...§ 1. Геометрия имеет дело не с реальными предметами, а с отвлеченными понятиями, и только в практических приложениях ее мы применяем выводы ее к действительно существующим физическим телам. В научном отношении точное определение понятий имеет весьма важное значение, только определив с самого начала ясно и точно признаки, свойственные понятию, мы можем избежать в дальнейших выводах каких-либо ошибок. Но точное определение понятия вовсе не легкое дело, поэтому, как увидим далее, составители геометрических учебников еще не достигли полного соглашения относительно определения некоторых геометрических понятий. Признаки или свойства геометрических понятий стоят в известной зависимости между собой, так что, зная одно из них, мы можем вывести из него все остальные свойства. Поэтому в геометрии нет нужды перечислять все свойства или признаки понятия, а совершенно достаточно указать только то из них, из которого путем рассуждения можем вывести другие. Так, определяя треугольник, мы не перечисляем всех его свойств, не говорим, что это такая фигура, у которой сумма внутренних углов равна 2d, каждая сторона которой меньше суммы и больше разности двух остальных сторон и т. д. Все эти свойства мы выводим из того признака, который указан в общепринятом определении треугольника как фигуры и притом о трех сторонах. По той же причине, определяя окружность как линию, все точки которой равно отстоят от центра, нет нужды упоминать, что эта линия кривая и притом выпуклая, ибо из самого указания свойства окружности следует и может быть доказано, что точки ее не могут лежать на одной ‘ прямой. Если б мы определили окружность как кривую линию с известным свойством точек, то этим самым высказали бы предположение, что тем же свойством могут обладать точки, принадлежащие и не кривой линии. Очевидно, что в основании такого выделения в определение одного и лишь ограниченного числа признаков лежит не одно желание сэконом- ничать на труде и времени и сделать определение короче. Соединяя признаки в понятие, можно связать признаки совершенно несовместимые и составить из них невозможное понятие. Кроме того, вследствие взаимной зависимости свойств геометрических понятий совершенно достаточно отобрать ограниченную группу признаков, чтобы по ним судить, принадлежит ли, положим, данная фигура определенной категории или нет, потому что мы знаем, что если в ней есть известные свойства, то неизбежно должны быть и другие свойства и не было бы других. Подобными фигурами мы называем такие, у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Для подобия треугольников совершенно достаточно одного признака: равенства соответствующих углов. Теорема: в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, убеждает нас, что при существовании первого признака второй всегда присутствует. Поэтому для обнаружения подобных треугольников его совершенно достаточно, и в определение подобных треугольников мы его только и включаем. Вопрос о том, какое свойство считать основным, не всегда решается одинаково. Есть случаи, когда его можно решить так или иначе, и, рассуждая теоретически, нет ошибки ни в том, ни в другом решении. Так, параллелограмм определяют как четырехугольник, имеющий противолежащие стороны или параллельные, или равные. Очевидно, выбор в таких случаях определяется соображениями особого рода (например, системой курса). Есть, с другой стороны, немало случаев, когда такого разногласия не существует. Все принимают одинаковое определение, включая в него признак более характерный, которым, однако, не пользуются, когда бывает нужно решить, подходит ли под определение данное протяжение или фигура. Равенство углов наклонения влечет за собой параллельность линий, и, наоборот, параллельность линий влечет за собой равенство углов наклонения. Определить параллельные можно двояко: или как прямые, не встречающиеся, или как образующие с пересекающей их прямой равные углы наклонения. Приняв то или иное определение, мы могли бы вывести из него другое свойство параллельных линий. Все, однако, ставят в определение параллельных их свойство не встречаться, сколько бы их не продолжали, потому что этот признак действительно характерный, наглядный. Тем не менее мы судим, параллельны ли прямые не потому, встречаются ли они или нет, а потому, какие углы наклонения они образуют. Замена одного признака другим здесь понятна. В общепринятое определение параллельных входит понятие о бесконечном расстоянии, что лишает нас возможности проверить, пересекаются прямые или нет. Укажем еще пример. Линией, перпендикулярной к плоскости, называем такую, которая перпендикулярна ко всем прямым, проведенным на плоскости через ее основание: для определения же перпендикулярности прямой к плоскости достаточно обнаружить, что она перпендикулярна к двум прямым, проходящим по плоскости через основание этой прямой. Известная теорема освобождает нас здесь, как в параллельных линиях, от необходимости иметь дело с бесконечным числом прямых, проведенных по плоскости через основание перпендикуляра. Но не всегда замена эта производится только по этой причине. Можно указать примеры, где в определение берут признак по другим соображениям. Для определения ромба совершенно достаточно было бы равенства двух смежных сторон, если уже известно, что фигура представляет параллелограмм, ибо последнее дает нам возможность вывести, что и остальные стороны его равны, но мы определяем ромб иначе: не как частный вид параллелограмма, а самостоятельно: как четырехугольник, у которого все стороны равны. § 2. Для образования понятия необходимо наблюдать факты или предметы и сличать их между собою. Это сличение дает возможность видеть их признаки как сходные, так и те, которыми они разнятся. Результатом такой умственной работы и является образование понятий. Отсылая интересующихся процессом образования понятий к сочинениям по логике, мы ограничимся только указанием, что понятие идет за наблюдением, что оно имеет в основании своем мир реальный, существующий. Но понятие может получиться и иным путем. Выведя из наблюдений существование известных признаков предметов или явлений, человек соединяет их в такие группы, которых он не встречал в действительности, но которые он считает возможными. Является произведение фантазии, воображения. В науке такие плоды воображения играют немалую роль. Механик исследует движение точки, не имеющей массы, движущейся равномерным движением под влиянием инерции и не испытывающей никакого сопротивления. Таких условий в действительности не существует, их создало воображение ученого, но разобраться иначе в сложных условиях движения физического тела не представляется возможности. И не только прикладная математика, но и чистая не чужда таких созданий воображения. Математик может соединить в одно понятие сумму известных признаков, не справляясь, существует ли такое сочетание в природе, и исследовать, что было бы, если бы такое сочетание осуществилось. Такое исследование представляет интерес научный, теоретический, но оно может принести иногда и практические результаты. Для такого широкого полета воображения большей частью необходим гений, да, кроме того, скромная область элементарного курса и не представляет для этого достаточного материала. Геометрия воспитывает и воображение и не должна отрекаться от этого, но может делать это лишь в тех пределах, какие указывают ей и содержание курса, и силы учеников, только начинающих знакомиться с наукой. Подробнее мы поговорим об этом в другом месте, здесь же, пока речь идет об образовании понятий и определении их, скажем, что начинающие только и могут выводить понятия из материала, добытого наблюдением, только и могут изучать те отвлеченные понятия, которые связаны с действительными предметами. На начальной ступени обучения работа отвлечения понятий от реальных предметов и посильнее, и нужнее, потому что другая работа требует уже известной подготовки, запаса отвлечений, которых не имеет начинающий. Подготовкой к работе над отвлеченным материалом и должна служить пропедевтика1; т. е. она должна привести ученика к тому, чтобы он, исходя от наблюдения тел, граней, ребер, пришел к отвлеченному представлению поверхностей, линий, точек и т. д. Но точно так же и в систематическом курсе мы идем от наблюдений и умственных выводов к образованию понятий и самые понятия определяем тогда, когда оно уже образовалось. Рассмотрев в пропедевтическом курсе грани куба, мы не можем еще сделать с учениками вывода о четырехугольнике, потому что они легко могут смешать признаки квадрата с признаками четырехугольника вообще. Сравнив же грани куба с гранями прямой четырехугольной призмы и, еще лучше, неквадратного сечения, учащиеся увидят, что равенство самих граней, а также равенство прямых, ограничивающих грань, не могут быть признаны признаками, общими для фигур этого рода, и составят понятие о четырехугольнике, относя к нему только один признак, общий для всех граней этих тел, что четырехугольник есть часть плоскости, ограниченная четырьмя сторонами. В систематическом курсе точно так же мы сперва выводим, что сочетание известных признаков возможно; так, мы сперва доказываем, что в четырехугольнике все четыре угла могут быть одновременно прямыми, и тогда уже называем такой четырехугольник прямоугольником. Мы доказываем, что в треугольнике может быть прямой угол, и притом один, и после этого называем такой треугольник прямоугольным. Было бы неправильно делить фигуры на виды в самом начале главы о них, когда ученики не представляют себе ясно, могут ли существовать такие виды и нужно ли их различать. Отступление от этого приходится, однако, сделать, и притом в самом начале курса. Строго говоря, нельзя сказать, чтобы прямая линия, как ее принимают в геометрии, была понятие несомненно реальное. Академик Остроградский2 в своем курсе поступает очень осторожно, говоря о прямой: «Допустим, что такая линия действительно существует». Этим характером самого понятия о прямой, может быть, и следует объяснить трудность избрать такое определение ее, которое стало бы общепринятым. Понятно, с другой стороны, что раз понятие о прямой составилось, мы уже можем говорить, и притом гораздо определительнее, о различных комбинациях, в которые входит прямая, ограничивая углы и фигуры. С тем же самым затруднением встречаемся и в определении плоскости: оно, очевидно, строится на допуске, сделанном относительно прямой. Для обозначения известных понятий мы употребляем определенные термины. Понятно, что, употребляя какой-либо термин, ученик должен связывать с ним определенное понятие, и поэтому термин может быть дан лишь по выработке соответственного понятия. Объяснение происхождения терминов не всегда может быть дано. Большая часть терминов происхождения иностранного и нуждается в переводе. Но и в том случае, если смысл термина понятен ученикам, не всегда можно объяснить им, почему понятию присвоен именно такой термин. Почему треугольник и другие фигуры получили свое название по числу углов, а не по числу сторон, между тем как площадь ограничивается прямыми линиями, а не углами. Объяснение, если б даже его и подыскать, потребовало бы со стороны учителя во всяком случае труда сомнительной пользы. С другой стороны, неточность иных терминов делает бесполезным их объяснение. Слово «перпендикуляр» происходит от pendere — «висеть». Очевидно, что, основываясь на прямом смысле слова, этим термином следовало бы обозначать вертикальную линию, которая представляет только частный случай линий перпендикулярных. Нам кажется поэтому, что объяснение терминов не может иметь места в элементарном курсе геометрии. Следует, однако, заметить, что когда встречается несколько видовых понятий, то правильнее всего такую связь их выразить, давая им одно общее родовое название и различая виды соответственными прилагательными, прибавляемыми к родовому названию, а не новыми названиями, отличными от родовых. Геометрия следует этому правилу, разделяя треугольники на прямоугольные и косоугольные, на равносторонние, равнобедренные и разносторонние, но она грешит против него, давая разные названия видам четырехугольника. Нарушение этого же правила порождает иногда разногласие терминов... ... § 3. Представление о прямой, которое есть у ученика,— представление, полученное им на уроках пропедевтики, рисования, наконец просто выведенное из своих обиходных наблюдений, скорее всего основано на впечатлении неизменности направления этой линии. Конечно, те же наблюдения приводили, вероятно, ученика к мысли, что прямая короче всякой другой линии, если последняя проведена между одними с нею концами. Поэтому-то и возможно принимать это свойство прямой за аксиому, хотя это и не вполне точно, но принять его за признак, определяющий прямую, нельзя, потому что оно не указывает вида линии. Здесь же уместно указать, что еще Евклид3 не считал возможным принимать это свойство прямой за аксиому: он ставил его теоремой. Кроме того, необходимо сделать по поводу этого свойства прямой еще одно замечание. Точное определение прямой важно между прочим и в том отношении, что ею, ее свойствами определяется впоследствии и плоскость как поверхность, с которой прямая может совмещаться по всем направлениям. Принимая такое определение плоскости, мы в своем месте должны доказать, что такой вид поверхности возможен. Но при этом мы пользуемся вовсе не этим, а другим свойством прямой. Очевидно, что его недостаточно для этой цели. В самом деле, представим себе, что мы изучаем геометрию на шаровой поверхности, в сферической геометрии определению «линия, которая представляет кратчайшее расстояние между двумя точками», соответствуют дуги больших кругов, а нашему определению плоскости вполне отвечала бы шаровая поверхность. Это еще довод, чтобы признать упомянутое свойство прямой непригодным для ее определения: необходимо устранить возможность такой двойственности. Свойство дуг большого круга указывает нам кроме того, что представление кратчайшего расстояния не вызывает непременного следствия, что оно и единственное. Если мы возьмем две точки на шаровой поверхности, лежащие на противоположных концах одного и того же диаметра, то кратчайшее расстояние между ними будет идти по меридиональному сечению и их будет столько же, сколько и меридиональных сечений, т. е. бесчисленное множество. Понятно, что сомнение в том, что кратчайшее расстояние между двумя точками есть непременно и единственное, не может явиться у учеников, тем более не могут они поддержать его указанием на приведенный выше пример. Но раз положение это шатко логически, мы не должны сообщать его ученикам. Оба признака, приписываемые так называемой прямой линии, независимы одно от другого, и, как мы знаем, один из них доказывается в некоторых геометриях как теорема. ... § 5. В научном отношении точное определение понятий и правильная классификация их весьма важны. Понятно, что если исследуемые свойства предмета стоят в тесной зависимости между собой, как в геометрии, то определение его должно быть сделано с особою тщательностью. Здесь самая незначительная разница в условиях вопроса может существенным образом отразиться на результатах исследования. Из нашего краткого очерка определений двух основных понятий видно, насколько дело это трудно. Люди, обладающие бесспорным знанием предмета, постоянно наталкиваются на затруднения, то научные, то педагогические. Очевидно, что нам не приходится рассчитывать на самодеятельность учеников при выработке определений, по крайней мере некоторых и главным образом основных, стоящих в начале курса. Впоследствии, владея большим материалом, имея перед собой ряд определений, могущих служить ему образцами, учащийся, может быть, в состоянии будет справиться с работой, особенно если ему известны уже понятия, аналогичные с определяемым (четырехугольники после треугольников и т. п.). Во многих же случаях забота учителя будет клониться единственно к тому, чтобы его ученики хорошо восприняли готовое определение, указанное учителем, поняли смысл каждого слова, каждой фразы; в него входящих. Можно ли, например, требовать от учеников, чтобы они определили внешний угол фигуры. Продолжив одну из сторон, учитель может заставить учеников определить признаки вновь образовавшегося угла и, достигнув этого, дать такому углу название внешнего. Но если ученики продолжат и другую сторону того же внутреннего угла, то около данной вершины образуются три угла, и тот из них, который составлен продолжением обеих сторон, по самому положению своему вне фигуры, будет казаться им также внешним.'‘Почему же учитель, будут думать они, выводя определение внешнего угла, не ввел в него признаков этого угла, а составил определение внешнего угла так, что ему удовлетворяет лишь пара углов, составляемых одной стороной и продолжением другой? Если бы ученики последовали своему разумению, то, может быть, дали бы иное определение внешнему углу, и растолковать им, почему не следует обращать внимания на угол, составленный продолжением обеих сторон, было бы нелегко. Взятый из обычной речи термин «внешний угол» во всяком случае нельзя признать выбранным удачно. Кроме того, если фигура имеет входящий угол, то соответственный ему по определению внешний угол будет лежать внутри фигуры. Мы указывали, что аналогия облегчает дело ученикам. Пройдя треугольники, они по аналогии фигуру о четырех сторонах называют четырехугольником, о пяти — пятиугольником и т. д. Но тут они встречаются с многоугольником. Им говорится, что «плоская фигура, имеющая более четырех сторон, называется вообще многоугольником или полигоном». Такое объяснение термина вовсе не соответствует действительному положению вопроса. Употребляя в теоремах термин «многоугольник», мы указываем, что в них речь идет о фигурах какого бы то ни было числа сторон, о фигурах вообще. Свойства многоугольников принадлежат не только фигурам о пяти и более сторонах, но распространяются также на треугольники и четырехугольники. Только особая важность и обилие свойств, принадлежащих исключительно треугольникам и четырехугольникам, заставляет нас заняться подробнее и выделить эти фигуры в особую главу. В главе о многоугольниках мы выпускаем некоторые свойства по их неважности для дальнейшего изложения, хотя о подобных же свойствах и была речь, когда дело касалось треугольников. Мы не упоминаем, что каждая сторона многоугольника менее суммы всех остальных; хотя это же свойство указывали для треугольника. Мы не говорим ничего о многоугольниках, имеющих стороны попарно параллельные... Дело в том, что, как мы уже сказали, свойства многоугольников не исключительно принадлежат фигурам о пяти и более сторонах; все дело в том, что в этой главе изменяется самый характер исследования, и понятно, что ученики не могут сами додуматься до такого толкования понятия о многоугольнике. Разъяснение его лежит на обязанности учителя. ...§ 6. Углы и стороны фигуры обыкновенно называют частями ее, и называют неправильно: часть соизмерима с целым, чего нельзя сказать про фигуры, с одной стороны, и стороны или углы — с другой. Термин «элементы» ближе выражает сущность дела. Замена его названием «части» в элементарном курсе может быть оправдана лишь стремлением избежать употребления иностранного, непонятного ученикам слова. Также неправильно считать в числе элементов фигуры ее вершины. Вершина угла фигуры есть вершина и самой фигуры, и положение ее вполне определяется данными, относящимися до сторон и углов ее. В состав понятия об угле входит, правда, представление и о его сторонах, но разница та, что стороны угла беспредельны, а стороны фигуры ограничены. Поэтому-то их и следует считать особыми, сверх углов, элементами ее. При классификации понятий необходимо ясно обозначить, какое основание принято при делении, тогда ученики будут в состоянии видеть, как с расширением содержания понятия уменьшается объем его и какое место занимает данное понятие в ряду других. Удобный случай для этого представляется при перечислении видов прямолинейных фигур, восп льзоваться им тем необходимее, что ученики, как можно судить по опыту, часто неясно представляют себе взаимное отношение различных видов треугольников и четырехугольников. Случалось слышать от них, например, что квадрат не параллелограмм. Остановимся, для примера, на четырехугольниках. Необходимо, чтобы ученики понимали, что если мы принимаем во внимание только число сторон фигуры, не беря в расчет ни относительной величины этих сторон, ни их взаимного положения, то называем ее просто четырехугольником. Если же различаем положение противолежащих сторон, то по числу пар параллельных сторон называем четырехугольник параллелограммом, трапецией или неправильным четырехугольником. ...Говорят, что определение не должно ставиться в отрицательной форме. Это вполне справедливо, и определение вроде «точка есть то, что не имеет частей» не имеет содержания. Но, определив одно понятие, можем определить другое, однородное с ним и в отрицательной форме. Мы говорим: прямой призмой называется такая, у которой все двугранные углы при основании прямые. Призмы, у которых не все двугранные углы при основании прямые, называются наклонными призмами. Такие же отрицательные определения мы даем кривой линии, наклонной линии и проч. Замечания о других определениях мы сделаем в своем месте, когда речь будет идти о распределении материала в учебном курсе. Здесь же мы имели в виду лишь дать главнейшие руководящие начала, которые должны лечь в основание при составлении ^геометрических определений, и указать некоторые затруднения, встречаемые учителем при сообщении определений ученикам. Преподавателю предстоит самому выбрать решение вопроса и явиться в класс уже с определенным воззрением.