Из истории математики. Поиск оснований.
Под арифметизацией математики понимают «стремление свести все основные факты той или иной математической науки к числу в конечном счете натуральному» п. Начиная с Арифметических, исследований (1801) Гдусса. крупнейшие математики XIX столетия активно разрабатывают теорию чисел и предпринимают настойчивые усилия положить ее в основу всей математики, и прежде всего анализа.
Аппарат дифференциального и интегрального исчислений был удобным инструментом для расчета механических движений и решения многих других задач, но не отличался достаточной строгостью ни в определении терминов ми в доказательстве теорем. Наиболее уязвимой частью анализа были его расплывчатые и разноречивые логические основания. Методы более точных определений и строгих доказательств разрабатываются в XIX веке, когда широким фронтом развертываются и все более углубляются исследования оснований математики.На протяжении XIX в. анализ заметно меняет свой вид. Большие заслуги г. логической перестройке ;УГОЙ области математики, внесении ясности и порядка в ее понятия, принадлежат Коши. Взяв за исходное понятие1 переменной величины, Коши определил другие основные понятия анализа через соотношение между постоянными и неременными величинами. Посредством понятия о «предельном переходе» в свою очередь определяется понятие бесконечно малой величины и далее вводятся другие понятия анализа. Перестройка анализа диктовалась потребностью более строгого обоснования, более четкой формулировки его основных понятий, стремлением освободить его от геометрических и механических представлений, построить анализ независимо от других математических дисциплин. Все большую силу обретает убеждение, что «всякая, хотя бы и очень отдаленная теорема алгебры или высшего анализа может быть сформулирована как теорема о натуральных числах» !?>. И математика XIX в. проделала этот сложный путь сведения всего содержания анализа к учению о натуральном числе l Кульминационным пунктом этого течения математической мысли было построение теории действительных чисел (БОЛЬЦА но, ВЕЙЕРШТРАСС, ДЕДЕКИНД, КАНТОР) 15. Понятие числа постепенно осознается как фундаментальное понятие всей математики, и в частности — геометрии. Ввиду методологической установки на арифметизацию математики особое значение приобрела задача обоснования арифметики. Важнейшую роль в ее решении сыграло становление теоретико-множественных представлений.
Построение теории множеств, основным творцом которой был Г. КАНТОР, явилось важным итогом развития математики XIX столетия. К ее созданию вели различные течения математической мысли, но наиболее важным источником теоретико-множественных идей и методов были исследования по основаниям математики, главным образом исследования по обоснованию классического анализа и теории функций. Во второй половине XIX в. понятия анализа и теории функций постепенно переводятся на язык теории множеств. Основным понятием для теории множеств является понятие актуально бесконечного множества. Под теоретико-множественным методом в математике понимается сведение той или иной математической проблемы к указанию соответствующего бесконечного множества или нескольких таких множеств, к изучению свойств этих множеств и последующему решению рассматриваемой проблемы уже на основе изученных свойств указанных множеств 16. Идеи теории множеств тесно переплетены с понятиями и методами теории чисел. II неудивительно, что с созданием теории множеств все отчетливее реализу- ется теоретико-множественный подход к обоснованию арифметики. Важную роль в теоретико-множественном обосновании арифметики сыграл ДЕДЕКИНД. Его работа Что такое числа и для чего они служат? посвящена обоснованию понятия натурального числа средствами теории множеств. Создание теории множеств означало революцию в истории математики. А. ФРЕНКЕЛЬ расценивает завоевание актуальной бесконечности методами теории множеств как расширение нашего научного горизонта, не меньшее по значению, чем КопЕРНИкова система в астрономии и теории относительности или квантовая теория в физике. Теория множеств дала универсальный новый метод, ставший основой для последующего развития математики в целом.
Еще по теме Из истории математики. Поиск оснований.:
- Проблемы оснований математики.
- Кризис логических оснований математики.
- ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ (К публикации заметок Л. Витгенштейна)
- Жуков Н.И.. Философские основания математики Мн.: Университетское.- 110 с., 1990
- От кризиса оснований математики к феноменологии Гуссерля
- ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММА СПЕЦКУРСА „ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ" (для студентов)
- ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ I Около 1937-1938
- Петров Ю. П.. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика, 2005
- Б.Г.КУЗНЕЦОВ. ИСТОРИЯ ФИЛОСОФИИ ДЛЯ ФИЗИКОВ И МАТЕМАТИКОВ, 1974
- Математика как элемент интеллектуальной истории
- I. История и поиск Царства Божия
- В. Интерпретации истории и поиск Царства Божия