«Начало начал>>. Проблема непротиворечивости.

Причины такой растерянности коренились в давних и прочно сложившихся философских представлениях о канонах научного знания вообще и математики в особенности. Дело в том, что в европейской традиции в течение многих веков складывалось и прочно утвердилось представление о том, что добротное знание предполагает последовательность обоснований, в пределе завершаемых неким безусловным «основанием». Притом непреложной нормой любого корректного рассуждения, а тем более систем логически упорядоченных теоретических выкладок, издавна считалась непротиворечивость. «Стержнем» теоретической мысли с самых ранних ее шагов стал принцип противоречия. Известно, например, что еще элейские философы (ПАРМЕНИД, ЗЕНОН) доказывали то или иное утверждение путем отрицания предложения, обратного утверждению. Иначе говоря, они пользовались косвенными доказательствами («от противного»), опираясь на непротиворечивость утверждений как критерий истинности. 37 По убеждению АРИСТОТЕЛЯ, принцип (или закон) противоречия — самое достоверное из начал, которым должен владеть каждый постигающий какой-либо предмет.

Проблема противоречий и непротиворечивости, естественно, заняла важное место в размышлениях ВитгЕнштЕйна на темы оснований математики. В период работы над Трактатом его позиции в данном вопросе, похоже, были близки РАССЕЛОВСКИМ. То есть, противоречия содержательного характера традиционно воспринимались как логические аномалии рассуждения, а их предотвращение — как важнейшая задача логики. Это выражено, в частности, в известной максиме ВитгЕнштЕйна: «Логика должна заботиться о себе. Должны быть выработаны строгие логические правила, исключающие бессмыслицу» 39, в том числе, конечно же, и бессмыслицу в наиболее явной ее форме — противоречия. Правда, ВИТГЕНШТЕЙН, много размышлявший над идеей логических типов, пришел к выводу: четкое разграничение логических категорий способен оптимально обеспечить сам язык. Все дело в том, чтобы разным логическим элементам рассуждения соответствовали разного рода символы, которые никак не спутаешь. Такой логически «прозрачный» язык заведомо предотвращает, по мысли ВитгЕнштЕйна, возникновение саморефлексивных выражений типа «класс всех классов» и других, приводящих к парадоксам. 40 Сохранив общий замысел учителя о разграничении логических типов, ученик предлагает радикально иную его реализацию. Еще в 1912 году он писал РАССЕЛУ: «...теория типов есть, по-моему, теория правильного символизма, разные типы отношения знаков к вещам должны воплотиться в са- мом принципе построения языка». Он разъяснял также, что разрабатываемые им принципы символизма снимают надобность в теории логических типов. А в Трактате резюмировал: «...В логике... сам язык препятствует любой логической ошибке»; «мы не в состоянии придать знаку неправильный смысл».

Противоречию (как и тавтологии) в Трактате отведено определенное место в логической символике, сопоставимое с местом «О» в символике арифметики. Они мыслятся как неотъемлемая часть аналитического аппарата логики, как «предельные» формальные регулятивы, задающие границы осмысленных повествований и рассуждений, осуществляемых с помощью высказываний. Сами же они по сути — ? не-предложения и с информативной точки зрения бессмысленны — ничего не говорят о мире. «Тавтология и противоречие — не картины действительности. Они не изображают какие-то возможные ситуации. Ибо первая допускает любую из возможных ситуаций, второе же — не допускает ни одной». 42

Позднее, в 1930—40-е годы точка зрения ВитгЕнштЕйна на противоречия меняется. От логицизма он движется в направлении конструктивизма, воспринявшего некоторые представления интуиционизма, 43. По-видимому, немалую роль в смене ориентаций сыграли теоремы ГЕДЕЛЯ, сформулированные в начале 1930-х годов и ставившие под удар концепцию логицизма и по сути близкого к нему формализма.

Взгляд позднего ВитгЕнштЕйна на проблему противоречий своеобразен и затрагивает не столько специально логические или математические, сколько широкие философские аспекты проблемы. Одна из теорем ГЕДЕЛЯ выявляла невозможность строгого доказательства непротиворечивости логико-математических систем типа РМ: Отсюда следовало, что надежные гарантии от противоречий невозможны, и что, стало быть, владевшее умами математиков представление об исключительной логической строгости, безупречности математического знания безосновательно. Теоремы ГЕДЕЛЯ как бы вновь возвращали, притом, в еще более усугубленном варианте то чувство неуверенности, потери твердой почвы под ногами, какое владело математиками после открытия парадоксов и на время, казалось, утихло в результате «врачевания» математики, предпринятого УАЙТХЕДОМ И РАССЕЛОМ.

В своих заметках по философии математики ВИТГЕНШТЕЙН неединожды возвращается к проблеме противоречий. Из сопоставления этих заметок вырисовывается примерно следующая картина.

ВИТГЕНШТЕЙН В СВОИХ изысканиях выхода из кризиса («показать мухе выход из мухоловки») по сути перевел проблему в плоскость философии. Углубляясь в область философских оснований математики, он приходит к необходимости пересмотра веками складывавшихся представлений о совершенно особом, неопровержимом, абсолютном характере математического знания. В самом деле, математические суждения издавна считались знанием особого рода, существенно отличающимся от эмпирических положений. В особую рубрику аналитических, необходимых, априорных истин математические положения выносились не только в рационалистических доктринах, но и в учениях эмпиризма. Так, например, Юм, выстроившим концепцию радикального эмпиризма, все же вынужден был оставить в «море» опыта инородный ему «островок» внеопытных истин логики и математики. Правда, Д. С. Милль в своей Системе логики предпринял попытку довести дело Юма до конца — включить в концепцию радикального эмпиризма также положения логики и математики.

Опыт осмысления оснований математики в XX веке привел ВитгЕнштЕйна к выводу: традиционная трактовка математики слишком идеализирована, математики и философы математики издавна исходят из ПЛАТОНОВСКОГО представления о вечном и неколебимом основании математики, о сверх-надеж- ном и неопровержимом характере математического знания. Общий вывод, к которому приходит ВИТГЕНШТЕЙН здесь тот же, что и в отношении логического идеала, которым руководствовался он сам в своем Трактате, а позже вынужден был признать: по идеально-скользкой поверхности льда невозможно ходить, если мы намерены ходить (!), то есть реально мыслить, нам необходимо трение! Вернемся же в более реальные условия — назад на грешную землю! Оценки математического идеала и призывы отнестись к математике более реалистично по сути повторяют сказанное в отношении логики. Итак, кризис оснований математики, попытки подвестц под математику какой-то особо прочный фундамент, увеличить строгость, надежность и незыблемость ее положений, результатов... В 30-е годы ВИТГЕНШТЕЙН уже скептически оценивает эту затею, считая, что она порождена неверным философским образом математики как особого, абсолютно надежного знания, неподверженного логико-эпистемическим перипетиям, претерпеваемым время от времени в других, менее респектабельных разделах науки.

М. С. Козлова