Отношения следования, эквивалентности и несовместимости


Выше рассматривались отдельные высказывания (простые или составные). Но часто бывает нужно исходя из анализа множества логических возможностей, связанного с двумя высказываниями с и d, установить логические отношения между ними. Рассмотрим отношения следования, эквивалентности и несовместимости (совместимости).
Из высказывания с логически следует высказывание d, если при истинности с истинно всякий раз и d. Высказывания с и d логически эквивалентны, если из высказывания с логически следует высказывание d, и наоборот, из d логически следует с.
Высказывания несовместимы, если нет ни одной логической возможности для одновременной истинности этих высказываний, в противном случае высказывания совместимы.
Введенные отношения поясним на примере высказываний: а^Ь, а^Ь, -b^—а. Составим их таблицы истинности (рис. 7.13).

а

b

аоЪ

а-^Ъ



~Ъ-^~а

(аоЪ)^(а^Ъ)

(а^Ъ)о(~Ъ^~а)


2

3

4

5

в

7

8

9

и

и

и

и

Л

л

и

и

и

и

Л

Л

л

и

л

Л

и

и

л

и

л

и

л

и

и

и

и

л

л

и

и

и

и

и

и

и

Рис. 7.13

Из высказывания a^b следует высказывание a^b, так как при истинности a^b истинно всякий раз и a^b; но из высказывания a^b не следует высказывание a^b, так как при истинности a^b высказывание a^b может быть ложным (рис. 7.13, столбцы 3 и 4). Эквивалентны высказывания: a-^b и ~b^~a; обратим внимание на то, что значения истинности эквивалентных высказываний совпадают (рис. 7.13, столбцы 4 и 7). Высказывания a и ~a несовместимы, а, например, высказывания a-^b и ~b^~a совместимы.
Между отношением следования и импликацией, так же как между отношением эквивалентности и двойной импликацией, имеется тесная связь, но важно не путать эти понятия. Импликация и двойная импликация — это новые высказывания, составленные из двух данных, а следование и эквивалентность — это отношения между двумя высказываниями. Связь же между ними такова: из высказывания с следует высказывание d, если и только если импликация с^-d логически истинна; с и d эквивалентны, если и только если двойная импликация o^d логически истинна. В подтверждение: из высказывания а^-b следует а^-b и импликация (а^^^^^В) логически истинна (рис. 7.13, столбец 8); высказывания a^b и ~b^~a эквивалентны и двойная импликация (a^Ь)^(~Ь^~a) логически истинна (рис. 7.13, столбец 9).
Проанализируем некоторые часто используемые, в том числе и выше использованные, формы высказываний с позиций отношений следования и эквивалентности:
1. Высказывание «а истинно, только если b истинно» и высказывание «если а истинно, то b истинно» эквивалентны.
Действительно, высказывание «а истинно, только если b истинно» констатирует «если b ложно, то и а ложно», которое эквивалентно высказыванию «если а истинно, то b истинно», так как, допустив, что из истинности а следует ложность b и, имея в виду, что из ложности b следует ложность а, мы получим, что из истинности а следует ложность а, чего быть не может. Итак, высказывание «а истинно, только если b истинно» эквивалентно высказыванию «если b ложно, то а ложно», которое эквивалентно высказыванию «если а истинно, то b истинно». Поэтому высказывания «а истинно, только если b истинно» и «если а истинно, то b истинно» эквивалентны.

В подтверждение сказанного эквивалентны следующие три высказывания, составленные из высказываний а = «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию» и b = «совершивший уголовное преступление не моложе 14 лет»: «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, только если совершивший не моложе 14 лет» («а истинно, только если b истинно»); «если совершивший уголовное преступление моложе 14 лет, то он не подлежит уголовному наказанию» («если b ложно, то а ложно»); «если совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, то совершивший не моложе 14 лет» («если а истинно, то b истинно»).
Обратим внимание на то, что два последние высказывания символически записываются так: -b^-а, а-^b; эквивалентность же этих связок была подтверждена выше (рис. 7.13, столбцы 7, 4, 9). Оба высказывания, в рамках существующего УК, логически истинны.
Замечание.
Синонимами выражения «а истинно, только если b истинно» являются выражения: «а истинно только в том случае, если b истинно» и «а
истинно только тогда, когда b истинно».
2. Высказывание «а истинно, если и только если b истинно» и часто используемое в математике высказывание «истинность а является достаточным и необходимым условием истинности b» эквивалентны.
Действительно, высказывание «а истинно, если и только если b истинно» констатирует следующее: «если b истинно, то а истинно» и «если b ложно, то и а ложно». А так как последнее высказывание эквивалентно высказыванию «если а истинно, то и b истинно» (см. пункт 1), то получим, что высказывания: «а истинно, если и только если b истинно» и «если b истинно, то а истинно, и, если а истинно, то b истинно» эквивалентны.
Далее, высказывание «истинность а является достаточным условием для истинности b» констатирует «если а истинно, то b истинно», а высказывание «истинность а является необходимым условием
истинности b» констатирует, что «b истинно, только если а истинно», или «если b истинно, то и а истинно». Поэтому высказывание «истинность а является достаточным и необходимым условием истинности Ь» эквивалентно высказыванию «если а истинно, то b истинно, и, если b истинно, то а истинно».
Следовательно, высказывания «а истинно, если и только если b истинно» и «истинность а является достаточным и необходимым условием истинности b» эквивалентны.
В подтверждение эквивалентны следующие два высказывания, составленные из высказываний а = «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию» и b = «совершивший уголовное преступление не моложе 14 лет»: «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, если и только если совершивший не моложе 14 лет» («а истинно, если и только если b истинно»); «если совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, то совершивший не моложе 14 лет, и, если совершивший уголовное преступление не моложе 14 лет, то совершивший подлежит уголовному наказанию» («истинность а является достаточным и необходимым условием истинности b»).
Обратим внимание на то, что последние два высказывания символически записываются так: а^-b, (а^-^лф^-а); нетрудно убедиться в эквивалентности этих связок. И далее поскольку, в рамках существующего УК, второе высказывание логически истинно, то и первое тоже логически истинно.
Высказывание же «произведение двух чисел — четное число, если и только если оба числа — четные» не является логически истинным, так как не является логически истинным высказывание «если произведение двух чисел — четное число, то оба числа — четные, и, если оба числа четные, то их произведение четно». Действительно, в последнем высказывании вторая часть логически истинна, но первая часть не является логически истинной: если произведение двух чисел — четное число, например 16, то из этого вовсе не следует, что эти два числа четные: такими числами могут быть 1 и 16. Логически истинно высказывание «произведение двух чисел — четное число тогда, когда оба числа — четные».
Замечание.
Синонимами выражения «а истинно, если и только если b истинно» являются «а истинно в том и только том случае, если b истинно» и
«а истинно тогда и только тогда, когда b истинно». 
<< | >>
Источник: под ред. С.Я. Казанцева, Н.М. Дубининой. Информатика и математика для юристов: учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям. 2010

Еще по теме Отношения следования, эквивалентности и несовместимости:

  1. Общество и государство могут нормально функционировать при условии упорядоченности общественных отношений, следования общественной дисциплине
  2. Исследования крупным планом. Неполная эквивалентность обычной и компьютерной версий батареи тестов общих способностей
  3. Практическое социологическое рассуждение: следование инструкциям кодирования
  4. ПРЕОДОЛЕНИЕ СУПРУЖЕСКОЙ НЕСОВМЕСТИМОСТИ
  5. Глава II НЕСОВМЕСТИМОСТЬ С ПРИНЦИПАМИ МИРНОГО СОСУЩЕСТВОВАНИЯ ИНОСТРАННЫХ ВОЕННЫХ БАЗ НА ЧУЖИХ ТЕРРИТОРИЯХ И НЕОБХОДИМОСТЬ ИХ ПРАВОВОГО ЗАПРЕЩЕНИЯ
  6. 9. Отношение Кипрской Православной Церкви к инославному миру; отношение к миротворческому движению
  7. § 9. Нередукционистский подход к   ВОЗ-творчеству как междусубъектный: отвечающий не отношению S — О,  а отношению S — О — S  -
  8. Глава XXVIII О НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ОТНОШЕНИЯХ, И в ОСОБЕННОСТИ НРАВСТВЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ
  9. 9.2. Социальная политика в отношении свободного времени как фактор гармонизации общественных отношений
  10. 31. Наши заблуждения в отношении к Богу суть лишь отрицания, в отношении же к нам самим они являются недостатками