истинами, т. е. к терминам, которые постигаются сами по себе, либо к терминам, известным нам из опыта (или подобным тем, с которыми мы имеем дело в опыте, хотя и нет необходимости добавлять это, ибо можно доказать, что при существовании одного возможного среди подобных и остальные являются возможными). Так, всякое разложение как простых, так и сложных терминов находит завершение в аксиомах, терминах, которые постигаются самн по себе, и в данных опыта. Это разложение осуществляется по отношению к любому термину подстановкой значения, ибо даже при подстановке содержимого вместо содержащего подставляется неопределенное значение, как было указано выше, в п. 16. (62)

Всякое истинное предложение может быть доказано. Поэтому, так как данные опыта суть в свою очередь истинные предложения, отсюда следует, что если не существует никакого иного способа доказательства, кроме описанного выше, то и данные опыта могут быть в свою очередь разложены на аксиомы, термины, постигаемые сами по себе, и на данные опыта и что невозможны никакие первые данные опыта, кроме тех, которые известны сами по себе, т. е. аксиом. (63)

Возникает вопрос, могут ли данные опыта разлагаться на другие данные до бесконечности (без ссылки па опытные данные), возможно ли существование такого доказательства, которое принимало бы, что доказательство предложения обязательно предполагает доказательство другого предложения, не являющегося ни аксиомой, пи определением и потому в свою очередь нуждающегося в доказательстве. Отсюда необходимо, чтобы некоторые несложные термины могли непрерывно разлагаться так, чтобы никогда не доходить до таких, которые постигаются сами по себе. Иначе из полного разложения будет ясно, окажется ли виртуальное совпадение формальным, т. е.

выраженным, или редукция дойдет до тождественных предложений. (64)

Таким образом, спрашивается, возможно ли, чтобы разложение несложных терминов могло продолжаться до бесконечности, так чтобы никогда не дойти до таких, которые постигаются сами по себе. Ведь если у нас нет никаких понятий, воспринимаемых сами по себе, которые могут быть отчетливо восприняты, или есть только одно такое понятие (например, сущего), из этого следует, что ни одно предложение не может быть совершенным образом рационально доказано; ибо даже если это можно было бы сделать из определений и аксиом без данных опыта,; всё же определения предполагают возможность термипов и потому разложение либо на постигаемые сами по себе, либо на познанные на опыте и, следовательно, сводятся к опыту, т. е. к другим предложениям. (65)

Поэтому, если мы скажем, что продолжение разложения до бесконечности возможно, тогда по крайней мере можно будет увидеть, возможно ли свести продвижение в анализе к некоторому правилу; подобное правило последовательности обнаружится в доказательстве сложных терминов, в которые входят несложпые, разложимые до бесконечности. (66)

Поэтомуft если при продолжении анализа предиката и субъекта никогда не может быть доказано совпадение, но из продолжения такого анализа и правил, возникающих из этой последовательности, обнаружится по крайней мере, что противоречив никогда не возпикпет, предложение является возможным. А если из правила последовательности при разложении обнаружится, что различив между теми, которые должны совпадать, становится меньше любого данного, то будет доказано, что предложение истинно. Если же, паоборот, из такой последовательности обнаруживается, что пичего подобпого никогда не произойдет, то будет доказано, что оно ложно. Это, разумеется, имеет место только в случае необходимых предложений 22. (67)

Необходимым же является такое предложение, противоположное которому невозможно, т. е. противоположное которому при разложении доходит до противоречия. Таким образом, необходимое предложение — это то, которое может быть доказано через тождественные предложения и определения, без всяких ссылок на опыт, за исключением того, что из него известно, что термин возможен. (68)

Но, кроме того, необходимо исследовать, откуда мне известно, что я продвигаюсь правильно в определении, ибо, если я говорю: А = EFG, я должен знать не только что Е, F, G возможны по отдельности, но и что они сопоставимы друг с другом, а последнее, очевидно, может быть достигнуто не иначе чем посредством опыта или с самой вещью, или с другой вещыо, подобной первой, по крайней мере в том отношении, о котором идет речь. Но если кто-нибудь скажет, что я могу, во всяком случае, знать это из идей, содержащихся в моем уме, в то время как я зпаю из опыта, что я постигаю EFG, которое называю At я отвечу, что, говоря, что я понимаю Е, я могу или постигать нечто, что, как я знаю из опыта, не включает ничего другого, или постигать нечто составное, что воспринимается мною смутно. Если я убеждаюсь на опыте, что Е по включает ничего иного, т. е. постигается само по себе, тогда можно допустить, что оно возможно. Но об этом могут утверждаться только тождественные предложения, а иначе мои утверждения о том, в чем я убедился на опыте, что оно не включает ничего другого, ложны. Если я на опыте убеждаюсь, что Е включает больше вещей, они в свою очередь должны рассматриваться подобным же образом, и, сколько бы ни присоединять вещей, которые не постигаются сами по себе, нужен опыт не только относительно того, что они постигаются одновременно в одном и том же субъекте, ибо такое понимание смутно, по и относительно того, что они действительно существуют в одном и том же субъекте. (69)

Таким образом, к первым принципам относится то, что термины, существование которых мы открываем в одном и том же субъекте, не включают противоречие. Т. е. если А есть В и А есть С, то в любом случае ВС возможно, т. е. не включает противоречие. (70)

Бог судит о возможности вещей только из своего умственного опыта без какой-либо перцепции чего-либо еще. (71)

Что следует сказать о предложении «А есть существующее», или «А существует»? Например, если бы я сказал о существующей вещи: «А есть 5», что то же самое, как если бы я сказал: «АВ есть существующее»; например, «Петр есть отрекающийся», т. е. «Отрекающийся Петр есть существующий». Здесь встает вопрос, как следует продвигаться в анализе, т. е. включает ли термин «отрекающийся Петр» «существование», или же «существующий Петр» включает «отречение»? Или вообще «Петр» включает и «существование», и «отречение», как если бы я сказал: «Петр есть действительно отрекающийся», т. е. «существующий отрекающийся», что, конечно, истинно? II так следует говорить вообще, и такое различие существует между индивидуальным, т. е. полным термином, и остальными; потому что, если я скажу: «Какой-то человек есть отрекающийся», то «человек» не будет содержать «отречения», как неполный термин. И «человек» не содержит всего того, что может быть сказано о том, о чем он сам может быть сказан. (72)

Отсюда, если имеется BY и любой неопределенный термин является излишним (как «некий Александр Великий» и «Александр Великий» суть одно и то же), тогда В есть индивидуальный [термин) 23. (73)

Но спрашивается, что значит «существующее»? Во всяком случае, «существующее» есть «сущее», т. е. возможное и что-то еще кроме этого. Если же рассматривать все существующее в совокупности, то я не вижу, что иное мыслится в существующем, кроме некоей степени сущего, поскольку она может быть отнесена к различным существам. Впрочем, я не хотел бы сказать, что «то нечто,, что существует» есть возможное, т. е. возможное существование, ибо это есть не что иное, как сама сущность; мы же имеем в виду действительное существование, т. е. нечто добавленное к возможности или сущности, так что в этом смысле «возможное существование» было бы то же,, что и действительность, оторванная от действительности, что абсурдно. Итак, я утверждаю, что существующее есть сущее, так как оно сопоставимо со многими [вещами],, т. е. наиболее возможное сущее, и все сосуществующие вещи равно возможны. Или, что сводится к тому же, «существующее» есть то, что угодно некоему мудрому и могущественному; но в таком случае предполагается само «существование». Во всяком случае, можно дать определение: существующее есть то, что угодно некоему разуму и не встречает неодобрения у другого, более могущественного разума, если предположить, что какие-либо другие разумы существуют. Таким образом, дело сводится к тому, что можно сказать: существовать — это значит пе вызывать неудовольствия наимогущественнейшего разума, предполагая, что наимогущественнейший разум существует. Но чтобы это определение могло быть приложимо к опыту, лучше определить так: существует то, что угодно ка- кому-то существующему разуму («существующему» не следует добавлять, если мы ищем определение, а не простое предложение) и не вызывает (абсолютно) неодобрения наимогущественнейшего разума. Разуму же скорее угодно то, что имеет основание, чем то, что такового не имеет. Ведь если есть несколько [вещей] — А, В, С, D — и нужно выбрать одну из них и В, С, D во всем подобны и только А чем-то отличается от остальных, любому разуму, осознающему это, будет угодно А. Точно так же, если различие проявляется не между В, С, Z), а между ними и А и разум решит выбрать, он выберет А. Но изберет свободно, потому что он может проверить, пет ли различия между В, С, D. (74)

Все экзистенциальные предложения, хотя и истинны, не необходимы, поскольку не могут быть доказаны без использования бесконечного числа предложений, т. е. разложением до бесконечности, т. е. доказываются из полного понятия индивидуального, которое включает бесконечное существование. Так, если я говорю: «Петр отрекается», попимая при этом определенное время, тогда предполагается и природа этого времени, которая включает и все существующее в это время. Если я скажу «Петр отрекается» неопределенно, абстрагируясь от времени, тогда, чтобы это было истинно, следует сказать либо «отрекся», либо «готов отречься», во всяком случае, придется строить доказательство от понятия Петра, но понятие Петра полное, а поэтому включает бесконечное множество вещей, и потому невозможно прийти к совершенному доказательству, но можно все больше и больше приближаться к нему, так что различие будет становиться меньше любого данного. (75)

Если бы мне удалось, на что я надеюсь, представить все предложения как термины, и гипотетические как категорические, и рассматривать все предложения универсально, то это обещало бы удивительное облегчение для моей характеристики и анализа понятий и явилось бы исключительно важным открытием. Действительно, вообще я называю термин «ложным», если в случае несложных терминов он является невозможным или по крайней мере пе имеющим значения, а в случае сложных терминов является невозможным предложением или по крайней мере предложением, которое не может быть доказано. Итак, остается аналогия. Таким образом, под А я понимаю или несложный термин, или предложение, или собра- ниє, или собрание собраний и т. д. Так что вообще истинным является термин^ который может быть понят совершенно,

(76) Кроме «сущего» мы будем употреблять и «сущности», из которых происходят целое и часть, и вообще если Л не есть 5 и 5 не есть А и первоначальными являются следующие [предложения]: «А есть L и В есть L есть то же, что и С есть L», то С называется «целым»,} А (или В) — «частью». Можно сомневаться, является ли и до какой степени С единым реальным сущим, и всегда ли из многих, даже отдаленных, получается единое сущее* и когда получается, а когда нет 24. (76)

Не-Л есть не-(Л5), т. е. не-Л = У ие-АВ. Всякий не-человек есть не-(разумный человек). Это следует из п. 77. (77)

Вообще «А есть Б» есть то же, что и «не-В есть не-Л». Отсюда предшествующее доказательство, ибо АВ есть А. Следовательно, не-Л есть но-АВ 25. Следует рассмотреть, можно ли доказать это. Доказано ниже в п. 95 и 99. (78)

Л = 5 и не-Л=не-Б совпадают. (79)

Но если Л есть то не следует, что не-Л есть не-5, т. е. если «Человек есть животное», то отсюда но следует, что «Не-человек есть не-животное». Таким образом, хотя вместо Л можно подставить Я, нельзя, однако,, поэтому вместо не-Л подставить не-#, если только в свою очередь Л не может быть подставлено вместо В. (80)

Следует рассмотреть, возможно ли обойтись без бесконечных [терминов]2С. Конечно, не-Л представляется тем же, что и «то, что не есть Л», т. е. субъектом отрицательного предложения, предикатом которого является At т. е. «все, что не есть Л». Таким образом, если У не есть Л „ то У = не-Л,: т. е. У не = AXit являющееся тем же, что У = не-Л. (81)

У, т. е. неопределенный У с черточкой, обозначает у меня «любой». У есть одна неопределенная вещь, У —• любая. (82)

Конечно, можно сказать и так: «В не есть Л» есть то же, что и «В есть не-Л». Отсюда «В не = Л У» есть то же, что «5 = У не-Л». (83)

Вообще «Л есть В» есть то же, что «Л = ведь это ясно из того, что В содержится в Л, и из того, что одно и то же «человек» и «человек-животное». Выше,

в п. 16, я это отметил. И хотя отсюда, по-видимому, получается «Человек есть разумное животное животное», однако «животное животное» есть то же, что и «животное», как я отметил в п. 18. (84)

Отсюда, если предложение «Л есть В» рассматривается как ложное, т. е. отрицается, это то же самое, что сказать: А не = АВ, т. е. «Некоторое А не есть В». (85)

«Л есть не-5» — это то же, что сказать: А = А (не-5). Это ясно из п. 83. Если сказать, что А — А не-В ложно, т. е. А не = А не-/?, это означает «Некоторое А есть В». (86)

Опять же не-В есть то же, что и «то, что не есть B»t т. е. род, виды которого суть А, С, D и т. д., если принято^ что А не есть В, С не есть В, D не есть В. (87)

Таким образом, «Ни одно А не есть В» есть то же,; что и «А есть не-В», т. е. что любое А есть одна из тех вещей, которые не есть В. Или «Л У не = ABY» есть то же самое, что «Л = Л не-В». Следовательно, мы имеем переход между неопределенными утвердительными и отрицательными [предложениями]. (88)

Кстати заметим, что вообще «Л есть АВ» есть то же, что и «Л совпадает с АВ», т. е., если предложение «Л есть АВ» истинно, опо будет взаимообратимо. Я доказываю это так: Л есть АВІ по предположению, т. е. (по п. 83) Л = AABf т. е. (по п. 18) Л = АВ. То же самое доказывается так: А есть АВХ по предположению, и АВ есть Л (по п. 38). Следовательно (по п. 30), Л = АВ. Эти два доказательства сравнимы между собой, ибо они или приводят к одному и тому же результату, или в состоянии доказать некоторые предложения, принятые без доказательства 27. (89)

Рассмотрим частноутвердительное предложение «Некоторое животное есть человек». BY = AZ. Его можно изменить следующим образом: BY = ABY, т. е. можно сказать: «Некоторое животное есть человек» — это то же самое, что и «Некоторое животное есть человек-животное». Это очевидно из п. 83. Ведь не имеет значения, что Y является неопределенным, ибо, каким бы он ни был, можно представить его известным и наличествующим, тогда рассуждение во всяком случае было бы правильным. (90)

Впрочем, хотя таким образом в предикате можно было бы всегда избегать неопределенного У, однако его нельзя избежать в субъекте, и лучше оставить его и в предикате ради более очевидной инверсии. И вообщел по- скольку невозможно совершенно отбросить неопределенные, лучше их оставить 28. (91)

А есть В, тогда А не есть не-В. Пусть будет истинным, что А есть не-В, если это возможно. Теперь А есть В, по предположению. Следовательно, А есть В не-В, что абсурдно (ср. ниже п. 100) 20. (92)

Вывод: Если А не есть не-В, тогда А есть В но имеет силы 30, т. е. «Всякое животное есть не-человек» ложно, по отсюда не следует, что «Всякое животное есть человек». (93)

Если А есть В, то не-В есть не-Л. Пусть будет ложно, допуская это как возможное, что не-В есть не-Л, т. е. не-В не есть Л; тогда будет истинным, что не-В есть Л. Следовательно, «Некоторое Л есть пе-В». Следовательно,, ложно, что «Всякое Л есть В», вопреки предположению. (94)

Если не-В есть не-Л, Л есть В. Пусть будет лож- пым, допуская это как возможное, что Л есть В. Следовательно, Л будет не-В. Следовательно, «Некоторое не-В будет Л» (по обращению). Следовательно, ложно, что «Некоторое не-В есть не-Л» (по п. 91). Следовательно, еще более ложно, что «Всякое не-В есть не-Л», вопреки предположению. (95)

«Л есть В» — это то же, что «не-В есть не-Л»; это ясно из п. 93, 94, 30. Нужно рассмотреть, может ли предложение 95 быть доказано из самого себя, без помощи 93, 94? Это показано в п. 99. (96)

Не-не-Л = Л. (97)

«Ни одно Л ие есть В» есть то же, что «Л есть не-В» (по п. 87). (98)

«Всякое Л есть В» есть то же, что «Ни одно Л не есть не-В», т. е. «Некоторое Л пе есть пе-В». Это очевидно из п. 97 или п. 87, если только вместо В подставпть не-В и вместо не-В подставить не-не-В, т. е. В 31. (99)

«Л есть В» есть то же, что «Л есть не-пе-В» (ш> п. 96), а последнее — то же (по п. 87), что «Ни одно А не есть пе-В» (п. 87), т. е. «Ни одно не-В не есть Л» (по обращению общеотрицательного), т. е. (по п. 87) «Всякое не-В есть не-Л» = «Л есть В». Что и требовалось доказать. (100)

Если Л есть В, то следует, что Л не есть не-В, т. е. ложно, что «Всякое Л есть не-В». Ибо если Л есть В, то во всяком случае «Ни одпо Л не есть не-В», т. е. ложно, что «Некоторое Л есть не-В» (по п. 87). Следовательно (по п. 101), еще более ложно, что «Всякое А есть ие-В». Добавь п. 91. (101)

Если ложно «Некоторое А есть В», ложно и «Всякое А есть В»; т. е., что то же самое, «Некоторое А не есть В», следовательно, «Всякое А не есть В». Ибо, предположив, допуская как возможное, что «Всякое А есть В», получаем: «Некоторое А есть В» (по п. 29). Но это противоречит предположению, более того — ложно, следовательно, ложно и первое. (102)

Если А есть В и А есть С, это то же самое, что А есть ВС. (103)

Если А есть не-В и А есть не-С, это то же самое, что А есть пе-В не-С. (104)

Не-В есть не-(ВС). Это доказано в и. 7(3. Но не всегда не-(ВС) есть не-В. Следовало бы изобрести формальный, т. е. общий, модус предложения, как если бы я сказал: ложно, что всякое сложное отрицательное есть простое отрицательное, т. е. не-УХ не = не-У, так что У

и X обозначали бы любые подобные предложения. (105)

Если А есть не-(ВС), то отсюда пе следует ни что А есть не-В, пи что А есть не-С, ибо может случиться, что В = LM и С = NP и что А есть иe-(/JV), в результате чего А будет ne-(LMNP), т. е. не-(ВС). Между тем отсюда следует ложность того, что одновременно А есть В и А есть С, т. е. А есть ВС. Это очевидно из п. 91 или 100. (106)

Из этого ясно, что «не» ни в коем случав не должно отрываться от буквы или формулы, к которой оно присоединяется в исчислении. (107)

Всякое сочетание предложений может быть представлено в обобщенном виде так: ABCD и т. д. Мы можем сказать, что АВ -- L, LC = Л/, MD = Лг, принимая, что какие-то из них, например L, или Л/, или N, могут подобным же образом быть разложены, а термины, на которые они в свою очередь разлагаются, по-видимому, могут быть разложены в зависимости от обстоятельств. Линия, проведенная над буквами, например АВ, может обозначать утверждение или отрицание пли скорее совпадение или несовпадение; линия может иметь знак как посредине, так и по краям — посредине для обозначения модуса предложения, утвердительное оно или отрицательное и т. д., с краю же может быть знак, который покажет, является ли А общим термином пли частным и т. д., и аналогично линия, относящаяся к В, покажет то же по отношению к В. Если мы имеем

4 5 6

1 2 3

А В Су

место 1 обозначит количество или качество и т. д., в соответствии с которым здесь употребляется термин А у т. е. способ употребления термипа А; место 2—природу предложения АВ; место 3 — модус термина В; место 4 — способ употребления тоо АВ, т. е. L; место 5 — природу

предложения ABC, т. е. LC\ место б — модус термина С. В числах можно было бы соблюдать такой порядок, чтобы начинать с наиболее подчиненных, т. е. с низшей ступени подчинения, т. е. с терминов более близких несложны^ как если бы было

13 14 15

10 и 12

7 8 9

1 2 3 4 5 6 А В С DBF.

Отсюда можно понять, сколь удивительными способами могут варьироваться отношения и деноминации терминов как в отношении порядка, если рассматривать лишь расположение чисел, так и в отношепии значения каждого числа, если учитывается только количество и качество.

(108) Всякий термин, даже несложный,- может рассматриваться в качестве предложения, как если бы к нему прибавили «то это сущее». Так, «человек» может рассматриваться как если бы говорилось: «Человек есть то же„ что это сущее», т. е. есть то же самое, что он есть, т,- е.„ или скорее более обще, как если бы было добавлено «действительно» (то verum), например: «Это действительно человек», «Действительно, человек есть животное», и «это действительно» здесь подобно единице в арифметике для заполнения места или величины. Т. е., если предположить* что все с чем-то соединяющееся подразделено столькими же способами, как и то, с чем оно соединяется, так что термин соединяется только с одинаково сложным или несложным, и если «действительно», т. е. единицу, записывать как Vx из предшествующей таблицы получится сле- дующая, где места заполнены. Ведь можно сказать, что «А (есть то же, что это действительно)» есть то же, что «Это действительно, что это действительно». Но следует заметить, что само F, которое было добавлено, всюду должно быть изменяемо: А = А есть действительно, т. е. А = действительно 32.

43 44 45

37 38 39 40 41 42

25 20 27 28 29 30 31 32 33 34 35 30 і 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 AVVVBV CD Ц V V V F V V V (109)

Подобно тому как любой термин может рассматриваться как предложение, как мы это показали, так и любое предложение может рассматриваться как термин. Так, «Действительно, человек есть животное» есть предложение, есть нечто такого рода, есть основание и т. д. Это служит построению наиболее общих высказываний об этих сочетаниях. (110)

Можно также образовать новые рефлексивные термины, которые могут трактоваться так же, как и прямые, поскольку такой-то (человек или вещь) субъект предложения может называться каким-то именем. И надо посмотреть, как и сами эти деноминации могут в свою очередь быть объяснены через буквенные обозначения. Например, если субъект общеутвердительного предложения является предикатом другого утвердительного предложения, субъект которого есть предикат предыдущего, то говорится, что субъект должен быть тот же, что и предикат того же предложения. Если же кто-нибудь захочет выразиться строго, как это делают логики, или даже обычным языком, оп обнаружит в своих предложениях достаточно трудностей, если, например, захочет сказать, что субъект общеутвердительного предложения, предикатом которого является субъект общеутвердительного предложения, в котором субъект есть предикат предыдущего предложения, тождествен предикату названного предложения, субъектом которого он является. Но и таким образом он не сможет избежать относительных терминов «названного», «предыдущего». Насколько адекватнее, короче, яснее мы скажем так: Если А есть В и В есть А, то А есть то же самое, что В. Доказательство этому можно легко дать, как это и было сделано выше, применив буквенные обозначения. Выражение же с помощью слов было бы, несомненно, весьма сложным, и пришлось бы обращать особое внимание на правильность их расположения. Я полагаю, что, будучи правильно расположены, они дадут тот же результат, хотя и не уверен, что столь же ясный. Точно так же и выводы легко получаются с помощью букв; это очевидно уже из того, что, как мы говорим, что Л есть то же, что само А, так и В можно назвать тем же, что само В. Последнее, как мне кажется, не столь же просто обнаруживается с помощью слов. (111)

Необходимо заметить, что возможно также по отношению ко всей цепи разложения найти некоторые общности, касающиеся этого процесса, хотя бы разложение и продолжалось до бесконечности. Во всяком случае, относительно этого можно найти подходящие рефлексивные слова, как и некоторые буквенные обозначении,

например У. Но польза этого станет яснее в самом процессе. (112)

Рассмотрим, но берется ли У в несколько ином смысле, когда говорится, что Л У есть В, т. е. «Некоторое Л есть В», чем тогда, когда отрицается, что какое-либо Л есть В, так что происходит не только отрицание того, что «і Іекоторое Л есть В», т. е. что это неопределенное Л есть В, но также и того, что любое из неопределенных Л есть />. Так что, когда говорится, что «Ни одно Л не есть В», смысл этого в том, что отрицается, что Л У есть В, ибо У есть У, т. е. любой У содержит этот У. Таким образом, когда я говорю: «Некоторое Л есть В», я говорю, что это «некоторое Л» есть В; если я отрицаю, что «Некоторое Л есть В», т. е. что это «некоторое Л» есть В, я, по-видимому, устанавливаю только частноотрицателышо предложение. Но когда я отрицаю, что любое Л есть В, т. с. что не только это, но и это, и это Л есть В, тогда я отрицаю, что У Л есть В. Отсюда, говоря, что мы отрицаем, что «Некоторое Л есть В», т. е. утверждая, что «Некоторое Л не есть В», мы, по-видимому, не утверждаем, что «Пи одно Л не есть В»; аналогично утверждение, что «Всякое Л не есть В», по-видимому, но означает отрицания того, что «Всякое А есть В», но лишь утверждение о любом Л, что оно не есть В. Тем не менее одним из основополагающих является положение, что отрицание общеутвердительного обязательно есть частноотрицательное. Таким образом, отрицание част- иоу твердите л ьного не может быть частноотрицательным, ибо отрицание частноутвердительною и общеутвердн- тельиого не может быть одним и тем же. Остается, следовательно, что оно общеотрицателыюе, ибо оно не может быть ничем иным 33. (113)

Это удобно показать с помощью фигур. А есть Л, т. е. А совпадает с некоторым В, т. е. А совпадает с АВ.

А і

В і (114)

Некоторое А есть В, т.е. некоторое А совпадает с некоторым В.

А ——

В (115) Отсюда А = А. Вообще нужно представить горизонтальными параллельными линиями, из которых одна проведена под другой в целях пх различения, а одна над другой. (116)

АВ = BY, где под У я по- тшмаю все то, что в целой линии В подпадает под А.

А В вообще

А

В

Все это очевидно из рассмотревия фигуры. (117)

А = BY есть то же, что А = ВА. { (118)

А = ВУ, следовательно, BY = AY. (119)

А = BY и В = AY есть то же, что и А = В. (120)

Отрицание предложения «Некоторое А есть /?», т. е. отрицание того, что некоторое А совпадает с некоторым В, будет выражено так:

В

I-

(121) Но отрицание предложения «Всякое А есть В» будет выражено так 34:

А 1 (122)

Можно это рассматривать и по-другому, так что род не будет приниматься за часть вида, как мы это делали несколько раньше, на основании того, что понятие рода есть часть понятия вида (или по крайней мере включаемо в него), но, наоборот, вид будет частью рода на основании того, что индивидуумы вида суть часть индивидуумов рода (или по крайней мере включаемы в него). (123)

Итак, «Всякое Л есть В» будет представлено так:

At

Bt

Такое представление есть обращение предыдущего. Таким же образом представление частноотрицательного есть обращение предыдущего. Но частноутвердительное и общеотрицательное представляются таким же образом, как и раньше, поскольку не имеет никакого значения, что поставить перед или после, и, следовательно, в общей форме можно сказать, что первое представление отличается от второго по крайней мере тем, что линии в фигуре переставляются. (124)

Есть и другое представление предложений — с помощью чисел. Так, если ставить вместо терминов числа, общеутвердительное «А есть В» будет означать, что А (или по крайней мере квадрат или куб этого А) может делиться на В. Ибо А и АВ рассматриваются здесь как тождественные. (125)

Частноутвердительное «Некоторое А есть Вь означает, что Л, умноженное на 5, т. е. ЛВ, может делиться на В. При этом подразумевается, что А В всегда может делиться на Л, если только Л не уничтожается

Q

в АВ, например если Л обозначает-^ и С не может делиться на В. (126)

Частпоотрицательное: ложно, что Л может делиться на В, хотя возможпо, что АВ может делиться на В. (127)

Общеотрицательное: ложно, что АВ может делиться на В; причиной этого является только то, что Л

1

содержит

Таким образом, собственно общеотрицательное имеется в случае, если Л содержит не-В. Отсюда логически следуем что общеотрицательное противоположно частно- утвердительному, ведь если А делится на В, то не может быть, чтобы А умножалось на В 3\ (128)

Следовательно, мы имеем выражения: «А =з t= АВ» есть общеутвердительное предложение; «АВ = := ЛВ» есть частноутвердительное, ибо оно также ложно, если ложно частпоутвердительное, потому что тогда А В является невозможным термином, поскольку А содержит не-Z?. «А = А не-В» есть общеотрицательное. Отсюда следует, что частноутвердительное ложно, т. е. АВ есть невозможный термин или скорее ложный (ведь если это нельзя полностью доказать иначе, чем разложением до бесконечности, он ложен, а не невозможен). Наконец, част- ноотрицательное есть «А не-В = А не-В». И это я также вывел из наблюдения над числами. Таким образом мы совершенно исключили неопределенный У. И это мы также узнали из чисел. (129)

С помощью чисел можно доказать все, соблюдая только, чтобы АА и А были равносильны и чтобы не допускалось ~, ибо умножение представляет здесь комбинацию понятий, но если какое-то понятие непосредственно добавляется к самому себе, например «человек человек», то это есть не что иное, как «человек». Деление же здесь представляет отрицание одного термина другим, разумеется, когда оно не может быть точным. Итак, когда А может быть точно разделено на В, т. е. когда А содержит В, тогда получается общеутвердительное предложение «А есть В». Когда А может точно делиться на не-В, т. е.

1 1 на т. о. когда А содержит дробь(которая представляет не-В), имеется общеотрицательное. Но когда А не делится точно на В, возникает частноотрицательное,

, 1

а когда А не делится точно на , возникает частноутвердительное. Так я раскрыл тайну, над которой безрезультатно мучился несколько лет зв. (130)

Истинное предложение есть то, которое может быть доказано. Ложное есть то, которое не есть истинное. Невозможное предложение есть то, в которое входит противоречивый термин. Возможное — то, которое но есть невозможное. Всякое ли общеотрицательное предложение невозможно? Представляется, что это именно так, потому что здесь имеются в виду понятия, а не существующие вещи. Так, если я говорю: «Ни один человек не есть животное», я подразумеваю не только существующих людей, но отсюда будет следовать, что отрицаемое о некотором индивидууме, например о Петре, необходимо отрицается о ном. Следовательно, нужно отрицать, что всякое общеотрицательное предложение невозможно, а на возражение можно ответить, что «Л содержит не-В» доказывается либо путем демонстрации, т. е. полным разложением, либо только анализом, который может быть продолжен до бесконечности, т. е. всегда неполным. Таким образом, оно во всяком случае определенно, хотя л не необходимо, потому что оно никогда но может быть сведено к тождественному предложению либо противоположное ему не может быть сведено к противоречивому. (130)

Следовательно, истинно то, что может быть доказано, т. е. то, основание чему может быть приведено через разложение. Ложно то, что противоположно этому. Необходимое есть то, что разложением сводится к тождественному. Невозможное есть то, что разложением сводится к противоречивому. Ложным является термин или предложение, которые содержат противоположности, каким бы образом они ни доказывались. Невозможным является то, что содержит противоположное, доказываемое сведением к конечным. Следовательно, А = АВ, если доказательство осуществлено через конечное разложение, должно отличаться от Л = АВ, если доказательство осуществлено через разложение до бесконечности. Отсюда возникает проблема необходимого, возможного, невозможного и случайного. (131)

Разложение бывает двух родов: либо понятий в уме, без участия опыта (за исключением рефлексивного опыта, касающегося того, что мы постигаем), либо восприятий, т. е. опытных данных. Первое не нуждается в доказательстве и не предполагает нового предложения, оно истинно в той мере, в какой истинно все то, что я воспринимаю ясно и отчетливо. Второе предполагает истинность опыта. Только Богу доступно разложение собственных понятий, которое целиком происходит в нем самом. Отсюда ему известны также и случайные истины, совершенное доказательство которых превосходит возможности всякого конечного интеллекта. (132)

Всякое истинное предложение может быть доказано, потому что предикат находится в субъекте, как говорит Аристотель, т. е. понятие предиката включается в совершенно осмысленное понятие субъекта, и всегда есть возможность доказать его истинность разложением терминов на их значения, т. е. на те термины, которые они содержат. (133)

Истинное необходимое предложение может быть доказано сведением его к тождественным или противоположного ему — к противоречивым; отсюда противоположное ему называется невозможным. (134)

Истинное случайное предложение не может быть сведено к тождественным, однако оно доказывается ссылкой па то, что, если разложение продолжать все дальше и дальше, оно постоянно приближается к тождественным, но никогда не может их достигнуть. Поэтому один только Г>ог, охватывающий мыслью все бесконечное, может познать все случайные истины в их полной определенности. (135)

Отсюда отличие необходимых истин от случайных аналогично различию пересекающихся линий и асимптот или соизмеримых и несоизмеримых чисел. (136)

Но здесь возникает трудность: мы можем доказать, что некая линия, а именно асимптота, постоянно приближается к другой н (так же как в случае асимптот) что два количества равны, показывая, что будет в случае бесконечно продолжаемой прогрессии. Так и люди будут в состоянии охватить случайные истины с полной определенностью. Но следует сказать, что, хотя здесь и есть сходство, полного совпадения нет. И возможны отношения, которые, как бы далеко мы ни продолжали разложение, никогда по раскроют себя в той мере, в какой это необходимо для определенности знания, и могут быть постигнуты совершенно только тем, чей интеллект бесконечен. Конечно, как об асимптотических линиях, так и о несоизмеримых числах її о случайных истинах мы можем многое уяснить с определенностью, исходя из того самого принципа, что всякая истина должна быть доказуема; и отсюда если в предположениях все одинаково, то не может быть и никакого различия в заключениях и других вещах того же рода, которые истинны как для необходимых, так и для случайных предложений, поскольку они рефлексивны. Однако дать полное основание для случайных вещей мы так же не можем, как не можем беспрерывно следовать асимптотам и пробегать бесконечные ряды прогрессий чисел. (137)

Мы раскрыли многие весьма важные тайны, касающиеся анализа всех наших мыслей и нахождения и доказательства истин. Мы показали, каким образом все истины могут быть выражены числами, как возникают случайные истины и почему они иногда обладают природой несоизмеримых чисел, каким образом абсолютные и гипотетические истины имеют одни и те же законы и охватываются одними и теми же общими теоремами, так что все силлогизмы становятся категорическими, наконец, каково происхождепие абстрактных терминов, что будет полезно разъяснить более точно. (138)

Действительно, если предложение «Л есть В» рассматривать как термин (мы уже разъяспили, как это может происходить), возникает абстракция, а именно «то (Л есть В)», и, если из предложения «А есть В» следует предложение «С есть D», тогда из этого возникает следующее предложение: «то (А есть В) есть (либо содержит) то (С есть Z))», т. е. «В-ность А содержит С-ность D», т. е. «В-ность А есть С-ность /)». (139)

Вообще, если говорить, что нечто есть В, тогда само это «Нечто есть В» есть не что иное, как сама «В- ность»; так «то (Нечто есть животное)» есть не что иное, как «животность», тогда как «то (Человек есть животное)» есть «животность человека». Отсюда мы получаем как абстрактный термин, так и косвенный к нему. (140)

А через какую абстракцию будет выражено, что всякий человек есть животное? Через «животность всякого человека»? Что, во всяком случае, весьма отлично от «всякой животности человека». Ибо если иметь в виду, Что хотя бы какой-то человек — учепый, то термин «всякая ученость человека» истинен, но, если не всякий человек ученый, термин «ученость всякого человека» ложен. Если только кто-нибудь не понимает термин исключительно, как в свое время геометры, включавшие во «всякое движение» и то, скорость чего бесконечно мала, т. е. то, что покоится. По-видимому, «образованность всякого человека» можно было бы назвать «образованностью человечества». Но мне бы этого не хотелось, если мы настаиваем на вышесказанном, а именно что «человечность» кого-то есть не что иное, как то, что «кто-то есть человек». (140)

А поскольку из того, что «Некоторый человек есть ученый» следует, что «Некто ученый есть человек», нельзя ли будет сказать: «Ученость человека есть человечность ученого»? Полагаю, что можно. (141)

87 Каким образом мы выразим количество в абстрактных терминах, например когда А в два раза теплее В, т. е. когда тепло А есть двойное тепло В? «А есть теплое» есть «тепло самого Л». Таким образом, если «то А есть теплое» будет относиться к «то В есть теплое», как 2 к 1, тепло А будет двойным теплом В. Но далее следует рассмотреть, каким образом «to А есть теплое» может относиться к «то В есть теплое», как одно число к другому. Это случается потому, что причина, которая единообразным действием делает А теплым, продолжением подобного же действия делает В теплым; или знак, по которому мы узнаём, что нечто является теплым, континуален и в одном случае в два раза больше, чем в другом. Но здесь необходима большая осторожность, поэтому термометры, указывающие степени тепла, не должны быть разделены равномерно. (142)

Но как в абстрактных терминах выразить отрицательные предложения, например «Некоторый человек не есть ученый»? Конечно, подобно тому как отрицание человека есть «не-человечность», так и отрицание учености человека есть «не-ученость человека». И если сказать: «Ни один человек не есть камень», его абстрактным термином, т. о. «то (Ни один человек не есть камень)» будет «не-каменность всякого человека». Но можно ли сказать «каменность ни одного человека», т. е. «камен- ность не-человека»? Не думаю — ведь это не выражает тот факт, что ни один человек не есть камень. (143)

Следует рассмотреть еще и то, согласуется ли это учение с предикациями абстрактных терминов, и если «Некоторая зеленость есть цвет» есть правильная предикация, то почему? Не потому ли, что отсюда следует, что то, что является зеленым, обладает также цветом? Но посмотрим, нет ли примеров противоположного. Круг единообразен, и тот же круг плосок. Однако нельзя сказать, что единообразность есть плоскостность, потому что из единообразия не следует плоскостности. Но скажем ли мы, что единообразность круга есть плоскостность? Действительно, кажется, что из предложения «Круг единообразен» следует «Круг плосок». Но поистине оно из этого предложения следует пе более, чем из любого другого о круге. Следовательно, предикация абстрактных терминов требует, по-видимому, не только логического вывода, но и еще чего-то кроме этого. Итак, поскольку «Всякий круг единообразен», т. е. если «Л есть круг», то следует, что «Л есть единообразно», можно ли на этом основании сказать, что «круговость» есть «единообразность»? Следовательно, с равным правом можно будет сказать, что «круговость» есть «плоскостность». И поэтому можно будет сказать: «Нечто, являющееся единообразным, есть плоскостность». Но здесь у меня возникают некоторые сомнения. Действительно, если «единообразность» есть то же самое, что и «то быть единообразным», а «плоскостность» — «то быть плоским», не является ли истинным, что иной раз «то А есть единообразное» есть «то А есть плоское». Отсюда можно будет сказать: «Единообразность в отношении к одному центру есть плоскостность», т. е. существование в плоском. И следовательно, подобно тому как в случае конкретных терминов бывают предикации через ограничение, например «Музыкант есть поэт», я не вижу, почему бы их не допустить и в абстрактных терминах: «Некоторая единообразность есть плоскостность». Так, мы будем правы, говоря, что единообразность круга есть плоскостность, и поэтому сможем настаивать на общем правиле. 11о каким образом мы объединим это в «кру- говостп»? Может быть, на том основании, что мы говорим: «Круговость есть единообразность» и «Круговость есть плоскостность», мы будем вправе сказать: «Единообразность есть круговость плоскостности»? И не оказывается ли, что смешиваются функции категорий, так что можно сказать: «Некоторое качество есть количество»? Да, есть количество, поскольку иногда из того, что нечто есть определенного рода, следует, что оно есть определенного размера. Ну и что же? Лишь бы нельзя было сказать, что всякое качество есть количество. Нужно рассмотреть в случае такого предложения в абстрактных терминах, следует ли необходимость в конкретных. Я не уверен, следует лн, даже если заключение истинно; ведь имеются случайные связи, всегда истинные, которые зависят от свободных действий. (144) Предложения бывают или сущностные, или экзистенциальные; и те и другие либо второго, либо третьего присоединения. Сущностное предложение третьего присоединения, например: «Круг есть плоская фигура». Сущностное предложение второго присоединения, например: «Плоская фигура, одинаково относящаяся к какой-то одной точке, существует». Я говорю «существует», т. е. может быть мыслимо, что среди различных фигур есть какая-то, которая обладает указанной природой, подобно тому как если бы я сказал: «Плоская фигура, одинаково относящаяся к какой-то одной точке, есть сущее, или вещь». Экзистенциальное предложение третьего присоеди- it гния: «Всякий человек есть, т. е. существует, подверженный греху». Это, разумеется, есть экзистенциальное, т. е. случайное, предложение. Экзистенциальное предложение второго присоединения: «Человек, подверженный греху, есть, т. е. существует, т. е. есть действительно сущее». (145)

Из всякого предложения третьего присоединения может получиться предложение второго присоединения, если предикат и субъект составляются в один термин и о нем говорится, что он есть, или существует, т. е. говорится, что это есть вещь, или каким-либо иным образом, или действительно существующая. (146)

Частпоутвердительиое предложение «Некоторое А есть В», трансформированное в предложение второго присоединения, будет выглядеть так: «АВ существует», т. е. «АВ есть вещь» или возможная, или действительная в зависимости от того, сущностное ли предложение или экзистенциальное. (147)

Общеутвердительпое предложение пе столь легко (во всяком случае, таким же способом) трансформируется в предложение второго присоединения, ибо из «Всякое А есть В» нельзя легко получить «Всякое АВ существует». Ведь поскольку А В есть то же, что В А, с равным нравом можно было бы сказать: «Всякое ВА существует» и поэтому так же «Всякое В есть А». Следовательно, нужно будет сказать так: «Всякое А, содержащее В, существует». А как можно другим способом свести общеутвердительпое предложение к высказыванию второго присоединения, скоро станет ясным. (148)

Частноотрицательное предложение «Некоторое А не есть В» будет трансформировано в предложение второго присоединения так: «А не-В существует», т. е. А, которое не есть В, есть некая вещь, возможная или действительная в зависимости от того, сущностное ли это предложение или экзистенциальное. (149)

Общеотрицательное трансформируется в предложение второго присоединения через отрицание частно- утвердительного. Так, например, «Ни одно А не есть В» — это то же, что «АВ не существует», т. е. «АВ пе есть вещь». Можно было бы сказать и так: «Ни одно А не есть В», т. е. «Всякое А у содержащее не-В, существует».

609

20 Лейбниц, т. 3 (150)

Общеутвердительпое трансформируется в предложение второго присоединения через отрицание частно- отрицательного так: «Всякое А есть В» есть то же, что «/1 не-В не существует, т. е. не есть вещь», или (как я ска- вал в п. 147) «Л, содержащее В, есть вещь». Однако, как я уже сказал, хотя последнее истинно, оио менее удачно, потому что чрезмерно; ведь В уже содержится в Л, но, если не всякое А есть By из АВ возникает новая вещь. (151)

Следовательно, мы имеем предложения третьего присоединения, сведенные к предложениям второго присоединения так:

«Некоторое А есть В» дает «АВ есть вещь»,

«Некоторое А не есть В» дает «Л не-В есть вещь».

«Всякое Л есть В» дает «Л не-В не есть вещь».

«Ни одно Л не есть В» дает «Л В не есть вещь». (152)

И поскольку самим тождественным предложениям можно доверять только в случае реальных понятий, так что никакую истину нельзя утверждать без опасения столкнуться с противоположным, если не будет известна по крайней мере сущностная, если не экзистенциальная, реальность самих понятий, поэтому четыре вида категорических предложений можно будет выразить следующим образом.

Частноутвердительное: АВ = АВ (т.е. АВ и АВ совпадают, т* е. ЛВ есть вещь).

Частноотрицательное: А не-В = Л не-В (т. е. Л не-В есть вещь),

Общеутвердительноеі А не-В не = Л пе-В (т. е. Л не-В пе есть вещь).

Общеотрицательное і АВ не =s АВ (т. е. АВ не есть вещь), (153)

Но это предполагает, что отрицается всякое предложение, в которое входит термин, не являющийся вещью. Так что всякое предложение остается либо истинным, либо ложным, а ложным является всякое, которому недостает непротиворечивого субъекта, т. е. реального термина. Это, правда, несколько отклоняется от узуса языка в случае экзистенциальных предложений. Но у меня нет оснований беспокоиться об этом, потому что я ищу соответствующие знаки, а не стремлюсь применять к ним общепринятые имена. (154)

Ну а если кто-нибудь предпочитает употреблять знаки таким, например, образом, что Л В существует = = АВу является ли АВ вещыо или нет, и что в том случае, когда Л В не есть вещь, В и не-В могут совпадать, — а именно через невозможное, — я пе имею ничего против. Отсюда следует, что необходимо различать термин и вещц т. е. сущее. (155)

Итак, взвесив все, возможно, лучше будет сказать, что всегда, во всяком случае в символических обозначениях, можно положить, что А г=Л, хотя, когда А не есть вещь, из этого ничего полезного нельзя заключить. Таким образом, если А В есть вещь, отсюда может быть получено YA = ZВ. Ибо из этого может быть выведено АВ =йи АВ = RB. Пусть В = У и Л s= Z, мы будем иметь YA = ZВ. И наоборот, У Л = ZB, следовательно, YAB = Z В; теперь А = В е= (Л) (т. е. Л и В суть вещи). Следовательно, YAB =s Z (Л). Следовательно, ЛВ = ((B)). (156)

Л = Л. Л не = не-Л. ЛЛ = Л. (157)

«Л = В» есть общеутвердителыюе взаимообратимое предложение, являющееся простейшим. Оно сои- падает с «не-Л = не-В», и в случае отрицания можно будет сказать: «Л не = В». (158)

«D = ZC» есть общеутвердительное. (159)

«УЛ = ZC» есть частноутвердительное. (160)

«D = не-Z?» есть общеотрицательное, (161)

= ве-F» есть частноотрицательное зв. (162)

Остаются термины, в которые входят «не-УЛ», т. е. «не такое Л» (т. е. «некоторое не-Л»), отличающиеся от «не-некоторых». Действительно, одно говорит, что ложно, что «Некоторое Л есть В», а другое говорит, что ложно, что «Такое-то Л есть В». А так как отсюда возникает некая двусмысленность, лучше будет вообще исключить букву У, и отсюда появятся такого рода предложения. (163)

«Л = В», а также «пе-Л = не-В» суть простейшие предложения. (164)

«Л = Л В» есть общеутвердительное. (165)

«ЛВ = АВ» при допущении, что АВ есть вещь, есть частноутвердительное, т. е. УЛ = ZB. (166)

«Л = Л пе-В» есть общеотрицательное. (167)

«Л не-В = Л не-В» при допущении, что Л не-В есть вещь, есть частноотрицательное. (168)

Если «Л не = В», тогда или Л не-В будет вещь, или В ие-Л будет вещь. (169)

«ЛВ есть вещь» равносильно «Некоторое Л есть В» и «Некоторое В есть Л».

«Л не-В есть вещь» равносильно «Некоторое Л не есть В» или «Некоторое Л есть не-В».

«Л не-В есть не вещь» равносильно общеутвердитель- пому «Всякое Л есть В». «Л В есть пе вещь» равносильно общеотрпцательному «Ни одно А не есть В» или «Ни одно В не есть А» (170)

Между тем, однако, нужно отличать предложение «Некоторое А есть В» от предложения «Некоторое В есть А» и подобным же образом «Ни одно А не есть Ь» от предложения «Ни одно В не есть А». (171)

Наши принципы таковы.

Во-первых. А = А.

Во-вторых: не-Л — не-Л.

В-третьих: А А = Л.

R-четвертых: «не-не» = опушению «пе», например пене-Л = Л.

В-пятых: если Л = В, то АС = ВС

В-шестых: если Л = В, то ие-Л = ие-/>\

В-седьмых: если Л = В, то Л не = не-В.

В-восьмых: А не-Л не есть вещь. (172)

Если Л = В, то АВ = В. Ибо Л = В, по предположению, следовательно, Л В = ВВ, но 5-му принципу, т. е., по 3-му принципу, АВ = В. (173)

Если Л = ВС, то ЛВ = ВС. Ибо Л = ВС, но предположению, следовательно, Л В = ВВС, по 5-му принципу, т.е., по 3-му принципу, Л В = ВС. (174)

Если не-Л вз В, то не-В = Л. Ибо пусть но-Л == г= В, по предположению, тогда не-пе-Л не В, по 0-му принципу. Но не-пе Л = Л, по 4-му принципу. Следовательно, Л = не-В. (175)

Если А » пе-В, то Л не = В. Ибо пусть Л = = не-В, по предположению, тогда Л не = пе-не-В, но 7-му принципу. Следовательно, по 4-му принципу, А не = В. (176)

Если Л г=ВС, то Л = ЛС. Ибо пусть Л = ВС, по предположению, тогда Л = ЛВС « ВСВС = ВСС

«= /1С. (177)

Если Л = УС, Л =ЛС, как ранее". (178)

Если Л » УС, гл = 7С, ибо Л = УС, по предположению. Следовательно, ZA = 2УС; пусть = V, тогда гЛ = FC. (179)

Если Л = УС, то VC =гл. Ясно из предыдущего. (180)

Если Л = не-ЛС, то Л = не-С (разумеется, если Л есть вещь). Это должно быть тщательно доказано. (181)

Не-ЛС =У не-С (=Z не-Л). | Это (182)

Если У не-С ~ Z ие-Л, то это = не-ЛС. / следует (183)

Ие-Л не-С = У не-ЛС. ] доказать. (184) Всякое предложение в обычпой речи сводится к тому, что говорится, какой термин в каком содержится, а также рассматривается количество 40 содержащего термина или абсолютно, или с добавлением и говорится, что содержит абсолютное содержание. (185)

«Не всякий», «пе некоторый», собственно, не должны встречаться в предложении, ибо они только отрицают предложения, отмеченпые знаком «всякий» или «некоторый», и не создают новый знак «ие-всякий», «не- некоторый». Так, если я предпосылаю «нет» тому, что «Некоторый человек есть животное», это будет тождественным тому, что ложно, что «Некоторый человек есть животное». (186)

«Некоторый человек не есть камень» означает: «Некоторый человек есть не-камень». Аналогично «Всякий человек не есть камень», по-видимому, означает «Всякий человек есть не-камень». Таким образом, вообще мы будем трактовать не перед есть как отрицательный предикат. Но если то не ставится перед знаком количества, мы будем понимать, что отрицается предложение. (187)

Выше я уже указывал, что все касающееся предложения может рассматриваться именно так и как бы сводиться к числам, так что мы можем мыслить термин, т. е. понятие, в виде дроби 41, например ab не-/ не-w == //, что означает, что Н содержит а и fc, но то же II содержит не-/ и не-т. При этом должно соблюдаться правило, чтобы аа было тем же, что и а, и не-а не-а — тем же, что не-а; чтобы не-не-а было тем же, что а, и чтобы один и тот же термин никогда не содержал в одно и то же время а и не-а, т. е. чтобы о термине, который содержит а, не говорилось, что он содержит не-а, или наоборот; наконец, чтобы тот, который содержит ab, содержал также а и тот, который содержит ие-а, содержал также не-а/. (188)

42

(189) Таким образом, принципы будут следующие.

Во-первых: аа = а (откуда ясно, что и не-/; = не-fr, если принять, что пе-Ь = а).

Во-вторых: не-не-а = а.

В-третьих: один и тот же термин не содержит а и не-а, т. е., если одно пстинпо, другое — ложно, либо, по крайней мере, сам такой термин называется не истинным, а ложным.

В-четвертых: «А содержит /» есть то же, «Л есть (==) хі».

В-пятых: не-а содержит нe-ab, т. е., если I содержит а, не-а будет содержать не-/.

В-шестых: все, что говорится о термине, содержащем термин, может быть сказано о предложении, из которого следует другое предложение.

В-седьмых: все, что пе может быть доказано из этих принципов, не следует в силу формы. (190)

Общеутвердительноег «Всякое Л есть L» есть то же, что «Л содержит L», т. е. А = XL.

Частноутвердительное: «Некоторое А есть Lt> есть то же, что «Л, взятое с каким-нибудь добавлением, содержит L». Например, АВ содержит L при допущении, что В или AN содержит L при допущении, что

L =: MN и Л = ВМ, ибо тогда получится AN =5 BM/V =а BL. Отсюда также «Некоторое Л есть L» есть то же, что «Л содержит ?», т. е. AL разуме

ется, при допущении, что AL есть вещь, т. е. истинный термин, который не включает противоположности, такие, как X и не-Х.

Общеотрщательное: «Всякое Л есть не-fl», т. е. Л содержит не-В, т. е. Л = X не-В,

Частноотрицательное} «Некоторое Л есть не-Z», т. е. АХ содержит не-L, т. е. АХ =Z нe-L% т. е. и Л нe-L содержит не-L, т. е. Л нe-L Л не-L, полагая, что Л ее L есть истинный термин, который не включает противоположности. (191)

Если истинно общеутвердительное, истинно и частноутвердительное, т. е., если Л содержит В, так же и некоторое Л содержит Вц Ибо Л = ХВ, по 4-му принципу. Следовательно, ZA = ZXB (по природе совпадающих). И пусть ZX = V (произвольно), тогда ZA =а « VB. (192)

В случае истинных терминов общеутвердитель- иое предложение и частноотрицательное не могут быть одновременно истинными. Ибо пусть Л = XL и VA =* = Z не-L, тогда будем иметь AVA, т. е. VA = AZ пе-? =э s=s XLZ не-Z, а этот термин ложный. (193)

Эти же предложения пе могут быть одновременно ложными. Пусть Л не = AL и Л не-L не = Л не-L, тогда Л не-L — ложный термин, следовательно, Л =а в AL. (194)

Ложный термин — это тот, который содержит противоположные термины Л не-Л. Истинный термин не ложен. (195)

Предложение есть то, что утверждает, какой термин содержится или не содержится в другом. Отсюда предложение может также утверждать, что некоторый термин ложный, если говорит, что в нем содержится У не-У, и истинный, если отрицает это. Предложение есть также и то, что говорит, совпадает ли что-то с чем-то или не совпадает, так как то, что совпадает, взаимно содержится одно в другом. (196)

Предложение, которое содержит противоположности, как * и не-*, ложно. (197)

Само предложение может мыслиться как термин. Так, «Некоторое Л есть В», т. е. «АВ есть истинный термин», есть термин, а именно «АВ истинно». Так же «Всякое А есть В», т. е. «А не-В есть ложно», т. е. ««Л ие-В ложно» есть истинный термин». Так же «Ни одно Л не есть В», т. е. «АВ есть ложно», т. е. ««АВ ложно» есть истинный термин» 43. (198)

Принципы. 1-й: совпадающие могут быть подставлены друг вместо друга. 2-й: А А = А. 3-й: не-не~Л

= А. 4-й: термин, содержащий А не-А, ложен, т. е. неистинен; тот истинен, который не содержит этого. 5-й: предложение есть то, что добавляет к термину, что ОН ИСТШ1ЄІІ или ложен, например если А — термин и ему приписывается, что А истинно или А неистинно, то обычно говорится нросто «А существует», «Л не существует». 6-й: добавление «истинно», т. е. «тоб существует», оставляет все таким, как оно есть, добавление «ложно», т. е. «той те существует», превращает в противоположное. Таким образом, если говорится, что нечто истинное либо ложное есть истинное, оно остается истинным либо ложным; если же говорится, что нечто истинное либо ложное есть ложное, оно из истинного становится ложным, из лож- того — истинным. 7-й: предложение само становится термином, если к термину добавить «истинное» либо «ложное». Например, пусть А — термин и «Л существует» или «Л есть истинное» — предложение; тогда «Л истинное^, т. е. «то истинное Л», т. е. «то существующее Л», будет новый термин, из которого в свою очередь может возникнуть предложение. 8-й: предложение, следующее из предложения, есть не что иное, как консеквент, содержащийся в антецеденте, как термин в термине, и таким методом мы сводим выводы к предложениям и предложения к терминам. 9-й: «Л содержит h есть то же, что Л =з

ХІ (199) Частноутвердительное предложение: «Л В существует». Частноотрицательпое: «А не-В существует». Общеутвердительное: «А не-В не существует» при допущении, что А и В существуют. Общеотрицательное: «АВ не существует». Отсюда сразу же ясно, что их не бывает больше и что есть их противоположности и обращения. Ибо противополагаются частноутвердительное и общеотрицательное, а также частноотрицательное и общеутвердительное. Ясно также, что в предложении «А В существует» или «А В не существует» оба термина веду т себя одинаково и поэтому имеет место простое обращение. Можно было бы добавить «не-Л пе-В существует» или «не-Л не-В не существует», но это ничем не отличается от «LM существует» или «LM не существует», если принять, что пе-Л есть L и не-В есть А/. Общеутвердительпое, т. е. «Л не-В не существует», есть то же, что и «Л содержит В». Ибо то, что «Л не содержит В», есть то же, что «Л пе-В истинно». Следовательно, «Л содержит В» есть то же, что «Л не-В неистинно». (200)

45 Если я скажу: «ЛВ не существует», — эк> то же, как если бы я сказал: «Л содержит не-В» либо «В содержит пе-Л», т. е. Л и В суть несовместимые. Аналогично, если я скажу: «Л не-В не существует», — это то же, «ак если бы я сказал: «Л содержит не-не-В», т. е. «Л содержит В», и аналогично «не-В содержит не-Л». Следовательно, в этих немногих предложениях содержатся основания формы.

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

«Л оо В» есть то же, что «Л оо В истинно»1,

«Л не оо В» есть то же, что «Л оо В ложно».

Л ооЛ.

Л не оо В (пе-Л).

Л оо (не-(не-Л)).

ЛЛ оо Л.

АВ ооВЛ.

Одно и то же: «Л оо В», «не-Л оо не-В», «Л пене оо В».

Если Л оо В, следовательно, Л не оо не-В. Это я доказываю следующим образом. Если оно не следует, то пусть Л оо не-В (по допущению противоположного/. Следовательно (по предположению), В оо не-В, что абсурдно. То же самое доказывается и так: В не оо не-В (по п. 4), следовательно, и Л не оо не-В.

Если Л ооЛВ, можно принять У таким, что Л оо УВ. Это постулат, по он может быть и доказан, ибо само Л во всяком случае может быть обозначено через У.

(И) Если Л оо В, то АС оо ВС. Но Л сю В но следует из АС оо ВС. Ведь если бы имелось Л оо ВС, то получилось бы АС оо ВС, по п. 10 и 6. (12)

Совпадают: «Л ооЛВ» и «не-В оо не-В не-Л». (13)

Если Л оо УВ, то следует, что Л оо Л В. Это я доказываю так: Л оо УВ (по предположению). Следовательно, АВ оо УВВ (по п. 10) оо УВ (по п. 6) оо Л (по н редпол ожению).

Общеутвердительное может быть выражено так: Л ос оо АВ или Л оо УВ.

Частноутвердительное так: У А оо УЛВ, или УЛ оо оо ZB, или даже АВ оо ЛВ, т. е. АВ есть сущее, или А не оо Л не-В.

Общеотрицательное, «Ни одно Л не есть В», так: Л оо У не-В. Т. е. Л оо Л не-В, т. е. ЛВ есть не-сущее.

Частноотрицатсльное, «Некоторое Л не есть В», так: Л не оо /1 В, или Л не-В есть сущее.

Но посмотрим, достаточно ли одного этого:

Общ. утв. Л оо АВ, части, отр. А не оо АВ, общ. от р. Л оо Л не-В, части, утв, Л не оо Л не-В.

Если Л ооЛВ, следовательно, Л не оо Л не-В. Т. е. из общ. утв. следует части, утв.

Доказательство: пусть будет Л оо Л не-В (по допущению противоположного). Поскольку же Л оо Л В (по предположению), получится Л не-В оо Л В, что абсурдно, по п. 4. Или короче так: Л не-В не оо Л В (по п. 4), где, подставив Л вместо АВ (ибо они эквивалентны, по предположению), получим Л не-В не оо Л, Что и требовалось доказать.

Если А оо А не-В, следовательно, Л не оо Л В. Т. е. из общ. отриц. следует части, отриц.

Доказательство: Л не-В не оо АВ (по п. 4). Подставим Л вместо Л не-В (ибо опи эквивалентны, по предположению) и получим Л не оо АВ.

Равнозначны: «Л не оо Л не-В» и «В не оо В не-Л», а. е. частноутвердительное может быть обращено просто.

Доказательство: иэ «Л не оо Л не-В» следует (по п. 9) «В не оо В не-Л». Следовательно, в свою очередь обязательно и Л оо Л не-В совпадает с В оо В не-Л (по п. 9). Следовательно, совпадают и противоречащие им. Что и требовалось доказать.

Посмотрим, нельзя ли вывести «В оо В не-Л» из «Л оо оо Л не-В» иным нутем. Если Л оо Л не-В, следовательно, А В оо Л В ие-В. Следовательно, Л В есть не-сущее. По если из «ЛВ есть не-сущее» мы выводим «Л оо Л не-В», то с равным правом мы можем вывести и взаимообратное втому — «В оо В не-Л». А можно и так, не прибегая к подстановке: нусть А В — сущее, следовательно, Л не оо Л не*В2 нотому что если бы было Л оо Л не-В, то было бы Л В оо Л В ue-Bf и поэтому Л В было бы не-сущим вопреки предположению. И с равным правом В не оо В ие-Л. Когда говорится, что Л В есть сущее либо не-сущее, подразумевается, что Л и В могут быть эамещены сущими. Посмотрим, нельзя ли показать обратное: если Л не оо Л не-В, следовательно, Л В есть сущее, разумеется, при допущении, что Л и В суть сущие. Действительно, если, при допущении, что Л и В суть сущие, ЛВ окажется пе-сущим, то, следовательно, одно из них — Л или В — должно содержать противоречащее тому, что содержит второе. Предположим, стало быть, что Л включает С и В включает не-С (откуда в свою очередь следует, что В включает D и Л включает не-/>, если предположить, что D оо не-С). Пусть, следовательно, Л оо ЕС и В оо F ие-С. Теперь ЕС оо ЕС iie-(F (пе-С)), или ЕС содержит He-(F не-С) (т. е. все, что включает С, включает отрицание того, что отрицает С). Т. е. А оо А пе-В вопреки предположению. Следовательно, равнозначны, т. е. взаимно следуют друг из друга: «АВ есть сущее», «А ие оо А пе-В» и «В не оо В не-Л». Подобным же образом равнозначны: «АВ есть несущее», «Л оо А пе-В», «В оо В не-Л».

Таким образом мы находим ключ, позволяющий нам прибегнуть к сведению сложных к несложным.

Мы изложили этот вопрос лучше па следующем листе, от 2 августа 1690 г.2

Ие-(ЛВ) есть в не-В, т. е. не-В оо не-В (не-ЛВ).

Если Л оо ВС, является ли Л : С ооВ3, если иметь в виду, что С должно быть отнято от Л? Сведением к простым, пусть В оо СЕ, получается Л оо СЕС, т. е. Л оо СЕ, следовательно, Л : С не всегда оо В. Таким образом, это получается только в случае простых [терминов].

Во всех случаях, когда есть общий [термин] ЕВ, так что Е мыслится каким угодно, может быть подставлено В, ибо, принимая Е вместо В, получим ЕВ оо ВВ оо В.

Если не-Л В не оо Л не-В, то не-Л В оо В не-Л. И наоборот, т. е. «не-ЛВ не оо Л не-В» и «пе-ЛВ оо В не-Л» равнозначны.

ОСНОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (1)

«Л сю В» — то же, что «(Л оо В) есть истинное предложение». (2)

«Л не оо В» — то же, что «(Л оо В) есть ложное и рсдложение». (3)

Л ооЛЛ, т. е. умножение букв здесь не нужно. (4)

А В оо ВЛ, т. е. транспозиции нисколько пе вреди і . (5)

«Л оо В» означает, что одно можно подставить вместо другого — В вместо Л или Л вместо В, т. е. они равнозначны (6)

«Не», сразу же повторенное, уничтожает само себя. (7)

Таким образом: Л оо не-не-Л. (8)

Точно так же «Л оо В» и «Л но пе оо В» равнозначны. (9)

То, чему присуще «Л не-Л», есть не-суире, т. е. ложный термин, например если бы было С оо АВ не-В, то С было бы не-сущее. (10)

Равнозначны: «Л не оо В» и «В не оо Л». Это следует из п. 5.

(И) Равнозначны: «Л оо В» и «не-Л оо не-В», ибо, поскольку Л может быть подставлено вместо В (по п. 5), следовательно, результатом подстановки в не-Л будет не-В, т. е. вместо не-Л можно подставить не-В. Аналогично показывается, что вместо не-В можно подставить пе-Л. Следовательно, поскольку Л и В могут быть одно вместо другого подставлены, т. е. Л оо В, то не-Л и пе-В также могут быть подставлены одно вместо другого, т. е. получается: пе-Л оо но-В. Таким же образом, как мы ужо доказали, что из «Л оо В» получается «не-Л оо не-В», так же будет доказано, что из «не-Л оо не-В» получается «не-не-Л оо ие-ис-В», т. е. «Л оо В». Следовательно, эти истины взаимно доказываются одна из другой, т. е. они равнозначны. (12) а Если Л оо В, то АС оо ВС; доказывается из п. 5.

Но не следует, что если АС оо ВС, то А оо В; ведь только при А оо ВС (по п. 3) будет АС оо ВС. (13)

В не оо не-В; далее, в более общем виде: АВ не оо С ие-ЕВ и таким же образом, опустив... 3

Доказательство. Пусть будет (1) АВ оо С не-ЕВ, и (2) АВ ооАВАВ (по п. 3), и АВАВ оо ABC не-ЕВ (по п. 1 этого параграфа). Следовательно, доказывая от первого к последнему, имеем АВ оо ABC не-?В, что абсурдно, ио п. 9, ибо АВ был бы ложным термином, т. е. включающим противоречие. (14)

Если А оо В, то следует, что ЕА не оо С ne-FB. Ибо ЕА не оо С не-РЛ (по п. 13).

Следовательно, подставляя В вместо последнего А (по предположению), получаем ЕА не оо С иe-FB. Не имеет значения, если какое-то предложение является отрицательным. (15)

Если A ooFB, то следует, что ЕА не оо С m-FGB.

Ибо ЕА песо С uq-GA (по и. 13). Следовательно, подставляя FB вместо Л, получаем ЕА не оо С m-FGB.

(10) Если Л оо Л не-В, то Л пе ооЛВ.

Ибо Л не оо ЛВ не-В (по п. 9). Следовательно, подставляя Л не-В вместо Л (ио предположению), Л не-В не ооЛВ не-В. Следовательно, Л не оо ЛВ. (17)

Ие-В оо не-В (не-ЛВ). Т. е. не-В содержит не-ЛВ, или не-В есть не-ЛВ. Остается доказать это в нашем исчислении. (18)

С оо С не-(Л пе-С) следует из п. 17 при подстановке не-С вместо В. (19)

Равнозначны: «Л оо ЛВ» и «ие-В оо не-В (не-Л)». Ото обращение через контрапозицию.

Ибо если (1) Л оо ЛВ, так как (2) не-В оо не-В (не-ЛВ) (по п. 17), то, подставляя в (2) Л вместо Л В (по п. 1), получаем пе-В оо не-В (не-Л). Опять-таки если (1) не-В оо оо не-В (не-Л), поскольку (по п. 17) (2) не-В оо не-В (не-ЛВ), то, соединяя 1 и 2, получаем Л оо ЛВ. (Правда, это несколько сомнительный вывод по схолии к п. 12, а именно: хотя получается В не-Л оо В не-ЛВ, но следует ли отсюда Л оо ЛВ? Конечно, если ВС ooBZ), тогда действительно С ooD, если С и В не имеют ничего общего.)

(20) Равнозначны: «пе-ЛВ не оо У не-В» и «не-ЛВ оо оо Z не-Л», т. е. равнозначны: «не-ЛВ не оо (не-ЛД) не-В» и «не-ЛВ оо (не-ЛВ) не-Л». Вместо не-ЛВ поставь с одной стороны X

Ибо не-(ЛВ) содержит по крайней мере одно из двух: не-Л или не-В. Так, если оно не содержит одно, оно будет содержать другое, что, однако, не мешает возможности содержать и то и другое. НЕКОТОРЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ТРУДНОСТИ

Среди логических трудностей, заслуживающих разрешения, встречается такая: как же происходит, что в единичном выступает противополагание «Апостол Петр есть воин» и «Апостол Петр не есть воин», в то время как в других случаях противополагаются общеутвердительное и частноотрицательпое? Не говорим ли мы тем самым, что единичное равнозначно и частному и общему? Пожалуй! Поэтому-то, когда возникает затруднение касательно того, что единичное равнозначно частному, поскольку в третьей фигуре вывод должен был бы быть частным, а он может оказаться и единичным, как в случае: «Всякий пишущий есть человек», «Некто пишущий есть апостол Петр», следовательно, «Апостол Петр есть человек», я отвечаю: вывод здесь действительно будет частным, таким же, как если бы мы заключили: «Некий апостол Петр есть человек». Ведь «некий апостол Петр» и «всякий апостол Петр» совпадают, поскольку термин является единичным.

Но еще большая трудность состоит в том, что обычная операция обращения иногда по видимости приводит к ложному. Именно этот случай имеет место при обращении через ограничение общеутвердительного суждения: «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся»; ведь первое [предложение] истинно, даже если бы пи один человек [в действительности] не смеялся, а второе не истинно до тех пор, пока не найдется хотя бы один действительно смеющийся человек. Первое говорит о возможном, второе — о действительном. Но подобной трудности не возникает, если остаешься в пределах возможного, например: «Всякий человек есть животное»; следовательно, «Некоторое животное есть человек». Поэтому следует сделать вывод, что [предложение} «Некоторый человек есть смеющийся» будет истинным в сфере идей, т. е. если «смеющегося» принять за некоторый вид возможного сущего: как «воин» есть вид «чело* века» или «человек» есть вид «животного», так и некий «человек» есть «смеющийся»; и такое предложение будет истинным, даже если не будет существовать пи одного смеющегося. Пусть обращение доказывается мною посредством силлогизма третьей фигуры: «Всякий смеющийся есть смеющийся», «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» — в том случае (я имею в виду в сфере идей), если «смеющийся» принимается за вид «человека», а не за действительно смеющегося. Этот силлогизм, по модусу Darapti, может быть доказан из первой фигуры посредством сведения, т. е. без допущепия чего-либо другого, кроме законов противоположения, разумеется, поскольку допускается силлогизм по первой фигуре и принимается, что вывод ложен, а одна из посылок истинна; откуда следует, что другая посылка ложна. Но противоположное ложному выводу истинпо

А к первичным законам противоположения относятся следующие. Например, предложению «Всякий человек есть животное», утверждаю я, противополагается «Некоторый человек не есть животное». Ибо «Всякий человек есть животное» — то же самое, что «Человек А есть животное», «Человек В есть животное», «Человек С есть животное» и т. д. А предложение «Некоторый человек не есть животное» не говорит ничего другого, кроме того, что «В не есть животное» или что-либо в этом роде. Поэтому противополагаются предложения: «Всякий человек есть животное» и «Некоторый человек не есть животное». Так же противополагаются предложения: «Ни один человек не есть камень» и «Некоторый человек есть камень». Ибо «Ни один человек не есть камень» означает: «Человек А не есть камень», «Человек В не есть камень», «Человек С не есть камень» и т. д. Следовательно, ложным предложением будет: «Человек В есть камень», что не означает ничего другого, кроме того, что «Некоторый человек есть камень». А это и есть, собственно, dictum de omni et dictum de nullo 2 — как бы фундамент всего учения силлогистики, а именно учения о противоположении и первой фигуре. К примеру, вывод: «Всякий человек есть животное», «Всякий воин есть человек», следовательно, «Всякий воин есть животное» — делается таким путем, потому что всякий человек есть животное и человек-воин есть животное в силу dictum de omni. Раз «че- ловек-воин» и «воин» совпадают (поскольку всякий воин есть человек), следовательно, совпадут и предложения «Человек-воин есть животное» и «Воин есть животное».

Итак, обратимся вновь к указанному мной основанию редукций, с помощью которого я доказал другие законы силлогистики. Предложение «Всякий человек есть животное» я интерпретировал так: «человек-животное» и «человек» равнозначны, или же: когда говорят, что ты человек, говорят, что ты животное. Некто называл себя Grunberg; приятель ему говорит: «Достаточно было бы, если бы ты назвал себя Berg»3. «Почему же? — отвечает тот, — разве ты полагаешь, что все горы зеленые?» А приятель говорит: «В данное время так оно и есть» (поскольку ведь было лето). Таким образом, природное чувство подсказывало ему, что эти два [предложения! совпадают: «Всякая гора зеленая» и ««зеленая гора» и «гора» равнозначны».

Уже давно пользуюсь я такой редукцией 4. Общеут- вердителыюе: «Всякое А есть В»> т. е. «АВ и А равнозначны», пли «А пе-В есть не-сущее». Частноотрицательное: «Некоторое А не есть В», т. е. «АВ и А пе равнозначны», или «А ие-В есть сущее». Общеотрицательное: «ІІи одно А не есть В» будет «АВ есть не-сущее». Частноутвердительное б: «Некоторое А есть В» будет «АВ есть сущее». Благодаря такой интерпретации тотчас раскрываются правила противоположения (с помощью которых >i доказал вторую и третью фигуры, исходя пз первой) и законы обращения (с помощью которых я доказал четвертую фигуру), что очевидно из терминов. Ибо U.А. и P.N. противополагаются, так как для тех же самых (терминов] в одном случае эквиполентность утверждается, а в другом — отрицается. Подобным же образом противополагаются просто U.N. и Р.А., поскольку бытие, которое утверждается в одном предложении, о том же самом отрицается в другом. U.N. и Р.А. обращаются просто, потому что, когда я говорю «АВ есть не-сущее» или же «А В есть сущее», я не утверждаю ничего другого, кроме того, что «ВА есть сущее» или «ВА есть не-сущее», так как А В и В А равнозначны. IIo U.A. и P.N. не обращаются просто, ибо такие предложения, как «АВ эквипо- лентно самому Л» или «АВ не эквиполентно самому Л», не одинаково трактуют А и В и отсюда не следует, что А В эквиполентно или же не эквиполентно самому 5. По обращение через ограничение таким образом трактуемого утвердительного предложения предполагает уже доказанным простое обращение частноутвердительного предложения. И кроме того, это обращение предполагает доказательство подчинения, т. е. доказательство частно- утвердительного предложения из общеутвердительного типа: «Всякое Л есть В»; следовательно, «Некоторое А есть В». Доказательство производится следующим образом: «Всякое А есть В», т. е. «АВ равнозначно самому Л». Но «Л есть сущее» (по предположению). Следовательно, «ЛВ есть сущее», т. е. «Некоторое Л есть В». Но поскольку с равным правом можно утверждать и что «ВЛ есть сущее», т. е. что «Некоторое В есть Л», то отсюда получим уже обращение через ограничение, т. е. следующее заключение: «Всякое Л есть В»; следовательно, «Некоторое В есть Л».

Общеотрицательное предложение также может обращаться через ограничение, но это доказывается другим способом: его нужно сначала подвергнуть простому обращению, а затем взять подчиненное обращенному предложение. Правомерность его простого обращения нами уже доказана, остается лишь показать для этого случая подчинение: «Ни одно Л не есть В»; следовательно, «Некоторое Л не есть В». Действительно, «Ни одно Л но есть В», т. е. «ЛВ есть не-сущее», а следовательно, «ЛВ не равнозначно самому Л» (так как Л есть сущее), или же «Некоторое Л не есть В». С другой стороны, поскольку «Ни одно Л не есть В», т. е. поскольку «ЛВ есть не-сущее» и тем самым также «ВЛ есть не-сущее», то и «ВЛ но равнозначно самому В», или «Некоторое В пе есть Л». Таким образом, мы имеем здесь как подчинение, так и обращение через ограничение общеотрицательного предложения.

Кроме того, приходит на ум, что общеотрицательное и противоположное ему частноутвердительное предложения также могут редуцироваться к эквпполентности следующим способом. Предложение «Ни одно Л не есть В», т. е. «ЛВ есть не-сущее», может быть выражено и такі «ЛВ и ЛВ-сущее не равнозначны». И подобным же образом «Некоторое Л есть В», т. е. «ЛВ есть сущее», может быть выражено как: «ЛВ и ЛВ-сущее равнозначны». Такой способ выражения также позволяет получать противополагание U.N. и Р.А. и их простое обращение. И так же получается из U.N. подчинение. В самом деле, пусть «Ни одно Л не есть В», тогда имеем: «ЛВ и ЛВ-сущее не равнозначны». Отсюда должно получаться, что «Некоторое Л не есть В», т. е. «Л и ЛВ не равнозначны», так как Л и Л-сущее равнозначны, по предположению; ведь если бы А и А В были равнозначны, тогда были бы также равнозначны АВ и ЛВ-сущее, что противоречит допущению. Таким образом, мы редуцировали все категорические предложения логики к исчислению эквиполент- ностей.

С другой стороны, отсюда также с большей очевидностью раскрывается источник ошибки в обращении такого типа, как: «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся», хотя ведь может случиться и могло бы быть так, что ни один человек не смеялся бы в данный момент, и даже никогда бы не смеялся, и даже так, что ни одного человека и не существовало бы. Всякий смеющийся есть человек — т. е. «смеющийся» и «смеющийся человек» равнозначны. Но смеющийся есть сущий, по предположению; следовательно, смеющийся человек есть сущий, значит, человек смеющийся есть сущий, или же «Некоторый человек есть смеющийся». Причем [термин] «сущий» в предложении «Человек смеющийся есть сущий» должен браться тем же способом, как и в предложении «Смеющийся есть сущий». Если «сущий» берется в смысле возможности, т. е. так, что смеющийся существует в сфере идей, то тогда и «Некоторый человек есть смеющийся» долясно браться не иначе как и «Человек смеющийся есть сущий», а именно в смысле возможности, т. е. в сфере идей. Но если «Смеющийся есть сущий» берется в смысле реального существования, то и «Человек смеющийся есть сущий» нужно брать в том же смысле, и тогда будет истинно, что некоторый человек действительно смеется.

То же самое было бы, если бы мы воспользовались способом, посредством которого также редуцируется к эквиполентности частноутвердительное [предложение]. Пусть «Всякий смеющийся есть человек» — это есть ««Смеющийся» и «смеющийся человек» равнозначны». С другой стороны, «смеющийся» и «смеющийся сущий» равнозначны; следовательно, «человек смеющийся» и «человек смеющийся сущий» равнозначны, т. е. «Некоторый человек есть смеющийся» — разумеется, в области идей, т. е. в том смысле, что человек смеющийся есть сущий, или «человек смеющийся» и «человек смеющийся сущий» равнозначны, и не более, и «Некоторый человек есть смеющийся» не означает, что какой-либо человек действительно смеется. .Таким образом, выражения языка бывают двусмысленны^ и наша редукция устраняет эту двусмыс- ленность. Когда вводится [выражение] «Некоторый человек есть смеющийся», подразумевается, что некий вид человека совпадает с термином «смеющийся», т. е. что смеющийся человек есть смеющийся, поэтому... 6 смеющийся камень не был бы смеющимся, ибо смеющийся камень заключает в себе противоречие.

Отсюда также явствует, что общеутвердительное предложение вместе с противоположным ему P.N. всецело отлично от общеотрицательного с его противоположностью, поскольку в последних предполагается сущее, а в первых нет. В то же время во всех случаях молчаливо предполагается, что входящий термин есть сущее.

Всякое А есть В, т. е. АВ оо А.

Некоторое А не есть В, т. е. АВ пе оо Л.

Пи одно А не есть В, т. е. АВ не есть сущее, или А В не оо ЛВ-сущему.

Некоторое Л есть В, т. е. АВ есть сущее, или АВ оо оо ЛВ-сущему.

Из этого становится ясно, что во всяком утвердительном предложении предикат будет частным, но из этого пе становится столь же ясным, будет или не будет во всяком отрицательном предложении предикат общим. Вообще же можно было бы установить, будет ли термин Л или В общим, если вместо Л или В можно было бы подставить УА или УВ, где У мог бы быть чем-то совместимым с В, например С, F и т. д. Но из Л В оо Л нельзя заключать к AYB оо А, ведь В могло бы содержаться в А и тогда, когда YB не содержалось бы в Л. Подобным образом из Л В оо ЛВ-сущему не следует, что ЛУВ оо Л УВ-сущему, ибо, если УВ п будет сущим, по предположению, отсюда но следует, что Л У есть сущее. Таким образом „ из этого ясно, что предикат утвердительного предложения не является общим. Теперь покажем подобным же способом, что предикат отрицательного предложения является общим. Ведь если АВ пе оо Л, то и ЛУВ не оо Лг ибо, будет ли УВ оо В либо Л У оо Л или же не будет, вывод будет справедлив, так как если УВ оо В или ЛУ оо оо Л, [то они] могут быть поставлены вместо В или Л. Если же они не будут эквиполептны, тем более не будут эквиполентны ЛУВ и Л. То же самое будет в случае, если АВ не оо ЛВ-сущему.

Теперь остается показать, что и субъект имеет количественную определенность в предложении. В U.А. : АВ оо Л, следовательно, и YAB ooYA. Но в P.N.

если ЛВ не оо Л, то отсюда еще не следует, что YAB пе оо YA, так как если У оо В, то и YAB оо УЛ. Напротив, в U.N. если АВ не есть сущее, то и YAB не есть сущее, или же если АВ пе оо ЛВ-сущему, то и YAB пе оо УЛВ-сущему. Однако в Р.А., если АВ есть сущее, не следует, что и YAB есть сущее, так как за У может быть принято нечто несовместимое с Л и В. Таким образом из нашего исчисления мы выводим все правила распределения [терминов].

Впрочем, указанноо неверное заключение: «Всякий смеющийся есть человек», следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» — может опровергаться еще и другим способом, отличным от приведенного выше доказательства логических форм. Это тот случай, когда мы продвигаемся не путем идеи, а путем представленных примеров. Мысль такова: «Всякий возможный смеющийся есть человек», следовательно, «Некий человек есть возможный смеющийся». Верно. Эту мысль иллюстрирует наша интерпретация, которая делает законным обращение через ограничение. «Смеющийся» оо «смеющемуся человеку», так же как «смеющийся» оо «смеющемуся сущему»; следовательно, «смеющийся человек» оо «смеющемуся сущему человеку», так как «смеющийся» оо «смеющемуся сущему».

Это заставляет меня думать, что указанная [ситуации] могла бы быть с успехом установлена посредством индуктивной интерпретации. Аристотель, кажется, сам следует путем идей, ибо он говорит, что «животное» находится в «человеке», т. е. понятие в понятии, в то время как скорее «люди» находятся в [классе] «животных». Посмотрим, однако, что может быть получено из рассуждения о классах (colleciiva ratiocinatio).

Barbara: «Все люди находятся в [классе] животных», «Нее воины находятся в [классе] людей»; следовательно, «Псе воины находятся в [классе] животных». Celarent: «Ike люди находятся вне [класса] камней», «Все воины находятся в [классе] людей»; следовательно, «Все воины находятся вне [класса] камней». Darii: «Все люди находится в [классе] животных», «Некоторые мыслящие находятся в [классе] людей»; следовательно, «Некоторые мыслящие находятся в [классе] животных». Ferio: «Все люди находятся вне [класса] камней», «Некоторые субстанции находятся в [классе] людей»; следовательно, «Некоторые субстанции находятся вне [класса] камней». По модусу Darapti будет так: «Всякий человек есть мыслящее», «Всякий человек есть животное»; следовательно, «Некоторое животное есть мыслящее». В интерпретации классов: «Все люди находятся в [классе] мыслящих», «Все люди находятся в [классе] животных»; следовательно, «Некоторые животные находятся в [классе] мыслящих». Вернемся теперь к тому силлогизму, посредством которого доказывается обращение через ограничение: «Всякий смеющийся есть смеющийея», «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый человек есть смеющийся» 7. В интерпретации это будет так: «Все смеющиеся находятся в [классе] смеющихся», «Все смеющиеся находятся в [классе] людей»; следовательно, «Некоторые люди находятся в [классе] смеющихся». Но что было бы, если бы в действительности ни один человек пе смеялся? Я утверждаю, что [в этом случае] и предложение «Все смеющиеся находятся в [классе] людей», т. е. «Все смеющиеся суть люди», будет ложным. Ведь для того чтобы это предложение было истинным, должно быть истинным также и предложение «Некоторые смеющиеся находятся в Іклассе] людей», или «Некоторые смеющиеся суть люди», но последнее ложно, если ни один человек не смеялся бы. Иначе обстоит дело, если сказать: «Все, если они смеются,, находятся в [классе] людей», ибо из этого не следует, что «Некоторые, кто смеется, находятся в [классе] людей»,, ио следует лишь, что «Некоторые, если они смеются, или предполагаемые смеющиеся, находятся в [классе] людей». Поэтому силлогизм будет таким: «Все предполагаемые смеющиеся суть предполагаемые смеющиеся» (ибо нельзя ведь сказать, что все предполагаемые смеющиеся суть действительно смеющиеся), «Все предполагаемые смеющиеся суть люди»; следовательно, «Некоторые люди суть предполагаемые смеющиеся». Или же в интерпретации: «Все предполагаемые смеющиеся находятся в [классе] предполагаемых смеющихся»,, «Все предполагаемые смеющиеся находятся в [классе] людей (разумеется, предполагаемых)»; следовательно, «Некоторые предполагаемые люди (или некоторые, кто входит в Ікласс] предполагаемых людей) находятся в [классе] предполагаемых смеющихся». Отсюда очевидно, что и в случае подчинения з «Всякий смеющийся есть человек»; следовательно, «Некоторый смеющийся есть человек» — возможно подобное неправильное употребление,, поскольку если не будет ни одного действительноА на самом деле смеющегося^ то ни один смеющийся не будет человеком, А указанная трудность объясняется тем,; что в общем предложении обычно подразумевается «предполагаемый смеющийся», тогда как в частном — «действительно смеющийся». Поэтому, когда говорят: «Всякий смеющийся есть человек», следовательно, «Некоторый смеющийся есть человек», это нужно понимать в таком смысле: «Всякий предполагаемый смеющийся есть человек», следовательно, «Некоторый предполагаемый смеющийся есть человек», откуда правомерно сделать вывод, что некоторый человек (конечно, предполагаемый) есть предполагаемый смеющийся. Но отсюда не выводится: следовательно, «Некоторый человек есть действительно смеющийся». Когда же вы говорите: «Всякий действительно, сейчас смеющийся есть человек», то вы допускаете, что и на самом деле кто-то сейчас действительно смеется и что он (сейчас смеющийся) есть человек, а потому и что какой-то человек действительно смеется. Ведь всегда должно допускаться, что термин — это нс- типно сущее, но «действительно, сейчас смеющийся» дажо не будет сущим, если ложно, что кто-то действительно смеется; это есть гипотетическая невозможности которая... 8 достаточна.

Конец