<<
>>

Модели расширяющейся экономики

Описания экономической динамики, в которых технологические возможности и целевые установки неизменны во времени, относятся к моделям расширяющейся экономики. Основным методом их исследования является изучение стационарных траекторий, или траекторий сбалансированного роста.

Первоначально анализ стационарного роста развивался по двум независимым направлениям: в одно- и двухпродуктовых моделях, в которых технологические возможности описывались производственной функцией; в многопродуктовой линейной модели, построенной и исследованной Дж. Фон Нейманом.

Модель Неймана включает п продуктов и т способов их производства. Каждым способом при единичной его интенсивности в течение единичного интервала времени производится набор продуктов bj = (b-yj,..., bnj). При этом затрачивается набор продуктов dj = (Ojj, ..., anj),j € 1: m. Все способы могут применяться с любыми неотрицательными интенсивностями. Из п-мерных векторов-столбцов dj и bj составляются матрицы затрат А = (a,j) и выпуска В = (Ьу). Модель Неймана позволяет учесть непроизводственное потребление только в неявной форме. Элементы матрицы затрат А могут включать часть, направляемую на потребление, например, А = А' + С, где a'j — собственно технологические затраты, а Cj — векторы потребления на единицу интенсивности способа j. Векторы Cj составляют матрицу С.

Траекторией (планом), выходящей из точки у0 = В ¦ zv называется последовательность ш-мерных векторов интенсивности {zt}, t е 1: Т, удовлетворяющих балансовым уравнениям

A zt+1lt;B zt, ztgt;0, teO:(T-l).

При интенсивностях zt непроизводственное потребление в интервале t составляет С ¦ zt.

Стационарной траекторией, или траекторией сбалансированного роста, называется такая последовательность ze что zt = а* ¦ z, где z — ш-мерный вектор, а a — положительное число. На стационарной траектории неизменны пропорции использования способов

затрат и выпуска, экономика растет с постоянным темпом а.

Темп а и пропорции z должны удовлетворять условиям

a-Azlt;Bz, zZQ, z*0.

Особый интерес представляет стационарная траектория, которой соответствует наибольший темп — максимальный темп технологического роста. Его можно найти из решения задачи математического программирования: а -» max. Вектор z, на котором достигается максимум, называется неймановским.

Системе балансовых соотношений сопоставляется двойственная ей система ценностных соотношений

pt-Agt; pt+i ¦ В, ptZ 0, pt* о,

показывающая, что ценность выпуска не превосходит ценности затрат. Траектория оценок pt такая, что pt - p-t • р, называется стационарной. Для нее $р-Аgt;рВ, pZQ,p*Q.

Оценки р*, удовлетворяющие этим условиям при минимальном р, называются неймановскими ценами. Если модель экономики неразложима, т. е. для производства любого продукта прямо или косвенно используются все продукты, то справедлива теорема двойственности: шаха - minp - а0. При этом неймановские цены стимулируют неймановскую траекторию роста:

а0 -р* ¦A z'zp Bz

дляBcexz?0,причем а0 р* A-z =р* B z*.

Другим примером расширяющейся экономики являются однопродуктовые модели с линейно однородными производственными функциями. Примером однопродуктовой модели долговременного экономического роста является модель Рамсея. В ней поток национального дохода создается имеющимися в данный момент производственными фондами и используемыми трудовыми ресурсами. Этот поток делится на потребляемую и накапливаемую части. Последняя определяет прирост производственных фондов, т. е.

F(K,L) = C + K',

где К' — наличные производственные фонды, С — интенсивность потребления, I — используемые трудовые ресурсы. Все показатели

относятся к моменту времени t. Производственная функция F не меняется со временем, т. е. технический прогресс отсутствует.

Английский экономист Ф. П. Рамсей поставил вопрос о том, какую часть национального дохода общество должно сберегать в целях накопления, и тем самым впервые сформулировал задачу планирования экономического роста как оптимизационную.

Ее целевая функция определялась как интегральная полезность за время существования экономической системы; полезность в каждый момент равнялась разности между уровнем удовлетворения потребностей U(C) и «бременем труда» V(L)). При этом для упрощения было принято, что численность населения не меняется, вклад в целевую функцию потребления в различные моменты времени рассматривается с одинаковым весом, т. е. дисконт равен 1. Очевидно, что интегральная полезность за период (0, °°) окажется бесконечной и выбор рациональной политики сбережений будет невозможен. Чтобы преодолеть эту трудность, Рамсей допускал, что функции F, U, V предполагают достижение максимального уровня полезности в некоторой момент — уровня «блаженства». Теперь можно было бы перейти от максимизации интегральной полезности к минимизации неудовлетворенной потребности:

60

l(B-U(C) + V(L))dt-+mn.

о

Задача отыскания К, I, С при заданном К0 представляет собой модель Рамсея. Рамсей показал, что произведение сбережений на предельную полезность потребления равно в каждый момент времени объему неудовлетворенной потребности (закон Кейнса — Рамсея), т. е.

F(K,L)-C)- U'(C)-В-(U(C) -V(L).

dF

Анализ модели показал, что V'(L) = U'(C)—, т. е. предельное

аК

«бремя труда» равно произведению его предельной производительности и предельной полезности потребления, а также

ия{С) = и\С)Щ-,

т. е. предельная производительность производственных фондов ЭF равна темпу изменения предельной полезности. Отметим, что оК

норма накопления, по Рамсею, оказывается чрезмерно высокой.

В однопродуктовых моделях стационарные траектории, т. е. пропорциональный рост производственных фондов, занятости и потребления называют золотым веком, а правило распределения национального дохода на потребление и накопление, обеспечивающее максимальное душевое потребление, золотым правилом накопления. Это правило характеризуется распределением национального дохода на потребление и накопление в постоянной пропорции.

Понятие «золотое правило» было введено при анализе однопродуктовых моделей экономической динамики с линейно однородными производственными функциями. Рассмотрим такую модель.

Пусть Ktv.Lt — производственные фонды и трудовые ресурсы, используемые в единичном интервале (году) t. Произведенный в этом интервале национальный доход Nt определяется функцией F двух аргументов: Nt =F(Kt,Lt).

Производственная функция F называется линейно однородной, если

F(‘kK,XL) = ‘kF(K,L) для всех Хgt;0 и K,Lgt;0.

Пусть также 1 - А. — коэффициент выбытия производственных фондов в течение единичного интервала времени, It и Ct — объемы инвестиций в производственные фонды и потребления в году t. Простейшая модель динамики задается соотношениями:

Nt=F{Kt,Lt), Nt =Ct +It, Kt+1 =v-Kt+It, tsO:T.

Динамика трудовых ресурсов считается заданной; последовательность {Kt,Nt,It,Ct}, teO:T называется траекторией. Если трудовые ресурсы растут с постоянным темпом р gt; 1, т. е. Lf = L ¦ pf, то «золотым веком», или состоянием «золотого века» называются траектории сбалансированного роста, на которых все экономические показатели растут с постоянным темпом р, а пропорции распределения национального дохода неизменны. При этом доля накопления

I              к

St=—, фондовооруженность kt= — и душевое потребление Nt              Lf

Ct              „

ct = — постоянны. Такие траектории называются также стационар- h

ными. При стационарном росте Kt=Kpt, Nt=N¦pt, Ct=Cpt и It = I ¦pt модель можно рассматривать как пример моделей расширяющейся экономики.

Воспользовавшись линейной однородностью, национальный доход на душу населения при фондовооруженности kt обозначим

f(kA) = F

В «золотом веке» фондовооруженность и душевое потребление связаны соотношением с = f{k) - (р - v) • к.

Золотое правило накопления заключается в выборе такой его доли 5* в национальном доходе, которая обеспечивает максимальное душевое потребление на траекториях «золотого века».

Т. к. с максимально при к*, удовлетворяющем уравнению f'{k) = p-v, то

r«_(P-v)-**

Як )

Золотое правило накопления обеспечивает равенство чистой «предельной эффективности» производственных фондов f'(k) = р - v темпу прироста экономики р - 1. Если в начальном состоянии

*0 , ,* = к0 * к, то применение золотого правила на каждом шаге при- к

ведет к построению траектории, для которой kt-gt; к*.

Глубокое обобщение этих результатов на многосекторные модели с учетом потребления в явном виде было получено Д. Гейлом. Сформулируем сначала модель Гейла в упрощенном виде. Как и модель Неймана, она включает п продуктов и т способов их производства и описывается парой матриц затрат А и выпуска В продуктов. Кроме того, каждый способ j требует затрат труда lt при единичной интенсивности, j е 1 : т. Если z m-мерный вектор интенсивностей»

то затраты и выпуск продукции равны А ¦ zwB ¦ z соответственно, а затраты труда (/, г), где I -

Пусть Lt — наличие трудовых ресурсов в интервале (t, t + 1), a ct — п-мерный вектор потребления в этом интервале. Траекторией называется последовательность {ге ct}, t е 0 : (Г - 1), удовлетворяющая балансовым ограничениям по продуктам и труду

A-zt+1 lt;,B-zt-ct, I¦ztlt;Lt', ztt0, ct?0, teO:(r-l).

Эту модель можно изучать как расширяющуюся экономику, если трудовые ресурсы растут с постоянным темпом Ц =1-р(. В этом случае стационарной называется траектория, на которой zt = L ¦ р( ¦ z, ct=L-p‘-c.

Ее также называют траекторией сбалансированного роста. Векторы z и с определяют интенсивности и потребление на одного работающего и удовлетворяют соотношениям

р-А гйВ г-с, 1-хй\) z20, с?0.

Предпочтения на множестве стационарных траекторий задаются функцией полезности и, зависящей от объема годового душевого потребления. Оптимальной называется стационарная траектория, для которой z , с максимизируют и(с).

Стационарной оптимальной траектории модели двойственна стационарная траектория оценок pt - p_t • р, cot - p-t • со.

Стационарные оценки продуктов р и труда со удовлетворяют соотношениям ptu\c), р{Ъ.\ц{с), если с* gt;0, р • В ? р • р ¦ А + со ¦ I, р-Bj =р p Aj +(о-1у,если Zj gt;0.

Исследование стационарных траекторий является мощным и традиционным инструментом экономического анализа. Например, модель Неймана позволяет в различных предположениях о связи потребления с производством оценить технологически достижимый максимальный темп роста экономики и необходимую для этого отраслевую структуру. Анализ стационарных моделей роста показывает, что двойственные оценки со временем снижаются. Из модели 1Ьйла следует, что темп роста определяется динамикой лимитирующего ресурса. Двойственного соотношения показывают, что при постоянных ценах ценность произведенной продукции складывается

из материальных затрат р • Aj, затрат труда lt;о • {,• и платы за фонды (р - 1) • р ¦ Aj.

Гипотеза стационарности оправдана, когда оптимальные траектории близки к стационарным, т. е. к магистралям. Теорема о магистрали доказана для ряда моделей расширяющейся экономики. Для модели Неймана с линейной терминальной целевой функцией u(z1,...,zT) = f(zT) = pTzT теорема утверждает, что пропорции оптимальных интенсивностей и цен близки к неймановскому виду, исключая, быть может, некоторые отрезки времени в начале и конце планового периода. Суммарная длительность этих отрезков не зависит от продолжительности планового периода. Она верна в предположениях положительности вектора начальных условий у0 и некоторых предположениях о матрицах А и В, из которых наиболее существенными являются требования единственности неймановских интенсивностей и цен z*,p* и положительности последних.

Модель Гейла после перехода к душевым показателям имеет следующий общий вид:

Г-1

? u(c,)-gt; шах, t=o

при условиях (xt,yt)eQ, xt+1?yt-ct, t€0:(r-l).

Рассмотренный выше ее частный случай сводится к этому виду, если положить Q = {(x,y)\x = Az, y = Bz, lz?l, zZQ}. Оптимальная стационарная траектория х, у‘, с модели находится как решение задачи и (с) -gt; max, при условиях (х, у) € Q, х й у - с. В предположениях продуктивности, усиленных требований к выпуклости Q и вогнутости и, а также некоторых дополнительных технических требований для оптимальных траекторий, исходящих из у0 gt; 0, верна слабая теорема о магистрали: число моментов времени t, когда элементы оптимальной траектории х\,у\,с\ заметно отличаются от х, у*, с, ограничено и не зависит от Т. Сильная теорема о магистрали, когда такие моменты встречаются лишь в начале и конце планового периода (ее называют иногда теоремой о средней магистрали) доказывается в более жестких предположениях.

В моделях с бесконечным плановым периодом Т - оо наряду с оптимальными траекториями изучаются хорошие траектории. Тра-

для t = 1, 2,т. е. на хороших траекториях потери суммарной полезности в сравнении с ее значениями на траектории оптимального сбалансированного роста равномерно ограничены при всех t. Они существуют, если у0 gt; 0. Множество хороших траекторий содержит оптимальные траектории, если последние существуют. Для хороших траекторий имеет место (x‘t ,y‘t              »(x*f у*,с ) при ? —gt;

Это утверждение называют иногда теоремой о поздней магистрали.

<< | >>
Источник: Власов М. П.. Моделирование экономических процессов / М. П. Власов, П. Д. Шимко. — Ростов н/Д : Феникс — 409, [1] с.: ил. — (Высшее образование). 2005

Еще по теме Модели расширяющейся экономики:

  1. 6.4. Аналитические экономико-математические модели
  2. Классификация экономико-математических моделей
  3. Укрупненная модель функционирования экономики региона
  4. Этапы формирования новой модели экономики
  5. Структура и экономико-математическая модель межотраслевого баланса (МОБ)
  6. ИНТЕРВЕНЦИЯ РАСШИРЯЕТСЯ
  7. 1.1 Особенности процесса гидратации и твердения расширяющихся цементов.
  8. 4.1.2. Изучение влияния расширяющейся композиции на свойства твердеющего цемента
  9. ГЛАВА 9 ПЕРЕХОДНАЯ ЭКОНОМИКА: СУЩНОСТЬ, ОСОБЕННОСТИ, ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ. РОЛЬ ГОСУДАРСТВА В ПЕРЕХОДНОЙ ЭКОНОМИКЕ
  10. ПРОСТРАНСТВО И ЭКОНОМИКИ: МИРЫ-ЭКОНОМИКИ
  11. 4.1. Синтез расширяющейся композиции на основе доломитов 4.1.1. Изучение влияния температуры и добавок на возможность регулирования расширения композиции