Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями


Понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве статей ГК РФ, о множестве логических возможностей и т.д. Множества будем обозначать прописными латинскими буквами: А, В, ... Если элемент х принадлежит множеству А, пишут х е А (читают: «х принадлежит множеству А»), в противном случае пишут х g А («х не принадлежит множеству А»). Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым; его обозначают символом 0.
Множество считается заданным, если о любом данном объекте можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Существует два способа задания множества: дается полный перечень элементов множества; например, множество результатов голосования присяжного такого: {«за», «против», «воздержался»}; указывается правило определения принадлежности любого объекта к рассматриваемому множеству; например, запись А = {х: | х | lt; 10} означает, что А состоит из таких чисел х, модуль которых меньше 10 (после двоеточия записано правило, которому должно удовлетворять число х, чтобы его можно было отнести к множеству А).
Два множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества А и В равны, то пишут A = В. Например, заданные перечнем элементов множества А = {1, 2, 3} и В = {3, 2, 1} равны, т.е. А = В, или {1, 2, 3} = {3, 2, 1}.
Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В — часть, или, иначе, подмножество множества А. В этом случае пишут В с А (читают «В — подмножество множества А»).
В последующем исходное множество будем называть универсальным и обозначать буквой О (прописная греческая буква «омега»). Собственные подмножества множества О — это те подмножества, которые содержат некоторые, но не все элементы О. Наряду с собственными подмножествами условимся само О и пустое множество 0 также считать подмножествами множества О.
На базе множества О = {©1, ©2} можно образовать 22 = 4 подмножества: {шД, {©2}, О, 0, из которых 22 — 2 = 2 собственных —

это {юх} и {©2}- На базе множества Q = {©1, ©2, ©3} можно образовать 23 = 8 подмножеств: {©1}, {©2}, {©3}, {©1, ©2}, {©1, ©3}, {©2, ©3}, Q, 0, из которых 23 — 2 = 6 собственных. На базе множества Q, содержащего N элементов, можно образовать 2N подмножеств, из которых (2N — 2) собственных.
Выше были рассмотрены способы, которыми из данных высказываний могут быть образованы новые высказывания. Рассмотрим аналогичный процесс образования новых множеств из данных множеств А и В, при этом будем предполагать, что и А, и В, и вновь образованное множество являются подмножествами некоторого универсального множества Q.
Для наглядного представления операций над множествами используем диаграмму Венна1, на которой универсальное множество Q изображается прямоугольником, а его подмножества А и В — некоторыми фигурами, чаще кругами, внутри прямоугольника.
Пересечением множеств А и В называется множество АПВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и В одновременно (словосочетание «из тех и только тех» в данном контексте означает, что АПВ состоит из элементов, принадлежащих одновременно А и В, и никакие другие элементы в АПВ не входят). Пересечение АПВ множеств А и В на диаграмме Венна изображено на рис. 7.17,а заштрихованной областью. Если А и В не имеют общих элементов, то пересечение АПВ будет пустым множеством 0, т.е. АПВ = 0 (рис. 7.17,6).



Рис. 7.17
Объединением множеств А и В называется множество АиВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А или В (или А и В одновременно, если таковые элементы есть) (рис. 7.18,а и 7.18,6 — заштрихованные области).
1 Bern Джон (1834—1923) — английский логик.




ла голосов и т.д. Некоторые члены группы могут объединяться в коалицию с целью проведения названной меры. Коалицию называют выигрывающей, если ее голосов достаточно для проведения меры; проигрывающей, если члены, не вошедшие в коалицию, могут провести свое решение вопреки желанию коалиции. Коалицию называют блокирующей, если ее члены сами по себе, как и члены, не вошедшие в эту коалицию, не могут провести никакого решения.

Рис. 7.20


Например, комитет состоит из трех членов: X (председатель), имеющий два голоса, и xj и х2, имеющие по одному голосу каждый. Исход решается простым большинством голосов. Возможные варианты голосования трех членов указаны в таблице на рис. 7.21.

№ варианта

X

Х1

Х2

1

+

+

+

+

2

+

+

+

-

3

+

+

-

+

4

+

+

-

-

5

-

-

+

+

6

-

-

+

-

7

-

-

-

+

8

-

-

-

-

Рис. 7.21

За универсальное множество Q примем множество {X, xj, Х2} всех членов комитета в предположении, что каждый из них высказался «за», Q = {X, хь х2}. Тогда, например, подмножество {X, х^ означает, что X и х\ проголосовали «за», а х2 — «против» (т.е. имеет место второй вариант голосования), а пустое множество 0 означает, что все члены комитета проголосовали «против» (8-й вариант голосования). Количество подмножеств множества Q, включая Q и 0, равно 23 = 8, из которых 6 собственных (варианты 2—7). Так как решение «за» принимается в 1, 2 и 3 вариантах голосования, а решение «против» в 8, 7 и 6 вариантах, то выигрывающими коалициями являются множества Q = {X, хь Х2}, {X, хД, {X, Х2}, а проигрывающими: 0, {Х2}, {xj}. Обратим внимание на следующее: если множество — коалиция С является выигрывающей (проигрывающей), то дополнение С множества С — проигрывающая (выигрывающая) коалиция.
Для подтверждения приведем такую таблицу:



Среди выигрывающих коалиций выделяют минимальные выигрывающие (в задаче это коалиции {X, хД и {X, Х2}). Минимальная выигрывающая коалиция — это такая выигрывающая коалиция, ни одно из собственных подмножеств которой не является выигрывающей коалицией. Выигрывающая коалиция {X, xj} — минимальная, так как ни одно из ее собственных подмножеств: {X} и {xj}, не является выигрывающей коалицией; то же относится и к коалиции {X, х2}.
В 4-м и 5-м вариантах (рис. 7.21) решение принято не будет (нет большинства); поэтому коалиция {X} и коалиция {xj, х2} — блокирующие. Обратим внимание на то, что сумма чисел выигрывающих, проигрывающих и блокирующих коалиций равна числу подмножеств множества О.
Пример 7.5.
Интересным примером группы, принимающей решения, служит Совет безопасности ООН, состоящий при существовании СССР из одиннадцати членов: пяти представителей великих держав (Xi, X2, ..., X5), каждый из которых мог единолично блокировать любую меру, и шести представителей малых наций (xi, Х2, ..., хб). Каждый из 11 членов имел один голос (возможность «воздержания» исключим). Для принятия Советом какой-то меры необходимо, чтобы за нее проголосовало семь членов, включая «большую пятерку». За универсальное множество П примем множество {Xi, ..., X5, xi, ..., xg} всех членов Совета в предположении, что каждый из них высказался «за». Общее число вариантов голосования 11 членов равно 211 = 2048 — столько подмножеств имеет множество П = {Xi, ..., Х5, xi, ..., хб}. Любое подмножество множества П, состоящее из «большой пятерки» и двух или более (не менее двух) представителей малых наций, будет выигрывающей коалицией; а лю

бое подмножество, состоящее из четырех или менее (не более четырех) представителей малых наций будет проигрывающей коалицией. Примеры этих коалиций приведены в следующей таблице:

Выигрывающая коалиция (множество С)

Проигрывающая коалиция (множество С = П\С)

С = {хь ..., хд ХЬ Хд}
С = {Xi, ..., X5, xi, Х2, Хд}
С = {Xi, ..., X5, xi, Хд, хд, Хд}
С = {Xi, ..., X5, хь Хд, Хд, Хд, Хд} С = {Xi, ..., X5, х1, ..., Хб}

С = {хз, хд, х5, хб} С = {хд, х5, хб}
С = {х5, хб}
С = {хб}
С = 0



Общее число выигрывающих коалиций[IV] равно 57 (столько же и проигрывающих коалиций), из которых 15 будут минимальными — это коалиции, состоящие из «большой пятерки» и двух представителей малых наций.
Число блокирующих коалиций равно (2048 — 57 — 57) = 1934, среди них и единичные множества {Xi}, {Хд}, {Хд}, {Хд}, {Хд}.
Между множествами и высказываниями, а также между операциями над множествами и операциями, связывающими простые высказывания в составные, существует тесная связь.
Естественный способ сопоставления высказываний с множествами такой: для имеющихся высказываний а, b, с, ... находим множество Q всех логических возможностей — универсальное множество; на множестве Q выделяем подмножества А, В, С, ... логических возможностей, для которых истинны соответственно высказывания а, b, с, ...; А, В, С, ... называют множествами истинности соответствующих высказываний; каждому высказыванию поставим в соответствие его множество истинности.
Естественный способ сопоставления операций связывания высказываний и операций над множествами такой: множество истинности высказывания алЬ — это множество ЛПБ (рис. 7.22, область двойной штриховки); множество истинности высказывания avb — это множество АиВ (рис. 7.22, вся заштрихованная область);
Замечание.
На рис. 7.22 множества А и В истинности высказываний а и b имеют
общие элементы — это говорит о том, что допустима одновременная
истинность а и b, т.е. а и b — совместимые высказывания. Множества А и В истинности несовместимых высказываний а и b не имеют общих точек (рис. 7.18,а), но и в этом случае множество истинности высказывания avb (точнее a v b) — это множество АиВ.


множество истинности высказывания -а (иначе, множество «ложности» высказывания а) — это множество А (рис. 7.19, заштрихованная область); множество истинности высказывания а-^Ъ — множество A U B; это объясняется тем, что высказывание а^Ъ эквивалентно высказыванию -avb (рис. 7.6, последние три столбца), множеством истинности которого является множество A U B (рис. 7.23, заштрихованная область); обратим внимание на то, что незаштрихованная на рис. 7.23 область — это множество А\В, тогда заштрихованная область — это множество A \ B , и
следовательно, A U B = A \ B ; множество истинности высказывания а^Ъ, эквивалентного высказыванию (-avb)A(-bva), — это множество (A U B )П( В UA), или равное ему множество A \ B П B \ A ; последовательность
построения множества истинности приведена на рис. 7.24; множество истинности логически истинного высказывания (напомним, это высказывание, истинное в каждом логически возможном случае) — это множество Q всех логических возможностей; множество истинности логически ложного высказывания — пустое множество 0.

rue. 7.24

И наконец, как на языке множеств выглядят отношения следования и эквивалентности? Ответ:
• из высказывания а следует высказывание b, если и только если импликация а^Ь логически истинна; логическая же истинность высказывания а^Ь означает, что его множество истинности A\B = П, и тогда А\В = 0, но последнее равенство верно в том и только том случае, когда множество А является подмножеством множества В.

Итак, из высказывания а следует высказывание b, если и только если между множествами А и В истинности этих высказываний имеет место соотношение: АсВ (рис. 7.25);
• высказывания а и b эквивалентны, если и только если двойная импликация а^Ь логически истинна; логическая же истинность высказывания а^Ь означает, что его множество истинности A\B П B\A = Q, но последнее равенство верно в том и только том случае, когда А = В.
Итак, высказывание а эквивалентно высказыванию b, если и только если между множествами А и В истинности этих высказываний имеет место соотношение: А = В (рис. 7.26).

Приведем итоговую таблицу соотношений между высказываниями и множествами:



Рис. 7.27


Выявленные соотношения позволяют перевести любую задачу, относящуюся к высказываниям, в задачу теории множеств, и наоборот, задачу, относящуюся к множествам, перевести на язык высказываний. Приведем пример, подтверждающий целесообразность такого перехода.
Пример 7.6.
Пусть требуется выяснить, совместимы или нет следующие высказывания: Если математика интересна (=а), то я буду над ней работать (=b); Если математика не интересна (=~а), то я получу по этому предмету плохую оценку (=с); Я не буду работать над математикой (=~b), но получу по этому предмету хорошую оценку (=~с).
В принятых обозначениях символьные выражения высказываний таковы: а-^b; ~а-^с; ~Ьл~с.
Ответим двумя способами: используя язык множеств и используя язык высказываний.
gt; Язык множеств. Перейдем от высказываний к множествам истинности:

Высказывание

Множество истинности

1. а^Ъ

A \ B

2. ~а^с


3. ~Ъл~с

A \ C



B n C

Множества истинности изобразим на диаграммах Венна (рис. 7.28, заштрихованные области).

Рис. 7.28


Из диаграмм видно: нет элементов множества логических возможностей П, которые бы принадлежали одновременно всем трем множествам истинности, иначе нет ни одной логической возможности для одновременной истинности высказываний 1, 2, 3, поэтому эти высказывания несовместимы в совокупности; однако они попарно совместимы.

gt; Язык высказываний. Построим таблицы истинности высказываний 1, 2, 3 (рис. 7.29).


а

Ь

с

а^Ь

~а^с

~Ьл~с

1

и

и

и

и

и

л

2

и

и

л

и

и

л

3

и

л

и

л

и

л

4

Л

и

и

и

и

л

5

и

л

л

л

и

и

6

л

и

л

и

л

л

7

л

л

и

и

и

л

8

л

л

л

и

л

и

Рис. 7.29

В таблице нет ни одной строки, где бы все три высказывания: а-^Ь, ~а-^с, ~Ьл~с были бы одновременно истинны, поэтому высказывания несовместимы в совокупности; однако они совместимы попарно.
Результаты обоих подходов, естественно, совпали.
Контрольные вопросы и задания Приведите примеры социально-правовых задач, решаемых математическими методами. Дайте определение конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, двойной импликации; таблицы истинности этих высказываний. Приведите примеры логических формул правовых норм. Дайте определение отношения следования, эквивалентности и несовместимости. Приведите примеры необходимых и достаточных условий в формулировках правовых норм. Дайте определение правильного и ложного аргумента. Приведите примеры аргументов, их словесной и символьной записи, примеры правильных и ложных аргументов. Операции над множествами; изображение операций на диаграммах Венна. Сопоставление логических операций над высказываниями с операциями над множествами истинности этих высказываний.
<< | >>
Источник: под ред. С.Я. Казанцева, Н.М. Дубининой. Информатика и математика для юристов: учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям. 2010

Еще по теме Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями:

  1. ОБЩЕСТВО, ИЛИ «МНОЖЕСТВО МНОЖЕСТВ»
  2. Множество Эджворта-Парето
  3. Исследование решений на множестве Э-П
  4. Множество действующих лиц
  5. § 1. Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация
  6. Сальвадор Минухин МНОЖЕСТВО МОИХ ГОЛОСОВ
  7. VI. О целесообразности природных форм как множества особенных систем
  8. III. ЕДИНСТВО, МНОЖЕСТВО, ТРОИЧНОСТЬ В АЛЬБЕРТИСТСКОЙ МЕТАФИЗИКЕ ГЕЙМЕРИКА ДЕ КАМПО
  9. § И. Условие, при котором представляется вероятным, что существует множество миров
  10. ЕДИНСТВО, МНОЖЕСТВО, ТРОИЧНОСТЬ: НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ СРЕДНЕВЕКОВОЙ МЕТАФИЗИКИ В РЕЙНСКОМ РЕГИОНЕ В XIV-XV вв. МЛ. Хорьков
  11. §3 В математике имеется лишь немного неразложимых понятий и недоказуемых положений, в философии, напротив, их бесконечное множество