<<
>>

Сближение .математики с логикой. Становление математической логики.

Возрас-тание абстрактности мышления и повышенные требования к строгости постепенно сближали математику с такой дисциплиной, как логика. Известно, что в математике раньше, чем в других науках, был разработан и успешно применен искусственный символический язык, позволивший выражать математическое рассуждение в виде формального преобразования некоторых исходных формул по определенным правилам.
В первой половине XIX в. было осознано, прежде всего в алгебре, что один и тот же формальный язык можно относить к разным математическим объектам. Это наводило на мысль о еще более широкой применимости буквенного языка к объектам любого рода. «С развитием алгебры,— отмечает БУРБАКИ,— не могла не поразить аналогия между правилами формальной логики и правилами алгебры, применяемыми в том и другом случаях к неконкретизируемым далее объектам (предложениям или числам)» 17. И с середины XIX в., когда эта аналогия была осознана, начала создаваться математическая, или символическая, логика, разработка которой связана с именами БУЛЯ, МОРГАНЯ, ДжЕвонса, Пирса, ПЕАНО, ІІІРЕДЕРа, ПОРЕЦКОГО, ФРЕГЕ и ряда других математиков. Известно, что традиционной логической теории не хватало формальной строгости. К тому же ее формулы выражали лишь субъектно-предикатные суждения, оставляя без анализа отношения. Развивающаяся наука нового времени не скрывает неудовлетворенности АРИСТОТЕЛЄВСКОЙ ЛОГИКОЙ. Другие же логические доктрины были мало известны. Но вот с середины XIX в., с внедрением математических методов, наступает ренессанс формальной логики. По словам РАССЕла, с 1850 г. в формальной логике в каждое десятилетие достигается больше, чем за весь период от АРИСТОТЕЛЯ ДО ЛЕйвница 18. Математическая логика, общие идеи которой были высказаны еще ЛЕЙБНИЦЄМ, отличалась от традиционной аристотелевской логики, доминировавшей в западном мышлении около 2000 лет, более последовательным применением искусственной символики (не только для обозначения логических переменных, как у АРИСТО ТЕЛЯ, но и логических постоянных) и повсеместным применением метода формализации.

Первый этап становления символической логики называют периодом алгебры логики.

Введя в логику вместо обычного языка систему символов, ирландский математик Дж. БУЛЬ И его последователи Э. ШРЕДЕР И П. ПОРЕЦКИЙ заменили суждения уравнениями, а процесс дедуктивного умозаключения — решением логических равенств. Введя символику, в которой все переменные обозначали классы, Буль построил строго доказуемую систему формул, применимую к классам и их отношениям. Впоследствии через обобщения этой системы была создана общая логическая теория отношений (МОРГАН, ПИРС И др.). Логические связи между суждениями и понятиями были выражены в математических формулах, а получение логических следствий предстало как формальное преобразование исходных формул по фиксированным правилам. Такое применение математического формализма позволило существенно раздвинуть рамки традиционной формальной логики.

Исследования по математической логике на первых порах производились вне связи с основными направлениями чисто математических исследований. Многие математики о них, как правило, просто не знали или же не осознавали их значения. Между тем потребность в применении логики и расширении ее средств была столь настоятельной, что математики вынуждены были прийти к логике еще с одной стороны — по линии теории множеств. В Лекциях по алгебре логики ШРЕДЕРа (1890, 1895) теория множеств и алгебра логики во многом слились в нечто единое. Этот огромный труд подытожил развитие математической логики XIX столетия и открыл широкие горизонты для исследований XX в.

Сближению математической теории множеств с логикой способствовала невиданная еще в истории математики степень абстрактности новой дисциплины. Уже у Клнтора многие понятия относились к всевозможным объектам мышления (понятия множества, подмножества, взаимооднозначного соответствия, мощности и т. д.) и вследствие этого ставились в один ряд с общелогическими понятиями. У ДЕДЕКИвда операции над множествами и законы этих операций превратились в формально-логические операции и их законы. Этот процесс сближения теории множеств с логикой углублялся и далее.

Сведение математики к арифметике, обоснование последней с помощью абстрактной теории множеств, понятия которой ранвозначны по своей общности с понятиями логики, означало выход к логическому обоснованию математики. Этому немало способствовали успехи самой логики. Выдающееся место в ее развитии принадлежит Основаниям арифметики и Основным законам арифметики;, полученным при помощи исчисления понятий Г. ФРЕГЕ, А также ряду работ ПЕАНО, Пирса и других математических логиков. Новая ло гика привлекает все большее внимание математиков, столкнувшихся в ходе исследований по основаниям математики с рядом собственно логических проблем. Это — задача логического обоснования числа как фундаментального понятия всей математики, вопросы непротиворечивости, независимости и полноты аксиоматики и др.

Использование идей математической логики для систематизации и обоснования математики знаменовало начало второго периода развития символической логики в отличие от первого периода, который характеризовало применение математики к логике.

Одной из главных идей нового периода, получившего название «логистики», была мысль об изложении оснований математики на языке логики, что диктовалось возросшей необходимостью более строгого обоснования результатов математических исследований. Перед лицом этой задачи существенной перестройке подвергается сама логика. В этот период различные логические исчисления объединяются во всеохватывающую систему символической логики. Принципы и теоремы логики удается вывести из минимального набора аксиом. Так ФРЕГЕ осуществил дедуктивное аксиоматическое построение самой математической логики, придав ей вполне современный вид (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Иными словами, происходит дальнейшая формализации самой логики. Она принимает вид системы символов, допускающих определенные преобразования на основе четко сформулированных правил. Осуществляется синтаксический подход к логике. Она рассматривается как язык. Формируется мощный аппарат формализованного логического анализа.

Если в предыдущий период символическая логика мыслилась как отрасль математики, то теперь, наоборот, доминирует идея выводимости математики из логики. Крупнейший немецкий математик и логик ФРЕГЕ применяет математическую логику в качестве метода обоснования арифметики. Так, средствами расширенного исчисления предикатов он формализовал теорию множеств. Определив математические понятия «числа» и «количества» в терминах чисто логических понятий «класса» и «отношения», ФРЕГЕ представил математику как продолжение логики. Дальнейшим развитием и наивысшей точкой этих усилий явилось трехтомное исследование Principia Mathematica (1910-1913 гг.) РАссЕла и УАйтхвда. 19

Для многих вопросов обоснования математики, которые прежде исследовались достаточно умозрительно, были найдены строгие решения с помощью логико-математических методов. С этого времени символическая логика становится незаменимым средством исследования оснований математики.

<< | >>
Источник: Витгенштейн Л.. Философские работы. Часть II. Пер. с нем. / Вступ, статья М. С. Козловой. Перевод М. С. Козловой и Ю. А. Асеева. М.: Издательство «Гнозис».. 1994

Еще по теме Сближение .математики с логикой. Становление математической логики.:

  1. § 2. Математическая логика как выражение общности дискретной математики и традиционной логики
  2. II. ОРГАНИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ Соотношения диалектики и формальной логики
  3. Глава II ОРГАНИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ
  4. Лекция I, Логика и Математика
  5. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА МАРКСИЗМА — ЛОГИКА НОВОГО ТИПА
  6. 6. ЛОГИКА, РИТОРИКА И ПОЭТИКА 6.1. Логика, или "аналитика"
  7. § 4. Объектно-вещная активность в облачении категории деятельности: логика самоутверждения субъекта как логика самоутраты
  8. ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ ЛОГИКА
  9. ЛОГИКА
  10. §10. Логика доказательств в будущем.