Кризис логических оснований математики.

Не успела теория множеств сформироваться в качестве самостоятельной научной дисциплины и реализовать свои возможности в деле обоснования математики, как возникло неожиданное препятствие. Уже при жизни Клнтора, в период, когда ожидался небывалый триумф теории множеств, в ней обнаружили парадоксы или антиномии. Первый парадокс в 1895 г. установил сам КАНТОР и сообщил о нем в письме к ГИЛЬБЕРТУ21. Спустя два года БУРАЛИ- ФОРТИ независимо приходит к тому же парадоксу и делает его достоянием всех математиков. Этот исторически первый парадокс теории множеств носит довольно специальный характер и относится в теории трансфинитных порядковых чисел22. В 1899 г. КАНТОР же открывает еще один парадокс и сообщает о нем в письме ДЕДЕКИНДУ.

За открытием этих двух парадоксов абстрактной теории множеств последовала целая серия других 23. Одной из задач своей научной деятельности КАНТОР считал устранение парадоксов, но это ему не удавалось: число парадоксов с течением времени не только не уменьшалось, но, напротив, продолжало возрастать. Подавленный неудачей, КАНТОР В течение последних двух десятилетий жизни ничего не публиковал.

Парадоксы фиксировали внутренние логические трудности теории множеств, лежащие в самих ее основах — фундаментальных понятиях и способах рассуждения. Возникшую ситуацию называют кризисом оснований математики.

Парадоксы выявились именно в абстрактной теории множеств, которая по сути дела срастается с формальной логикой. В связи с этим не удивительно, что вскоре после парадоксов теории множеств был обнаружен целый ряд их логических «двойников». Под ударом обнаруженных парадоксов оказалась логико-математическая система ФРЕГЕ. В 1902 г. в первом томе Основных законов арифметики, было найдено противоречие, получившее название парадокса РлссЕла-ЦЕРМЕЛо. Дело в том, что определение множества, предложенное КАНТОРОМ, ПОЗВОЛЯЛО рассматривать в качестве элементов множества объекты любой природы 25. Таковыми — помимо индивидуальных предметов — могли выступать и всевозможные множества, в том числе допускалось, что множество может включать в качестве своего элемента и самое себя. В связи с этим возможно подразделить множества на такие, которые не содержат себя в качестве своего элемента (нормальные множества) 26, и такие, которые включают в число своих элементов и себя (ненормальные множества) 27. Трудность возникает, если поставить вопрос, к какому из двух типов относится множество всех нормальных множеств, поскольку возможны два взаимоисключащих ответа. РАССЕЛ установил, что такое множество будет одновременно и нормальным, поскольку не содержит себя в качестве своего элемента, и ненормальным, поскольку оно есть множество всех нормальных множеств и потому должно включать себя в качестве нормального множества.

Кризис оснований математики поставил на повестку дня ряд важных философских, методологических и логических проблем математики. Наиболее острым из них был вопрос о причинах и способах устранения парадоксов. Вначале полагали, что парадоксы не составляют сколько-нибудь серьезной опасности и их вскоре удастся преодолеть. Ведь постоянное возникновение и разрешение противоречий-антиномий — общеизвестный факт истории науки. Но в данном случае дело оказалось серъезнее: вместо устранения трудностей, как бы в насмешку над математиками, обнаруживались все новые и новые парадоксы. Помимо парадоксов логики и математики (их обычно называют логическими) был открыт также ряд семантических (иногда их называют эпистемологическими) парадоксов. 28 Антиномии этой группы содержат понятия именования, определения, истины и другие, принадлежащие гносеологии, семантике и т. д.

Безуспешные попытки разрешить парадоксы постепенно укрепили убежде- ние, что дело упирается в переосмысление ряда принципиальных идей математики и отказ от некоторых старых концепций. Прежде всего парадоксы поставили математиков «перед проблемой перестройки теории множеств на совершенно измененной основе» 29, в частности потребовали уточнения понятия множества. Более того, возникла необходимость самого тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов языка, ибо сам собой напрашивался вывод: «...логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве четкого критерия строгости математического доказательства» 30.