Анализ парадоксов. Идея логических типов.

Дело в том, что создатель теории множеств Г.Кантор (а его подход воспринял и Фреге) понимал под множеством любую совокупность различных объектов. Его определение позволяло рассматривать в качестве элементов множества объекты любой природы, в том числе другие множества. Более того, в его понимании сами множества могли быть своими собственными элементами. В связи с этим можно подразделить множества: на не содержащие себя в качестве своего элемента и включающие в число своих элементов и себя. Первые — наиболее распространенный тип множеств: племя не есть отдельный человек, созвездие не есть отдельная звезда, коллекция минералов не есть отдельный минерал и т. д. Их называют нормальными множествами. Ко второму типу множеств (их называют ненормальными) относят каталог каталогов, список списков и т. п.

Трудность в математическом рассуждении возникает, если поставить вопрос: к какому из двух типов относится множество всех нормальных множеств? Дело в том, что на него, как установил Рассел, могут быть даны два взаимоисключающих ответа. Такое множество оказывается одновременно и нормальным, поскольку не содержит себя в качестве своего элемента, и ненормальным, поскольку оно есть множество всех нормальных множеств и потому должно включать (в качестве нормального множества) и себя.

Иначе говоря, "небрежное обращение с понятием множества (класса), без проведения четкого различия между классом и его элементом" (Рассел) приводило к давно известным противоречиям (например, парадокс Эпименида-критянина, заявляющего, что все критяне лгут). Рассел установил, что общей чертой такого рода парадоксов оказалось смешение уровней рассуждения (или уровней абстракции). Так, оценка высказывания Эпименида включается в тот же уровень, что и оно само (саморефлексивность высказывания), а это заводит в логический тупик. Для преодоления подобных трудностей Рассел предложил четко разграничить классы понятий по степени их общности. Это и была известная "теория типов", гласившая: "То, что включает всю совокупность чего-либо, не должно включать себя"23. Это позволило избавиться от "незаконных всеобщностей" и устранить парадоксы, возникающие, по Расселу, из-за неограниченного оперирования с понятием "все". Итак, выход из парадоксов был найден в четком разделении логических типов (категорий) и установлении языковых запретов на их смешения. Хотя позже выяснилось, что расселовская теория типов не была единственным и наилучшим способом устранения парадоксов, ее общие идеи имели важные логические и философские последствия.

Из расселовской теории следовало, что при смешении логических типов (категорий) языковых символов возникают предложения, лишенные смысла, которые нельзя охарактеризовать ни как истинные, ни как ложные. Такие ошибки приводят к логически тупиковым ситуациям, предотвратить которые и призвана теория типов. Не претендуя на объяснение, а тем более изменение, реальной практики употребления языка, она вносит категориальную ясность в его работу. Этот вывод повлиял на все последующее развитие аналитической философии.