2. Парадоксы Зенона

Апории Зенона — это апории непрерывности, апории бесконечного деления протяженной величины на все меньшие части.

Подобных задач было достаточно, чтобы античная мысль пришла к ряду понятий, логически вытекающих из представления о бесконечном делении конечной величины, в частности к противоречивому в своей основе понятию законченного бескопечпого деления — актуально бесконечного множества непротяженпых элементарных величин, из которых состоит конечная протяженная величина.

Остановимся на пяти наиболее известных апориях Зенона: 1) меры, 2) дихотомии, 3) Ахиллеса и черепахи, 4) стрелы и 5) стадиона.

Первая апория указывает на невозможность составить протяженную величину из непротяженных. Если элементы непротяженпы, тогда и сумма этих элементов равна пулю. Если же элементы имеют ненулевую протяженность, то сумма бесконечного множества таких элементов будет бескопечпой.

Таким образом, Зенон рассматривает актуально беско- печцое мпожество элементов. Он утверждает, что подобное представление приводит к противоречию, и при- ходит к выводу, что субстанция не может быть множественной.

Вторая апория Зенона — апория дихотомии.

Движущееся тело, прежде чем пройти весь свой путь, ДОЛЖНО пройти половину пути, ДО ЭТОГО 'Д, ДО этого Ув и т. д. Сумма ряда таких дробей никогда не будет равна единице, и, следовательно, сумма частей пути, пройденных телом, никогда не станет равной всему пути. В этой апории речь идет не столько о том, что движение тела к цели не может закончиться, сколько о том, что оно не может начаться. Мы ищем первую элементарную часть пути и не находим ее. Чтобы показать невозможность достижения цели, более естественно было бы искать последний элемент пути, т. е. излагать апорию так: тело проходит сначала половину оставшегося пути, потом четверть его и т. д. В этом случае мы не пашли бы последнего элемента пути.

Недостижимость последней точки бесконечного множества доказывается третьей апорией. Ахиллес не догонит черепаху. Прежде чем догнать ее, быстроногий герой должен оказаться в точке, где черепаха находилась в начале состязания. Но пока Ахиллес достигнет этой точки, черепаха продвипется дальше. Ахиллесу снова предстоит предварительно добежать до точки, где черепаха находится в данный момент, но за это время черепаха снова продвинется на некоторое расстояние. Сколько бы раз ни повторялась подобная ситуация, расстояпие между Ахиллесом и черепахой умепыпится, но никогда не достигнет нуля. Таким образом, невозможно достичь последнего элемента непрерывного пути.

Кроме отсутствия первого и последнего элементов пути мы встречаемся еще с одной особенностью актуальной бесконечности. На всем пути состязания Ахиллеса с черепахой число элементарных отрезков, пройденных Ахиллесом, совпадает с числом отрезков, пройденных черепахой, так как каждому элементу пути Ахиллеса соответствует элемент пути черепахи. Но Ахиллес проходит больший путь, чем черепаха, ведь он начал свой бег из пункта, отстоящего дальше от места встречи, чем пачальный пункт пути черепахи.

В четвертой апории — апории стрелы — движение отрицается в особенно непосредственной форме. Летящая стрела занимает неизменное положение в каждый момент. Сумма таких моментов — время движения стрелы. В течение этого времени стрела неподвижна в каждый момент, т. е. неподвижна в течение всего времени своего полета.

Следующая апория — «стадион» — исходит ттз относительности скорости. Скорость относительно одного тела не совпадает со скоростью относительно другого тела, если эти тела отсчета движутся одно по отношению к другому.

На стадионе расположен ряд неподвижных масс А\, Ач, Лз, At. Параллельно расположен ряд масс В\, Bi, 5з, ВА, движущихся направо, а также ряд масс С\, Сг, Сз, С\, движущихся палево. Движение всех этих масс складывается из неделимых элементов. В течение одного педелимого элемента времени масса проходит неделимое расстояние. В ином случае, при возможпости разделить это расстояние, можно было бы соответственно разделить на части и элементарный интервал времени. Однако пройденное данным телом элементарное расстояние зависит от выбора тела отсчета: оно будет различным в зависимости от того, к какому ряду — неподвижным массам А пли движущимся массам В — отнесено движение масс С. По отношению к движущимся навстречу массам В массы С пройдут вдвое большее расстояние, чем по отношению к массам А. Если по отношению к массам А массы С прошли элементарное неделимое расстояпие, то по отношению к массам В они в течепие того же элементарного, т. е. неделимого элементарного, времени пройдут два элементарных расстояния. Но два элементарных расстояния — это уже делимое пространство, соответственно и временной интервал делится па две части: одпу часть, когда пройдепо первое элементарпое расстояние, и другую часть, когда' пройдепо второе элементарное расстояние. Следовательно, интервал времени будет делим или неделим в зависимости от того, к какому ряду отнесено движение тела.

Актуально бесконечное число временных интервалов умножается на два, если движение тела отнесено к иному по сравнению с предыдущим ряду тел отсчета.

Таким образом, апория «стадион» указывает еще на одну особенность актуальной бесконечности. Из апории Ахиллеса и черепахи вытекает, что бесконечное число обладает парадоксальным свойством: если от числа элементов отрезка (путь Ахиллеса) отнять некоторое второе число таких элементов (путь Ахиллеса до исходного пункта движения черепахи), то число пе изменится (разность — путь черепахи — состоит из того же числа элементов, что и путь Ахиллеса). Иными словами, а ±[5= а. Теперь из апории «стадион» мы узнали, что 2а = а.

Из указанных свойств актуальной бесконечности следует весьма существенный вывод. Мерой отрезка, состоящего из актуально бесконечного числа непротяженных точек, не может быть число точек (если пе обобщить и пе модифицировать "существовавшего с древности понятия меры). Оно бесконечно в каждой части отрезка и не меняется, если отрезок разделить или отнять от него меньший отрезок. Мера отрезка не является суммой мер его элементарных частей. Поэтому меру отрезка, состоящего из бесконечного множества точек, устанавливают иначе -- определяют положение концов отрезка относительно тел отсчета и затем сопоставляют числам, указывающим положение концов отрезка, некоторое положительное число, которое мы называем расстоянием между ними, или длиной отрезка. Такое определение меры отрезка называется относительным мероопределением. Если бы число частей отрезка не могло превысить любое конечпое число, мы могли бы считать число частей мерой отрезка. Подобное мероопределение является абсолютным мероопределением, оно не требует тел отсчета.

Возможно ли относительное мероопределение, имеет ли оно отношение к субстанции, является ли непрерывность бытия и движепия субстанциальным свойством мира? Или, если поставить вопрос иначе, является ли непрерывность бытия его позитивным, а не только негативным определением? Мы увидим сейчас, что вопрос о субстанциальности непрерывности и непрерывного движения тесно связап со стилем античной мысли, с синтезом понятия и образа.

До этого — несколько замечаний о связи апорий Зенона с проблемой локального бытия и с последующей эволюцией этой связи.