2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.

Qg(l) = gg(l)Cg0)Tg(l), (2.42)

где g - расход газа, кг/с ; С - удельная теплоемкость

о о

газа, Дж/кг-К; Т* - температура материала, К. Количество тепла, уносимое газами, определяется выражением:

Qg (I + ЛІ) = gg( I + Al)Cg (I + ЛІ)Т§ (l + Al), (2.43)

В результате сгорания топлива выделяется тепло Q0Alr часть тепла QmА1 поглощается материалом.

окружающую среду. Используя разложение в ряд Тейлора для Функции (2.43) , можно написать уравнение теплового баланса для газового тракта:

-JlSgCgTg=Qo-Qm+Qv-Qn'

Для количества тепла, выделяемого топливом, можно написать:

Qo=%f< (2.45)

где qQ - теплотворная способность топлива с учетом

внесенного топливом тепла.

Потери в окружающую среду определяются выражением:

Qn=agxD(Tg-Te), (2.46)

где а - коэффициент теплопередачи от газа к окружающей

о

среде; D диаметр барабана; Те - температура

окружающей среды.

Для теплоемкости, которая зависит от состава газа и его температуры можно составить дифференциальное соотношение: (scg а}Л

дг ді

j

—С т =т dl ё g 8

dCz

с 4-Т — дТя

S , (2.47)

dl С учетом выражений (2.45) и (2.47) уравнение (2.44) можно представить в виде:

dTg Qm+Q„+4\r + q2f

dl

(2.48)

g

де

g

C„+T.

g g дТ

g

g

где 8C

5C

g

8

{Y-b)

(V-1)

-C

Tg-cvTm, q2

C8 BY

«1

S dY

Tg+q0 (2.49) Для зоны сушки f=0, а величина qj определяет

расход тепла на нагревание выделяющегося газа от температуры материала до температуры газа.

Учитывая изменение количества тепла в элементарном объеме между сечениями / и 1+Л1 барабана, и рассуждая таким же образом, что и при выводе уравнения теплового баланса для материала, получаем в правой части уравнения (2.48): dt s dl '

где V

g

скорость газа.в осевом направлении, м/с. Если потери в окружающую среду незначительны, уравнение теплового баланса для газового тракта примет вид: (с 4 m

(2.50)

гсЛ +v гсЛ _ ЄЛ ,,

+ v„ г-— AXKV

dt

g

gj

S dl

g dC

g

(Ca+T{

где Л^ =

8 S dT

g

Y-1 7-1 8 dY 2.2 Выбор вида модели, оптимальной для управления.

дХ ЭХ

Hv^ = -R, ;

dt т dl v

dY dY d(С T ) d(С T ) avVv

о 6

Уравнения системы представляют собой

соответственно:

уравнение материального баланса сушащегося вещества; уравнение материального баланса сушащего воздуха; уравнение теплового баланса сушащегося вещества; уравнение теплового баланса сушащего воздуха. Используются следующие обозначения: X - влажность материла, кг(Н*іО)/ кг(материала) ; Y- влажность сушащего газа, кг(Н*іО)/кг(материала) ; Т - температура сушащего газа,К ; 0

Тт~ температура материала,К;

v - скорость материала в осевом направлении, м/с; 1

f *>

v - скорость сушащего газа в осевом направлении, м/с;

о

Ст- удельная теплоемкость материала, Дж/кг-К;

Cg - удельная теплоемкость газа, Дж/кг-К ; G - линейная плотность материала, кг/м; линейная плотность газа, кг/м;

Vv- удельный объем барабана, мъ /м ;

ау- удельный коэффициент передачи тепла, кДж/м К*с; Лт=Л- теплота испарения, Дж/кг; Rv -скорость сушки, 1/с.

Модель содержит параметры, значения которых получены из соотношений, представленных в литературе или из эксперимента. Теплоемкость веществ, как для" твердого материала, так и для сушащего газа, была получена из зависимости для низкой температуры из ряда температур для твердого вещества и сушащего газа, представленных в работе [9]. Значение для удельной теплоемкости газа С = \.0\кДж/кг-К и для кальцита

о

Ст =0МкДж/кг-К .

Удельный коэффициент передачи тепла вычислен по формуле (1.8), которая дает значение

3

ау = О.ПкДж/м • К*с г полученное при экспериментально определенных значениях подачи сушащего газа, равной $А6кг/с-м , и скорости сушащего газа v =§Лм/с.

о

Внутренний диаметр барабана равен 0.5;и .

Свободный объем барабана, необходимый для прохождения сушащего газа, приблизительно оценен

вычитанием объема, занимаемого твердым веществом, из

3

общего объема барабана и равен Vy = 0.2м /м .

Временная задержка определена экспериментально при остановке подачи газа и разгрузке барабана.

Остальные значения констант, полученные из эксперимента следующие: Gm = 8.77кг/м , =0.\2кг/м ,

Л = 2261кДж/кг, vm = 4.78*10"3л*/с .

Данная общая модель, назовем ее M_LT, представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Найти аналитическое решение такой системы достаточно трудно по ряду причин. Кроме наличия частных производных в левых частях уравнений, в правых частях всех уравнений содержится величина Rv, так называемая,

скорость сушки, которая может быть представлена в следующем виде [5] :

где Су- удельная теплоемкость воды, Дж/кг^К; Гф - точка росы сушащего газа, К .

Это выражение содержит переменную Т в минус первой

степени, что делает уравнения общей модели нелинейными и еще более осложняет решение системы.

Поиск аналитического решения обусловлен задачей получения оптимальных алгоритмов управления сушильной установкой. Преимуществом базирующихся на аналитических зависимостях алгоритмов является высокая скорость выработки управляющих воздействий в условиях управления в реальном времени по сравнению с алгоритмами, созданными на основе численных решений.

Для получения аналитического решения необходимо провести ряд модификаций общей модели, которые вели бы к ее упрощению. При этом на каждом шаге нужно проводить сравнение результатов расчетов упрощенных моделей с результатами расчетов общей модели, полученных численными методами.

Ряд авторов [2],[9],[41], ранее занимались этим вопросом, то есть, упрощая модель, приводили ее к виду, имеющему решение. Преобразование общей модели сводилось как к преобразованию левой части уравнений, так и к представлению коэффициента скорости сушки в виде:

Rv=klX + k2Tm+k3Tg (2.53)

[9] , где коэффициенты определяются

экспериментально и зависят от физических свойств материалов, подвергаемых сушке. Коэффициенты,

определяемые по формулам (2.52) и (2.53) обозначим соответственно Rv и Ry .

в виде или зависит от выбора модели.

V1 2

В данной работе решение общей системы M__LT было получено численным методом, путем разложения системы

уравнений в частных производных в систему разностных уравнений, при представлении искомых функций дискретным множеством своих значений. Вводилась подходящая сетка значений координат по времени t и длине барабана I . При этом с учетом длины барабана L-3 ы и времени прохождения материала через барабан (время задержки), равное 627 с, соответствующее скорости прохождения материала 00478 м/с, разбиение вдоль оси /

составляло 3 0 шагов, а по оси t - 62 7 0 шагов. Такое соотношение количества узлов сетки выбиралось из соображений пригодности решения, выявленного при исследовании устойчивости решения системы, полученной разностной аппроксимацией.

Обозна чим о бідую м о дель с к о э ф фи ци е н т ом Ry ка к М LT RV2

v9

М LT RV1, а с R Результаты численного решения на примере общей модели М LT_"RV1 представлены на рисунках 2.1, 2.2 и

о

1 СИЛ

t. cTS.1

0:

UUU 15

і, м*0.1

4Л00 20

5000

6000 " Рисунок: 2.1. Зависимость влажности материала X от времени и

дливы ба р аба на.

Рисунок 2,2. Зависимость температуры сушащего газа Та от времени и длины барабана.

Рисунок 2.3. Зависимость температуры материала Тш от времени и длины бараба на.

Из анализа поверхностей, представляющих решения, видно, что в качестве начальных условий интегрирования системы М LT выбираются нулевые начальные условия по всей длине барабана за исключением точки входа. Физически это означает, что на момент начала подачи материала и газа барабан пуст. Такое допущение принимается во всех ниже рассматриваемых моделях для обеспечения одинаковых начальных условий моделирования.

Для сравнения результатов решения общих моделей 3-х мерные графики решений преобразованы в 2-х мерные во временной точке начала выхода материала из барабана. Результаты численного решения общих моделей M_LT_RV2 и M_LT__RV1 на конечный момент времени представлены соответственно на рисунках 2.4 и 2.5.

Рисунок 2.4.

600Т'"

X, kg/kgr

Рисунок 2.5. Результаты решения системы M_LT_RV1,

Совместное изображение двух данных решений представлено на рисунке 2.6. Из рисунка видно, что поведение решений качественно похоже. Решение системы M_LT_RV2 со «сложным» Ry теоретически более верно

скорость сушки

Rv^ , который можно настроить под

конкретного материала,

отражает суть процесса сушки, но практическая пригодность общей модели появляется с коэффициентом

Рисунок 2.6. Результаты решения систем M_LT_RV1 (X1,Tg1, Tm1) и системы LT_RV2 (Х2, Tg2, Tm2).

І ;—•—Tg2 Tg1 —?—Tm2 -Tm1 —a—X2 -.-A...X1 ; j

Модели M_LT_RV1 и M_LT_RV2 ведут себя асимптотически одинаково. Это предположение

подтверждается тем, что можно добиться полного совпадения их решений, подбирая значения коэффициентов , и к2 так, чтобы коэффициент заменил

коэффициент Rv в правой части модели [42].

2

Следует подчеркнуть, что сведение решения системы M_LT_RV1 к решению системы M_LT_RV2 имеет теоретическое значение, в качестве проверки асимптотического равенства. Учитывая прикладной характер задачи, при решении системы M_LT_RV1 должны отражаться характеристики процесса сушки каждого конкретного материала. Это означает, что коэффициенты к^, и к^

должны быть различными для различных материалов.

Определение этих коэффициентов есть задача идентификации и настройки параметров для каждой анализируемой математической модели. Таким образом, в качестве коэффициента сушки Rv выбирается , а в

качестве базовой модели для сравнения с ней всех последующих модификаций, выбирается модель M_LT_RV1.

Как было отмечено выше, ряд авторов занимались поиском решения общей системы M_LT, при этом они проводили модификацию модели, основываясь на различных допущениях. Так в работе [41] автор, допуская, что скорость прохождения материала v т вдоль барабана

постоянна, избавляется в уравнениях от производной по длине барабана, и, следовательно, превращает уравнения в линейные дифференциальные.

dX

-1/2 Rv;

dt

(2.54)

cit ^^m ^т

8- 1 / >/ QvVv fT T ) 1G™

dt C„ vw + va Ga 6 Ga

Результаты решения данной модели, обозначенной М TP RV1, представлены на рисунке 2.7. 1,5 2 2,5 L> m3 -Tm .......Tm1 —*—X ...A-..X1

100 о І ! і

1 і 1 1 '-•і.

1 * А. | !

?! ! 4

т, к

о

Рисунок 2.7.

В работе [8] автор предлагает провести линеаризацию модели вокруг рабочей точки, упрощая, таким образом, модель. Избавляется от параметра / - длины барабана и записывает зависимости от параметра t - времени сушки. Уравнения превращаются в линейные дифференциальные уравнения. dt

= -R-v; ИТ ~T ) г/

Г s>out I у г S'OUt S'in -avVv (Т T \ 3R • 17 R R Ї

s—It— + vsLs 7 -—p.—У1 g,OUt ~ 1 S,OUt)~ AKV> ' э=>)

dt dT,

Gc

'g Jt +vgCg

g>out , _ ^ (Tg,out Tg,in) _ OyVy

^ - \1g>OUt~1S,OUt)~A'~^~KV

g ^g

Найдя решение системы в нескольких рабочих точках, автор получает кривые влажности и температур сушащего

газа и материала в зависимости от длины барабана. Результаты представлены на рисунке 2.8.

Рисунок.2.8. Результаты решения систем M_TY_RV1 (X, Tg, Tm) и системы M_LT_RV1 (Х1, Tg1 f Tm1).

Решения систем M_TP_RV1 и M_TY_JRV1 близко подходят к решению базовой системы для переменных Тт и , но

расходятся для переменной X . При этом модели систем M__TP_RV1 и M_TY_RV1 основаны на дополнительных допущениях и решались численно, что не позволяло ввести в решение функциональные зависимости от параметров управления (Г , v и v ) и настройки (кл , и

О ^ S

где 7" - начальная температура сушащего газа на входе

&ІП

в барабан.