Моделирование производственных возможностей

Под производством в самом общем случае понимается соединение факторов производства для осуществления выпуска товаров и услуг в соответствии с имеющейся технологией. Любое конкретное соотношение между затратами и выпуском, которое технологически возможно на данном предприятии, называется производственным процессом.

Для формализации этих двух понятий выбирается пространство продуктов — обычное евклидово пространство J?", где п — число наименований продуктов. Каждый производственный процесс может быть представлен парой неотрицательных векторов (х, х'), где х — вектор затрат, х' — вектор выпуска. Каждая компонента вектора х(х') представляет количество соответствующего продукта, затрачиваемого (выпускаемого) в данном производственном процессе (х, х'). Множество производственных возможностей предприятия полностью описывается перечислением всех таких пар векторов. Это представление удобно, когда анализ ведется в терминах величин, под которыми понимаются запасы некоторых видов капитала, меняющиеся в течение производственного цикла. В таком случае говорят, что технологическое множество задано в терминах запасов. В этих терминах описываются модели экономической динамики с дискретным временем. Однако, если предположить, что продукты одновременно вводятся и выводятся из произ

водства, то удобнее рассматривать производственный процесс как вектор чистого выпуска х7 - х е Rn. Он имеет характер потока, т. е. количеств вводимых (если отрицательны) или выводимых (если положительны) продуктов в единицу времени. Соответственно и технологическое множество — совокупность векторов чистого выпуска — является подмножеством Rn.

Изучение технологии с экономической точки зрения сводится к выявлению и определению структурных характеристик технологического множества. Рассмотрим наиболее распространенные стандартные характеристики. При этом неважно, в каких терминах (запасов или потоков) задано технологическое множество — ив том, и в другом случае это подмножество евклидова пространства. Для определенности можно считать, что оно задано в терминах потоков. Обозначим его через Y. Одним из самых элементарных и безусловных свойств технологии является отсутствие «рога изобилия». Это означает, что невозможен производственный процесс, в котором в неограниченном количестве производятся блага «из ничего», т. е. без затрат. Указанное свойство можно представить в виде формулы: YnR" — ограничено.

Часто при моделировании, когда имеется значительный избыток продукта и невозможно точно сбалансировать предложение производителя и спрос потребителя, допускается свободное расходование. Это означает, что допустимыми являются процессы, характеризуемые изъятием из системы любого количества продуктов. Формально это можно записать в виде: уе У, х lt;у =gt;хе У.

Делимость производства предполагает, что вместе с каждым производственным процессом у е Y возможен и производственный процесс Ху е Y, 0 lt; X lt; 1. Другими словами, в любом производственном процессе можно пропорционально уменьшить совокупные затраты и выпуск. Это бывает невозможно, если в производственном процессе участвуют неделимые продукты. В частности, делимость производства допускает бездействие (у - 0), которое физически возможно при любой технологии, но, вместе с тем, предполагает суверенитет производителя.

Аддитивность производства означает, что любые два производственных процесса yvy2 е Y могут функционировать одновременно и независимо (т. е. не влияя друг на друга), образуя новый производственный процессу! +у2 е Y.

т. е. ylfy2 е Y =gt; ауа +(1-а)у2 е Y для любого ае [0,1].

Технологические множества отдельных предприятий Yf в сумме составляют совокупное технологическое множество экономики ХУ,. Основная задача экономики в сфере производства — это распределение его по отдельным предприятиям, называемое распределением производства. Оно осуществляется выбором эффективных процессов на предприятиях у,-, которые в сумме дают совокупный производственный процесс (LYj). Под эффективным производственным процессом понимается такой вектор у е Y, что не существует другого вектора х е Y, х gt; у. Другими словами, производственный процесс эффективен, если невозможно производить больше продуктов с меньшими затратами. Иногда эффективный производственный процесс понимают как оптимальный по Парето.

Для существования эффективных векторов требуется замкнутость технологического множества. Если некоторый вектор затрат и выпуска можно с любой степенью точности аппроксимировать технологически возможным производственным процессом, то и сам вектор является технологически возможным.

Когда цены р играют определяющую роль в экономической ситуации, то любой производственный процесс у получает свою оценку — прибыль ру, равную превышению стоимости выпуска над стоимостью затрат в производственном процессе у. Она может быть отрицательной для некоторых у. Тогда выбор эффективного производственного процесса в каждом Y осуществляется, исходя из принципа максимизации прибыли, т. е. из решения задачи:

шахРУ-

уеУ

где ре Rn — вектор цен.

К этому побуждают производителя субъекты управления, распоряжающиеся прибылью предприятия. Соответствие У,(.), которое

значениям цен р ставит в соответствие множество наиболее прибыльных векторов Уг(р) в Y{, называется предложением производителя г; Y.Yj(p) — совокупное предложение в экономике.

Если производство делимо, аддитивно и замкнуто, то технологическое множество является выпуклым, замкнутым конусом. Это свойство технологии делает ее исключительно удобной для математического анализа производства. Для примера рассмотрим описание технологии в трактовке В. Леонтьева. По-видимому, это наиболее простое описание технологии. Изучая структуру национальной экономики (США), Леонтьев представил ее в виде отраслей, каждая из которых производит единственный продукт, затрачивая остальные в определенных фиксированных соотношениях: a^J el : n — количество продукта г, затрачиваемое для производства единицы продукта отрасли j. Для производства Xj единиц продукта j требуется OjjXj единиц продукта г. Таким образом, технологическое множество отрасли j можно представить в виде луча:

alt="" /> -а

из множеств Yj можно выделить такой производственный процесс у*, что совместное функционирование этих выделенных процессов, т. е.

Xj gt;0, позволяет получить все эффективные векторы в выпуклом конусе совокупного технологического множества J,Yj. Таким образом, использование только этих выделенных процессов у* в каждой отрасли j не приводит к потере ни одного эффективного производственного процесса в национальной экономике.

Если возможно совместное производство, т. е. выпуск нескольких продуктов в одном производственном процессе, то теорема о незаменимости не имеет места. В общем случае конические технологии представляют особый интерес с точки зрения анализа экономического развития. Появились целые направления исследований, связанные с коническими технологиями: существование лучей максимально сбалансированного роста, магистральные свойства таких лучей, эффективные траектории, характеристики эффективных траекторий, асимптотические свойства.