2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.
Qg(l) = gg(l)Cg0)Tg(l), (2.42)
где g - расход газа, кг/с ; С - удельная теплоемкость
о о
газа, Дж/кг-К; Т* - температура материала, К. Количество тепла, уносимое газами, определяется выражением:
Qg (I + ЛІ) = gg( I + Al)Cg (I + ЛІ)Т§ (l + Al), (2.43)
В результате сгорания топлива выделяется тепло Q0Alr часть тепла QmА1 поглощается материалом.
Из материала выделятся пары, которые уносят с собой тепло QyAl . И, наконец, часть тепла QnА1 уносится вокружающую среду. Используя разложение в ряд Тейлора для Функции (2.43) , можно написать уравнение теплового баланса для газового тракта:
-JlSgCgTg=Qo-Qm+Qv-Qn'
Для количества тепла, выделяемого топливом, можно написать:
Qo=%f< (2.45)
где qQ - теплотворная способность топлива с учетом
внесенного топливом тепла.
Потери в окружающую среду определяются выражением:
Qn=agxD(Tg-Te), (2.46)
где а - коэффициент теплопередачи от газа к окружающей
о
среде; D диаметр барабана; Те - температура
окружающей среды.
Для теплоемкости, которая зависит от состава газа и его температуры можно составить дифференциальное соотношение: (scg а}Л
дг ді
j
—С т =т dl ё g 8
dCz
с 4-Т — дТя
S , (2.47)
dl С учетом выражений (2.45) и (2.47) уравнение (2.44) можно представить в виде:
dTg Qm+Q„+4\r + q2f
dl
(2.48)
g
де
g
C„+T.
g g дТ
g
g
где 8C
5C
g
8
{Y-b)
(V-1)
-C
Tg-cvTm, q2
C8 BY
«1
S dY
Tg+q0 (2.49) Для зоны сушки f=0, а величина qj определяет
расход тепла на нагревание выделяющегося газа от температуры материала до температуры газа.
Учитывая изменение количества тепла в элементарном объеме между сечениями / и 1+Л1 барабана, и рассуждая таким же образом, что и при выводе уравнения теплового баланса для материала, получаем в правой части уравнения (2.48): dt s dl '
где V
g
скорость газа.в осевом направлении, м/с. Если потери в окружающую среду незначительны, уравнение теплового баланса для газового тракта примет вид: (с 4 m
(2.50)
гсЛ +v гсЛ _ ЄЛ ,,
+ v„ г-— AXKV
dt
g
gj
S dl
g dC
g
(Ca+T{
где Л^ =
8 S dT
g
Y-1 7-1 8 dY 2.2 Выбор вида модели, оптимальной для управления.
Основываясь на вышеизложенной структурной идентификации, рассмотрим следующую математическую модель процесса сушки в барабанной сушильной установке [б] :дХ ЭХ
Hv^ = -R, ;
dt т dl v
dY dY d(С T ) d(С T ) avVv
о 6
Уравнения системы представляют собой
соответственно:
уравнение материального баланса сушащегося вещества; уравнение материального баланса сушащего воздуха; уравнение теплового баланса сушащегося вещества; уравнение теплового баланса сушащего воздуха. Используются следующие обозначения: X - влажность материла, кг(Н*іО)/ кг(материала) ; Y- влажность сушащего газа, кг(Н*іО)/кг(материала) ; Т - температура сушащего газа,К ; 0
Тт~ температура материала,К;
v - скорость материала в осевом направлении, м/с; 1
f *>
v - скорость сушащего газа в осевом направлении, м/с;
о
Ст- удельная теплоемкость материала, Дж/кг-К;
Cg - удельная теплоемкость газа, Дж/кг-К ; G - линейная плотность материала, кг/м; линейная плотность газа, кг/м;
Vv- удельный объем барабана, мъ /м ;
ау- удельный коэффициент передачи тепла, кДж/м К*с; Лт=Л- теплота испарения, Дж/кг; Rv -скорость сушки, 1/с.
Модель содержит параметры, значения которых получены из соотношений, представленных в литературе или из эксперимента. Теплоемкость веществ, как для" твердого материала, так и для сушащего газа, была получена из зависимости для низкой температуры из ряда температур для твердого вещества и сушащего газа, представленных в работе [9]. Значение для удельной теплоемкости газа С = \.0\кДж/кг-К и для кальцита
о
Ст =0МкДж/кг-К .
Удельный коэффициент передачи тепла вычислен по формуле (1.8), которая дает значение
3
ау = О.ПкДж/м • К*с г полученное при экспериментально определенных значениях подачи сушащего газа, равной $А6кг/с-м , и скорости сушащего газа v =§Лм/с.
о
Внутренний диаметр барабана равен 0.5;и .
Свободный объем барабана, необходимый для прохождения сушащего газа, приблизительно оценен
вычитанием объема, занимаемого твердым веществом, из
3
общего объема барабана и равен Vy = 0.2м /м .
Временная задержка определена экспериментально при остановке подачи газа и разгрузке барабана.
Когда материал был взвешен после остановки, его средний вес составил 263кг . В соответствии с формулой (1.1) значение временной задержки (времени нахождения материала в барабана) составляет 10 мин при скорости подачи материала 0.04кг/с.Остальные значения констант, полученные из эксперимента следующие: Gm = 8.77кг/м , =0.\2кг/м ,
Л = 2261кДж/кг, vm = 4.78*10"3л*/с .
Данная общая модель, назовем ее M_LT, представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Найти аналитическое решение такой системы достаточно трудно по ряду причин. Кроме наличия частных производных в левых частях уравнений, в правых частях всех уравнений содержится величина Rv, так называемая,
скорость сушки, которая может быть представлена в следующем виде [5] :
где Су- удельная теплоемкость воды, Дж/кг^К; Гф - точка росы сушащего газа, К .
Это выражение содержит переменную Т в минус первой
степени, что делает уравнения общей модели нелинейными и еще более осложняет решение системы.
Поиск аналитического решения обусловлен задачей получения оптимальных алгоритмов управления сушильной установкой. Преимуществом базирующихся на аналитических зависимостях алгоритмов является высокая скорость выработки управляющих воздействий в условиях управления в реальном времени по сравнению с алгоритмами, созданными на основе численных решений.
Для получения аналитического решения необходимо провести ряд модификаций общей модели, которые вели бы к ее упрощению. При этом на каждом шаге нужно проводить сравнение результатов расчетов упрощенных моделей с результатами расчетов общей модели, полученных численными методами.
Ряд авторов [2],[9],[41], ранее занимались этим вопросом, то есть, упрощая модель, приводили ее к виду, имеющему решение. Преобразование общей модели сводилось как к преобразованию левой части уравнений, так и к представлению коэффициента скорости сушки в виде:
Rv=klX + k2Tm+k3Tg (2.53)
[9] , где коэффициенты определяются
экспериментально и зависят от физических свойств материалов, подвергаемых сушке. Коэффициенты,
определяемые по формулам (2.52) и (2.53) обозначим соответственно Rv и Ry .
Представление коэффициента Rvв виде или зависит от выбора модели.
V1 2
В данной работе решение общей системы M__LT было получено численным методом, путем разложения системы
уравнений в частных производных в систему разностных уравнений, при представлении искомых функций дискретным множеством своих значений. Вводилась подходящая сетка значений координат по времени t и длине барабана I . При этом с учетом длины барабана L-3 ы и времени прохождения материала через барабан (время задержки), равное 627 с, соответствующее скорости прохождения материала 00478 м/с, разбиение вдоль оси /
составляло 3 0 шагов, а по оси t - 62 7 0 шагов. Такое соотношение количества узлов сетки выбиралось из соображений пригодности решения, выявленного при исследовании устойчивости решения системы, полученной разностной аппроксимацией.
Обозна чим о бідую м о дель с к о э ф фи ци е н т ом Ry ка к М LT RV2
v9
М LT RV1, а с R Результаты численного решения на примере общей модели М LT_"RV1 представлены на рисунках 2.1, 2.2 и
о
1 СИЛ
t. cTS.1
0:
UUU 15
і, м*0.1
4Л00 20
5000
6000 " Рисунок: 2.1. Зависимость влажности материала X от времени и
дливы ба р аба на.
Рисунок 2,2. Зависимость температуры сушащего газа Та от времени и длины барабана.
Рисунок 2.3. Зависимость температуры материала Тш от времени и длины бараба на.
Из анализа поверхностей, представляющих решения, видно, что в качестве начальных условий интегрирования системы М LT выбираются нулевые начальные условия по всей длине барабана за исключением точки входа. Физически это означает, что на момент начала подачи материала и газа барабан пуст. Такое допущение принимается во всех ниже рассматриваемых моделях для обеспечения одинаковых начальных условий моделирования.
Для сравнения результатов решения общих моделей 3-х мерные графики решений преобразованы в 2-х мерные во временной точке начала выхода материала из барабана. Результаты численного решения общих моделей M_LT_RV2 и M_LT__RV1 на конечный момент времени представлены соответственно на рисунках 2.4 и 2.5.
Рисунок 2.4.
Результаты решения системы М LT_RV2.600Т'"
X, kg/kgr
Рисунок 2.5. Результаты решения системы M_LT_RV1,
Совместное изображение двух данных решений представлено на рисунке 2.6. Из рисунка видно, что поведение решений качественно похоже. Решение системы M_LT_RV2 со «сложным» Ry теоретически более верно
скорость сушки
Rv^ , который можно настроить под
конкретного материала,
отражает суть процесса сушки, но практическая пригодность общей модели появляется с коэффициентом
Рисунок 2.6. Результаты решения систем M_LT_RV1 (X1,Tg1, Tm1) и системы LT_RV2 (Х2, Tg2, Tm2).
І ;—•—Tg2 Tg1 —?—Tm2 -Tm1 —a—X2 -.-A...X1 ; j
Модели M_LT_RV1 и M_LT_RV2 ведут себя асимптотически одинаково. Это предположение
подтверждается тем, что можно добиться полного совпадения их решений, подбирая значения коэффициентов , и к2 так, чтобы коэффициент заменил
коэффициент Rv в правой части модели [42].
2
Следует подчеркнуть, что сведение решения системы M_LT_RV1 к решению системы M_LT_RV2 имеет теоретическое значение, в качестве проверки асимптотического равенства. Учитывая прикладной характер задачи, при решении системы M_LT_RV1 должны отражаться характеристики процесса сушки каждого конкретного материала. Это означает, что коэффициенты к^, и к^
должны быть различными для различных материалов.
Определение этих коэффициентов есть задача идентификации и настройки параметров для каждой анализируемой математической модели. Таким образом, в качестве коэффициента сушки Rv выбирается , а в
качестве базовой модели для сравнения с ней всех последующих модификаций, выбирается модель M_LT_RV1.
Как было отмечено выше, ряд авторов занимались поиском решения общей системы M_LT, при этом они проводили модификацию модели, основываясь на различных допущениях. Так в работе [41] автор, допуская, что скорость прохождения материала v т вдоль барабана
постоянна, избавляется в уравнениях от производной по длине барабана, и, следовательно, превращает уравнения в линейные дифференциальные.
dX
-1/2 Rv;
dt
(2.54)
cit ^^m ^т
8- 1 / >/ QvVv fT T ) 1G™
dt C„ vw + va Ga 6 Ga
Результаты решения данной модели, обозначенной М TP RV1, представлены на рисунке 2.7. 1,5 2 2,5 L> m3 -Tm .......Tm1 —*—X ...A-..X1
100 о І ! і
1 і 1 1 '-•і.
1 * А. | !
?! ! 4
т, к
о
Рисунок 2.7.
Результаты решения систем M_LT_RV1 (X1,Tg1, Tm1) и системы M_TP_RV1 (X, Tg, Tm).В работе [8] автор предлагает провести линеаризацию модели вокруг рабочей точки, упрощая, таким образом, модель. Избавляется от параметра / - длины барабана и записывает зависимости от параметра t - времени сушки. Уравнения превращаются в линейные дифференциальные уравнения. dt
= -R-v; ИТ ~T ) г/
Г s>out I у г S'OUt S'in -avVv (Т T \ 3R • 17 R R Ї
s—It— + vsLs 7 -—p.—У1 g,OUt ~ 1 S,OUt)~ AKV> ' э=>)
dt dT,
Gc
'g Jt +vgCg
g>out , _ ^ (Tg,out Tg,in) _ OyVy
^ - \1g>OUt~1S,OUt)~A'~^~KV
g ^g
Найдя решение системы в нескольких рабочих точках, автор получает кривые влажности и температур сушащего
газа и материала в зависимости от длины барабана. Результаты представлены на рисунке 2.8.
Рисунок.2.8. Результаты решения систем M_TY_RV1 (X, Tg, Tm) и системы M_LT_RV1 (Х1, Tg1 f Tm1).
Решения систем M_TP_RV1 и M_TY_JRV1 близко подходят к решению базовой системы для переменных Тт и , но
расходятся для переменной X . При этом модели систем M__TP_RV1 и M_TY_RV1 основаны на дополнительных допущениях и решались численно, что не позволяло ввести в решение функциональные зависимости от параметров управления (Г , v и v ) и настройки (кл , и
О ^ S
где 7" - начальная температура сушащего газа на входе
&ІП
в барабан.
Еще по теме 2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.:
- 2.1.3 Уравнение материального баланса сушащего газа.
- 2.1 Уравнения материального и теплового балансов для получения динамической модели процесса сушки.
- 2.1.2 Уравнение теплового баланса сушащегося вещества.
- 2.1.1 Уравнение материального баланса сушащегося вещества.
- 5.3.2. Тепловой баланс реактора
- 5.3. Материальный и тепловой балансы узласинтеза меламина на пилотной установке
- 1.6 Модели для коэффициента тепловой передачи.
- 2.2 Методика расчета забойного давления в условиях поступления газа в циркулирующий буровой раствор.
- § 3. Способ приближенного решения уравнений.
- Определение кривой уравнением и функции графиком
- Г. С. Альтшуллер ТЕПЛОВОЕ ПОЛЕ — В МЕХАНИЧЕСКОЕ
- 4. Солнечный и тепловой удары
- Тепловая защита зданий
- Последствия теплового загрязнения естественных водоемов.
- Анализ теплового режима подложки
- 5.3.1. Материальный баланс реактора
- 2.1. Метеорологические факторы теплового режима зданий
- «ТОРГОВЫЙ БАЛАНС»
- 31,2. ПЛАТЕЖНЫЙ БАЛАНС СТРАНЫ