§ 1.5. Метрические и топологические свойства

Одной из наиболее обсуждаемых проблем является проблема метрических и топологических свойств пространства и времени. Метрические свойства - это свойства, связанные с характеристиками заданной в пространстве метрики (кривизна, конечность и бесконечносгь, изотропность, однородность), т. е. по большому счету связанные с определением понятия «расстояние» в данной модели пространства-времени. Топологические свойства «менее очевидны», они, например, описывают связность, симметрию и мерность пространства, непрерывность, одномерность и необратимость времени. Разведение этих свойств может быть чрезвычайно полезно в контексте анализа содержания физической и математической (геометрической) концептуальных моделей пространства и времени.

Более подробно, с философской точки зрения, метрические и топологические свойства пространства и времени рассматриваются в гл. 2, здесь же приведем лишь ряд важных «установочных» замечаний и остановимся на ключевых моментах. Например, до сих пор остается неясным, какие именно физические явления определяют топологические свойства пространства и времени, т. е. их «качественный» аспект. Топологические свойства связаны со свойствами порядка, промежуточности элементов и сохраняются при изменении метрических свойств (не нарушающих непрерывности). Неясно также, существует ли взаимосвязь метрических и топологических свойств реального пространства и времени и чем она определяется в материальном мире. Согласно современным представлениям топологические свойства более фундаментальны. Именно они связаны с причинностью, в силу этого применение концептуальных пространств с неадекватной топологией на уровне физического рассмотрения может приводить к каузальным аномалиям. В связи с этим возникает важная методологическая проблема: возможно ли многообразие топологических свойств пространства-времени и что это означало бы с точки зрения естественно-научной интерпретации? Могут ли такие пространства быть не независимыми, связанными в духе принципа соответствия и т. п.?

На общефилософском уровне (с учетом всей совокупности данных конкретных наук) более предпочтителен вывод о возможности многообразия не только метрических, но и топологических свойств пространства- времени. Представление о том, что все явления в мире «разыгрываются» на едином «пространственно-временном» фоне, который служит условием их существования, не выдерживает критики, так как абсолютизирует воззрения на пространство и время, приобретенные на основе ограниченного опыта. В то же время известная общность топологических свойств пространства-времени макромира, их инвариантность по отношению к макрообъектам и макроявлениям может быть объяснена тем, что эти свойства обусловлены более фундаментальным уровнем реальности - микромиром.

Подобная точка зрения в методологическом отношении означает, что, например, при изучении явлений микромира следует пытаться использовать концептуальные пространства с комплексом специфических метрических и топологических свойств [Шарыпов, 2000]. Причем следует стремиться к теоретическому обоснованию топологических свойств макропространства и времени исходя из закономерностей других, более фундаментальных уровней материи. Кроме того, можно сделать вывод, что геометрия и ее приложения в области создания новых концептуальных моделей пространства-времени имеют важное значение для развития физики и других наук.

Эйнштейном было выдвинуто существенное положение, что в опыте нет отдельно геометрии и отдельно физики, что проверке опытом подлежит только сумма: геометрия и физические законы. Эта идея высказывалась и ранее. Ее обоснование связано с открытием множественности геометрий. Еще Г. Риман в 1854 г. указывал на связь выбора аксиом геометрии с объективными физическими закономерностями. Первый успех геометрического подхода в физике связан с работой Г. Минковского 1908 г., в которой он ввел представление о четырехмерном мире событий [Мин- ковский, 1935]. Все следствия специальной теории относительности оказываются теоремами этого многообразия: соответствующий фундаментальный раздел физики «сводится к геометрии». В истории науки известна попытка У. Клиффорда в 1870 г. разработать программу «пространственной теории материи». Он идентифицировал частицы с областями пространства, в которых пространство искривлено сильнее, чем в окрестности. После создания специальной теории относительности и работ Мин- ковского для Эйнштейна появилась возможность развития подобных «геометрических» идей в физике, что и привело к созданию общей теории относительности.

С создания общей теории относительности началась эпоха использования геометрических методов и представлений в физике, которая продолжается по сей день. Во всем многообразии геометрических идей, вторгающихся в физику, можно выделить два основных направления, одно из которых связано с непрерывными (архимедовыми) геометриями, другое - с прерывными (неархимедовыми) геометриями. Первое направление предполагает многообразие метрических свойств пространства при сохранении топологических, второе предполагает многообразие в том числе и топологических свойств. К первому направлению относится и сама общая теория относительности, в которой составляющие фундаментального метрического тензора являются потенциалами поля тяготения, а теория гравитационного поля интерпретируется как теория структуры риманова пространства (т. е. геометрия).

В начале 60-х гг. американский физик-теоретик Дж. Уилер, обобщив идеи Клиффорда и Эйнштейна, попытался создать всеобъемлющую физическую теорию, основанную лишь на геометрии пустого искривленного пространства-времени. Эта программа носит название «геометродинами- ки». Уилер построил геометрическую модель объекта, «заменяющего массу», - геона. Геоны основываются на решении уравнений общей теории относительности, могут иметь различную величину и представляют собой область сильно искривленного пространства-времени. Эта область может стабильно существовать, перемещаться и взаимодействовать с другими подобными областями, т. е. вести себя как частица вещества. Стабильность геона обеспечивается собственным гравитационным притяжением. Принципиально иной подход связан с предложенным в 1921 г. малоизвестным польским физиком Т. Калуцей вариантом пятимерной теории пространства-времени, интерпретирующим гравитацию и электромагнетизм. Пространство в этой теории четырехмерно, а возникающие новые геометрические величины отождествляются с электромагнитными потенциалами.

Теория Калуцы - Клейна была отвергнута физиками после открытия новых квантовых (слабых и сильных) взаимодействий; это свидетельствовало о том, что данная теория отнюдь не выполнила задачу геометризации современной физики. Однако по мере углубления понимания природы этих новых взаимодействий вновь получало развитие стремление к их объединению за счет изменения представлений о свойствах пространства-времени. Теория Великого Объединения (электромагнитных, сильных и слабых взаимодействий) описывает все три различных квантовых взаимодействия с использованием идеи существования определенных абстрактных симметрий силовых полей, что косвенно указывает на проявление некоторой скрытой геометрии. Абстрактные симметрии калибровочных полей приобретают конкретность в форме геометрических симметрий, связанных с дополнительными измерениями пространства. Таким образом, современный вариант теории Калуцы - Клейна постулирует 11-мерное пространство-время. Семь дополнительных пространственных измерений компактифицированы в семи-сферу. Каждая точка макропространства заменяется семимерным гипершаром. 11-мерный вариант теории является наиболее простым, однако это отнюдь не единственно возможное решение (см. дополнение Б). Многомерные теории в явном виде ставят проблему объяснения факта трехмерности макропространства. Возникает ряд важных вопросов: в чем причина спонтанной компактификации дополнительных измерений, возможно ли иное соотношение числа компактифицированных и «развернутых» измерений и др.

Итак, учет симметрии уравнений силовых полей приводит к их возможной интерпретации на языке геометрии при условии изменения наших представлений об одном из топологических свойств пространства - размерности. Кроме того, известны гипотезы, затрагивающие и другие топологические свойства пространства. Уилером была предложена геометрическая интерпретация электрического заряда.

Все указанные выше варианты геометрии концептуального пространства-времени отличаются теми или иными топологическими свойствами друг от друга и от макропространства-времени. Отметим, что разработка этих вариантов стала, по существу, возможной и получила обоснование после опубликования в 1899 г. работы Д. Гильберта «Основания геометрии» [Гильберт, 1923]. По Гильберту, аксиомы геометрии Евклида делятся на пять групп: связи, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности. Группа аксиом непрерывности состоит из двух аксиом: аксиомы непрерывности Архимеда (если даны два отрезка, то всегда существует кратное меньшего отрезка, которое больше большего отрезка) и аксиомы полноты (множество, в котором выполняется вся система аксиом, полно; к нему нельзя добавить новые элементы, чтобы сохранилось выполнение всех аксиом). Впоследствии было строго доказано, что первая аксиома дает возможность сопоставить каждому отрезку некоторое число, характеризующее длину этого отрезка, а вторая позволяет для любого числа установить существование отрезка, длина которого измеряется этим числом. Тем самым устанавливается изоморфное соответствие между полем вещественных чисел и точками пространства. Главная заслуга Гильберта заключается в доказательстве возможности построения геометрии во всем существенном без использования аксиомы непрерывности. Геометрию, в аксиоматике которой отсутствуют аксиомы непрерывности, называют неархимедовой. Гильберт построил неархимедову систему чисел, т. е. систему, в которой все аксиомы выполняются, а аксиома Архимеда (следовательно, и аксиома полноты) не имеет места; иными словами, он расширил континуум, так что архимедов континуум является только частным случаем неархимедова. Этой неархимедовой системе чисел сопоставляется неархимедово пространство и соответственно неархимедова геометрия [Шарыпов, 1998, 2000].

В § 2.3 мы еще раз вернемся к проблеме соотношения метрических и топологических свойств пространства-времени, хотя обсуждение будет иметь уже скорее философский характер, чем конкретно-научный. За- вершить данную главу мы бы хотели кратким экскурсом в одну из наиболее интересных топологических проблем - проблему числа измерений пространства-времени.