<<
>>

Математика и добро

1. Около 2300 лет назад была прочитана одна знаменитая лекция. Аудитория собралась выдающаяся: среди прочих она включала Аристотеля и Ксенофонта. Темой лекции было понятие добра как такового.

Лектор оказался компетентным — ведь это был Платон.

Но лекция, однако, стала неудачей в том, что касается разъяснения заявленной в ней темы, ибо лектор в основном уделил внимание математике. После Платона и кружка его непосредственных учеников понятие добра отделилось от математики. Также и в современную эпоху выдающиеся последователи Платона, за редким исключением, успешно скрывают свой интерес к математике. А ведь Платон на протяжении жизни поддерживал чувство важности математической мысли для поиска идеала. В одном из своих ранних текстов он называет невежество в отношении этого «скотским (swinish)». Именно так он охарактеризовал бы большинство платонисгов прошлого века. Данный эпитет принадлежит ему, а не мне.

Все же несомненно, что его лекция была неудачной, ибо ему не удалось сделать очевидной для будущих поколений свою интуицию относительно способности математики прояснить понятие добра. Многие математики сами были добрыми людьми, например Паскаль и Ньютон. Также и многие философы были математиками. Но своеобразное сочетание математики и добра остается, однако, неразвитой темой с тех пор, как она была впервые введена Платоном. Имелись, правда, исследования данной темы, рассматриваемой лишь как интересная характеристика платоновского сознания. Но сама эта доктрина, трактуемая как исходная философская истина, угасла после первой, собственно платоновской эпохи. В течение различных периодов европейской цивилизации моральной философии и математике в университетской жизни были отведены разные факультеты. Целью настоящего очерка является исследование указанной темы в свете современного знания. Прогресс мысли и расширение возможностей языка сейчас делают сравнительно доступным популярное разъяснение тех идей, которые Платон был способен выразить лишь с помощью путаных предложений и вводящих в заблуждение мифов.

Вы, разумеется, понимаете, что я не пишу о Платоне как таковом. Моя тема—это связь между современной математикой и понятием добра. Для этого, в сущности, не потребуется ссылка на какие-либо конкретные математические теоремы. Мы будем рассматривать общую природу науки, которая сейчас находится в процессе развития. Это — философское исследование. Многие математики владеют конкретными деталями, но несведущи в отношении какой-либо философской характеристики своей науки.

2. В течение 60- или 70-летнего периода, предшествовавшего настоящему времени, прогрессирующая цивилизация европейских народов претерпела одно из наиболее глубоких изменений в человеческой истории. Затронутым оказался весь мир, но начало этой революции связано именно с народами Западной Европы и Северной Америки. Это было изменение самой точки зрения. Научная мысль развивалась единообразным путем в течение четырех столетий, а именно XVI, XVII, XVIII и XIX. В XVII в. Галилей, Декарт, Ньютон и Лейбниц выработали систему математических и физических понятий, в пределах которой и оказалось все это движение. Кульминацию его можно отнести к 10-летию 1870—1880 гг. В это время Гельм- гольц, Пастер, Дарвин и Максвелл делали свои открытия. Это был триумф, подведший итог всему рассматриваемому периоду. Изменение затронуло каждую область мышления. В данной главе я выделяю главным образом сдвиг в сфере математического знания. Многие из открытий, способствовавших совершению этой революции, были сделаны еще за 100 лет до того 10-летия, которое здесь приводится в качестве кульминационного. Но широкое осознание их совокупного воздействия имело место через 50 лет после 1880 г. Позвольте мне в дополнение к основной теме «Математика и добро» подчеркнуть, что эта глава также предназначена для того, чтобы проиллюстрировать, как мышление развивается от одной эпохи к другой, медленно осуществляя свои полуоткрытия. Вне такого знания вы не сможете понять ни Платона, ни какого-либо другого философа.

3. Для того чтобы понять изменение, представим себе развитие интеллектуальной жизни, начавшееся в 1870 г., как имеющее 9- или 10-летний возраст.

В таком случае вся история читается как современная версия платоновского диалога, например как «Теэтет» или «Парменид». К началу этой интеллектуальной жизни ребенок должен был бы знать таблицу умножения вплоть до 12x12. Были освоены сложение, вычитание, умножение и деление. Простые дроби стали знакомыми понятиями. В следующие два-три года добавилось десятичное обозначение для дробей. Таким путем все основание арифметики было скоро освоено молодым учеником.

В этот же период происходит знакомство с геометрией и алгеброй. В геометрии понятия точки, прямой, плоскости и других поверхностей являются фундаментальными. Процедура заключается в том, чтобы ввести некоторый сложный образец этих сущностей, определяемый путем конкретных отношений между его частями, а затем исследовать, какие иные отношения этого образца имплицитно присутствуют в данных допущениях. Например, вводится прямоугольный треугольник. Затем на основании евклидовой геометрии доказывается, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов других его сторон.

Этот пример представляет интерес, ибо ребенок вполне может видеть нарисованную учителем на доске фигуру прямоугольного треугольника без того, чтобы в его сознании появилось понятие квадрата сторон. Другими словами, описываемый образец — типа прямоугольного треугольника — не раскрывает непосредственно сознанию все свои тонкости.

Это примечательное ограничение сознательного понимания является фундаментальным фактом эпистемологии. Ребенок знал, о чем говорил его учитель, а именно о прямоугольном треугольнике, совершенно очевидно представленном на доске с помощью четких меловых линий. И тем не менее ребенок не ведал о бесконечности имплицитно предполагаемых свойств треугольника.

Первичными факторами возникшего у него, когда он посмотрел на доску, понятия прямоугольного треугольника были точки, линии, прямизны линий, углов, прямо- угольность. Ни одно из этих понятий не имеет значения без указания на всеохватывающее пространство. Точка зани- мает определенную позицию в пространстве, однако, как объясняется далее, не обладает никакой протяженностью. Линии, в том числе прямые, занимают свою позицию и также находятся друг к другу в пространственных отношениях. Таким образом, ни одно из понятий, связанных с прямоугольным треугольником, не имеет значения без указания на соответствующую пространственную систему.

4. В то время, за исключением лишь немногих математиков, предполагали, что возможен только один последовательный анализ понятия пространства. Другими словами, считалось, что любые два человека, рассуждающие о пространстве, должны подразумевать одну и ту же систему отношений, если осуществлен полный анализ всего многообразия анализируемых этими людьми значений. Целью математики, согласно таким убеждениям, а также убеждениям Платона и Евклида, было адекватное выражение этого уникального, когерентного понятия про- странственности. Сейчас мы знаем, что данное понятие, которое пользовалось успехом на протяжении почти 2400 лет в качестве необходимого основания любой физической науки, оказалось ошибочным. Это была славная ошибка, ибо без таким образом осуществленного упрощения оснований мышления в нашей современной физической науке не произошло бы согласованного упрощения тех ее предпосылок, с помощью которых она могла бы себя выражать.

Таким образом заблуждение дало стимул для развития знания вплоть до конца XIX столетия. В самом конце этого периода оно уже стало мешать адекватному выражению научных идей. К счастью, математики, по крайней мере некоторые из них, далеко опередили многих трезвомыслящих ученых и изобрели всевозможные фантастические отклонения от классической (orthodox) геометрии. На рубеже веков, то есть между 1890 и 1910 гг., было открыто, что эти иные типы геометрии чрезвычайно важны для выражения нашего современного научного знания.

От самого зарождения геометрии в Египте и Месопотамии до современности лежит отрезок времени почти в 4000 лет. И на протяжении всего данного периода преобладала ошибочная вера в уникальную геометрию. Наши сегодняшние понятия имеют лишь 100- или 150- летнюю историю. Мы получаем приятное удовлетворение от того, что «сейчас мы знаем».

Мы никогда не поймем историю точной науки, пока не исследуем отношение чувства «сейчас мы знаем» к типам обучения, превалирующим в каждую эпоху. В той или иной форме оно постоянно присутствует у доминирующей группы, сохраняющей и поддерживающей цивилизованное обучение. Для поддержки любого предприятия необходимо «злоупотреблять» этим чувством успеха. Возможно ли охарактеризовать такое «злоупотребление»? Мы можем дополнить фразу «сейчас мы знаем» наречием. Можно подразумевать «сейчас мы знаем частично» или же «сейчас мы знаем полностью». Различие между двумя фразами как бы фиксирует различие между Платоном и Аристотелем, если иметь в виду их влияние на будущие поколения. Понятие полной самодостаточности какой- либо разновидности конечного знания является фундаментальным заблуждением догматизма. Любая такая разновидность приобретает свою истинность, да и само значение от неанализируемого отношения к основанию, каковым является неограниченная Вселенная. Даже простейшее понятие арифметики не может избежать этого «неизбежного» условия существования. Любая частица нашего знания получает свое значение оттого, что все мы суть явления (factors) во вселенной и каждый элемент нашего опыта зависит от нее. Последовательный скептик является догматиком. Он получает удовольствие от иллюзии о полнейшей пустоте. Там, где есть чувство самодостаточной завершенности, там содержится зародыш порочного догматизма. Нет такой сущности, которая бы ощущала изолированную самодостаточность существования. Другими словами, конечность не является самостоятельной.

Итоговое заключение дискуссии таково, что геометрия, как ее изучали веками, есть «глава» учения о модели, которая, будучи известной конечным познавательным способностям, отчасти открывается в своем отношении к основанию — Вселенной. Термин «геометрия» также указывает на род образцов, который включает многие виды.

5. Сейчас мы обратимся к дискуссии о числе, рассматриваемом в качестве фундаментального математического понятия. Этот раздел может быть сокращен, поскольку многие относящиеся к делу рассуждения были уже сформулированы в нашем рассмотрении геометрии.

Учение о числе начиная с греческого периода и далее всегда включало в себя странные небольшие потиворечия, которые рассудительные люди просто не принимали во внимание. В последней четверти XIX столетия более углубленное изучение всего этого предмета, начатое Георгом Г. Кантором и Г. Фреге в Германии, Дж. Пеано и М. Пьери в Италии, а в Англии представителями математической логики, выявило ряд сложных вопросов. Наконец, Бертран Рассел обнаружил особенно яркое самопротиворечие современных рассуждений. Я хорошо помню, что он объяснил его Фреге в личном письме. Ответ Фреге начинался с восклицания: «Увы, арифметика шатается!»

Фреге был прав: арифметика зашаталась и до сих пор шатается. Но Бертран Рассел оказался на высоте положения. Тогда у нас с ним в самом разгаре находилась работа над книгой под названием Prmcipia Mathematica. Рассел ввел понятие «типа» сущностей. В соответствии с его доктриной понятие числа должно применяться исключительно к группе сущностей одного и того же типа. Так, число 3, примененное к сущностям одного типа, имеет иное значение в сравнении с числом 3, примененном к сущностям другого типа. Например, если мы рассматриваем два различных типа, то имеется два различных значения числа 3.

Рассел был совершенно прав. Можно избежать всех трудностей, ограничив числовое рассуждение одним типом. Он открыл правило безопасности. Но к несчастью, это правило нельзя выразить независимо от той предпосылки, что понятие числа применимо за пределами правила. Ибо число 3 в каждом типе само принадлежит различным типам. Также и каждый тип сам по себе отличен по типу от других типов. Так, в соответствии с данным правилом понятие двух различных типов оказывается бессмыслицей, равно как и понятие двух различных значений числа 3. Из этого следует, что единственно возможный для нас путь понимания правила оказывается бессмысленным. А из этого в свою очередь следует, что правило должно быть ограничено понятием «правила безопасности» и что полное объяснение «числа» ожидает еще понимания отношения видов многообразий к бесконечности вещей. Даже в арифметике вы не можете избавиться от подсознательной ссылки на неограниченную вселенную. Вы абстрагируете отдельные детали от всеобщности и накладываете ограничения на свою абстракцию. Помните, что отказ мыслить о каких-либо сущностях еще не означает для мышления их несуществование. Наше сознательное мышление есть абстракция сущностей от основания существования. Мышление есть одна из форм акцентирования важного (emphasis). 6.

В конце этого исследования математических понятий мы приходим к алгебре. Кто изобрел алгебру? Вы все, конечно, захотите мне сказать, что она была изобретена в Аравии или Индии. В определенном смысле это верно, а именно: что полезное символическое обозначение для алгебраических идей возникло в одной или другой стране, а возможно, в обеих одновременно. Но есть еще один вопрос, который, я уверен, заинтересовал бы Платона, если бы он знал алгебру. Кто же изобрел те фундаментальные идеи, которые были подобным образом символизированы?

Какое фундаментальное понятие лежит в основании алгебры? Это понятие «любого примера данного вида в абстракции от некоторой конкретной экземплификации этого примера или этого вида». 7.

Первое животное на Земле, которое хотя бы на мгновение обладало данным понятием, и оказалось первым рациональным существом. Конечно, можно наблюдать, как животные выбирают между этой вещью и той вещью. Но интеллект животных требует конкретных примеров. Человеческий же интеллект способен представить тип вещей в абстракции от таких примеров. Самым очевидным проявлением этой человеческой черты оказывают ся математические понятия и идеалы добра, т. е. идеалы, которые находятся за пределами возможности их непосредственной реализации.

Человечеству не дано практически воспринимать точность реализации, в то время как математика и идеалы совершенства заинтересованы именно в такой точности. В этом различие между практикой и теорией. Любая теория так или иначе требует точных понятий, как бы она это ни скрывала. На практике точность исчезает, а единственной проблемой остается: «Работает ли это?» Но цель практики может быть определена только при использовании теории, так что вопрос «работает ли это?» есть попросту отсылка к теории. Смутная практика стимулируется ясностью идеального опыта.

Никто еще на практике не наблюдал точного математического понятия. Обратите внимание на ребенка, обучавшегося геометрии. Он ведь никогда не наблюдал точку как таковую или строгую линию, строгую прямизну или строгий круг. В сознании ребенка подобные вещи были нереализованными идеалами. Со всем этим согласится практически любой здравомыслящий человек. Но когда мы перейдем к арифметике, он начнет увиливать. Вы можете услышать, как он говорит (вероятно, вы и сами так говорите): «Я вижу 1 стул, 2, 3, 4, 5 стульев, и я способен наблюдать, что 2 и 3 стула, будучи соединенными вместе, формируют группу в 5 стульев». Таким путем наш здравомыслящий друг якобы мог наблюдать точные примеры арифметических понятий и арифметическую теорему.

Итак, наш вопрос следующий: «Точно ли он наблюдал, т. е. обладал ли он точными понятиями, установленными в его концептуальном опыте?» В каком смысле он наблюдал именно один стул? Он наблюдал смутную дифференциацию в общем контексте своего визуального опыта. Но представьте, что мы поймаем его на одной миллиардной доле дюйма. Где же заканчивается стул и начинаются остальные вещи? Который атом относится к стулу, а который—к окружающему пространству? Стул постоянно получает и теряет атомы. Он не является строго дифференцированным от своего окружения, не является он также самотождественным в течение времени. Опять же, рассмотрим стул в течение долгих периодов. Он постоянно изменяется — изменяются даже все его твердые деревянные части. Например, за миллион лет нахождения в пещере он становится хрупким и распадается от соприкосновения. Медленное, невоспринимаемое изменение происходит постоянно.

Вспомните, что человеческие понятия одного дюйма длины или одной секунды времени, будучи небольшими базисными количествами, полностью соответствуют человеческой жизни. Более того, современные открытия физиков и астрономов показали нам важность как ничтожнейших, так и огромных событий. Наш точный концептуальный опыт есть разновидность выделения важного. Он оживляет идеалы, которые придают силу реальным событиям. Он добавляет восприятие ценности и красоты к простому протеканию чувственного опыта. Именно благодаря концептуальному стимулу заход солнца демонстрирует все великолепие неба. При этом мы, конечно, не имеем в виду, что простое течение наших осознаваемых мыслей создает такое чудо. Это трансформация реального опыта в его идеальный предел. Наше существование усиливается концептуальными идеалами, видоизменяющими смутные восприятия.

Мы не постигнем тот поток, который составляет наш чувственный опыт, пока не осознаем, что он возвышается над пустотой бесконечности с помощью последовательных разновидностей выделения важного, генерирующих активную энергию конечных объединений. Предрассудочный страх перед бесконечностью оказался сущим ядом для философии. Бесконечное ведь не имеет свойств. Любая ценность есть дар конечности, которая является необходимым условием деятельности. Деятельность же означает возникновение структур (patterns) объединений; эти структуры изучаются математикой. Здесь мы находим главный ключ к отношению математики к изучению понятий добра и зла.

8. Вы обратите внимание, как ранее в этом эссе мы уже подчеркивали, что не бывает самосуществующих конечных сущностей. Конечное необходимым образом указывает на неограниченное основание. Сейчас же мы подошли к противоположной доктрине, а именно: что бесконечность сама по себе бессмысленна и лишена ценности. Она получает значение и ценность в результате воплощения в конечные сущности. Вне конечного бесконечное лишено значения и неотличимо от ничто. Понятие сущностного взаимоотношения всех вещей является исходным шагом к пониманию того, каким образом конечным сущностям требуется неограниченная вселенная и как вселенная получает значение и ценность путем воплощения в ней активности конечного.

Среди философов именно Спиноза подчеркнул эту фундаментальную бесконечность и с помощью конечных модусов ввел субординированную дифференциацию. Лейбниц, наоборот, подчеркнул необходимость конечных монад и в качестве их основания положил субстрат божественной (deistic) бесконечности. Но ни один из этих философов не сумел должным образом подчеркнуть тот факт, что бесконечность есть лишь пустота без воплощенных в ней конечных ценностей и что конечные ценности лишены значения отдельно от своих внешних взаимоотношений. Понятие «понимание» требует постижения того, как конечность определенной сущности требует бесконечности, а также некоторого понятия о том, как же бесконечность требует конечности. Этот поиск подобного понимания и есть определение философии. По данной причине математика, занимающаяся конечными структурами, имеет отношение к понятиям хорошего и плохого.

Великие религии иллюстрируют эту доктрину. Буддизм подчеркивает чистую бесконечность божественного (divine) начала, и тем самым практическое влияние этого принципа лишается энергичной активности. У последователей данной религии не хватает порыва. Доктринальные перепалки христиан касались оценки бесконечного в терминах конечного. Было невозможно рассматривать энергию в каких-либо других терминах. Само понятие добра рассматривалось в терминах активной оппозиции силам зла и в связи с этим — в терминах ограничения божества. Подобное ограничение в явном виде отвергали, но неявно его принимали.

9. История науки алгебры — это история совершенствования техники обозначения конечных структур. Алгебра представляет собой лишь одну «главу» в более обширной технике, каковой оказывается язык. Правда, в целом язык указывает на свои значения с помощью случайных, возникающих в человеческой истории ассоциаций. Это верно, что язык стремится воплотить некоторые аспекты этих значений в самой своей структуре. Ведь глубоко продуманное слово способно воплощать всю серьезность печали. Фактически задача искусства литературы, устного или письменного, заключается в таком приспособлении языка, чтобы он воплощал то, на что указывает.

Но большая часть того, что представляет собой язык в физическом плане, не имеет отношения к указываемому им значению. Предложение есть последовательность слов. Но в целом эта последовательность безотносительна к значению. Например, «Шалтай-Балтай сидел на стене» представляет собой последовательность, которая безотносительна к значению. Стена ни в каком смысле не следует за Коротышкой. Также и позиция сидения могла возникнуть одновременно с появлением сидящего и стены. Таким образом, порядок слов имеет самое ничтожное отношение к передаваемой идее. Верно, конечно, что с помощью чувства ожидания, а также с помощью задержки порядок слов воздействует на эмоции воспринимающего. Но характер вызванной таким способом эмоции зависит от характера воспринимающего. Алгебра же полностью изменяет относительную важность факторов в обыденном языке. В сущности, она представляет собой письменный язык, и она стремится продемонстрировать в своих письменных структурах те модели, передача которых является ее целью. Не всегда эти усилия приводят к полному успеху. Но она и в самом деле опрокидывает обычные языковые привычки. В применении алгебры образец знаков на бумаге является конкретной разновидностью того образца, который должен быть передан мыслью.

Также (в алгебре) имеет место расширение понятия «любой (any)». В арифметике мы пишем: 2 + 3 = 3 + 2. Мы рассматриваем два процесса сочетания. Сам тип сочетания указывается словом или знаком « + », и его значение ограничено указанием на число. Подразумевается, что обе процедуры должны в результате дать группы с тождественным числом членов. В данном случае это будет число 5, хотя оно и не упоминается.

Итак, в алгебре избегают ограничения мышления лишь конкретными числами. Мы пишем х + у = у + х, где х и у суть любые два числа. Этим усиливается наш акцент на самой модели, отличающейся от конкретных сущностей, участвующих в ней. Таким образом, введение алгебры вызвало замечательный прогресс в изучении модели. В человеческое мышление проникли взаимоотношения различных образцов вроде того, что представлен в теореме о биноме. Разумеется, алгебра развивалась медленно. Столетиями ее рассматривали лишь как способ поиска решений для уравнений. Где-то в средневековье несчастный император или какая-либо другая важная персона вместе со своим двором должны были слушать ученого итальянца, разъясняющего решение кубического уравнения. Бедняги! Чудесный итальянский полдень был потрачен впустую. Они бы вообще начали зевать, если бы их интерес не поддерживался чувством магического.

10. В начале XIX столетия алгебра изучала модели, связанные с различными видами сочетания чисел, когда каждое такое сочетание давало в качестве своего результата одно определенное число. Отношение равенства между двумя сочетаниями означало, что они оба указывали на одно и то же число. Но интерес был обращен к самим образцам сочетания с одинаковым способом указания. Таким путем определенные общие характеристики числовых образцов, реализующихся в эволюционирующей вселенной, были отождествлены с характеристиками образцов знаков на поверхностях двух измерений — обычно на листках бумаги. Подобные тождества моделей значения с образцом написанных знаков или их звукового варианта являются второстепенной характеристикой обыденного языка, хотя они и важны для устной речи. Но эта тождественность оказывается главной характеристикой алгебраического языка.

Сегодня, обозревая первую половину XX столетия, мы обнаруживаем огромное расширение алгебры. Она вышла за пределы сферы чисел и теперь применяется к большой группе образцов, в которой число является лишь второстепенным фактором. Очень часто в случае явного использования числа его главная задача заключается в именовании, подобно тому как это делается при назывании домов. Таким образом, математика сейчас превратилась в интеллектуальный анализ типов моделей.

Понятие значимости (importance) модели старо, как и сама цивилизация. Любое искусство основано на изучении модели. Также и сплоченность социальных систем зависит от поддержания структур поведения, а развитие цивилизации— от удачной модификации подобных структур. Поэтому включение структуры в естественные события, а также стабильность структур и возможность их модификации оказываются необходимым условием для реализации добра.

Математика представляет собой наиболее сильную технику для понимания образцов, а также для анализа их взаимоотношений. И здесь мы достигаем фундаментального обоснования темы платоновской лекции. Если принять во внимание необъятность предмета математики, то даже современная мат ематика представится наукой, находящейся в раннем детском возрасте. В случае, если цивилизация будет продолжать развиваться, в следующие две тысячи лет преобладающим нововведением человеческой мысли окажется доминирование математического понимания (understanding).

Сущностью подобной генерализированной математики является изучение наиболее доступных примеров соответствующих структур. А прикладная математика перенесет это изучение на другие примеры реализации структур.

11. Модель есть только один из факторов нашей реализации опыта либо как непосредственной ценности, либо как стимула к активности для будущей ценности. Например, в картине геометрическая модель может быть хорошей, но соотношение цветов—ужасным. Также и каждый цвет в отдельности может быть очень бедным, неопределенным, невыразительным. Этот пример выявляет ту истину, что никакую сущность нельзя характеризовать просто по ее индивидуальному характеру или же по ее взаимоотношениям. Каждая сущность изначально обладает индивидуальным характером и к тому же является пределом взаимоотношений, потенциальных или актуальных. Некоторые из факторов индивидуального характера включаются во взаимоотношения, и, наоборот, взаимоотношения включаются в сам характер. Другими словами, никакую сущность нельзя рассматривать в абстракции от всей вселенной, и никакая сущность не может быть лишена своей собственной индивидуальности. Традиционная логика придавала слишком большое значение понятию индивидуального характера. Понятие «любой» не освобождает нас от подобного понятия, однако нет такой сущности, которая была бы просто «любой». Так что, когда применяется алгебра, факторы, находящиеся за пределами алгебраического мышления, имеют отношение к целостной ситуации. Возвращаясь к примеру с картиной, нужно сказать, что чистая геометрия еще не все. Цвета тоже важны.

На картине цвет (включая черный и белый) может быть сведен к минимуму, как на чернильном наброске. Но все же некоторая дифференциация цвета необходима для физического воплощения геометрического проекта. С другой стороны, цвет может и доминировать в великолепных произведениях искусства. Далее, рисунок способен оказаться хорошим, а цветовой эффект неудачным. Здесь и возникает та самая тема добра и зла. И вы не сумеете обсуждать добро и зло без указания на взаимопереплетение различных образцов опыта. Предшествующая ситуация может потребовать глубины реализации, а слабая модель способна помешать концептуальному ожиданию. Затем еще есть такое зло, как тривиальность, которая подобна наброску, замещающему целую картину. Опять же два образца, выявляющие значительный опыт, могут помешать друг другу. Существует и большое зло деятельного лишения (deprivation). Этот тип зла бывает в трех формах: понятие может противоречить реальности, две реальности могут противоречить друг другу, два понятия могут быть взаимно противоречивы.

Могут быть и другие типы зла. Но мы рассматриваем несогласованность структур опыта. Целостная структура ограничивает самостоятельность своих частей. Но сказанное бессмысленно без указания на основание пережива- ния, т. е. эмоционального и аналитического опыта, в рамках которого возникает целостная структура. Каждая абстракция становится значимой в результате указания на основание переживания, которое стремится к единству индивидуализации в его непосредственном настоящем. Сама по себе эта модель ни хороша, ни плоха. Но каждая модель может существовать только благодаря ее предназначению к реализации, актуальной или концептуальной. И это предназначение доверяет модели играть свою роль в наплыве чувства, которое является пробуждением бесконечности в отношении конечной активности. Такова природа существования: это приобретение структуры в чувстве, подчеркивающем роль конечной группы отобранных индивидуальностей, каковыми оказываются структурированные сущности (например, пространственное расположение цветов, а также согласование звуков). Но эти индивидуальности отнюдь не обязательно являются чисто качественными. Человеческое существо есть нечто большее, чем набор цветов и звуков. Понятие модели подчеркивает относительность существования, а именно относительность того, как связаны вещи. Но таким образом связанные вещи сами являются сущностями. Каждая сущность какой-либо модели, входя в другие модели, сохраняет в этом разнообразии существования собственную индивидуальность. Загадка философии в том, как сохранить равновесие между индивидуальностью существования и его относительностью. Также каждая индивидуальная сущность некоторой модели может быть способна к анализу, дабы продемонстрировать себя в качестве единицы удачной (achieved) модели. Я подчеркиваю именно функцию модели в порождении добра или зла в конечной единице переживания чувства, включающей ощущение этой модели. Также сущностной характеристикой математики оказывается изучение модели в абстракции от подпадающих под нее индивидуальностей. 12. Когда Платон в своей лекции связал математику с понятием добра, он защищал—сознательно или бессознательно—традиционные способы мышления, распространенные среди всех народов. Новизна же заключалась в методе абстракции, который греческий гений постепенно усиливал. Математика, как она изучалась в платоновской Академии, представляла собой абстракцию геометрических и числовых характеристик от конкретных фактов афинской жизни. Аристотель анатомировал живот- ных и при этом анализировал политические устройства. Он размышлял о родах и видах. Таким путем он абстрагировал логические характеристики от полнокровного опыта. Начиналась новая эпоха научных абстракций.

Одна из опасностей применения этой техники заключается в таком простодушном использовании логики, когда ошибочное предложение сразу отвергается. Но все предложения ошибочны до тех пор, пока они не указывают на основание, которое мы воспринимаем без какого- либо осознанного анализа. Любое научное предложение, которое было выдвинуто великими учеными середины XIX в., оказалось ошибочным именно в том смысле, как оно тогда формулировалось. Их учение о пространстве было ошибочным, таковы же были их учения о материи и фактическом обосновании (evidence). Постоянный интерес к платоновским диалогам связан не с тем, что в них провозглашаются абстрактные доктрины. Диалоги заполнены имплицитными указаниями на конкретные единицы опыта, посредством которых каждая абстрактная тема становится интересной.

13. Абстракция предполагает акцентирование, а акцентирование оживляет опыт —к добру или ко злу. Все соответствующие актуальностям характеристики суть разновидности акцентирования, с помощью которого конечное оживляет бесконечное. Креативность предполагает порождение ценностного опыта путем притока бесконечного в конечное, получая свой особенный характер от отдельных деталей и всей конечной модели.

Это и есть абстракция, участвующая в творении актуальности, со своим собственным единством конечности и бесконечности. Но сознание переходит ко второму порядку абстракции, когда от актуальной вещи абстрагируются ее конечные составляющие. Данная процедура необходима для конечного мышления, хотя она и ослабляет чувство реальности. Это основа науки. Задача философии заключается в том, чтобы перевернуть этот процесс и таким образом слить анализ с действительностью. Из этого следует, что философия не является наукой.

<< | >>
Источник: Уайтхед А.. Избранные работы по философии — М.: Прогресс. (Философская мысль Запада).. 1990

Еще по теме Математика и добро:

  1. «Отдадим честь уроку математики», или Диалоги на математике Ольга КУЗНЕЦОВА, Светлана ПЕТРЕНКО
  2. ДОБРО
  3. РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ДОБРО И СОВЕСТЬ
  4. Добро и зло.
  5. 15.11. Добро и зло
  6. Добро и зло, ангелы и демоны
  7. Должно делать добро ближним, по возможности, тайно
  8. 9.5. Таможня дает добро (взаимоотношения с таможенными органами)
  9. Добро, которое мы делаем ближним, обращается нам самим во благо
  10. МАТЕМАТИКА
  11. Математики