ЛОГИЧЕСКИЕ ТРУДЫ ЛЕЙБНИЦА

«Новые опыты о человеческом разу- мении»

Большинство логических произведений Лейбница но печаталось при его жизни.

В основе логических исследований Лейбница лежала мотивированная его рационалистическими установками программа представления человеческого знания в виде некоего универсального символического языка. В рамках такого символизма Лейбниц мыслил свести все человеческие рассуждения к формальному исчислению, которое г л ужило бы средством как доказательства установленных истин, так и открытия новых, насколько это можно сделать исходя из того, что уже известно; в случае же если имеющиеся сведения недостаточны, этот метод должен был давать приближенный ответ и определять в соответствии с исходными данными, что является наиболее вероятным.

Создание этого метода, или «универсальной характеристики», как назвал его Лейбниц, предполагало разработки в целом ряде направлений. Во-первых, надо было уметь разлагать все сложные понятия на простые, составляющие некий «алфавит человеческих мыслей», и на этой основе получать точные определения всех понятий. И всякий, кто знакомится с трудами Лейбппца, пе может но обратить внимание на его постоянпое стремление анализировать и определять всевозможные понятия. Во-вторых,, надо было найти подходящие символы, или «характеры»,, которые могли бы представлять и замещать понятия, или термины, естественного языка. В-третьих, надо было сформулировать организующие принципы этого всеобщего символизма — правила употребления и комбинаций символов. Этот грандиозный метафизический проект, который Лейбниц неоднократно обсуждает в своих работах, не был — да и не мог быть — осуществлен в том виде, в каком он рисовался его воображению. Но он подсказал те пути исследования, которые привели Лейбница к ряду важны* математических открытий, в том числе к открытию начат математической логики.

В наше время, когда имеется разработанная система математической, или символической, логики, в историко- логических исследованиях стало преобладать стремление отыскивать в логическом наследии прошлого прежде всего элементы таких воззрений, которые согласуются с ее понятиями и положениями. Современность отбрасывает в прошлое свою тень. У древних стоиков усматривают развитую систему пропозпциональной логики, у средневековых схоластиков — теорию логического следования и теорию семантических парадоксов, пе чуждаясь при этом и реконструкции дошедшего до нас исторического материала. Однако собственно математическая логика начинается с Лейбница. Его отношение к логике принципиально иное, чем даже его непосредственных предшественников — Т.

Цикл логических работ Лейбница открывается произведениями, датированными апрелем 1G79 г. Их пять. Все они не окончены. Все они посвящены поискам путей реализации идеи «характеристики». Идея состояла в том, чтобы всякому термину (предложения, силлогизма) приписывать определенное число, соблюдая условие, чтобы термину, составленному из других терминов, соответствовало число, образованное произведением чисел этих терминов. Далее, установив общее свойство таких «характеров» (и используя лишь такие числа, которые соответствуют этому свойству), можно было бы устанавливать, корректны ли те или иные выводы но форме. В работах апреля 1679 г. Лейбниц испытывал в качестве «характеров» простые числа. Их он приписывал простым терминам, а произведения соответствующих простых чисел — сложным терминам, составленным из простых. Объектом приложения «характеристики» являлись формы аристотелевской логики, традицию которой он высоко чтил и стремился продолжить.

В «Элементах универсальной характеристики» Лейбниц предлагает следующие правила применения числовых обозначений к категорическим предложениям: для истинного общеутвердительного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно делилось на число предиката; для истинного частноутвердительного предложения достаточно, что- Г»ы или число субъекта точно делилось на число предиката, пли число предиката — на число субъекта; для истинного общеотрицательного предложения необходимо, чтобы ни число субъекта точно не делилось па число предиката, пи число предиката — на число субъекта; для истинпого частноотрпцательного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно не делилось на число предиката.

Предложения записываются в виде равепств и изображаются обобщенными формулами, где символы принимают определенные численные значения.

В работе «Элементы исчисления» излагается интенсиональная трактовка отношений между понятиями п соответственно субъектно-предикатной структуры предложений. В отличие от экстенсионального подхода схоластической логики, где понятия рассматривались по объему (например, общеутвердительпое предложение понималось как выражение того, что множество индивидов, отвечающих понятию субъекта, включается как часть в множество, охватываемое предикатом), Лейбниц видовое понятие рассматривает как более содержательное целое, чем родовое, включающее родовое понятие в качестве своей части. Это вполне соответствовало основной установке его «характеристики» представлять все термины как составленные из более иростых терминов о соответственно понятия — как комбинации более общих понятий, а также его философскому убеждению, что общие понятия не зависят от существования индивидуальных предметов и могут принадлежать в отличие от них разным возможным мирам.

Наиболее интересным изобретением Лейбница является модель силлогистики, основывающаяся на соответствии между терминами и упорядоченными парами взаимно простых натуральных чисел. Она изложена им в работе «Правила, по которым можно с помощью чисел судить о правильности выводов, о формах и модусах категорических силлогизмов».

Всякий благочестивый есть счастливый +10 —3 +5 —1 Некоторый благочестивый пе есть богатый +10 —3 +8-11

След. Некоторый богатый не есть счастливый +8 —И +5 —1

Здесь взяты такие пары чисел, которые выражают истинность как посылок, так и заключения. Между тем этот силлогизм неправильный: такое заключение с необходимостью из посылок не следует. Возможно подобрать пары чисел, которые покажут ложность этого заключения:

Всякий благочестивый есть счастливый +12 —5 +4 —1 Некоторый благочестивый не есть богатый +12 —5 +8—11

След. Некоторый богатый не есть счастливый +8—11 +4 —1

Это обстоятельство, конечно, не опровергает модель Лейбница. Аналогичная ситуация имеет место и при интерпретации силлогизмов на круговых схемах, которые, кстати,, Лейбниц применял задолго до Эйлера. Для правильных силлогизмов расположение кругов однозначно определяет заключение, для неправильных — наглядно показывает возможность противоречащих друг другу заключений. Подобной наглядности нет в случае арифметической модели Лейбница.

В логических работах 1680—1690 гг., как и в работах апреля 1679 г., предметом анализа Лейбница оставалась субъектно-предикатная силлогистическая логика, для которой он искал систематическую форму выражения. Показательными в этом отношении являются такие его произведения, как «Логические определения», «Математика разума», «О математическом определении силлогистических форм», где он осуществляет доказательства законов и правил силлогистики. Но даже эту традиционную проблему Лейбниц решает по-своему: трактует категорическно предложения как тождества и различия, указывая, что таким переходом от предикации к тождеству «совершенствуется логическая наука». Он ставит перед собой задачу построить силлогистику на мипимальных очевидных основаниях синтетическим методом и вплотную подходит к ео аксиоматизации. В качестве основных положений он,, л частности, принимает законы тождества: «Всякое А есть Л» и «Некоторое А есть А», предвосхищая те две аксиомы,, которые через двести пятьдесят лет Я. Лукасевич положит В основу формальной системы СИЛЛОГИСТИКИ. И вместэ с тем в этот же период в работах Лейбница все в более и более отчетливой форме проступают черты нового метода исследования логики. Если в сочинениях апреля 1679 г. Лейбниц искал способ изображения и доказательства логических правил и схем с помощью системы чисел, то в исследованиях 1680—1690 гг. он уже стремится, придав логике алгебраическую форму,; представить ее в видо символического исчисления.

Один из первых подходов к такому исчислению содержится в работе «Опыт универсального исчисления» и «Добавлении» к нему. Правда, здесь излагается довольно узкая система, предполагающая лишь общие предложения, однако мы находим в ней уже все основные элементы формализма. Лейбниц определяет исходные предложения,, «истинные сами по себе», из которых выводятся, или доказываются в качестве истин, другие предложения; указывает правило вывода, пли «следование, истинное само по себе»; характеризует способы подстановки и замены эквивалентным. Он формулирует также ряд общих принципов логического исчисления, и среди них принцип переименования (который гласит: что бы ни выводилось в каких-либо произвольно выбранных буквах, то же самое должно выводиться и в любых других буквах, заданных при тех жо условиях), закон коммутативности и закон идемпотентности.

Наиболее значительное и крупное произведение этого периода — «Общие исследования, касающиеся анализа понятий и истин» (1680). Лейбниц высоко ценил этот свой труд и на полях рукописи даже приписал: «Здесь я достиг замечательных успехов». Это сложное, но во всем достаточно ясное произведение, в котором Лейбниц часто ещо только нащупывает пути исследования, чрезвычайно богато новыми мыслями и решениями. Как и во многих других работах Лейбница, в нем отражается почти вся ею <|.нлософско-методологическая концепция, в контексте КС- торой он ставит и решает, казалось бы, частные технические вопросы логики.

Значительная часть работы посвящена попыткам построить универсальное исчисление, применимое как к терминам, так и к предложениям, в рамках которого можно М.ІЛО бы представить все законы и правила аристотелевской логики. Лейбниц излагает несколько алгебраических интерпретаций для основных силлогистических предложений (общеутвердительного, частноутвердительного, обще- отр и цате л ьного и частноотри цате л ьно го), вписы в а ющи х теорию силлогизма в конструируемое им исчисление. Вот некоторые из них (ниже А обозначает субъект, В — предикат соответственно, по порядку, общеутвердительногой частноутвердителыюго, общеотрицательного и частно- отрицательного предложения; X, У, Z обозначают, что понятия в экстенсиональной интерпретации берутся не во всем объеме):

I IT III А = АВ AY = ABY AY пo = ABY А не = АВ

IV

А по-В пс = А не-В AB — AR АВ не=АВ А но-В = А ио-В

А — АВ А не = Л не-7?

А =А ио-В А по = АВ

V

А — YB YA = ZB

А = У но-В ХА = У по-В

А = АВ АВ —АВ А =А не-Д А но-В—А ис-В

VI

А но-В не существует А В существует А В пе существует А но-В существует Вместе с тем Лейбниц уточняет предложенное еще в «Элементах универсальной характеристики» выражение силлогистических предложений через отношение точной делимости их терминов и придает ему символическую форму,, соответствующую задуманному им формализму. Это универсальное исчисление осталось далеко не завершенным,, по-видимому, и из-за тех трудностей и проблем, которые встали в связи с задачей представления предложений как терминов и терминов как предложений. Однако в ходо выяснения его оснований, создания его аппарата и доказательства различных теорем (Лейбница, в частности,, занимала задача доказательства эквивалентности излагаемых им разных интерпретаций основных силлогистических предложений) был сформулирован ряд законов п принципов алгебры логики: принцип двузначности предложений, законы идемпотентности, снятия двойного отрицания, коммутативности, правило замены эквивалентным и др. К этому исчислению Лейбниц вернулся спустя четыре года, написав в августе 1690 г. две небольшие работы — «Первоначальные основания логического исчисления» и «Основания логического исчисления». Здесь он, в сущности, повторил некоторые его основные положения и доказал несколько новых теорем.

Еще на страницах «Общего исследования, касающегося анализа понятий и истин» Лейбниц уделил внимание экзистенциальной интерпретации основных силлогистических предложений (см. схему VI), содержащейся в его работах также п в других вариантах: где «существует» и «не существует» заменено соответственно на «есть вещь» и «не есть вещь», «есть сущее» и «есть не-сущее». Таким образом, он прямо говорит о пустом понятии (поп Ens). Эта тема стала предметом рассмотрения в его работе 90-х годов «Некоторые логические трудности». В ней рассматривается но видимости парадоксальная ситуация: с одной стороны, общеутвердительное предложение может быть истинным, даже если не существует тех вещей, о которых идет речь; с другой — из него логически выводится частноутверди- тельное, всегда предполагающее существование. Между тем анализ самого вывода показывает, что он осуществим лишь при условии непустоты понятия в посылке. Видимость парадокса, считает Лейбниц, проистекает из двусмысленного понимания «сущего» — смешения разных смыслов «существования»: в возможности и в действительности, которое всегда следует устранять, осуществляя вывод. Логические законы остаются незыблемыми, они справедливы для всех возможных миров. Впервые столкнувшись с пустым понятием, Лейбниц не включил его в качестве полноправного элемента в систему логики. Из открывшейся перед ним альтернативы он выбрал верность традиционной аристотелевской концепции. Как законный элемент пустое понятие, или «ничто» (Nihil), войдет в его логическую теорию позднее. Я имею в виду наиболее отделанную в техническом отношении теорию, изложенную в двух тесно связанных между собой сочинениях,- первое из которых Лейбниц сначала назвал «Не лишенный изящества опыт абстрактных доказательств». Эта оригинальная система представляет собой исчисление терминов, или понятий. В отличие от предшествующих логических исчислений, так или иначе привязанных к схемам и правилам силлогистики, это лейбницевское исчисление, содержащее, в частности, и теорию тождества, непосредственно но имеет дела с проблематикой традиционной аристотелевской логики, а если и включает в себя положения последней (например, аксиому силлогизма), то в том виде, в каком они получаются из развития его собственных принципов. В известном смысле это исчисление можно рассматривать и как исчисление классов, но лишь в той мере, в какой Лейбниц отходит от принятой им преимущественно интенсиональной трактовки отношений между терминами (понятиями) и допускает возможность экстенсионального рас- смотрения. Кратко говоря, строится оно следующим образом. Определяются некоторые основные отношения между терминами (тождество, совпадение, различие, включение) и операции с терминами (прибавление, отнятие), вводятся связанные с этим аксиомы, постулаты, характеристики и понятпя, а затем доказывается целый ряд теорем. И положения, и рассуждения Лейбпица настолько ясны, что вряд ли требуют пояснений.

Вопросов логики Лейбниц касается также в «Новых опытах о человеческом разумепии», книге, написанной в 1703—1704 гг. Интересно, что, отстаивая в полемике с Дж. Локком значение силлогизма как универсального способа аргументации по форме, он вместе с тем вслед за И. Юнгом указывает па существование множества других,, асиллогистических выводов, которые нельзя строго доказать при помощи каких бы то ни было силлогизмов, не изменяя их терминов. Сюда относятся, в частности, выводы из высказываний об отношениях. Здесь же Лейбниц говорит о необходимости создания нового вида логики, которая занималась бы степенями вероятности и в отличие ог аристотелевской «Топики» давала бы пам надежный критерий для взвешивания шапсов и для составления на основании этого твердого суждения,— в сущности, имея в вил у задачи, которые уже становились объектом изучения математической теории вероятности. Интересны и то соображения, которые он высказывает в этом, во много?! итоговом, сочинении относительно места и роли логики. К аргументации по форме, т. е. рассуждению, в котором вывод оправдывается в силу своей формы, относятся пе только силлогизмы и асиллогпстические выводы, но и правильный счет, и алгебраические выкладки, и анализ бесконечно малых, так как форма рассуждения здесь заранее доказана и ею в дальнейшем можно пользоваться* не боясь впасть в ошибку. Однако особенные, свойственные математике разновидности форм аргументации сама математика обосновывает с помощью всеобщих форм логики. И все же соотношение математики н логики в лейб- ницевской концепции в целом представляется не столь одномерным. Ведь Лейбниц во всех своих логических исследованиях настойчиво искал разные способы математизации логики — будь то арифметпзация логического вывода или же представление его по образцу алгебраического вычисления. Он сближал математику с логикой и логизируя математику, и математизируя логику. Именно это и привело его к новым важным идеям и методам как в математике, так и в логике.

Несколько слов о лейбницевском понимании доказательства и определения. Лейбниц убежден, что научные предложения требуют доказательства. В логическом доказательстве не нуждаются лишь тождественные предложения и очевидные истины опытного знания. В принципе всякое предложение может быть априорно доказано путем разложения его терминов (субъекта и предиката) па составляющие их термины и сведения с помощью определений к тождеству или противоречию. Истинное необходимое предложение сводится таким образом к самоочевидным первым истинам, или тождественным предложениям, тогда как ложное, или невозможное, предложение, сводится к противоречию. Отсюда то первостепенное значение, которое имеют в логике и методологии Лейбница законы тождества и противоречия. Истинное же случайное предложение, по Лейбницу, не может быть сведено к тождественным, ибо процедура разложения здесь уходит в бесконечность. Его доказательство можно осуществить лишь указанием на то, что при продолжающемся разложении оно асимптотически приближается к тождественным. Читая Лейбница, как бы присутствуешь в лаборатории его мысли, ищущей, постоянно испытывающей пути решения. Вот, например, он утверждает: возможные предложения — это такие, относительно которых можно доказать, что в процессе их разложения никогда не возникнет противоречия. И тут же сомневается, достаточно ли для доказательства истины того, что при продолжении анализа становится известно, что не возникнет никакого противоречия; ведь отсюда будет следовать, что все возможное истинно. Он определяет ложное, в частности, как то, истинность чего невозможно доказать. А через страницу задастся вопросами: является ли истинным все то, ложность чего не может быть доказана, и ложно ли все, что не может быть доказано как истинное? А как быть с тем, о чем нельзя доказать ни того ни другого? Таков Лейбниц. И именно потому, что, размышляя, он заставляет размышлять и нас, его произведения, несмотря на содержащиеся в них многочисленные повторения, читаются с неослабным интересом.

К Лейбницевой концепции доказательства тесно примыкает его теория определения. Свою трактовку определения Лейбниц не ограничил ни схоластическим правилом определять per genus et differentiam \ ни номиналистическим подходом. Конечно, имеются определения через род и видовое отличие, как имеются и номинальные определения. В последних перечисляются отличительные признаки определяемого понятия и тем самым достигается его отчетливость, что является гарантией самой возможности аналитического процесса в доказательстве. Однако надежность доказательства обеспечивается реальными определениями, предполагающими возможность объекта определения, ибо относительно невозможных, или заключающих противоречие, понятий могут быть доказаны и противоречивые положения. Установление возможности,, или непротиворечивости, понятия в принципе достигается разложением его на элементарные компоненты. Если же этот принцип реализовать не удается, то допустим другой прием определения. Так как все действительное возможно,, то к удостоверению возможности понятия можно подойти,, отыскав или же создав удовлетворяющий ему объект,; причем это может быть указание некоторого общего способа построения объекта. Так Лейбниц приходит к оправданию определений per generationem 18 и per causam 19. Как уже говорилось, логические работы Лейбница не были изданы при его жизни. Более того, многие из них написаны так, что, по-видимому, и не предназначались для публикации. Сейчас, столетия спустя, мы можем только глубоко сожалеть об этом, ибо очевидно, что в своих логических исследованиях Лейбниц предвосхитил многое из того, что впоследствии составило фундамент символической логики. Можно даже сказать, что своими исследованиями он предвосхитил саму эту логику. Он не только сформулировал ряд ее принципов и законов, но и выработал понятие формализованного логического языка и, преодолевая неудачи и трудности, в конце концов дал примеры его построения. Логики XVIII столетия (X. Вольфу И. Зегнер, Г. Плуке, И. Ламберт, Ф. Кастильон), выступившие с идеями, аналогичными тем, которые развивал Лейбниц, в принципе не пошли дальше того, на чем он остановился. Лейбниц первый попытался арифметизиро- вать логический вывод, приписать различным логическим объектам различные натуральные числаА чтобы обнару- жить соответствие законов логики законам чисел. Ему же принадлежит и глубокая идея алгебраизации логики, впервые систематически реализованная лишь полтора столетия спустя п до сих пор являющаяся одним из основных источников новых логических изысканий. Его работы блпзки современной логике и по стилю мышления, и по приемам постановки и решения задач. Но есть в логических исследованиях Лейбница еще одна особенность: все они находятся в русле глубокого потока его философской мысли. Не логика ради логики, а создание логического аппарата ради достижения каких-то значительных методологических и практических результатов — таков урок, который мы извлекаем сегодня из лейбнпцевского логического наследия.

/1. JL Субботин