<<
>>

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ I Около 1937-1938

1. Мы пользуемся выражением «Последовательность переходов определяется по формуле...». Как оно используется? — Можно, пожалуй, сослаться на то, что люди обучены (натренированы) пользоваться формулой у = х2 так, что, подставляя одно и'*то же число вместо х, они всегда получают одно и то же число для у.
Или же можно сказать: «Эти люди обучены так, что по заданию „+3" они все в одном и том же месте делают одинаковый переход». Мы могли бы выразить данную мысль следующим образом: «Задание „+3" полностью определяет для этих людей каждый переход от одного числа к следующему». (В отличие от других людей, либо не знающих, что следует делать по такому заданию, либо реагирующих на него с полной уверенностью, но каждый — по-своему.)

С другой стороны, можно противопоставить друг другу формулы разного рода с присущим им различием видов употребления (разными видами обучения). В этом случае мы называем формулами особого рода те, что «определяют число у для данного значения х», а те, что «не определяют число у для данного значения х», — формулами иного рода, (г/ = х2 + 1 было бы формулой первого рода, а у > х2 + у = х2 ±1, у = х2 + z — формулами иного рода.) В таком случае предложение: «Формула ... определяет число у» представляет собой высказывание о типе данной формулы — и потому предложение такого вида: «Записанная здесь формула определяет у» — или предложение: «Перед нами формула, определяющая у» — следует отличать от такого предложения, как «Формула у = х2 определяет число у для любого заданного х». Тогда вопрос: «Определяется ли у записанной здесь формулой?» — будет равнозначен вопросу: «Принадлежит ли такая формула к первому или ко второму роду?»; но не ясно само по себе, для чего пригоден вопрос: «Является ли выражение у = х2 формулой, оп- ределяющей у для любого заданного х?» Этот вопрос можно задать школьнику, чтобы проверить, понимает ли он употребление выражения «определять»; или же он мог бы служить математическим заданием — установить, входит ли в правую часть формулы, скажем такой, как у = (х2 + z)2 — z(2х2 + z), лишь одна переменная. 2.

«Способ осмысления формулы определяет, какие действия должны совершаться при ее расчете». Но каков критерий того, каким способом осмысливается формула? Вероятно, таковым является тот способ, каким мы всегда пользуемся ею, тот способ, каким нас научили ею пользоваться.

Мы, например, говорим кому-то, кто пользуется неизвестным нам знаком: «Если под х\2 ты подразумеваешь х2, то получишь для у это значение, понимая же под этим Vx, получишь то». — Теперь задайся вопросом: каким образом под х\2 подразумевают либо то, либо другое?

Вот так и осмысление [формулы] способно заранее определять последовательность шагов. 3.

Откуда я знаю, что при построении числового ряда +2 следует писать

«20004, 20006»,

а не

«20004,20008»?

— (Аналогичен вопрос: «Откуда я знаю, что этот цвет „красный"?»)

«Но ты же знаешь, например, что должен всегда писать одинаковую числовую последовательность в таких единицах: 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4 и т. д.». — Совершенно верно! Указанная проблема должна возникать уже и в этой последовательности чисел, и даже в такой: 2, 2, 2, 2 и т. д. — В самом деле, откуда я знаю, что после пятисотого «2» я должен писать »2», то есть что и в этом случае «2» будет «той самой цифрой»? А если я знаю это заранее, так в чем польза от такого знания впоследствии? Я имею в виду: откуда я узнаю, что делать с тем моим прежним знанием потом — при выполнении реального перехода?

(Если интуиция необходима для продолжения ряда +1, то она необходима и для продолжения ряда +0.)

«А не хочешь ли ты сказать, что выражение „+2" оставляет тебя в сомнении, что, к примеру, следует записывать после 20004?» —

Нет, я отвечаю без колебаний: «20006». Но именно поэтому излишне полагать, что это было заведомо установлено. То, что при таком вопросе у меня не возникает сомнений, вовсе не означает, что ответ на него уже имелся заранее.

«Но я все же знаю и то, что, какое число мне ни предложи, я смогу дать следующее за ним безо всяких колебаний». — Разумеется, если этому не воспрепятствует моя смерть или множество иных происшествий.

Но моя уверенность в том, что я смогу продолжить ряд, безусловно, очень важна. 4.

«А в чем же тогда состоит характерная неумолимость математики?» — Разве не служит удачной иллюстрацией этого неумолимое следование за единицей двойки, за двойкой тройки и т. д.? — Но это означало бы: следовать в ряду натуральных чисел; ведь в другом ряду картина следования была бы иной. А что, если этот ряд вовсе не определяется такой последовательностью? — «Должно ли это также означать, что в равной мере будет правильным любой способ счета, что каждый сможет считать, как ему заблагорассудится?» — Пожалуй, случай, когда произносят одну за другой любые цифры в произвольном порядке, мы бы не назвали «счетом»; но дело здесь, конечно, не просто в наименовании. Ибо то, что мы называем счетом, — действительно важная часть нашей жизнедеятельности. Бесспорно, например, что счет и вычисления не просто пустое времяпрепровождение. Счет (а это означает такой-то счет) — технический прием, ежедневно применяемый в самых разных актах нашей жизни. Вот почему мы учимся считать так, как учимся: с бесконечными упражнениями, с нещадной точностью; потому-то мы неуклонно настаиваем, чтобы после слова «один» все произносили слово «два», после слова «два» — «три» и т. д. — «А тогда не оказывается ли этот счет просто неким употреблением; не получается ли, что такому ряду не соответствует никакая истина?» Истина состоит в том, чтобы этот счет был пригоден. — «То есть ты хочешь сказать, что „быть истинным" — значит быть употребимым (или полезным)?» — Нет, не это; а то, что о натуральном ряде чисел — так же как и о нашем языке — не скажешь, что он истинен, можно же сказать, что он применим, и прежде всего что он применяется. 5.

«А разве не следует с логической необходимостью, что, прибавив один к одному, ты получишь два, а прибавив один к двум — три и т. д.; и разве эта неумолимость не того же рода, что и неумолимость логического вывода?» — Конечно! Того же самого. — «А разве логическому выводу не соответствует некая истина? Разве не истинно, что из этого следует то?» — Предложение: «Истинно, что из этого следует то» просто означает: это следует из того. А как употребляется это высказывание? — Что бы случилось, сделай мы иной вывод — каким образом мы бы вступили в конфликт с истиной?

Насколько бы мы погрешили против истины, если бы наши линейки были сделаны из очень мягкой резины, а не из дерева или стали? — «Да мы бы не узнали истинных размеров стола». — Ты имеешь в виду: мы бы их не получили или, получив, не могли бы быть уверены в том, что это те же размеры, что получаются с помощью твердой линейки. То есть mom, кто измерял бы размеры стола эластичной линейкой и заявлял, что длина стола — 1,8 м по нашим обычным меркам, был бы не прав; заяви же он, что длина стола равняется 1,8 м по его способу измерения, это было бы верно. — «Да это вообще не измерение!» — Оно похоже на наше измерение и при некоторых обстоятельствах способно служить «практическим целям». (Некий торговец мог бы использовать его для неодинакового обслуживания разных покупателей.) Линейку, которая бы очень сильно удлинялась при небольшом нагревании, мы бы поэтому назвали неприменимой в обычных условиях. Но можно придумать обстоятельства, при которых именно это свойство линейки оказалось бы желательным. Вообразим, что расширение предметов воспринимается невооруженным глазом; и вот мы приписываем телам в комнатах с разной температурой те же самые размеры длины, если замеряем их линейкой, которая на наших глазах становится то длиннее, то короче.

Тогда можно сказать: то, что здесь называется «измерением», «длиной», «одинаковой длиной», — это не то, что мы обозначаем такими словами. Употребление этих слов отлично от нашего, но оно родственно ему; да и мы употребляем эти слова многообразными способами.

6. Необходимо уяснить, в чем, собственно, состоит умозаключение. Можно, например, сказать, что оно состоит в переходе от одного утверждения к другому. Но значит ли это, что умозаключение — нечто, имеющее место при переходе от одного утверждения к другому, следовательно, раньше, чем высказано другое, — или же что умозаключение состоит в возможности следования одного утверждения за другим, то есть, например, в возможности высказать его после того, как высказано первое? Введенные в з^блуж- дение особым употреблением глагола «умозаключать», мы готовы вообразить, будто умозаключение являет собой какую-то необычную деятельность, особый процесс в сфере разумения, как бы невнятные наплывы, из которых возникает логический вывод. Но приглядимся все же к тому, что происходит! — Здесь имеет место переход от одного высказывания к другому через ряд предложений — то есть с помощью цепи выводов; но о последней нам нет нужды говорить, так как сама эта цепь предполагает переход иного рода — от одного звена к следующему за ним. Процесс перехода в этом случае совершается между звеньями. В этом процессе нет ничего таинственного; это — выведение знаков одного предложения из знаков другого по некоему правилу; сравнение обоих предложений с каким-нибудь образцом, представляющим нам схему перехода, и т. п. Такие процессы могут совершаться на бумаге, устно или же «в голове». — Но умозаключение может происходить и так, что одно предложение будет высказываться за другим в отсутствие такого перехода; или же переход может сводиться к тому, что говорится «следовательно» или «из этого следует» и т. п. «Выводом» это называют в том случае, если предложение действительно можно вывести из предпосылок. 7.

Что же тогда означает: одно предложение можно вывести из другого согласно правилу? Разве нельзя вывести все из всего с помощью какого-нибудь правила — даже с помощью любого правила, истолкованного соответствующим образом? Что будет означать, если я, например, скажу: «Это число можно получить умножением таких-то двух чисел?» Это и будет правило, говорящее о том, что при верном умножении должно получиться такое число; обрести же данное правило можно, перемножая два числа или же иным способом (хотя любую процедуру, приводящую к данному результату, можно было бы назвать «умножением»). Обо мне говорят, что я перемножил в том случае, когда я провел умножение: 265 х 363 — но и, когда я говорю: «4 раза по 2 дают 8», — хотя здесь произведение не есть результат счета (но я бы мог его и вычислить). Так что, мы говорим, что получен результат и в том случае, когда он не вычислен. 8. Так ведь выводить можно лишь то, что действительно выводится!— Должно ли это означать: лишь то, что следует из правил вывода; или же это должно означать: только то, что следует из таких правил вывода, которые каким-то образом согласуются с реальностью? При этом нам смутно представляется, будто эта ре- альность — нечто весьма абстрактное, очень общее и очень жесткое. Логика — своего рода ультрафизика, описание «логического строения» мира, воспринимаемого путем своеобразного ультраопыта (вкупе, скажем, с пониманием). Тут, вероятно, приходят на ум умозаключения вроде вот этого: «Печь дымит, следовательно, труба опять не в порядке». (Вот так и осуществляется подобное умозаключение! А не так: «Печь дымит, а всегда, когда дымит печь, труба не в порядке; следовательно ...») 9.

То, что мы называем «логическим выводом», есть некое преобразование выражения. Например, пересчетом одной системы мер в единицы другой. На одном конце линейки масштаб дан в дюймах, на другом — в сантиметрах. И конечно, переход от одной меры к другой может быть как правильным, так и неверным; но с какой реальностью здесь согласуется правильность? Вероятно, с неким соглашением или с неким употреблением или, может быть, с практическими потребностями. 10.

«Но не должно ли тогда, например, из „(х) • fx" следовать ,f(a)", если „(х) - fx" мыслится так, как мы его мыслим?» — А как проявляет себя то, как мы его мыслим? Разве не путем постоянной практики его употребления? Или, скажем, не через

определенные жесты и нечто им подобное? Но когда мы

произносим слово «все», к нему как бы прибавляется что-то — определенное значение, с которым было бы несовместимо иное его употребление. «„Все" — это и означает: все!» — говорим мы. Если бы требовалось объяснить это значение, мы бы сказали: «„Все" — это и есть все», сопроводив эти слова особым жестом и миной. f

Сруби все эти деревья! Ты не понимаешь, что означает

«есе»? (Он оставил одно дерево.) Как он усвоил, что означает все? Вероятно, на практике. — И, получив указание, он делает это, конечно, благодаря такой практике, но ею же порождается вокруг данного слова масса образов (визуальных и иных), возникающих — то один, то другой — в нашем сознании, когда мы слышим или произносим слово. (И если нужно дать себе отчет в том, каково «значение» слова, мы сначала схватываем в этой массе образов какой-то один, а затем отвергаем его как несущественный, убедившись, что в разное время сознанию предстает то один, то другой образ, а то и вовсе никакого.)

Значению слова «все» учатся в процессе усвоения того, что из „(х)- fx" следует ,/а". — Упражнения, с помощью которых тре- нируются как употреблять данное слово, понимать его значение, всегда направлены на то, чтобы не допускать исключений. 11.

Как мы учимся умозаключать? Или же мы этому не учимся? Знает ли ребенок, что из двойного отрицания следует утверждение? И как его убеждают в этом? Вероятно, ему показывают какой-либо процесс (двойное обращение, двукратный поворот на 180° и т. ц), который он воспринимает теперь как образ отрицания.

И смысл высказывания „(х) fx" проясняют, подчеркивая, что из него следует высказывание ,/а'\ 12.

«Ведь из „все", если оно осмысливается так, должно следовать это». — Если осмысливается как? Подумай над тем, как ты сам его мыслишь. Тут в твоем воображении, может быть еще всплывет некая картина — и этим дело ограничивается. — Да, верно, дело не в том, что это должно следовать, а в том, что это следует: мы -совершаем этот переход.

И мы говорим, что если бы этого не следовало, то речь бы просто шла не обо всех, — а это лишь показывает, как мы словесно реагируем на такую ситуацию.— 13.

Нам кажется, что если из „(х) • fx" больше не следует ,/а", то помимо употребления слова «все» должно измениться и что-то еще, что-то связанное с самим словом.

Не похоже ли это ца случай, когда говорят: «Действуй этот человек иначе, его характер наверняка был бы иным»? Ну, данное высказывание может что-то означать в одних случаях, в других же — ничего не означать. Мы говорим: «Из характера вытекает поведение» и по аналогии с этим: из значения вытекает употребление. 14.

Это показывает можно сказать, — как прочно связаны определенные жесты, образы, реакции с постоянно практикуемым их употреблением.

«Нам навязывается картина...» Очень интересно, что картина действительно нам навязывается. И будь это не так, как могло бы нам о чем-нибудь говорить предложение: «Что сделано, то сделано»? 15.

Важно то, что в языке — в нашем обычном языке — «все» является фундаментальным понятием, а выражение «все, за исключением того-то» менее фундаментально; то есть для него не существует одного слова, а также характерного жеста. 16. Суть слова «все» как раз и состоит в том, что оно не допускает исключений. — Да, именно такова суть его употребления в нашем языке; но какие виды употребления мы считаем существенными, зависит от того, какую роль играет это употребление во всей нашей жизни. 17.

На вопрос, в чем состоит умозаключение, нам отвечают примерно так: «Если я установил истинность предложений... то имею право записать далее...» — В каком смысле я имею право на это? А ранее я не имел права записать это? — «Те предложения убеждают меня в истинности этого предложения». Но естественно, речь идет не только об этом. «По этим законам ум осуществляет особую деятельность логического вывода». Это, конечно, интересно и важно; ну, а истинно ли это? Всегда ли люди умозаключают по этим законам? И в чем состоит особая деятельность умозаключения? Именно поэтому необходимо видеть, как мы делаем выводы в языковой практике; чем является процесс умозаключения в языковой игре.

Например, в некоем предписании говорится: «Все, у кого рост больше 1 м 80 см, поступают в подразделение...» Один чиновник зачитывает имена, добавляя данные об их росте. Другой распределяет их по подразделениям. — «N — 1 м 90 см». «Следовательно, N идет в подразделение...» Это и есть умозаключение. 18.

В таком случае что мы называем «выводами» у РАССЕла или Евклида? Должен ли я сказать: переходы от одного высказывания к другому, ближайшему к нему в процессе доказательства? — Но где находится этот переход? — Я говорю, что у РАССЕла одно высказывание следует из другого, если при чтении его труда одно из них выводимо из другого на основе их положения в доказательстве и дополняющих их знаков. Ведь читать эту книгу — игра, требующая обучения. 19.

Часто недоумевают, в чем, собственно, состоит логическое следование и вывод; какого рода факт, какого типа процесс они собой представляют? Своеобразное употребление этих слов подсказывает нам, что следование — это существование некой связи между высказываниями, — связи, которую мы прослеживаем в ходе логического вывода. Это весьма поучительно показано в РАС СЕЛОВСКОМ изложении (Principia Mathematica). То, что предложение f—q следует из предложения f—р з q • р — здесь основной логический закон:

9.12. То, что предполагается истинной посылкой — истинно. Pp. Значит, оправдан вывод f-qr из f-p з q • р . В чем же тогда заклю- чается «вывод», та процедура, которая здесь обоснована? Несомненно, в том, чтобы в некой языковой игре произносить, записывать и т. д. одно предложение за другим в качестве утверждения. А каким образом может мне дать право на это приведенный основной закон? 20.

Ведь РАССЕЛ хочет сказать: «Так я умозаключаю, и так умозаключать правильно». То есть он хочет первым делом сообщить нам, как он намерен умозаключать: эта процедура выполняется по правилу умозаключения. Что оно гласит? Что это предложение

влечет за собой то? Да, верно, — в доказательствах этой

книги такое-то предложение должно стоять после такого-то. — Но ведь то, что так умозаключать правильно, предполагается в качестве фундаментального логического закона! — В таком случае этот основополагающий закон должен был бы гласить: «Умозаключать от ... к ... — правильно»; при этом предполагается, что этот основной закон должен быть самоочевидным — а в таком случае была бы самоочевидной также верность или обоснованность и самого правила. «Но ведь в этом правиле речь идет о предложениях в какой-то книге, а это не относится к логике!» — Совершенно верно; в действительности это правило всего лишь сообщение, что в данной книге будет использоваться только этот переход от одного предложения к другому (подобно информации в указателе), правильность же перехода в соответствующем месте должна быть очевидной; выражением же «основного логического закона» является тогда сама последовательнось предложений. 21.

Своим основным логическим законом РАССЕЛ, казалось бы, говорит о предложении: «Оно уже следует — мне нужно всего лишь вывести его». Так, ФРЕГЕ однажды сказал, что прямая, связывающая какие-то две точки, по сути, уже существует до того, как мы ее проводим, и так же обстоит дело, когда мы говорим, что переходы, скажем в числовом ряду 4-2, были уже выполнены до того, как мы их осуществляем устно или письменно, как бы прочерчивая их более рельефно. 22.

Тому, кто это говорит, можно ответить: ты здесь используешь некий образ. Переходы, которые надлежит кому-то выполнить в некотором ряду, можно определить, предварительно осуществив их для него: например, записывая ряд, который он должен построить, другими знаками, так что ему останется только перевести данную запись в нужные знаки; либо же действительно обозначая этот ряд тонкими контурами, так что остается их только обвести.

В первом случае можно также сказать, что мы не записываем тот ряд, который должен записать он, так что мы сами не делаем переходы в том ряду; во втором же случае ряд, который должен быть записан, уже существует. Мы сказали бы это и в том случае, если бы то, что требуется записать, диктовалось, хотя при этом произносился бы ряд звуков, а записывался ряд письменных знаков. Во всяком случае, это надежный способ определить переходы, которые кто-то должен сделать, предварительно в каком-то смысле предписав их ему. — Но эти переходы можно определить и в совершенно ином смысле. Скажем, мы тренируем ученика так, как обучают детей таблице умножения и самому умножению. Овладев соответствующим навыком, все обученные производят любые действия умножения (не пройденные ими во время обучения) одинаковым образом и с совпадающими результатами. Если кто-то благодаря такому навыку выполняет определенные переходы по заданию «4-2», то можно достоверно предсказать, как он будет поступать, даже если прежде он никогда не совершал этого перехода, — в таком случае может быть естественно прибегнуть к такому образу происходящего: все переходы уже сделаны, он же их лишь записывает. 23.

«Но мы же выводим это предложение из того, потому что оно действительно следует из него. Ведь мы убеждаемся, что оно следует». — Мы убеждаемся, что написанное здесь следует из написанного там. И это предложение используется во временном смысле. 24.

Отдели чувства (жесты) согласия от того, как ты действуешь с доказательством! 25.

А как обстоит дело, когда я убеждаюсь в том, что черточки на следующей схеме

численно равны углам на такой схеме:

(Ь)

(я намеренно сделал эти схемы запоминающимися), скоррелиро-

Ну, а в чем я убеждаюсь, глядя на эту фигуру? Я вижу звезду с нитевидными продолжениями. — ? ? 26.

Но я могу использовать эту фигуру и таким образом: пять человек стоят пятиугольником: у стены расставлены жезлы, как на схеме (а); я смотрю на схему (с) и говорю: «Я могу каждому из этих людей дать по жезлу».

Фигуру (с) можно рассматривать в качестве схематичной картины того, что каждому из пятерых человек я даю по жезлу. 27.

Ведь, нарисовав сначала произвольный многоугольник

можно выяснить путем их соотнесения, соответствует ли число углов числу линий. (Не зная заранее, что из этого получится.) И можно также сказать, что, лишь проводя линии проекции, убеждаешься в том, что в верхней части рисунка (с) столько же штрихов, сколько углов имеет звезда внизу. (Со временем!) При таком понимании рисунок (с) не похож на математическое доказательство (как не является математическим доказательством случай, когда я даю группе людей мешок яблок, считая, что каждый из них может претендовать как раз на одно яблоко). Но рисунок (с) можно принять и за математическое доказательст- во. Дадим формам рисунков (а) и (Ъ) названия. Пусть форма (а) называется «рука», Р, форма (Ь) — «пентаграмма», Я. Я доказал, что Р имеет столько же линий, сколько Я имеет углов. А это уже опять вневременное предложение. 28.

Доказательство — я бы сказал — единая фигура, с определенными предложениями на одном ее конце и неким предложением (которое мы называем «доказанным») — на другом ее конце. Описание такого рода фигуры могло бы гласить: «В ней предложение... следует из ...» Это своего рода описание образца, который мог бы, скажем, быть и орнаментом (узор на обоях). Следовательно, я могу сказать: «В доказательстве на той доске предложение р следует из q и г», и это просто описание того, что можно увидеть там на доске. Но то, что р следует из q и г, — не математическое предложение. Оно имеет другое применение. Оно гласит — так можно было бы это сформулировать, — что имеет смысл говорить о некоем доказательстве (образце), в котором р следует из q и г. Так же как можно сказать: предложение «белое светлее черного» утверждает, что имеет смысл говорить о двух предметах, более светлый из которых — белый, а другой — черный, но не о двух предметах, более светлый из которых — черный, а другой — белый. 29.

Представим, что нам дан образец для «более светлого» и «более темного» в форме белого и черного пятен, и теперь с его помощью мы, так сказать, делаем вывод, что красное темнее, чем белое. 30.

Предложение, доказанное с помощью рисунка (с), теперь служит новым предписанием для констатации числового равенства: располагая множеством объектов, упорядоченных в форму руки, и другим —- в форму углов пентаграммы, мы говорим, что оба множества равночисленны. 31.

«Но разве этот вывод мы делаем не просто потому, что уже однажды сопоставили Р и Я и увидели, что они равночисленны?» — Да, но, если Р и Я равночисленны в одном случае, как мне знать, будут ли они вновь равночисленны теперь? — «Потому что в самой сущности Р и Я заложено, что они равночисленны». — Но как ты мог бы это выявить через их корреляцию? (Я думал, что с помощью счета или корреляции устанавливают лишь то, что обе эти, находящиеся передо мной, группы равночисленны или неравночисленны.)

«Но если кто-то имеет некое Р вещей и некое Я вещей и факти- чески коррелирует их друг с другом, то ведь невозможно, чтобы он получил какой-то иной результат, чем то, что они равночисленны. А что это невозможно, я вижу из данного доказательства». — Но разве это на самом деле невозможно? Допустим, например, что этот кто-то — как мог бы сказать кто-либо другой — по недосмотру упускает одну из корреляционных линий. Но я признаю, что в подавляющем большинстве случаев у него всегда будет один и тот же результат, не получив же его, он подумал бы, что в чем-то запутался. В противном случае доказательство в целом оказалось бы лишенным основания. Ведь, решившись пользоваться доказательством-картиной вместо корреляции групп, мы их не коррелируем, а вместо этого сравниваем их с группами в доказательстве (где, на деле, две группы коррелированы друг с другом). 32.

Результатом доказательства я мог бы также объявить следующее: «Отныне Р и П называются „равночисленными"».

Или же: доказательство не исследует сущности обеих фигур, но высказывает нечто, что отныне я буду причислять к сущности фигур. То, что принадлежит к сущности, я отношу к парадигмам языка.

Математик созидает сущность. 33.

Заявлять: «Это предложение следует из того» — значит принимать некое правило. Оно принимается на основе доказательства. То есть я нахожу эту цепь (эту фигуру) приемлемой в качестве

доказательства. «Разве я мог бы поступить иначе? Разве я не

должен был принять это?» — Почему ты говоришь, что ты должен? Не потому ли, что завершаешь свой вывод словами: «Да, я должен принять это заключение»? Но ведь это только выражение твоего безусловного принятия.

То есть я полагаю, что слова «Я должен признать это» применяются в двух случаях: когда мы признали то или иное доказательство — и по отношению к отдельным шагам самого этого доказательства. 34.

Как же тогда обнаруживается, что данное доказательство принуждает меня сделать этот вывод? Да в том, что я продвигаюсь таким вот образом, что я отказываюсь следовать иным путем. Конечным моим аргументом тому, кто не захотел бы идти таким путем, как я, был бы следующий: «Разве ты не видишь...!» — А это не аргумент. 35.

«Но коли ты прав, как же получается, что все люди (или по крайней мере, все нормальные люди) принимают такие фигуры за доказательство этих предложений?» — Да, здесь имеется широкое — и интересное — совпадение мнений. 36.

Представь себе, что перед тобою ряд шариков; ты нумеруешь их арабскими цифрами от 1 до 100; затем после каждого десятка делаешь большой интервал, а в середине каждого десятка — несколько меньший интервал, разделяющий его на 5 и 5, — так что число 10 становится наглядным. Затем ты располагаешь эти наборы десятков друг под другом, а в середине столбца делаешь больший интервал; то есть интервал между пятью верхними и пятью нижними рядами; затем нумеруешь ряды от 1 до 10. — Это будет как бы упражнение с шарами. Я могу сказать, что мы раскрыли свойства ста шаров. — А теперь представь, что весь этот процесс, эксперимент со ста шарами, был заснят на кинопленку. Однако на экране не эксперимент, а изображение, картина эксперимента, ибо изображение эксперимента не есть сам эксперимент. — Но «математически существенное» в этом процессе я вижу и в проекции! Ибо сначала я вижу 100 пятен, затем они делятся на десятки и т. д. и т. д.

Значит, можно сказать: доказательство служит мне не экспериментом, но, безусловно, картиной эксперимента. 37.

На пустой стол положи 2 яблока, проследи за тем, чтобы никто не подходил к столу и не сотрясал его; затем положи на столешницу еще 2 яблока; теперь сосчитай, сколько всего на ней лежит яблок. Ты провел эксперимент; в результате подсчета у тебя, вероятно, получится 4. (Мы бы представили эксперимент таким образом: если при таких-то обстоятельствах на стол положены сначала 2 яблока, а затем еще 2, то в высшей степени вероятно, что ни одно из них не исчезнет со стола и ни одно новое не добавится.) Аналогичные эксперименты с тем же результатом могут быть проведены со всеми видами твердых тел. — Таким способом мы учим ребенка считать: к трем бобам добавляем еще три боба и затем считаем, сколько их всего. Если бы при этом иногда при подсчете получалось 5 бобов, а иногда 7 (например, потому, как бы мы теперь сказалиг что какой-то боб то сам собой исчезал, то добавлялся), то мы прежде всего сказали бы, что бобы непригодны для обучения счету. Случайся подобное с палками, пальцами, черточками и большинством других вещей, это означало бы конец всякого счета.

«Но разве и тогда не получалось бы 24-2=4?» — Это предложение стало бы тогда неупотребимым. 38. «Тебе нужно только взглянуть на рисунок

на рисунок,

чтобы убедиться, что 2+2+2=4. 39.

В чем убеждаю я того, кто следил за отображением в фильме опыта со ста шариками?

Можно было бы сказать: в том, что это происходило так. — Но

это не было бы математическим убеждением. А нельзя ли в

таком случае сказать: я запечатлеваю в нем некую процедуру? Эта процедура — перегруппировка ряда из 100 предметов в 10 рядов по 10 предметов в каждом. Причем эта процедура фактически всегда может быть воспроизведена. И в этом вполне можно убедиться. 40.

Вот так и доказательство (25) с помощью проведения линий проекции запечатлевает процедуру соотнесения Р и П. — «А не убеждает ли оно меня еще и в том, что такое 1 соответствие возможно?» — Если это должно означать, что ты всегда можешь его выполнить, то такое доказательство вообще не должно быть истинно. Проведение линий проекции убеждает нас в том, что вверху имеется столько же штрихов, сколько углов расположено внизу; и это дает нам модель того, как устанавливать соответствие между такими фигурами. — «А не показывает ли тем самым эта модель, что она работает, а не только то, что она срабатывает в данном случае?! В том смысле, в каком она не сработала бы, если

бы вверху вместо I I I I I стояла фигура I I I I I ». — Как так?

Разве она не работает и тогда? Скажем, вот так:

И эту фигуру также можно было бы применить в качестве доказательства чего-то! А именно для показа того, что группы такого типа нельзя привести к соответствию I—I2. «Соответствие I—I здесь невозможно» означает, например, что эти фигуры и соответствие I—I несовместимы.

«Я не это имел в виду!» — Тогда покажи мне, что, собственно, ты имел в виду, и я это сделаю.

А не могу ли я в таком случае сказать, что данная фигура показывает, как возможно такое соответствие? — И не должна ли она тем самым также показывать, что она возможна? — 41. Теперь выясним, в чем состояла суть нашего предложения — дать названия пяти параллельным линиям и пятиконечной звезде? Что достигнуто в результате того, что эти фигуры получили названия? Таким образом, мы указали на способ использования данных фигур. А именно на то, что мы с одного взгляда, не считая, сколько у них углов и линий, узнаем их как такие. Для нас они типовые формы, как нож и вилка, как буквы и цифры. Стало быть, по команде «Нарисуй руку!» (например) я в состоянии непосредственно воспроизвести эту форму. — Ну, а данное доказательство учит меня соотнесению обеих форм. (Я хотел бы сказать, что в доказательстве соотносятся не только эти индивидуальные фигуры, но и сами формы. А это ведь лишь означает, что такие формы хорошо запечатлелись в моем сознании, — запечатлелись как образцы.) Ну, а разве я не могу столкнуться с трудностями корреляции форм Р и 17, скажем в том случае, когда углы внизу или штрихи вверху слишком многочисленны? «Вовсе нет, если ты действительно вновь воспроизвел Р и Я! —И это можно доказать; взгляни на эту фигуру!» читься, что при желании использовать эту модель в качестве образца, я все же снова столкнусь с трудностями? Но я говорю: я уверен в том, что в нормальных обстоятельствах здесь не возникнет никаких трудностей.

42. Имеется головоломка, смысл которой заключается в том, чтобы составить какую-то определенную фигуру, скажем прямоугольник, из данных частей. Фигура разделена на части таким образом, что нам трудно найти их правильное соединение. Возьмем в

четание? — Он находит расположение [треугольников], о котором ранее не думал. — Хорошо; а нельзя ли также сказать: составление данной фигуры убеждает в том, что эти треугольники можно соединить и таким образом? А «эти треугольники» — те ли они, что входят в вышеприведенный прямоугольник, или же это треугольники, которые еще только должны быть соединены таким образом?

43. Заяви кто-то: «Я бы никогда не подумал, что эти фигуры можно соединить таким образом», — ему не скажешь, указывая на решенную головоломку: «Так ты не верил, что эти части можно так соединить?» — Он ответил бы: »Я разумею под этим, что

совсем не думал о таком способе соединения». 44.

Представим себе, что физические свойства соединяемых частей головоломки таковы, что не позволяют им складываться в искомую фигуру. Но не в том смысле, что, пытаясь привести эти части в такое положение, испытываешь их сопротивление; просто предпринимаешь любые попытки, только не эту, сложиться же в нужное положение случайным образом составные части тоже не могут: Такое их положение как бы изъято из пространства. Как если бы, скажем, в нашем мозгу тут было «слепое пятно». — Да разве и впрямь не бывает так, когда считаешь, что перепробовал все возможные комбинации частей, а мимо этой прошел, словно околдованный?

Нельзя ли в таком случае сказать: фигура, показывающая тебе решение, снимает некую слепоту; или же изменяет твою геометрию? Она как бы показывает тебе новое пространственное измерение. (Словно бы мухе показали выход из мухоловки.) 45.

Некий демон окутал это положение своими чарами и изъял его из нашего пространства. 46.

Новое положение возникло как бы из ничего. Там, где раньше не было ничего, теперь вдруг появилось нечто. 47.

В каком смысле это решение убедило тебя в том, что можно сделать то-то? — Скажем, раньше ты этого сделать не мог, а теперь можешь.— 48.

Я сказал, что «принимаю то-то за доказательство некой теоремы», — а разве я не могу не принять эту фигуру, показывающую нужное соединение частей в головоломке, как доказательство того, что данные части могут быть соединены в этот контур? 49.

А теперь представь себе, что одна из частей расположена так, что является зеркальным отображением соответствующей части образца. И вот кто-то хочет соединить части, согласно образцу; он понимает, что фигура должна получиться, но ему не приходит в голову перевернуть неверно лежащую часть, и он заключает, что соединение ему не удастся. 50.

Можно составить прямоугольник из двух параллелограммов и двух треугольников. Доказательство:

Ребенку складывание прямоугольника из этих составных частей показалось бы трудным, и он был бы удивлен, что две стороны параллелограмма образуют прямую линию, хотя сами параллелограммы косоугольны. — Ему могло бы прийти в голову, что прямоугольник возник из этих фигур как бы с помощью волшебства. Да, он вынужден признать, что данные фигуры теперь образуют прямоугольник, но за счет какой-то уловки, диковинного соединения, неестественным образом.

Я могу представить себе, что ребенок, совместив таким образом два параллелограмма и видя, что они так подходят друг к другу, не верит своим глазам. «Они не выглядят настолько подходящими друг другу». И можно вообразить, что в таком случае говорили бы: лишь благодаря какому-то фокусу нам представляется, будто они образовали прямоугольник, в действительности же параллелограммы изменили свою природу, они уже теперь не те параллелограммы. 51.

«Признав это — ты должен признать и это». — Он должен это признать — но возможно, что он все равно этого не признает! Ты хочешь сказать: «Коли он мыслит, он должен это признать». «Я тебе покажу, почему ты должен это признать». — Я приведу тебе наглядный пример, который — если ты его обдумаешь — будет определять такое твое суждение. 52.

Ну как можно манипуляциями доказательства подвести его к тому, чтобы он нечто признал? 53.

«Ты же признаешь, что 5 состоит из 3 и 2».

Я признаю это лишь в том случае, если за этим нет чего-то другого. Кроме того, что я хочу использовать эту картину. 54. Например, фигуру

можно было бы принять в качестве доказательства того, что 100 параллелограммов, расположенных таким образом, составляют прямую полосу. Если и в самом деле взять затем сто параллелограммов, то можно получить слегка изогнутую полосу. — Но доказательство предопределило для нас применение этой картины и способа выражения: если параллелограммы не дают прямой полосы, выходит, они были небрежно построены. 55.

Подумай только, каким образом картина (или прием), которую ты мне демонстрируешь, способна принудить меня всегда судить вот так!

Ведь если перед нами эксперимент то эксперимент, все же слишком незначительный, чтобы обязывать к какому-то суждению. 56.

Доказывающий говорит: «Посмотри на эту фигуру! Что можно о ней сказать? Разве не то, что прямоугольник состоит из... ? —»

Или же: «Эту фигуру ты называешь „параллелограммом", а эту „треугольником", а вот так выглядит то, что одна фигура составлена из других. — » 57.

«Да, ты меня убедил: прямоугольник всегда состоит из...» — Следовало ли мне также сказать: «Да, ты меня убедил: этот прямоугольник (тот, что в доказательстве) состоит из...»? И это было бы, конечно, более умеренное суждение; его должен был бы признать и тот, кто, возможно, еще не признает общего предложения. Но как это ни странно, признав такое предложение, тем самым признают не более чем осторожное геометрическое суждение, а не вообще положение геометрии. Разумеется, — ведь в отношении прямоугольника (в доказательстве) оно меня ни в чем не убедило. (Если бы я видел эту фигуру раньше, у меня не возникло бы в связи с ней ни малейших сомнений.) Все, касающееся данной фигуры, я признал добровольно. Он же прибег к ней лишь как к средству убедить меня. — Но с другой стороны, если он ни в чем не убедил меня относительно этого прямоугольника, то каким образом он убедил меня в некоем свойстве других прямоугольников? 58.

«Да, эта форма не выглядит так, словно бы она могла состоять из двух косоугольных частей».

Что удивляет тебя? Конечно, не то, что ты сейчас видишь эту фигуру перед собой! Меня что-то удивляет в этой фигуре. — Но в этой фигуре ничего не происходит!

Меня удивляет соединение косоугольного с прямым. У меня словно кружится голова. 59.

Но я действительно говорю: «Я убедился в том, что эту фигуру можно сложить из этих частей», например увидев изображение решения какой-нибудь головоломки.

Притом, если я говорю это кому-то, мое высказывание в таком случае должно означать: «Попытайся! Эти части, сложенные правильно, действительно образуют эту фигуру». Я хочу тем самым побудить его что-то сделать и предсказываю ему успех. Предсказание основывается на легкости, с которой можно составить фигуру из этих частей, если только знать, как это делается. 60.

По твоим словам, тебя удивляет то, что тебе подсказывает доказательство. Но разве тебя удивляет возможность провести эти штрихи? Нет. Ты удивлен только тогда, когда говоришь самому себе, что две такие части дают эту фигуру. Выходит, ты удивляешься, осмысливая ситуацию, — ты ожидал чего-то другого, а сейчас видишь этот результат. 61.

«Из этого неумолимо следует то». — Да, в данном доказательстве второе следует из первого.

А доказательство является таковым для того, кто признает его в качестве доказательства. Тот же, кто не признает его, кто не следует за ним как за доказательством, тот отделяется от нас еще до того, как оно было высказано.

62.

Здесь перед нами нечто, что выглядит как неизбежное. И тем не менее «неизбежным» оно может быть только в своих следствиях! В противном случае это просто картина.

В чем же тогда состоит, так сказать, «долгодействие» данной схемы? 63.

Я прочел доказательство — и теперь убежден. — А что, если я тут же забуду эту убежденность?

Ведь перед нами своеобразный процесс: я прослеживаю все доказательство и затем принимаю его результат. Я имею в виду,

что именно так мы поступаем. Это наш обычай или факт нашей естественной истории. 64.

«Имея в своем распоряжении пять, имеешь три и два». — А как узнать, что имеешь пять? — Ну, это выглядит, допустим, так: I I I I I . — А бесспорно ли, что всегда можно разделить нечто на вышеприведенные группы, если оно выглядит так!

Фактом является то, что мы можем играть в такую вот игру: я

3— 1923

учу кого-то, как выглядят группы, состоящие из двух, трех, четырех, пяти предметов, и обучаю его, как упорядочивать черточки в одно-однозначное соответствие. Затем я заставляю ученика всякий раз дважды выполнить задание: «Начерти группу из пяти чер: точек», а затем задание: «Скоррелируй эти две группы друг с другом»; и тут обнаруживается, что он всякий раз успешно соотносит друг с другом все черточки без исключения.

Иными словами: на деле успешно, без затруднений справляешься с корреляцией один к одному того, что называют группами из пяти предметов. 65.

Решая головоломку, я должен сложить фигуру; я пытаюсь это сделать и так и этак, сомневаясь, что мне это удастся. И вот кто- то показывает картину решения. Тут я — уже без всякого сомнения — говорю: «Теперь-то я могу это сделать». — Наверняка ли в таком случае я составлю данную фигуру? — Но то, что я не сомневаюсь в этом, — факт.

Допустим, теперь кто-то спросил бы: «В чем состоит долгодей- ствие этой картины?» — В том, что я ее применяю. 66.

В ходе доказательства мы приходим к согласию с кем-то. В противном случае наши дороги расходятся, не слившись — с помощью этого языка — в общий тракт.

То, что путем доказательства один человек убеждает другого, несущественно. Ведь может быть и так, что они оба видят (читают) и принимают доказательство. 67.

«Ты же видишь — это не подлежит ни малейшему сомнению, — что такая группа, как А,

ВС

по сути, состоит из таких групп, как В и С». — И я говорю — то есть выражаю мысль и таким образом, — что группа, которую ты начертил, состоит из двух меньших групп; но я не знаю, каждая ли группа, которую я бы назвал тождественной первой по типу (или форме), непременно будет состоять из двух групп, подобных тем, меньшим. Но я полагаю, что так, пожалуй, будет всегда (может быть, этому меня научил мой опыт), и потому хочу принять такое правило: я буду называть некую группу группой типа А в том, и только том, случае, если ее можно разложить на такие две группы, как В и С. 68.

Вот так же служит доказательством и рисунок в (50). «Вполне правдоподобно! Два составенных параллелограмма дают такую форму!» (Это очень напоминает то, как если бы я сказал: «Да, действительно! Кривая может состоять из прямых отрезков».) — Вот уж никогда бы не подумал. Нет, не о том, что части этой фигуры дают эту фигуру. Ведь это заведомо ясно. — А удивляюсь я, лишь представив себе: вот я, ни о чем не догадываясь, приложил верхний параллелограмм к нижнему и увидел этот результат. 69.

И можно сказать: данное доказательство убедило меня в том, что способно меня и удивить. 70.

Почему же тогда я говорю, что меня убеждает в чем-то фигура в §50, а не такая, например, фигура:

Она ведь тоже показывает, что две такие части дают прямоугольник. Напрашивается реплика: «Но это же неинтересно». А почему это неинтересно? 71.

Заявляя: «Данная форма состоит из этих форм», — думают о форме как о тонком абрисе, о тонком контуре этой формы, на который как бы натянуты вещи, имеющие такую форму. (Сравни: платоновское понимание свойства как ингредиента вещи.) 72.

«Данная форма состоит из этих форм. Ты показал мне существенное свойство этой формы». — Ты показал мне новый образ. Она как бы создана Богом. Тем самым мы используем некое подобие. Форма становится как бы эфирной сущностью, обладающей данной формой; словно была создана такою раз и навсегда. (Тем, кто закладывал в вещь ее существенные свойства.) Ведь если бы форма была вещью, составленной из частей, то Творцом данной формы был бы Тот, кто сотворил также свет и тьму, цвет и твердость и т. д. (Представь, что кто-то спрашивает: «Форма... составлена из этих частей; кто ее составил? Ты?») Слово «бытие» используется для обозначения сублимированного эфемерного вида существования. Ну, а рассмотри предложение: «Красное есть» (например). Конечно, никто никогда им не пользуется; но если бы мне все-таки нужно было найти ему какое-то применение, я бы предложил такое: использовать его в качестве вводной формулы к высказываниям, где должно употребляться слово «красное». При произнесении формулы смотрели бы на образец красного цвета.

Предложение типа «Красное есть» склонны применять, созерцая цвет: стало быть, в ситуации, похожей на ту, когда констатируют существование какой-то вещи (скажем, листоподобного насекомого).

И я хочу сказать: употребляя выражение «Доказательство научило — убедило — меня, что дело обстоит так», человек все еще движим тем же уподоблением.. 73.

Я бы сказал также: «Существенное — не свойство объекта, а отличительная черта понятия». 74.

«Будь форма группы та же, она должна была бы обладать теми же аспектами, теми же возможностями деления. Будь они иными, это не была бы та же самая форма: возможно, она каким-то образом производила бы на тебя то же самое впечатление; но той же самой формой она является лишь тогда, когда ее можно разделить тем же способом».

Данное положение, казалось бы, выражает сущность формы. — Я же говорю: высказывая это предложение о сущности, — просто констатируют некое соглашение. На это можно было бы возразить: ничто не отличается друг от друга в большей мере, чем предложение о глубинной сущности и предложение о простом соглашении. А что, если я отвечу: глубина сущности соответствует глубокой потребности в соглашении?

Таким образом, говоря: «Кажется, будто это предложение повествует о сущности формы», — я имею в виду: такое впечатление, будто это предложение сообщает о неком свойстве предмета «форма»! — И можно сказать: предмет, о котором оно высказывает некое свойство и который я здесь называю предметом «форма», — это та картина, которую я не могу не создавать, слыша слово «форма». 75.

Какие же свойства 100 шаров ты выявил или продемонстрировал? Ну хотя бы то, что с ними можно делать вот такие

вещи. А какие вещи? Ты имеешь в виду, что их можно двигать, что они не приклеены к поверхности стола? — Не столько это, сколько то, что из них — без каких-либо изъятий или добав- лений — складываются вот такие конфигурации. — Стало быть, ты показал физические свойства ряда. Но почему ты употребил выражение «выявлять»? Ведь ты бы не сказал, что выявляешь свойства железного стержня, показывая, что он плавится при стольких-то градусах. А разве ты не мог бы с тем же успехом сказать, что в качестве характеристики ряда выявляешь свойства нашей цифровой памяти (например)? Что ты действительно выявляешь — так это ряд шаров. — И показываешь, например, что некий ряд такого-то вида или же вот так пронумерованный римскими цифрами может быть простым способом без добавления или изъятия каких-либо шаров приведен в ту или иную запоминающуюся форму. Но с таким же успехом это могло быть и психологическим экспериментом, показывающим, что в твоей памяти теперь запечатлеваются определенные формы, образуемые простым перемещением 100 пятен.

«Я показал, что можно делать со 100 шарами». — Ты показал, что эти 100 шаров (или вон те) можно расположить таким образом. Данный эксперимент был экспериментом раскладывания (в отличие, скажем, от эксперимента горения).

А психологический эксперимент способен, скажем, показать, как легко тебя можно обмануть: что ты, например, не замечаешь, когда шары в ряду добавляют или изымают украдкой. Можно даже сказать так: я показал, что можно сделать из ряда в 100 пятен путем их видимых перемещений — какие фигуры из них можно получить с помощью этих видимых перемещений. — Но что я в данном случае раскрыл?

76. Представь, что тебе говорят: мы раскрыли свойства некоторого многоугольника, соединяя каждые 3 его стороны диагональю, в результате чего многоугольник оказался 24-угольником. Хочу ли я сказать, что раскрыл свойства 24-угольника? Нет. Я хочу сказать, что раскрыл свойства этого (начерченного здесь) многоугольника. Я знаю теперь, что вот эта фигура — 24-угольник. Это эксперимент? Он показывает, например, какого рода многоугольник представлен здесь, сейчас. То, что я проделал, можно назвать экспериментом в счете.

А что, если провести подобный эксперимент с пятиугольником, который я уже в состоянии охватить одним взглядом? — Ну что ж, примем на минуту, что я не способен его охватить одним взглядом, — так, например, может быть в том случае, если многоугольник слишком велик. Тогда прочерчивание диагоналей былг бы способом убедиться в том, что эта фигура — пятиугольник. Я мог бы еще раз сказать, что выявил свойства начерченного здесь многоугольника. — Если же я способен охватить его одним взглядом, то в отношении него, конечно, ничего не меняется. Пожалуй, было бы столь же излишне выявлять эти свойства, как излишне считать два яблока, лежащие передо мной. Следует ли мне в таком случае сказать: «Это был тоже эксперимент, только я был уверен в исходе»? Но был ли я уверен в данном исходе так же, как уверен в исходе электролиза воды? Нет, не так, а иначе! Не удайся электролиз жидкости... я счел бы себя бестолковым или заявил, что теперь вообще не знаю, что нужно говорить.

Представь себе, я бы сказал: «Да, перед нами четырехугольник, но посмотрим все же, делится ли он диагональю на два треугольника!» Затем я провожу диагональ и говорю: «Да, мы имеем в данном случае два треугольника». Тогда меня спросили бы: «Разве ты не видел, что четырехугольник можно разделить на два треугольника? Разве ты только сейчас убедился, что перед тобой четырехугольник; почему же теперь ты веришь своим глазам больше, чем раньше?» 77.

Задания: число тонов — внутреннее свойство мелодии; число листьев —- внешнее свойство дерева. Как это связано с тождественностью данного понятия? (РАМСЕЙ.) 78.

Что показывает нам тот, кто делит 4 шара на 2 и 2, затем снова их соединяет, опять делит и т. д.? Он запечатлевает в нас некий облик и некое характерное изменение этого облика. 79.

Представь себе возможные позы марионетки. Или же представь, что у тебя цепь, скажем, с десятью звеньями и ты показываешь, какие характерные (то есть запоминающиеся) фигуры можно выложить с их помощью. Звенья цепи пронумерованы, благодаря чему они укладываются в хорошо запоминающуюся фигуру, даже если располагаются по прямой линии.

Так я запечатлеваю в твоей памяти характерные положения и движения этой цепи.

Ну, а если я говорю: «Смотри, из звеньев цепи можно сделать еще и это» — и демонстрирую это, провожу ли я эксперимент?— Может быть, я показываю, например, что звеньям можно придать такую форму; но ты в этом и не сомневался. А то, что тебя интересует, не касается данной конкретной цепи. — Но все-таки выявляет ли то, что я демонстрирую, свойство этой цепи? Безуслов- но; однако я проделываю лишь такие движения, такие преобразования, которые носят запоминающийся характер; и тебе интересно их заучить. Да они потому и интересуют тебя, что их так легко воспроизводить вновь и вновь на различных предметах. 80.

Слова «Смотри, что я из них могу сделать», по сути, те же самые, какие я употребил бы, если бы показывал тебе все, что могу вылепить, к примеру, из комка глины. Скажем, я достаточно искусен, чтобы сформировать такие фигуры из этого комка. В каком-то другом случае этот материал можно обработать таким об разом. Здесь едва ли можно сказать: «Я привлекаю твое внимание к тому, что я могу это сделать, или же к тому, что материал это позволяет», — в то время как в случае с цепью было бы сказано следующее: «Я привлекаю твое внимание к тому, что с данной цепью можно сделать то-то». — Ведь и это можно себе представить. Познать же с помощью представления хоть одно свойство материала, конечно, нельзя.

Если такую процедуру рассматривать просто как запоминающуюся картину, она утрачивает характер эксперимента. 81.

Что я раскрываю, так это, можно сказать, роль, которую играет «100» в нашей системе исчисления. 82.

(Я написал однажды з: «В математике процесс и результат эквивалентны».) 83.

И тем не менее я чувствую: свойством 100 является то, что оно произведено или может быть произведено таким образом. Но как это (то, что оно произведено таким способом) может быть структурным свойством 100 в том случае, когда оно вовсе не произведено таким способом? Если никто так не умножал? Такое безусловно возможно лишь тогда, когда правомерно говорить, что отличительной особенностью данного знака является подчинение его этому правилу. Например, свойством 5 является его подчинение правилу «3+2=5». Ибо лишь в силу соответствующего правила это число является определенным результатом сложения тех других чисел.

А что, если я говорю: «Быть таким результатом сложения... по правилу... — свойство данного числа»? Выходит, это свойство числа возникает при применении данного правила к этим числам. Вопрос в том, назвали бы мы это «применением правила», если бы это число не было результатом такого рода? А это равнозначно другому вопросу: «Что понимается под применением данного правила — скажем, то, как с ним действуют (а применять его можно то так, то иначе), или же „его применение" объясняется по-другому?» 84.

«То, что этот процесс ведет к этому числу, составляет свойство данного числа». — Но, математически рассуждая, не процесс ведет к нему, а оно является завершением какого-то процесса (само есть часть процесса). 85.

Почему же я чувствую, что раскрыто, показано свойство ряда? — Потому что попеременно рассматриваю показанное то как существенное, то как несущественное для ряда. Или же: потому что попеременно думаю об этих свойствах то как о внешних, то как о внутренних. Потому что попеременно нахожу нечто то само собой разумеющимся, то заслуживающим внимания. 86.

«Ты же раскрываешь свойства 100 шаров, показывая, что из них можно сделать». — Как можно сделать? Ведь в том, что из них можно что-то сделать, никто не сомневался; значит,**речь должна идти лишь о том способе, каким это было получено. — Так посмотри же и сообрази, не предполагает ли он уже сам собой этот результат. —

Ну, а представь себе, что таким способом получался бы то один, то другой результат; ты принял бы это? Разве ты не сказал бы: «Я, должно быть, ошибся; при одинаковом способе всегда должен получаться одинаковый результат». Это показывает, что ты включаешь результат преобразования в способ преобразования. 87.

Задача: надо ли называть опытным фактом то, что путем такого изменения это лицо становится темі (Как нужно толковать «это лицо», «зто»преобразование», для того чтобы...?) 88.

Говорят: это разбиение проясняєт, что за ряд шаров перед нами. Проясняет ли оно, каким этот ряд был до разбиения или же каков он теперь? 89.

«Я с первого взгляда вижу, сколько здесь предметов». Ну и сколько же их? Является ли ответом: «Вот сколько»? — (При том, что отвечающий указывает на группу предметов.) Но что гласит этот ответ? Здесь 50 или 100 предметов и т. д. 90.

Разбиение проясняет, что это за ряд. Ну и что это за ряд? Является ли ответом: Этот! Что гласит осмысленный ответ? 91.

Ведь, осуществляя преобразования другой, аналогичным образом построенной цепи, я раскрываю и геометрические свойства этой цепи. Но таким путем я все же не показываю, что можно было бы сделать с первой цепью фактически, окажись она негибкой или же непригодной [для преобразований] в силу каких-то

иных физических причин.

Значит, все-таки нельзя сказать: я раскрываю свойства этой цепи. 92.

Можно ли раскрыть свойства цепи, которыми она вовсе не обладает? 93.

Я измеряю стол и узнаю, что его длина равна 1м. — Теперь я накладываю одну метровую линейку на другую. Осуществляю ли я тем самым ее измерение? Выясняю ли, что длина второй линейки 1 метр? Провожу ли все тот же эксперимент измерения, с той лишь разницей, что заранее уверен в результате? 94.

А прикладывая линейку к столу, всегда ли я измеряю стол; не проверяю ли я иногда данную линейку? И в чем состоит разница между одним процессом и другим? 95.

Эксперимент упорядочения множества может показать нам в числе прочего и то, из скольких шаров оно состоит, или что эти (скажем) 100 шаров можно перемещать так или иначе.

Но что мы называем «преобразованием путем лишь раскладывания» — показывает вычисление этого расклада. 96.

Разберись с таким предложением: то, что тангенс визуальной кривой частично с ней совпадает, не эмпирический факт. А если какая-то конфигурация показывает такое совпадение, так это происходит не в результате эксперимента.)

Можно также сказать: здесь видно, что сегменты непрерывной визуальной кривой прямые. — Но не следует ли сказать: — «И все же ты называешь это „кривой". — А этот малый ее сегмент ты называешь „кривой" или „прямой"? — Ты же называешь его „прямой"; а ведь он отрезок кривой».

А почему бы не использовать какое-то новое название для визуального отрезка кривой, не обнаруживающего в себе кривизны? «Опыт проведения этих линий все же показал, что они не соприкасаются в какой-то точке. — Что они не соприкасаются в некоей точке? А как они определены? Или: можешь ли ты указать ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

мне на какую-либо картину того, как обстоит дело, если они „соприкасаются" в какой-то точке? Почему бы тогда просто не сказать: согласно эксперименту, они — то есть прямая и кривая линии — соприкасаются друг с другом? Разве это не то, что я называю „соприкосновением" таких линий?» 97.

Начертим круг из черных и белых сегментов, становящихся все уже и уже.

г

Какой из этих сегментов — слева направо — тебе уже кажется прямым? В данном случае я провожу эксперимент. 98.

Ну, а если бы кто-то сказал: «Опыт учит тебя, что эта линия

кривая?» — При этом следовало бы отметить, что слова «эта линия» обозначают тут черту, проведенную на бумаге. И в действительности можно проделать подобный опыт, показывая такую черту разным людям и спрашивая при этом: «Что ты видишь: прямую или кривую линию?»

Ну, а если бы кто-то сказал: «Сейчас я представляю себе кривую линию», — а мы бы на это заметили: «Значит, ты видишь, что это кривая линия», — какой бы смысл это имело? Можно, однако, сказать и по-другому: «Я представляю себе круг из черных и белых сегментов; первый сегмент — большой, искривленный, следующие делаются все уже, шестой — уже прямой». В чем здесь заключается эксперимент? В воображении я могу вычислять, но не экспериментировать. 99. Что собой представляет характерное применение процесса вывода как вычисления в отличие от применения его в качестве эксперимента?

Вычисление мы рассматриваем как демонстрацию внутреннего свойства (свойства сущности) структур. А что это означает? Моделью «внутреннего свойства» могла бы служить такая вот схема: X

10 = 3 х 3 + 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

1111111111

123456789 10 Если я в связи с этим говорю: 10 черточек необходимо состоят из 3x3+1 черточки, — это не означает: если имеется 10 черточек, им всегда сопутствуют эти цифры и эти скобы. Вводя же их в эту схему, я просто демонстрирую, скажем так, суть данной группы черточек. — А уверен ли ты, что с добавлением этих знаков группа не изменилась? — «Не знаю; но тут имелось какое-то определенное число черточек; если оно не равнялось 10, значит, было иным, а в таком случае оно просто имело бы другие свойства.—» 100.

Говорят: вычисление «раскрывает» свойства ста. — Что это, собственно, значит: в 100 содержится 50 и 50? Говорят: ящик вмещает 50 яблок и 50 груш. Но если кто-то сказал бы: «Ящик вмещает 50 яблок и 50 яблок», то мы не знали бы, что он имеет в виду. — Если говорят: «Ящик вмещает дважды по 50 яблок», — то это либо означает, что в ящике имеется два отделения, каждое из которых вмещает по 50 яблок, либо же, скажем, что речь идет о раздаче этих яблок, при которой каждый должен получить по 50 штук, и тогда я слышу, что из этого ящика яблоки могут получить два человека. 101.

«100 яблок в ящике состоят из 50 и 50 яблок» — здесь важен вневременной характер глагола «состоять». Ибо он не означает, что 100 яблок сейчас или в течение какого-то времени состоят из 50 и 50. 102.

Что же тогда характерно для «внутренних свойств»? То, что они существуют всегда, неизменно, в том целом, которое они образуют как бы независимо от всех внешних событий. Подобно тому как конструкция машины на бумаге не ломается, хотя сама машина подвержена воздействию всех внешних сил. — Или же скажу так: конструкция на бумаге не подвержена воздействию ни ветра, ни иных погодных условий, как подвержены этому физические вещи; она же неуязвима как призрак. 103.

Когда мы говорим: «Это предложение следует из того», — то и глагол «следует» употребляется вневременно. (И это показывает, что данное предложение не выражает результата какого-то эксперимента. ) 104.

Сравни его с этим: «Белое светлее черного». Это выражение также вневременно и тоже выражает наличие внутреннего отношения. 105.

«Но это-то отношение налицо», — можно было бы сказать. Но вопрос в том, используется ли такое предложение и как используется. Ведь пока я знаю только то, что при этих словах в моем сознании возникает некая картина (но она не гарантирует мне использования данного выражения) и что сами эти слова составляют (немецкое) предложение. Однако бросается в глаза, что слова здесь использованы иначе, чем в обычном случае практически полезного высказывания. (Так, например, изготовитель колес может отметить, что его обычные утверждения о круглом и прямом иного рода, чем те, что мы находим у Евклида.) Говорим же мы: этот предмет светлее, чем тот, или же — цвет этой вещи светлее, чем той, и в этом случае есть нечто, что сейчас светлее и может впоследствии потемнеть.

Откуда же у нас такое чувство, будто фраза «Белое светлее черного» сообщает что-то о сущности обоих цветов? — Но правильно ли вообще поставлен вопрос? Что мы понимаем под «сущностью» белого и черного? Мы думаем, скажем, о «внутреннем», о «конституции», но в данном случае это не имеет никакого смысла. Мы, например, также говорим: «В белом заложено то, что оно светлее...» Разве картина белого и черного пятен

не служит нам одновременно и образцом того, что мы понимаем под словами «светлее» и «темнее», образцом «белого» и «черного»? Ну, а темнота заложена «в» черном постольку, поскольку оба эти качества представлены черным пятном. Оно темное в силу того, что оно черное. — Или, вернее говоря, это называется «черным», а тем самым в нашем языке и «темным». Такая связь, связь образцов и имен, закреплена в нашем языке. И наше предложение вневременно, потому что оно выражает лишь связь слов «белое», «черное» и «светлое» с некой парадигмой. Можно избежать недоразумений, пояснив, что бессмысленно гово- рить: «Цвет этого тела светлее, чем того»; это должно было бы означать: «Это тело светлее того». То есть первая форма выражения исключается из нашего языка.

Кому мы говорим: «Белое светлее черного»? Что мы этим кому-то сообщаем? 106.

А не могу ли я верить предложению геометрии и без доказательств, например по заверению другого? — И что утрачивает предложение, теряя свое доказательство? Здесь, пожалуй, нужно спросить: «Что с ним можно делать?», ибо это предмет моего интереса. Принять предложение на основании заверения другого — как это проявляется? Я могу, например, использовать его в дальнейших операциях вычисления или же при характеристике некоторой физической ситуации. Если, например, меня кто-то уверяет, что 13 х 13 дает 196 и я ему верю, то я удивлюсь, если не смогу разложить 196 орехов в 13 рядов по 13 орехов в каждом, и, может быть, предположу, что число орехов увеличилось само по себе.

Но я чувствую искушение сказать: нельзя верить, что 13 х 13 = 196; от кого-то другого это число можно воспринять только механически. Почему же не следует говорить, что я верю этому? Разве верить этому — некий таинственный акт, как бы связанный подспудно с правильным исчислением? В любом случае я все же могу сказать: «Я верю этому» — и затем действовать соответствующим образом.

Возможен вопрос: «Как поступает тот, кто верит, что 13 х 13 = 196?» И ответом может быть: ну, это зависит от того, например, производил ли он расчеты сам, совершив при этом описку, либо же их делал кто-то другой, сам же он знает, как производятся такие вычисления, — либо же он не умеет умножать, но знает, что произведением является число людей, которые расставлены в 13 рядов по 13 человек в каждом, — одним словом, действия зависят от того, что можно предпринять с уравнением 13 х 13 — 196. Ибо проверять это уравнение и значит осуществлять какие-то операции с ним. 107.

То есть если считать арифметическое уравнение выражением внутреннего отношения, то можно было бы сказать: «Вообще нельзя верить, что 13 х 13 дает это число, ведь если в конце уже стоит 196, это не произведение 13 и 13, не результат их умножения». Но это значит, что слово «верить» хотят применять не к случаю какого угодно вычисления и его результату, а только тог- да, когда располагают правильным вычислением. 108.

«Во что верит тот, кто верит, что 13 х 13 = 196?» — Как глубоко проникает он, опираясь, так сказать, на веру в соотношение этих чисел? Ведь он не может, сказал бы кто-то, постичь его до конца; иначе не могло бы быть речи о вере.

Но когда проникает он в отношения чисел? Как раз тогда, когда говорит, что верит...? Ты не будешь настаивать на этом — ибо легко заметить, что такая видимость порождена лишь поверхностной формой нашей грамматики (так это можно назвать). 109.

Я же хочу сказать: «Можно просто видеть, что 13 х 13 = 169 и притом быть не в состоянии верить в это. А можно — более или менее слепо — принять некое правило». А что совершаю я, говоря /это? Я провожу границу между вычислением с его результатом (то есть определенной картиной, определенным образцом) и опытом с его итогом. 110.

Я бы сказал: «Веря, что а х Ъ = с — а иногда я действительно в это верю и об этом говорю, — то я верю не в математическое предложение, поскольку оно стоит в конце доказательства, завершая его, но верю, что это формула, которая фигурирует там- то и там-то, получается таким-то и таким-то образом и т. п.» — И это звучит так, будто постигается процесс веры в такое предложение. В то время как я лишь предпринял робкую попытку указать на фундаментальное различие ролей арифметического и эмпирического предложений при существующем мнимом сходстве между ними. '

Да, я действительно говорю при определенных обстоятельствах: «Я верю, что а х Ь = с». Что я подразумеваю под этим? — То, что высказываю] Интересен вопрос: при каких обстоятельствах я говорю это и что для них характерно в противоположность обстоятельствам, сопутствующим такому высказыванию: «Я полагаю, что пойдет дождь»? Ведь нас занимает именно этот контраст. Мы стремимся к тому, чтобы получить некий образец употребления математических предложений и предложений типа «Я верю, что...», в которых какое-то математическое предложение является предметом веры. 111.

«Ты же не веришь в математическое предложение». — Это означает: «математическое предложение» выражает некую роль, функцию предложения, в которой нет места вере.

Сравни: «Говоря: „Я верю, что рокировка осуществляется вот так", — ты веришь не шахматному правилу, а, скажем, тому, что так гласит шахматное правило». 112.

«Нельзя верить, что умножение 13 х 13 дает 169, потому что результат принадлежит вычислению». — Что я называю «умножением 13 х 13»? Только ли правильный образец умножения, в конце которого стоит 169? Либо также и «ложное умножение»? Как устанавливают, что является образцом умножения 13x13? — Разве это не определяется с помощью правил умножения? — А что, если с помощью этих правил ты сегодня получишь нечто другое, отличное от того, что устанавливают все учебники арифметики? Разве такое невозможно? — «Нет, если ты применяешь правила так, как они применяются в учебниках арифметики». — Конечно, нет! Но это простой плеоназм. И где устанавливают, как их должно применять, если же об этом где-то и говорится, то где устанавливают, как применять именно это правило? А это значит: не только в какой книге, но и в какой голове? — Чем же в таком случае является умножение 13 х 13, или чем я должен руководствоваться при умножении: правилами или же умножением, фигурирующим в учебниках арифметики, если, скажем,

они не совпадают? — Но ведь фактически никогда не бывает так, чтобы тот, кто научился считать, в этом умножении упрямо получал какой-то другой результат, отличный от результата, предлагаемого нам в учебниках. А если бы такое стряслось с кем-то, то мы объявили бы его ненормальным и не обращали бы никакого внимания на его вычисления. 113.

«Но разве я не обязан продвигаться по цепи выводов так, как я это делаю?» — Обязан? Я же вполне могу продвигаться так, как мне хочется! — «Но если ты хочешь оставаться в согласии с правилами, ты должен идти так». — Вовсе нет; я называю это «соглашением». — «В таком случае ты изменил смысл слова „соглашение" или смысл правила». — Нет; кто устанавливает, что означают здесь понятия „изменять" и „остаться тем же самым"?

Сколько бы правил ты мне ни давал — я даю тебе некое правило, которое оправдывает мое применение твоих правил. 114.

Можно было бы сказать и так: если мы следуем законам (правилам) вывода, то следование всегда включает и интерпретацию, 115.

«Но ты же не можешь открыть вдруг другое применение этого закона!» — Если я на это отвечу: «Ах да, я же именно так его и применил!» или «Ах, вот как я должен его применить!»— то я включаюсь в игру. Если же я просто отвечу: «Другое? Да ведь оно вовсе не другое!» — что ты будешь делать? То есть некто может отвечать как разумный человек и вместе с тем не играть в нашу игру.

116. «Следовательно, согласно твоей точке зрения, каждый мог бы продолжить ряд, как ему вздумается, и умозаключать любым образом!» — Мы не будем тогда называть это «продолжением ряда», равно как и «умозаключением». И мышление, и умозаключение (как и счет), разумеется, характеризуются для нас.не произвольными дефинициями, а естественными контурами, внутреннему пространству которых соответствует то, что можно назвать ролью мышления и умозаключения в нашей жизни. Ведь мы согласны с тем, что законы вывода не принуждают нас говорить или писать то-то, как рельсы принуждают поезд катиться по ним. А на твое заявление, что кто-то, говоря это, может этого не думать, я лишь отвечу: это не означает, что ему при всем старании не удается думать об этом; существенной составляющей «мышления» является для нас то, что — в речи, письме и т. д. — он делает такие переходы. И добавлю, что граница между тем, что мы все еще называем словом «думать», и тем, что мы уже так не называем, проведена столь же нежестко, как и граница между тем, что еще называется «закономерностью», и тем, что уже так не зовется.

Тем не менее можно сказать, что законы вывода вынуждают нас действовать определенным образом, вынуждают в таком же смысле, как и другие законы в человеческом обществе. Клерк, делающий вывод тем способом, что описан в случае (17), должен поступать именно так; его бы наказали, если бы он делал умозаключение иначе. Кто умозаключает иначе, тот всегда вступает в конфликт, скажем, с обществом; а также сталкивается с другими нежелательными практическими последствиями. Есть некий смысл и в заявлении: он может этого не думать. Так иногда хотят сказать: он может не наполнять это личностным содержанием, может действительно не прилагать к этому весь свой ум, свое «я». Такая ситуация аналогична случаю, когда говорят: данный звуковой ряд не имеет смысла, я не могу пропеть его с выражением. Не могу личностно отозваться на него. Или — что сводится к тому же — он мне несозвучен. «Говорить так, если он это говорит, он может — скажем —лишь бездумно». И здесь нужно лишь отметить, что «бездумная» речь, пожалуй, действительно иногда отличается от иной тем, что происходит с представлениями и ощущениями говорящего в процессе речи; но это сопровождение не есть мышление, а его отсутствие еще не есть «бездумность». 117.

В какой мере логический аргумент является своего рода принуждением? — «Если ты признаешь это и это, то ты должен также признать и это]» Это способ принудить кого-то. То есть так можно фактически заставить людей признать нечто. — Точно так же как заставляют кого-то пойти туда-то, указывая это место повелевающим движением пальца.

Представь, что я показываю в одном случае двумя пальцами одновременно в двух различных направлениях и предоставляю кому-то решать идти в том направлении, какое он предпочтет, а другой раз я показываю пальцем только в одном направлении: данную мысль можно также выразить следующим образом: мой первый приказ не принуждал идти в одном направлении, в то время как второй принуждал. Но такое высказывание должно сообщать, какого типа был мой приказ, а не как он подействовал, принудил ли он фактически кого-нибудь его выполнить, то есть послушались ли его. 118.

На первый взгляд эти размышления должны показать, что то, «что кажется логическим принуждением, в действительности является только психологическим принуждением» — однако тут возникает вопрос: знакомы ли мне в таком случае оба вида принуждения?! —

Представь себе, что употреблялось бы выражение: «Закон... карает убийцу смертью». Оно могло бы просто означать, что так сформулирован данный закон. Но поскольку закон — средство, с помощью которого виновному выносится приговор, то сама форма его выражения как бы способна принуждать. — Так, мы говорим о «неумолимости» тех, кто наказывает кого-то. И тут нам может прийти на ум фраза: «Закон неумолим — люди могли бы отпустить виновного, закон казнит его». (И даже: «Закон всегда казнит его».) — Для чего используются такие формы выражения? — Прежде всего это предложение говорит нам только то, что закон гласит то-то, а люди иногда не руководствуются им. Но затем рассматриваемое предложение как бы дает нам образ одного неумолимого судьи и многих менее суровых судей. Вот почему оно служит выражением уважения к закону. Наконец, эта форма выражения может быть использована и таким образом: закон называют «неумолимым», когда он исключает возможность помилования, в противном же случае его характеризуют, скажем, как закон, «предусматривающий смягчающие обстоятельства». Далее, мы говорим о «неумолимости» логики и думаем о логичес- ких законах как о неумолимых, еще более неумолимых, чем законы природы. Мы обращаем тут внимание на то, что слово «неумолимый» используется по-разному. Нашим логическим законам соответствуют очень общие факты повседневного опыта. Это те факты, которые позволяют нам всегда доказывать такие (логические) законы очень простым способом (с помощью чернил на бумаге, например). Их следует сравнить с фактами, которые делают измерение линейкой легким и полезным. Эти процедуры предполагают употребление именно этих законов вывода, и теперь уже мы становимся неумолимыми в применении этих законов. Потому что мы «измеряем», а измерению присуще то, что все пользуются той же самой мерой. Кроме того, можно отличать неумолимые, то есть однозначные, правила вывода от неоднозначных — я имею в виду такие, которые открывают перед нами альтернативы.

119. «Я же могу выводить только то, что действительно следует». То есть то, что действительно выдает логическая машина. Логическая машина — это как бы всепроникающий эфирный механизм. — Следует остерегаться такого образа.

Представь себе материал более жесткий и твердый, чем любой другой. Но если стержень из этого материала переводится из горизонтального положения в вертикальное, то он сжимается; или же гнется, когда его выпрямляют, при этом он так тверд, что его нельзя согнуть никаким другим способом. (Механизм, изготовленный из этого материала, скажем кривошип, шатун, ползун. Различные движения ползуна.)

Или же: стержень сгибается, когда к нему приближают определенную массу; по отношению же ко всем силам, с помощью которых мы воздействуем на него, он полностью сохраняет свою жесткость. Представь себе, что направляющие ползуна изгибаются, а затем снова выпрямляются в зависимости от приближения или удаления кривошипа. Но я допускаю, что для этого эффекта здесь не нужно никакой внешней силы. Такое поведение направляющих создавало бы впечатление как бы о неких живых существах. Допустим, мы говорим: «Если бы части этого механизма были абсолютно жесткими, то они бы двигались вот так», — каков же тогда критерий их абсолютной жесткости? Состоит ли он в том, что части механизма противостоят некоторым силам? Или же в том, что они движутся таким образом?

Предположим, я говорю: «Это закон движения кривошипа (ска- жем, корреляция его положения с положением шатуна), когда длина кривошипа и длина шатуна постоянны». Это может означать: если относительные положения кривошипа и ползуна сохраняются, то я говорю, что длина шатуна остается постоянной. 120.

«Если бы части механизма были абсолютно жесткими, то они двигались бы вот так» — это гипотеза? По видимому, нет. Ибо если мы говорим: «Кинематика описывает движение механизма, делая допущение, что его части абсолютно жесткие», — то мы, с одной стороны, признаем, что этого никогда не бывает в действительности ; с другой стороны, не подвергаем никакому сомнению, что абсолютно жесткие части двигались бы именно таким образом. Но откуда эта уверенность? Тут дело не в уверенности, а в условно принятом допущении. Мы не знаем, двигаются ли жесткие (согласно таким-то критериям) тела так-то; но (при некоторых обстоятельствах) бесспорно назвали бы «жесткими» те части, которые двигались бы таким образом. Всегда помни: в геометрии (или кинематике), рассуждая об одинаковой, или постоянной, длине, этим не характеризуют метода измерения. Следовательно, если мы назовем кинематику, скажем, учением о движении абсолютно жестких частей машины, в нашем определении будет заложено, с одной стороны, указание на (математический) метод: мы определяем некоторые расстояния в качестве длин частей машины, — длин, которые, не изменяются; с другой стороны — указание на применение исчисления. 121.

Жесткость логического долженствования. Что, если бы кто- то сказал: «долженствование» в кинематике значительно жестче, чем причинное «долженствование», побуждающее одну часть машины двигаться так, когда другая ее часть движется этак? — Представь, что мы запечатлели движение «абсолютно жесткого» механизма с помощью кинематографического изображения — рисованный фильм. Если бы об этом изображении говорилось как об абсолютно жестком, в это вкладывалось бы следующее значение: мы приняли это изображение за способ представления, каковы бы ни были факты, как бы ни сгибались или ни расширялись части реального механизма. 122.

Машина (ее конструкция) как символ ее образа действия: машина — прежде всего хочется сказать — как бы уже заключает в себе свой собственный образ действия. Что это значит? — Кажется, что, зная машину, мы совершенно определенно представляем себе и все остальное, движения, которые она совершает.

«Мы говорим так, словно эти части моглут двигаться только таким образом и не могут действовать по-другому». Как? — Разве мы забыли о том, что она может деформироваться, сломаться, расплавиться и т. п.? Да, во многих случаях мы совсем не думаем об этом. Мы используем машину или картину машины в качестве символа определенного рода действий. Например, даем кому-нибудь такую картину и предполагаем, что он сделает из нее вывод о движении частей машины. (Так, мы можем сообщить кому-нибудь число, сказав при этом, что оно является двадцать пятым в ряду 1, 4, 9, 16,...)

Высказывание «Представляется, что машина уже в самой себе содержит свой образ действий» означает: ты склонен сравнивать будущие движения машины по их предопределенности с предметами, которые уже лежат в шкафу и вынимаются нами оттуда. Но мы не говорим так, если речь идет о предсказании действительного поведения какой-либо машины; тут, как правило, мы не забываем о возможности деформации частей и т. д. Однако бывает, что так говорят, если удивлены тем, что можно использовать машину в качестве символа некоего способа движений, при том что она ведь может двигаться и совершенно иначе. Ну, а мы могли бы сказать, что машина или ее картина служит началом серии картин, которые мы научились выводить из этой исходной.

Но если вспомнить, что машина могла бы двигаться и иначе, то вполне может показаться, что в машине-символе способ ее действия содержится с еще большей определенностью, чем в реальной машине. Тут недостаточно, чтобы соответствующие движения были опытно предсказуемы: они словно уже должны — в некоем таинственном смысле — действительно присутствовать. И это совершенно верно: движение машины-символа предопределено в ином смысле, чем движение любой данной реальной машины. 123.

«Кажется, будто все случаи употребления слова можно схватить мгновенно». — Как что, например? — Разве они — в определенном смысле — не могут быть схвачены мгновенно? АВКЙ- ком смысле ты не можешь сделать этого? Здесь кажется, будто возможно схватить все случаи употребления слова мгновенно в еще более прямом смысле. А есть ли у тебя для этого некая модель? Нет. Только форма выражения подсказывает это. В результате перекрестных сравнений. 124.

У тебя нет модели для этого чрезвычайного факта, но ты ис- пытываешь искушение использовать некое сверхвыражение. 125. Когда же в таком случае люди думают, будто машина неким таинственным образом уже содержит в себе свои возможные движения? — Ну, когда философствуют. А что приводит нас к тому, чтобы так думать? Тот способ, каким мы говорим о машине. Мы говорим, например, что машина имеет такие-то возможности движения (обладает ими): мы говорим об идеально жесткой машине, которая может двигаться лишь таким образом. Возможность движения, что это такое? Возможность движения не есть движение; кажется, она не является и простым физическим условием движения, например наличием некоторого зазора между гнездом и цапфой, когда цапфа не слишком плотно входит в гнездо. Ведь хотя это и является эмпирическим условием движения, но можно представить себе дело и иначе. Возможность движения должна быть некоей теньюсамого движения. А знаешь ли ты такую тень? Да я не подразумеваю под тенью какую-то картину движения; ведь такая картина не обязательно была бы картиной именно этого движения. Но возможность этого движения должна быть возможностью именно этого движения. (Смотри-ка, как высоко вздымаются здесь волны языка!)

Однако волны тут же улягутся, стоит нам только спросить себя: как мы используем выражение «возможность движения», говоря о машине? А откуда тогда приходят к нам эти странные идеи? Ну, я показываю тебе возможность движения, скажем, с помощью некоего изображения движения: «Итак, возможность есть нечто подобное действительности». Мы говорим: «Это еще не движется, но уже имеет возможность двигаться»; «Значит, возможность есть нечто весьма близкое действительности». Хотя мы и можем сомневаться, возможно ли это движение при тех или иных физических условиях, но мы никогда не спорим о том, является ли это возможностью этого или того движения: «Следовательно, возможность движения имеет совсем особое отношение к самому движению, более тесное, чем отношение картины к ее предмету», ибо можно сомневаться, является ли такая картина изображением того или иного предмета. Мы говорим: «Опыт покажет, дает ли это зубцу такую возможность движения», — но мы не говорим: «Опыт покажет, является ли это возможностью этого движения»; «Стало быть, то, что эта возможность является возможностью как раз этого движения, не эмпирический факт».

Мы обращаем внимание на наши собственные способы выраже- ния по поводу этих вещей, но не понимаем их и ложно толкуем. Философствуя, мы поступаем как дикари, как примитивные люди, которые слышат способы выражения цивилизованных людей, ложно истолковывают их и затем извлекают из этого странные следствия.

Представь себе, что некто не понимает нашу форму глагола прошедшего времени в предложениях типа: «Он был еще жив».

Этот некто заявляет: «„Он еще жив" — это настоящее время; следовательно, данное предложение говорит о том, что прошедшее в некотором смысле является настоящим». 126.

«Да я имею в виду не то, что сейчас (при понимании) причинно и эмпирически определяет будущее употребление; но то, что неким странным образом само это употребление в каком-то смысле уже дано». — Но в «некотором смысле» оно, безусловно дано! (Ведь говорим же мы: «События прошлых лет живы во мне».) Собственно говоря, в том, что ты сказал, неверно лишь выражение «странным образом». Остальное все правильно; странным же предложение кажется только тогда, когда его представляют в другой языковой игре — не в той, где мы его фактически употребляем. (Кто-то рассказывал мне, что, будучи ребенком, он удивлялся тому, как это портной «шьет платье», — он думал, что это означает, будто платье возникает путем одного только шитья, то есть как бы подшиванием одной нити к другой.) 127.

Непонятное употребление слова толкуется как выражение какого-то странного процесса. (Аналогично тому, как время представляется странной средой, а душа странной сущностью.)

Во всех этих случаях трудность возникает из-за смешения глаголов «быть» и «называться». 128.

Связь, полагаемая не как причинная, эмпирическая, а как значительно более сильная и прочная, вплоть до того, что одно в каком-то отношении есть другое, всегда представляет собой грамматическую связь. 129.

Откуда я знаю, что этот образ — мое представление о Солнце? — Я называю ее представлением о Солнце. Я употребляю ее как образ Солнца. 130.

«Кажется, будто возможно все случаи употребления слова понять в одно мгновение». — И мы говорим, что делаем это. То есть иногда мы описываем то, что делаем, именно этими словами. Но в том, что происходит, нет ничего удивительного, ничего странного. Странное возникает тогда, когда что-то побуждает нас считать, будто дальнейшее развитие уже должно как-то присутствовать в акте его понимания, и тем не менее оно в нем не дано. — Ведь мы говорим, что, несомненно, понимаем слово... но, с другой стороны, его значение заключено в его употреблении. Нет никакого сомнения в том, что я сейчас хочу играть в шахматы; но шахматы есть особая игра в силу всех ее правил (и т. д.). Разве я не знал, в какую игру хотел играть, до того, как сыграл? Или же в моем акте намерения уже содержались все правила? Разве опыт учит меня, что за этим актом намерения обычно следует этот вид игры? Выходит, невозможно быть уверенным в том, что намереваешься делать? И если это бессмыслица, то какая сверхсильная связь существует между актом намерения и тем, что

намереваются сделать? Где осуществляется связь между

смыслом фразы «Сыграем партию в шахматы!» и всеми правилами игры? — В перечне правил игры, в обучении игре, в повседневной практике игры. 131.

Логические законы, конечно, выражают «мыслительные навыки», но также и навык мыслить. То есть можно сказать, они показывают, как люди мыслят, а также что они называют словом «мыслить». 132.

«Для человека... невозможно признать, что некий предмет отличен от самого себя» 4. — ФРЕГЕ называет ЭТО «законом того, что люди принимают за истинное». Думая о том, что для меня это невозможно, я мысленно пытаюсь это сделать. Так, я смотрю на свою лампу и говорю: «Эта лампа отлична от себя самой». (Но ничего от этого не меняется.) Я не считаю, например, что это — ложное положение, но не нахожу ему никакого применения. (Исключая случай, когда эта лампа мерцает в солнечном свете; для выражения этого обстоятельства такое предложение вполне уместно.) И можно самому биться в мыслительных судорогах, в каких бьется человек, пытаясь безуспешно мыслить невозможное. Так же как можно действительно пытаться (тщетно) просто усилием воли привлечь к себе предмет с некоторого расстояния (делая при этом, например, определенные гримасы, как бы пытаясь выражением лица дать понять предмету, что он должен подойти сюда.) 133.

Предложения логики есть «законы мысли», «потому что они выявляют сущность человеческого мышления» — или, говоря точнее: потому что они выявляют или показывают суть, технику мышления. Они показывают, что такое мышление, а также виды мышления. 134.

Представь себе такую странную возможность: до сих пор мы всегда ошибались при умножении 12 х 12. Да, непонятно, как такое могло случиться, но это случалось. Значит, все вычисленное

таким способом ложно! Но какое это имеет значение? Да

никакого! — В таком случае должно быть что-то не так в нашей идее истинности и ложности арифметических предложений. 135.

Так выходит, что ошибиться в таком вычислении невозможно? А что, если меня вводит в заблуждение дьявол, так что я, продвигаясь в вычислении шаг за шагом, всякий раз что-то упускаю из виду? А очнувшись от зачарованности, говорю: «Да, я был слеп!» — Но какая мне разница, если я это «принимаю»? Я бы мог тогда сказать: «Да, да, вычисление, конечно, неверно, но так я вычисляю, и вычислением я теперь называю это, а вот это — „суммой этих двух чисел"». 136.

Представь себе, что кто-то зачарован настолько, что подсчитал:

1 234 56 7 89 10 т. е. 4x3 + 2= 10.

Теперь тот, кто считал, должен применить свое вычисление. Он берет 4 раза по 3 ореха и затем еще 2 ореха. После этого он распределяет их между 10 людьми, и каждый получает один орех: ибо он распределяет их в соответствии с дугами расчета, а коль скоро дает кому-нибудь второй орех, этот орех исчезает. 137.

Можно также сказать: в доказательстве ты движешься от одного предложения к другому; но приемлешь ли ты и контроль за тем, правильно ли ты двигался? — Или же ты только говоришь: «Это должно быть правильно» — и измеряешь все другое предложением, которое получаешь? 138.

Ибо если это так, то ты движешься лишь от образа к образу. 139.

Могло бы оказаться практичным пользоваться для измерения линейкой, обладающей свойством — при переносе ее из одного помещения в другое — сжиматься в длину, скажем наполовину. Свойство, которое при других обстоятельствах сделало бы ее бесполезной в качестве линейки.

При определенных обстоятельствах могло бы быть практичным опускать цифры при подсчете некоторого ряда; считать так: 1,2,

4, 5, 7, 8, 10. 140.

Что происходит, когда кто-то пытается совместить некоторую форму с ее зеркальным отражением, перемещая ее в плоскости, а это ему не удается? Он накладывает их различным образом друг на друга, смотрит на части, которые не совпадают, и, неудовлетворенный, возможно, говорит: «Но это должно удасться», — затем вновь накладывает фигуры друг на друга.

Что происходит, когда кто-то пытается поднять тяжесть и это ему не удается, потому что вес слишком большой? Он принимает ту или иную позу, хватается за тяжесть, напрягает определенные мускулы и отказывается от своей попытки, возможно выказывая какие-то признаки неудовольствия.

В чем обнаруживается геометрическая, логическая невозможность решения первой задачи?

«Во втором случае действующий все-таки может показать на какой-то модели или другим образом, как выглядит то, к чему он стремится». — Но он утверждает, что может это сделать и в первом случае, накладывая две подобные конгруэнтные фигуры друг на друга так, чтобы они совпадали. — Что тут следует сказать? Что эти два случая различны? Но различны также образ и действительность во втором случае. 141.

Собственно, мы предлагаем здесь замечания о естественной истории человека: не сообщения о курьезных случаях, а констатации фактов, в которых никто не усомнился и которые ускользают от внимания лишь потому, что постоянно происходят у нас на глазах. 142.

Мы учим кого-то методу деления орехов между людьми, одна часть этого метода — умножение двух чисел в десятичной системе. Мы учим кого-то строить дом, при этом обучая его и тому, как обеспечить достаточное количество материалов, например досок, а для этого знакомим его с техникой счета. Техника счета — часть техники строительства дома.

Люди складывают и продают бревна; штабеля замеряются метром, показатели длины, ширины и высоты умножаются, а результат умножения и есть то количество денег, которое запрашивают и платят за бревна. Люди не знают, «почему» случается так, они просто ведут себя таким образом: так это делается. — Разве эти люди не считают? 143.

Когда считаешь таким образом, надо ли высказывать какое- то «арифметическое предложение»? Конечно, мы учим детей таблице умножения в форме кратких положений, но существенно ли это? Почему бы им просто не научиться считать? А если они это умеют, то разве они в таком случае не выучили арифметику? 144.

А в каком отношении находится тогда обоснование процесса счета к самому счету? 145.

«Да, я понимаю, что это предложение следует из этого». — Понимаю ли я, почему оно следует, или же только что оно следует? 146.

Предположим, я сказал: покупатели платят за бревна на основе вычисления; они принимают вычисление за доказательство того, что должны платить столько-то. — Но это же просто описание их действий (их поведения). 147.

Продавцы бревен, сказали бы мы, продают их в кубических

метрах но правы ли- они, л о ступая так? Разве не было бы

более правильным продавать их на вес, или по времени, затраченному на рубку леса, или по труду лесорубов, замеряемому по их возрасту и силе? А почему бы не назначить цену, независимую от всего этого: каждый покупатель отсчитывает одну и ту же сумму, безотносительно к тому, сколько бревен он берет (скажем, люди решили, что можно жить и так). И есть ли какие-нибудь возражения против отдачи леса даром? 148.

Хорошо; а что, если бревна сложены в штабеля произвольной, различной высоты, а затем продаются по цене, пропорциональной площади, занимаемой штабелями?

И как быть, если такая процедура продажи обосновывается словами: «Но ведь тот, кто покупает больше дерева, должен и платить больше»? 149.

Как показать этим людям, что на самом деле — выражусь так — не тот покупает больше дерева, кто покупает штабель, размещенный на большей площади? — Я взял бы, например, по их понятиям, малый штабель, и перекладкой бревен превратил бы его в «большой». Это могло бы их убедить, но, пожалуй, они бы сказали: «Да, теперь здесь больше дерева, и оно стоит больше», — и с этой проблемой было бы покончено. — В этом случае мы бы, вероятно, сказали, что под словами «больше дерева» и «меньше дерева» они понимают просто не то же самое, что мы; и что у них совсем другая система оплаты, чем у нас. 150.

(Сообщество, действующее таким образом, вероятно, напомнило бы нам «умника» из сказки. ) 151.

В предисловии к Основным законам арифметики ФРЕГЕ ГО- ворит: «...здесь мы имеем доселе незнакомый вид безумия», — но он не указал, как реально выглядело бы это «безумие». 152.

В чем состоит согласие людей относительно признания той или иной структуры в качестве нового доказательства? В том, что они используют слова как язык! Как то, что мы называем «языком». Представь себе людей, пользующихся в обращении деньгами , — монетами, которые выглядят как наши монеты, отчеканенные из

золота или серебра; и они тоже отдают их за товары. Но

каждый предлагает за них столько, сколько ему хочется, а продавец не отпускает покупателю больше или меньше товара в соответствии с полученной от него суммой. Одним словом, эти деньги или то, что выглядит как деньги, играют у них совсем иную роль, чем у нас. Мы чувствовали бы себя значительно менее родственными этим людям, чем людям, которые еще вообще незнакомы с деньгами и практикуют примитивный вид товарообмена. — «Но монеты этих людей тоже имеют какой-то смысл!» — Тогда все, что делают люди, имеет какой-то смысл? Скажем, религиозное действие. —

Вполне возможно, что мы были бы склонны называть людей, ведущих себя так, безумными. Но мы же не называем безумными всех, кто ведет себя подобным образом в формах нашей культуры, «бесцельно» употребляя слова. (Подумай о коронации короля!) 153.

Доказательство требует ясности. Если бы ясно не просматривался процесс, с помощью которого получен результат, все же можно было бы заметить, что получается это число, — но что должно мне это подтвердить? Я не знаю, «что должно было получиться». 154.

Возможно ли, что сегодня люди, просмотрев наши вычисления, были бы удовлетворены результатами, но завтра захотели бы извлечь из них совсем другие выводы, а в какой-то иной день опять другие?

А разве нельзя представить себе, что это происходит закономерно, что если человек раз сделал этот переход, то в следующий раз он именно поэтому сделает другой и потому же (скажем) в последующий раз вновь первый? (Как если бы в некотором языке цвет, который один раз назывался «красным», по этой причине назывался бы иным именем следующий раз и снова «красным» после этого и т. д.; это могло бы быть так естественно для людей. Это можно было бы назвать потребностью в перемене.) [Замечание на полях: вечны ли и неизменны ли наши законы вывода?] 155.

Разве дело обстоит не так: коль скоро человек мыслит, он делает логические выводы, иначе быть не может.

Это, по-видимому, означает: коль скоро то-то не ставится под сомнение вообще.

Шаги, которые не ставятся под сомнение, — логические выводы. Но они бесспорны не потому, что «безусловно соответствуют истине» — и т. п., — а именно потому, что как раз это называют словами «мыслить», «говорить», «умозаключать», «аргументировать». Здесь совсем не идет речь о каком-то соответствии высказываемого реальному; скорее, логика предваряет любое такое соответствие в том же самом смысле, в каком установление метода измерения предваряет правильность или ошибочность того или иного утверждения о длине. 156.

Установлено ли экспериментально, что одно предложение можно вывести из другого? — Кажется, что да! Ведь я записываю определенную последовательность знаков, руководимый определенными парадигмами, при этом, конечно, существенно, чтобы я не пропустил никакого знака или не потерял его каким-то иным способом. А о том, что получается в этом процессе, я говорю, что оно следует. Против данного положения есть такой аргумент: если 2 яблока, прибавленных к 2, дают только 3 яблока, то есть если имеется 3 яблока после того, как я положил 2 и вновь 2 яблока, то я не говорю: «Стало быть, 2 + 2 не всегда 4», — но говорю: «Одно яблоко, должно быть, каким-то образом исчезло». 157.

Но каким образом я провожу эксперимент, если просто следую уже записанному доказательству? Можно сказать: «Когда ты смотришь на эту цепь преобразований — разве тебе не кажется, что они согласуются с парадигмами?» 158.

Следовательно, если это должно быть названо экспериментом, то, пожалуй, экспериментом психологическим. Ибо видимость согласования может, конечно, основываться на обмане чувств. И так иногда происходит, когда мы ошибаемся в расчетах. Итак, некто говорит: «Это мой результат». А то, что показывает, что это мой результат, пожалуй, представляет собой некий эксперимент. 159.

Можно сказать: результат эксперимента таков, что я в конце, в результате доказательства я убежденно говорю: «Да, это верно». 160. Является ли расчет своего рода экспериментом? — Является ли неким экспериментом мое вставание с кровати по утрам? Разве оно не могло быть экспериментом, который должен показать, ил en. ли я после стольких-то часов сна достаточно сил, чтобы подняться?

И чего не хватает этому действию для того, чтобы быть экспериментом? Только того, что оно не служит этой цели, то есть произведено не для такого исследования. Нечто становится экспериментом вследствие его особого применения.

Является ли эксперимент, в котором наблюдают ускорение свободно падающего тела, физическим или же психологическим экспериментом, показывающим, что люди видят при таких обстоятельствах? А не может ли он быть и тем и другим? Разве он

не зависит от обстановки, окружения, в которой его проводят; от того, как мы действуем, что говорим? 161.

Если какое-то доказательство и понимают как эксперимент, то уж, во всяком случае, результатом эксперимента будет не то, что называют результатом доказательства. Результат вычисления — его итоговое предложение, результатом же эксперимента является то, что от этих предложений по этим правилам я был подведен к этому предложению. 162.

Однако нас интересует не то, что те или иные (или все) люди фактически следуют этому правилу (или прошли этим путем); нам представляется само собой разумеющимся, что люди — «если они мыслят правильно» — идут таким путем. Нам дается некий уже проложенный путь, как бы протоптанный теми, кто прошел этим путем. Теперь же по этому пути осуществляется движение с разными целями. 163.

Опыт, конечно, учит меня, как осуществляется вычисление; но это еще не основание для его принятия. 164.

Я усвоил опытным путем, что результат, получившийся на этот раз, — это то, что получается обычно; но об этом ли говорит предложение математики? Я знаю по опыту, что прошел этим путем. Но является ли это математическим высказыванием? — И что оно говорит? В каком отношении находится оно к этим эмпирическим суждениям? Математическое высказывание имеет силу правила.

В таком случае верно, что математика есть логика; она движется По правилам нашего языка. И это придает ей особую прочность, особое и неприступное положение.

(Математика закладывается на уровне эталонных образцов.) 165.

Но как тогда она крутится туда-сюда в пределах этих пра- вил? — Она постоянно создает все новые и новые правила: прокладывает все новые пути для движения, расширяя сеть старых. 166.

Разве она не нуждается для этого в некой санкции? Может ли она развивать сеть правил произвольно? Что ж, я мог бы сказать: математик постоянно находит все новые формы представления. Некоторые из них вызываются практическими потребностями, другие — эстетическими и еще многими другими. А представь-ка себе планировщика парка, разбивающего в нем дорожки; вполне может быть, что он прочерчивает их лишь как линии орнамента и совсем не думает о том, что кто-то по ним будет ходить. 167.

Математик — изобретатель, а не открыватель. 168.

Мы знаем по опыту, что если отсчитываем что-нибудь на пальцах руки или же используем для этого группу предметов такого вида: ПІЦ — произнося: Я, Ты, Я, Ты и т. д., то первое сло- во;будет таким же, как и последнее. «Ну, а разве не должно быть именно так?» — Разве нельзя представить себе, что кто-то видит группу IIIII (например) как группу IIIII, в которой средняя черточка как бы сплавлена из двух и считается дважды? (Правда, это необычный случай. —) 169.

А если я впервые привлекаю чье-то внимание к тому, что результат счета предопределен заранее, и он это понимает и говорит: «Да, конечно, так и должно быть»? Что это за тип знания? — Например, он начертил для себя схему:

Я Т Я Т Я

I I I I I

И его рассуждение, скажем, таково: <<Вот что происходит, когда я отсчитываю. — Следовательно, должно...»

<< | >>
Источник: Витгенштейн Л.. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ, статья М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство «Гнозис».. 1994

Еще по теме ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ I Около 1937-1938:

  1. Глава 2 МИФ О «БОЛЬШОМ ТЕРРОРЕ» 1937—1938 ГОДОВ
  2. Книга шестая ВОЙНА НА ИСТОЩЕНИЕ Декабрь 1937 — ноябрь 1938
  3. Первый период войны (июль 1937 г. октябрь 1938 г.)
  4. Проблемы оснований математики.
  5. Из истории математики. Поиск оснований.
  6. Кризис логических оснований математики.
  7. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ (К публикации заметок Л. Витгенштейна)
  8. Жуков Н.И.. Философские основания математики Мн.: Университетское.- 110 с., 1990
  9. От кризиса оснований математики к феноменологии Гуссерля
  10. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА „ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ" (для студентов)
  11. И. А. Ильин. Основы христианской культуры. 1937, 1937
  12. «Отдадим честь уроку математики», или Диалоги на математике Ольга КУЗНЕЦОВА, Светлана ПЕТРЕНКО