1939 - 1940 1.

[В связи с этим: доказательство — картина эксперимента.] 2.

Я хочу сказать: если неясную форму доказательства делают ясной путем изменения записи, то сначала создают доказательство там, где прежде его не было. Представь себе теперь доказательство РАССЕЛОВСКОГО положения о сложении типа а + Ъ = с, которое состояло бы из нескольких ты- сяч знаков. Ты скажешь: усмотреть, правильно ли это доказательство или нет, — это чисто внешняя сложность, не представляющая никакого математического интереса. («Один человек легко схватывает то, что другой схватывает с трудом или вообще не схватывает» и т.

Предположение состоит в том, что определения служат только для сокращения выражения, для удобства исчисления; но вместе с тем они являются частью исчисления. С их помощью получают выражения, которые без этого не могли бы быть получены. 3.

А как же быть вот с этим: «Хотя в РАССЕЛОВСКОМ исчислении нельзя — в обычном смысле — умножить 234 на 537, но есть такое РАССЕЛОВСКОЄ исчисление, которое соответствует этому умножению»? — Какого типа это соответствие? Возможно, оно таково: это умножение можно выполнить и в РАССЕЛОВСКОМ исчислении, но только в другой символике — иначе говоря, оно выполнимо в другой числовой системе. Тогда путем расчета в РАССЕЛОВСКОМ исчислении можно было бы, скажем, решать, правда, более сложным способом, и практические задачи, для решения которых используется такое умножение.

Представим себе теперь кардинальные числа в виде 1,1 + 1,(1 + + 1) + 1, ((1 + 1) + 1) + 1 и т. д. Ты скажешь, что определения, вводящие цифры десятичной системы, служат просто для удобства; исчисление 703 000х 40 ООО 101 можно было бы выполнить и в такой длинной записи. Но так ли это? — «Конечно же, это так! Я ведь могу записать, построить исчисление в той записи, которая соответствует исчислению в десятичной записи». — А как узнать, что она ей соответствует? — Ну хотя бы по тому, что я вывел ее из другой по определенному методу. — А если я посмотрю на нее снова через полчаса, разве она не может за это время измениться? Ведь она необозрима.

И вот я спрашиваю: можно ли убедиться в истинности предложения «7 034 174 + 6 594 321 = 13 628 495» также с помощью доказательства, выполненного в первой записи? — Есть ли такое доказательство этого предложения? — Ответ: нет. 4.

Но не учит ли нас РАССЕЛ все же одному типу сложения? Предположим, мы доказали методом РлссЕла, что (3 а ... g) (За ... I) zd (3 а ... s) есть тавтология; можно ли было бы тогда свести наш результат к выражению g + / есть s? Это ведь предполагает, что можно принять эти три элемента алфавита за представителей доказательства.

я мог бы со всей очевидностью выполнить РАССЕловское доказательство с помощью групп знаков в скобках, не усматривая ничего характерного в их последовательности, так что бщло бы невозможно представить ту или иную группу знаков в скобках ее последним членом.

Предположим даже, будто РАССЕЛОВСКОЄ доказательство проведено в записи типа xY х2 ... х10 хп ... х100 ... как в десятичной записи и что в первой скобке 100 членов, во второй — 300, а в третьей — 400; само доказательство показывало бы в этом случае, что 100 + 300 = 400? — Что, если это доказательство приводило бы один раз к этому результату, а другой раз к другому, например 100 + 300 = 420? Что могло бы убедить в том, что результат доказательства, если оно правильно проведено, всегда зависит только от последних цифр двух пар первых скобок? Но небольшие числа РАССЕЛ все же учит нас складывать; ибо тут мы схватываем взглядом группы знаков в. скобках и можем взять их в качестве числовых знаков, например <<ху», «xyz», «xyzuv». Таким образом, РАССЕЛ учит нас другому исчислению для получения 5 из 2 и 3; и это верно, хоть мы и говорим, что логическое исчисление есть только бахрома, подвешенная к арифметическому исчислению.

Применение исчисления должно заботиться о себе само. И это верно именно для «формализма».

Сведение арифметики к символической логике должно показать применение арифметики; это как бы насадка, с помощью которой осуществляется ее применение. Как если бы человеку показать сначала трубу без мундштука, а потом мундштук, который учит тому, как труба используется и как приводится в контакт с человеческим телом. Однако та насадка, которую дает нам РАССЕЛ, с одной стороны, слишком узка, а с другой— слишком широка: слишком всеобща и слишком специальна. Исчисление заботится о своем собственном применении.

Мы распространяем наши идеи от исчислений с небольшими числами на исчисления с большими числами, подобно тому как представляем себе, что если дистанция отсюда до Солнца могла бы быть измерена с помощью дюймовой линейки, то получилось бы как раз то, что мы сегодня получаем совершенно иным способом.

Говорят же, например, в школе: «Если мы представим себе дюймовые линейки, положенные отсюда до Солнца...» — и кажется, будто тем самым объяснено, что понимается под расстоянием между Солнцем и Землей. И использование такой картины вполне правомерно, поскольку нам ясно, что измерить расстояние от нас до Солнца можно, но что нельзя измерить его дюймовыми линейками. 5.

Что, если бы кто-то сказал: «Собственно, доказательство того, что 1000 + 1000 = 2000, — это ведь РАССЕЛОВСКОЄ доказательство, которое показывает, что выражение ... есть тавтология»? Ибо разве нельзя доказать, что тавтология получается тогда, когда в первых и вторых скобках будет по 1000 членов, а в третьих — 2000? И если такое доказательство выполнимо, то я могу рассматривать его как доказательство приведенного арифметического предложения.

Постановка того или иного вопроса в философии всегда предпочтительнее ответа на вопрос.

Ибо ответ на философский вопрос вполне может быть неправилен; исчерпывание же одного вопроса с помощью другого неправильным быть не может.

Должен ли я, например, в данном случае поставить какой-то вопрос вместо ответа, гласящего, что то арифметическое предложение недоказуемо методом РлссЕла?

1 2 3 6.

Доказательство того, что ( ) ( ) з ( ) есть тавтология, состоит в том, что один из членов третьих скобок всегда соотносят с одним членом (1) или (2). И есть ведь много способов такой сверки. Или можно даже сказать: есть много способов установить успешность корреляции 1—1. Одним из таких способов могло бы быть, например, построение звездообразных узоров, одного для левой стороны импликации и одного для правой, и образование из них — путем все новых сравнений — единого орнамента.

Таким образом, можно сформулировать правило: «Если ты хочешь знать, действительно ли числа А и В вместе дают С, запиши выражение формы ... и упорядочи относительно друг друга переменные в скобках, записав (или стремясь записать) доказательство того, что выражение есть тавтология».

Мое возражение против этого состоит не в том, что предписывать именно этот способ сверки есть произвол, а в том, что таким способом нельзя определить, что 1000 + 1000 = 2000. 7.

Представь, что ты записал «формулу» длиною в милю и с помо- щью преобразования показал, что она тавтологична («если она за это время не изменилась», следовало бы сказать). Теперь сосчитаем члены в скобках или же разграничим их и сделаем выражение обозримым, тогда выявится, что в первых скобках стоит 7566 членов, во вторых — 2434, а в третьих — 10000. Показал ли я теперь, что 2434 4- 7566 = 10000? — Это зависит — можно сказать — от того, уверен ли ты, что этот подсчет действительно дал число членов, которые во время доказательства стояли в скобках.

Можно ли сказать: «РАССЕЛ учит нас вписывать в третьи скобки столько переменных, сколько их стоит в первых и вторых скобках вместе»? Но по сути говоря: он учит всегда соотносить один из членов в третьих скобках с одним из членов в (1) или (2). А учимся ли мы тем самым тому, какое число есть сумма двух заданных чисел? Возможно, скажут: «Конечно, ведь в скобках (3) стоит парадигма, образец нового числа». Но насколько I I I I I I I I I I I I I I I I есть парадигма некоего числа? Поразмысли о возможности ее использования как таковой. 8.

Эта тавтология РлссЕла, выражаемая предложением а + Ъ = с, прежде всего не показывает, в какой системе обозначений следует записывать число с, и нет оснований не использовать для этой цели форму а + Ь. — Ведь РАССЕЛ совсем не учит нас технике сложения, например, в десятичной системе. — А нельзя ли вывести ее самостоятельно из его техники?

Поставим вопрос так: можно ли вывести технику десятичной системы из техники системы 1, 14-1, (14-1) + 1и т. д.? Нельзя ли поставить тот же вопрос так: если имеется техника счета в одной системе и техника счета в другой, как показать, что обе они эквивалентны? 9.

«Доказательство должно показывать не просто, что это так, но и что это должно быть так».

При каких условиях числа показывают это?

Можно ответить так: «Если цифры и считаемое передаются в запоминающейся конфигурации. Если эту картину используют теперь всегда вместо повторного просчитывания этого множества».

10. Чтобы установить свойства теоремы, или доказательства, мы не проводим экспериментов.

Как мы репродуцируем, как воспроизводим то или иное доказательство? — Не производя, например, его измерения. А что, если бы доказательство представляло собой невероятно длинную выкладку, которую едва ли можно обозреть? Или рассмотрим другой случай. Возьмем в качестве парадигмы числа, которое назовем 1000, длинный ряд черточек, выцарапанных на скале. Этот ряд назовем пратысячей [эталоном тысячи], и, чтобы узнать, находится ли на какой-то площади тысяча человек, будем чертить палочки или натягивать веревки (соответствие 1 к 1). Знак числа 1000 идентичен тут не образу, а физическому предмету. Подобным же способом можно представить себе прасотню и т. д., а также доказательство того, что 10 х 100 = 1000, которое невозможно охватить одним взглядом.

Цифру 1000 в системе 1 + 1 + 1 + 1 ... нельзя узнать по ее виду. п.! 11111111111111111111111111 1111111111111111

Является ли эта схема доказательством того, что 27 + 16 = 43, поскольку при подсчете черточек слева получается 27, а при подсчете черточек справа — 16, суммарное же исчисление всего ряда дает 43?

Что необычного в том, чтобы данную схему считать доказательством этого предложения? Необычно то, как воспроизводится и опознается это доказательство; то, что оно не имеет характерного визуального образа.

Но даже если такое доказательство не имеет визуального образа, тем не менее его можно точно скопировать (воспроизвести), — разве в этом случае схема не будет доказательством? Я мог бы, например, выгравировать ее на кусочке стали и передавать его из рук в руки. Так, я мог бы сказать кому-то: «Вот тебе доказательство того, что 27 + 16 = 43». Разве в этом случае все-таки

нельзя сказать: он доказывает это математическое положение при помощи рисунка? Можно, но все же рисунок не является доказательством.

Но вот что можно было бы все же назвать доказательством того, что 250 + 3220 = 3470: счет ведут от 250 и одновременно начинают другой счет с 1, координируя тот и другой счет таким образом: 251

.... 1 252

.... 2 253

.... 3 и т. д.

3470 .... 3220

Это можно было бы назвать доказательством, проходящим через 3220 ступеней. Это все-таки доказательство, но можно ли его назвать наглядным? 12.

Что представляло собой по существу изобретение десятичной системы? Открытие системы сокращений. Но что такое система сокращений? Является ли она просто системой новых цифр или же вместе с тем системой их применения для сокращения? И если верно последнее, то это является новым способом рассмотрения старой системы числовых знаков.

Можно ли, отталкиваясь от системы 1+1 + 1 ..., путем простого сокращения способа записи научиться считать в десятичной системе? 13.

Допустим, я доказал, по РАССЕЛУ, выражение формы (3 xyz...) (3 uvw...) ID (3 аЪс...) — и теперь «делаю его наглядным», вписывая над переменными знаки xv х2, х3... — следует ли из этого, что я доказал, по РАССЕЛУ, арифметическое положение в десятичной системе?

Но ведь каждому доказательству в десятичной системе соответствует какое-то доказательство в системе РлссЕла. — Откуда нам известно, что это так? Оставим в стороне интуицию. — Но это можно доказать. —

Если в десятичной системе то или иное число определяют, исходя из 1, 2, 3, ..., 9, 0, а знаки 0, 1, ... , 9 — исходя из 1, 1 + 1, (1 + 1) + + 1, ... , можно ли тогда путем рекурсивного объяснения десятичной системы получить из любого числа знак формы 1 + 1 + 1 ... ? Допустим, кто-нибудь скажет: арифметика РлссЕла совпадает с обычной для чисел меньше 10Ю; дальше же они расходятся. И чтобы обосновать это, он приведет доказательство РлссЕла: Юю + + 1 = Юю. Почему бы мне не доверять этому доказательству? Как меня убедят в том, что я, должно быть, допустил ошибку в этом доказательстве РлссЕла?

Нужно ли мне в этом случае доказательство из другой системы, чтобы убедиться в том, допустил ли я ошибку в первом доказательстве? Разве недостаточно того, что я записываю это доказательство в обозримой форме? 14.

Не заключаются ли все мои трудности в понимании того, как можно, не выходя за рамки логического исчисления РлссЕла, прийти к понятию множества переменных в выражении «(3 xyz...)>> там, где это выражение не схватывается наглядно? —

Ну, его все же можно сделать наглядным, если записать: (3 xv х2, х3...). Однако не все мне здесь ясно: ведь теперь изменился критерий идентичности такого рода выражения. Теперь я уясняю иным образом, что количество знаков в двух таких выражениях одинаково.

По сути, я готов заявить: доказательство РлссЕла можно продолжать ступень за ступенью, но в конце не совсем ясно, что же доказано — во всяком случае, не ясно по старым критериям. Делая доказательство РлссЕла наглядным, я устанавливаю нечто об этом доказательстве.

Смею утверждать: вовсе не обязательно признавать технику вычисления РлссЕла — вполне возможно и при использовании иной техники вычисления доказать, что РАССЕЛОВСКОЄ доказательство данного положения должно иметь место. Однако само это положение, понятно, уже не будет основываться в этом случае на доказательстве РлссЕла.

Или: то, что для каждого доказанного предложения формы т 4- п = 1 можно представить себе доказательство РлссЕла, еще не говорит о том, что данное предложение основывается на этом доказательстве, ибо можно себе представить такой случай, когда нельзя различить РАССЕЛОВО доказательство одного предложения и такое же доказательство другого предложения; и об их различии говорят лишь потому, что они представляют собой переводы [на язык РлссЕла] двух явно различимых доказательств. Иначе говоря: нечто — скажем, логическое исчисление РлссЕла — перестает быть доказательством в том случае, если оно перестает быть парадигмой; с другой стороны, может быть принято любое другое исчисление, если оно служит нам парадигмой. 15.

То, что различные методы счета почти всегда согласуются, — факт.

Считая клетки на шахматной доске, я так или иначе получаю 64. Если я выучил два вида слов, например наименования чисел и ал- фавит, и привожу их в соответствие 1 — 1

а 1 Ъ 2 с 3 и т. д.,

то всякий раз, дойдя до я получу „26".

Имеет место: знание столбца слов наизусть. В каком случае говорят, что я знаю стихотворение... наизусть? Критерии здесь достаточно сложны. Совпадение с напечатанным текстом — один из них. Что должно произойти, чтобы я усомнился, действительно ли я знаю наизусть алфавит? Трудно себе это представить. Однако произнесение вслух или запись по памяти последовательности слов я использую в качестве критерия равенства чисел или множеств.

Должен ли я тут сказать: это все не столь уж важно — логика все же остается основным исчислением; только вот ответ на вопрос: идентичны ли формулы, представленные мне дважды? — может быть в разных случаях разным.

16. По правде говоря, не логика вынудит меня признать верным предложение такого вида: (3 ) (3 ) z> (3 ), — если в первых и вторых скобках будет по миллиону переменных, а в третьих — два миллиона. Я хочу сказать — никакая логика не заставила бы признать в этом случае то или иное выражение верным. Нечто другое заставляет меня признать это выражение соответствующим логике.

Логика вынуждает меня, лишь поскольку вынуждает логическое исчисление.

Но для логического исчисления с 1 ООО ООО составляющих все-таки важно, что это число должно быть разложимо в сумму 1 + 1 + 1... ! А для уверенности, что мы имеем верное число единиц, их можно пронумеровать:

1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 1 2 3 4 1 ООО ООО

Этот способ записи похож на такой: 100, ООО, ООО, ООО, — который также делает вполне наглядными числовые знаки. Ведь можно представить себе, что кто-то записал в книге большую сумму денег в пфеннигах так, что получились 100-значные числа, с которыми мне предстоит вести расчет. Я бы начал с перевода их в ту или иную наглядную запись, но все же называл бы их «числовыми знаками» и обращался бы с ними как со своеобразными дубликатами чисел. Я считал бы их дубликатами чисел даже в том случае, если бы мне сказали: у N столько шиллингов, сколько горошин вмещается в этот сосуд; или по-другому: «У него столько шиллингов, сколько букв в Песне песней». 17.

Запись «Хр х2, х3» — преобразует выражение (3 ...) в картину, а тем самым и в тавтологию, доказуемую методом РлссЕла. Зададимся таким вопросом: разве нельзя допустить, что в доказательстве РлссЕла не гарантировано исполнение корреляции 1 — 1, и что, пожелай мы, например, использовать эту корреляцию для сложения, всегда бы получался результат, противоречащий обычному результату, и что мы относили бы это на счет усталости, из- за которой незаметно для себя, пропустили отдельные действия? И разве нельзя было бы тогда сказать: не помешай усталость, мы получали бы всегда одинаковый результат? Потому что того требует логика? А разве она этого требует? Разве мы здесь не исправляем логику при помощи иного исчисления? Предположим, что вместо каждых 100 действий мы бы использовали в процессе логического исчисления их итог и всякий раз получали надежные результаты, пытаясь же выполнить каждое действие в отдельности, не достигали бы этого. —— На это можно возразить: но ведь исчисление основывается на единичных действиях, поскольку суммарное действие из ста составляющих определяется все же через единичные действия. — Да, определение гласит: произвести суммарное действие из ста составляющих означает то же самое, что и ... и все же мы производим разовое суммирование 100, а не сто действий по отдельности.

При укрупнении исчисления я следую тем не менее некоему правилу а как же обосновывается это правило? Что если

сокращенное и полное доказательства дают различные результаты? 18.

Сказанное мною сводится к следующему: можно, например, определить 10 как 1 + 1 + 1 + 1 ... , а 100 х 2 — как 2 + 2 + 2 ... , но именно поэтому не обязательно представлять 100 х 10 как 10 + 10 + 10 ... или даже как 1 + 1 + 1 + 1 ... .

Убедиться в том, что 100 х 100 = 10 000, можно «сокращенным» методом. Почему бы тогда не считать этот метод изначальным методом доказательства?

Сокращенный метод учит меня тому, что должно получаться при использовании несокращенного. (А не наоборот.) 19.

«Но ведь вычисление основывается на отдельных действиях...» Да, но происходит это совершенно иначе. Сам процесс доказательства совершенно иной. Я мог бы, к примеру, сказать: 10=1 + 1 + + 1+1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, равно как 100 = 10 + 10 + 10 + + 10+10+10+10+10+10+10.

Разве объяснение числа 100 я не основывал на последовательном прибавлении 1? Так что же, это прибавление происходило так же, как если бы я складывал 100 единиц? Нужен ли вообще в моей записи знак вида 1 + 1 +1 ... с сотней слагаемых? Опасно тут, по-видимому, то, что сокращенный метод считают бледной тенью несокращенного. Правило счета — это еще не сам счет. 20.

В чем же состоит «суммарное» выполнение ста действий вычисления? Да в том, что определяющим считается не действие с единицами, а какое-то другое действие.

При обычном сложении целых чисел в десятичной системе мы производим действия с единицами, с десятками и т. д. Можно ли утверждать, что метод основывается на выполнении лишь единичных действий? Это можно обосновать так: результат реального сложения 7583, объяснение же этого знака, его значения, которое в конечном счете должно найти свое выражение и при его использовании, дается таким образом: 1 + 1+1 + 1 + 1 и т. д. Но действительно ли это так? Нужно ли объяснять данный числовой знак таким способом или это объяснение неявно выражается в его применении? Я думаю, что, поразмыслив над этим явлением, мы убедимся, что это не так.

Расчет при помощи графиков или логарифмической линейки. Очевидно, что при проверке решения, полученного одним способом с помощью решения, полученного другим путем, результат обычно получается один и тот же. Но если существует несколько способов — кто скажет, в том случае, если они не совпадают, какой из них есть истинный способ расчета, восходящий к истокам математики? 21.

Там, где может возникнуть сомнение в том, действительно ли это является картиной данного доказательства, там, где мы готовы подвергнуть сомнению идентичность доказательства, — там эта выкладка теряет свою доказательную силу. Ведь доказательство служит для нас также мерой.

Можно ли сказать: к доказательству относится признанный нами критерий верного воспроизведения доказательства? Это означает, например, что мы должны быть соверен» .,> j^c^ ны в том, что не пропустили при доказательстве ни одного знака. И что никакой нечистой силе не удастся нас обвести вокруг пальца, без нашего ведома то убирая, то добавляя число и т. д. Так можно выразиться, когда уместно утверждать: обмани нас сам черт, все равно все будет в порядке, все его проделки, направленные против нас, не достигнут цели. 22.

Доказательство, скажем так, выявляет не только то, что положение таково, но и то, как получилось, что оно таково. Оно показывает, как 13+14 дает в результате 27. «Доказательство должно быть обозримым» означает: мы должны быть готовы к тому, чтобы использовать его в качестве путеводной нити при вынесении нашего суждения.

Если я говорю: «Доказательство — это картина», — то его можно представить себе в качестве кинокартины. Доказательство проводится раз и навсегда. Доказательство, конечно же, должно быть образцовым. Доказательство (картина доказательства) показывает нам результат процесса (конструкции), и мы уверены, что процесс, отрегулированный таким образом, всегда приведет к такой картине. (Доказательство демонстрирует нам синтетический факт.) 23.

Утверждая, что доказательство — своего рода образец, мы не надеемся, конечно, сказать ничего нового.

Доказательство должно быть процессом, о котором я говорю: «Да, так должно быть; это должно получаться, если действовать согласно данному правилу».

Изначально доказательство, можно сказать, должно представлять

собой что-то вроде эксперимента а потом берется просто как

картина.

Если я ссыплю вместе 200 яблок и еще 200 яблок, сосчитаю их и получу 400, это еще не доказательство того, что 200 + 200 = 400. Это значит, что мы не смогли бы использовать данный факт в качестве парадигмы для определения всех сходных ситуаций. Когда мы говорим: «Эти 200 яблок и эти 200 яблок дают в сумме 400», — это значит: если их ссыпать вместе и при этом ни одно не прибавится и не убавится, то их соотношение будет нормальным. 24.

«Это образец сложения 200 и 200», а не: «Это образец того, что 200 и 200 в сумме дают 400». Впрочем, процесс сложения дал результат 400, но затем мы берем этот результат в качестве критерия правильного сложения — или просто: сложения — этих чисел.

Доказательство должно быть нашим образцом, картиной того, как эти операции дают результат.

«Доказанное предложение» выражает то, что может быть вычитано из этого доказательства-картины.

Доказательство является образцом правильного суммирования 200 и 200 яблок. Это значит, что.оно определяет новое понятие: «суммарный счет 200 и 200 предметов». Или можно сказать: «новый критерий того, что ничего не убавилось и не прибавилось». Доказательство определяет л верный суммарный подсчет». Доказательство— нашим образец получения определенного результата, образец, служащий мерилом (масштабом) реальных изменений. 25.

Доказательство убеждает нас в чем-то но нас интересует

не само состояние убежденности, — куда важнее для нас способы применения, подкрепляющие эту убежденность.

Поэтому нас оставляет равнодушным утверждение: доказательство убеждает нас в истинности данного высказывания, — поскольку эту фразу можно истолковать по-разному.

Когда я говорю: «Доказательство убеждает меня в чем-то», — то высказывание, выражающее данное убеждение, не воссоздается в доказательстве. Так, при умножении мы не обязательно записываем результат в форме предложения ... х ... = ... . Можно, очевидно, сказать: умножение дает нам уверенность в этом, даже если само предложение, выражающее действие умножения, не формулируется.

Психологический недостаток доказательств, конструирующих высказывания, тот, что благодаря им мы легко забываем, что смысл результата вычитывается не из него самого, а из доказательства. В этом плане проникновение символики РлссЕла в систему доказательств нанесло ей много вреда.

Словно шали, окутывающие человеческую фигуру, знаки РлссЕла вуалируют до неузнаваемости важные формы доказательства. 26.

Поразмыслим над тем, что математическая убедительность достигается грамматическими предложениями; выражением, результатом этой убедительности служит то, что мы принимаем некое правило. Поэтому нет ничего удивительного в том, что словесное выраже- ниє результата математического доказательства ввергает нас в плутни мифотворчества. 27.

Я, например, смею утверждать: даже тогда, когда доказанное математическое предложение, казалось бы, указывает на реальность вне себя самого, тем не менее оно выражает лишь признание новой меры (меры реальности).

Таким образом, конструируемость (доказуемость) этого символа (то есть математического предложения) воспринимается как знак того, что символы следует преобразовывать таким способом. Пробились ли мы в ходе доказательства к некоторому знанию? И выражает ли итоговое предложение это знание? Не зависимо ли это знание от доказательства (отсечена ли пуповина)? — Вот теперь предложение используется само по себе, без привязки к доказательству.

Почему бы не сказать: сквозь доказательство я пробился к решению?

Доказательство включает этот итог в систему решений. (Можно, конечно, сказать и так: «Доказательство убеждает меня в целесообразности этого правила». Но, сказав так, можно легко впасть в заблуждение.) 28.

Доказанное таким образом предложение служит правилом, то есть парадигмой. Ведь мы ориентируемся на правила.

Но приводит ли доказательство лишь к тому, что мы ориентируемся на это правило (признаем его), или оно вместе с тем показывает и то, как следует ориентироваться на него? Математическое предложение должно показывать нам и то, что имеет смысл говорить.

Доказательство конструирует предложение; но важно, как оно его конструирует. Иногда, например, оно конструирует сначала число, затем следует утверждение, что такое число существует. Если мы говорим, что данная конструкция должна убеждать в правильности этого утверждения, то это означает: она должна нас вести к тому, чтобы использовать данное предложение определенным образом. Она должна определять, что следует признать осмысленным, а что нет. 29.

Что есть общего в целях Евклидова построения — скажем, деления отрезка на две равные части — и выведения одного правила из других путем логических умозаключений?

Общее заключается, по-видимому, в том, что путем конструирова- ния знака я добиваюсь признания знака.

Можно ли сказать: «Математика создает новые выражения, & не новые предложения»??

Можно в том смысле, что математические предложения являются раз и навсегда принятыми в языке инструментами, а их доказательство лишь указывает то место, где они находятся. В какой же мере являются «инструментами языка», например, тавтологии РлссЕла?

РАССЕЛ, ВО ВСЯКОМ случае, не счел бы их таковыми. Его ошибка, если таковая была, могла бы состоять лишь в том, что он упустил из виду их применение.

Доказательство позволяет вывести одну структуру из другой. Оно направляет процесс порождения одной структуры из другой. Все это, конечно, верно — но оно приводит в различных случаях к совершенно разным результатам! Что же представляет для нас интерес в таком переходе?

Предположи я даже, что доказательство заложено в систему языка, кто скажет мне, как следует использовать этот инструмент, для чего он служит? 30.

Доказательство ведет меня к утверждению: это должно быть так. Допустим, я понимаю это в случае Евклидова доказательства или в случае доказательства 25 х 25 = 625, но будет ли картина той же, скажем, в случае доказательства РлссЕла „ I— р z) q • р : Z) : (/"? Что означает здесь «это должно быть так» в отличие от «это так»? Следует ли мне сказать: «Ну, я беру это выражение в качестве парадигмы для всех ни о чем не говорящих [неинформативных] предложений этой формы»?

Я прослеживаю доказательство и говорю: «Да, так должно быть; я должен констатировать такое употребление моего языка». Я хочу сказать, что это «должно» соответствовать рельсам, которые я прокладываю в языке. 31.

Сказав, что доказательство вводит новое понятие, я имел в виду примерно вот что: доказательство добавляет к парадигмам языка новую парадигму; подобно тому как, особым образом смешав красноватый и синий цвета, мы получаем новый оттенок и даем ему новое название.

Но если мы и склонны называть доказательство такой новой парадигмой, то в чем состоит точное сходство доказательства с такого рода понятийным образцом?

Хочется сказать: доказательство изменяет грамматику нашего языка, изменяет наши понятия. Оно формирует новые взаимосвязи, и оно создает понятие этих взаимосвязей. (Оно не устанавливает, что они существуют; скорее, они не существуют до тех пор, пока оно их не создаст.) 32.

Какое понятие создает d р"? И все же кажется возможным сказать, что „рзр" служит нам знаком некоего понятия.

„р ID р" является формулой. Устанавливает ли формула какое-то понятие? Можно сказать: «Отсюда по формуле... следует то-то». Или же: «Отсюда таким-то образом следует, что...» Но то ли это предложение, в каком я заинтересован? А вот такое предложение: «Сделай отсюда вывод таким образом...»? 33.

Если я говорю о доказательстве, что оно является образцом (картиной), то и о простейшем РАССЕЛОВСКОМ высказывании я должен сказать то же самое (как об исходной клетке доказательства). Можно задать вопрос: как получилось, что предложение „р з р" стали рассматривать как истинное утверждение? Ведь его не использовали в практике речевого общения, однако существовала все же тенденция в особых обстоятельствах (когда, например, занимались логикой) произносить его с полной убежденностью.

Как же обстоит дело с „р d р"? Я вижу в нем выродившееся предложение, которое находится в сфере истинности. Я фиксирую его как важную точку пересечения в системе осмысленных предложений. Как точку опоры нашего способа изображения [описания, изложения]. 34.

Построение доказательства начинается с тех или иных знаков, и некоторые из них, так называемые константы, должны уже обладать значением в языке. Так, важно то, что ,,v" и „~" уже привычно используются нами, и отсюда построение доказательства в Principia Mathernatica обретает свою значимость, свой смысл. Однако знаки доказательства не позволяют усмотреть это значение.

«Использование» доказательства, конечно, должно иметь дело с соответствующим использованием его знаков. 35.

Как уже говорилось, меня в известном смысле вполне убеждают элементарные предложения РАССЕЛИ.

Тем самым убежденность, рождаемая доказательством, не может проистекать только из конструкции доказательства. 36.

Если бы я увидел в Париже эталон-метр, но не знал бы ниче- го об институте измерения и его связи с этим стержнем— разве мог бы я сказать, что мне известно понятие эталона метра? А не является ли частью некоего института и доказательство? Доказательство — некий инструмент, но почему я говорю: «инструмент языка»?

Необходимо ли тогда, чтобы счет был инструментом языка? 37.

То, чем я постоянно занят, — это, очевидно, подчеркивание различия между определением смысла и использованием смысла. 38.

Признать доказательство: его можно признать в качестве парадигмы той фигуры, которая возникает, если к фигурам определенного рода верно применить эти правила. Его можно признать как правильный вывод итогового правила. Или как правильный вывод из верного эмпирического, предложения; или как верный вывод из ложного эмпирического предложения; или просто как правильный вывод из эмпирического предложения, о котором нам неизвестно, истинно оно или ложно.

Ну, а можно ли сказать, что понимание доказательства как «доказательства конструируемое™» доказанного предложения является в каком-то смысле более простым, первичным, чем какое-либо другое понимание?

То есть можно ли сказать: «Каждое доказательство доказывает прежде всего то, что должна получиться эта знаковая форма, если применить данное правило к данным формам знаков»? Или: «Доказательство доказывает прежде всего то, что может возникнуть эта форма знака, если оперировать этими знаками согласно этим правилам преобразования». —

Это указывало бы на геометрическое использование. Ибо предложение, истинность которого, как я утверждаю, уже доказана, является здесь геометрическим высказыванием — грамматическим предложением, затрагивающим трансформации знаков. Можно, к примеру, сказать: доказано, что имеет смысл утверждать, что некто получил знак ... по этим правилам из ... и ..., но лишено смысла и т. д. и т. д.

Или: если лишить математику всякого содержания, то осталось бы лишь то, что определенные знаки могут быть сконструированы из других по определенным правилам. — Самое малое, что пришлось бы признать: что эти знаки ... — а это признание заложено в основу всякого другого. — И все же я хотел бы сказать: последовательность знаков доказа- тельства не влечет за собой с необходимостью какое-либо признание. Если же мы однажды начали с признания, то оно не обязательно должно быть «геометрическим».

Доказательство могло бы состоять всего лишь из двух ступеней, например из выражения „(х) • fx" и выражения ,/а" — играет ли верный переход по некоему правилу здесь существенную роль? 39.

Что же в доказанном является непоколебимо верным? Признать то или иное предложение незыблемо верным — хочу я сказать — значит использовать его в качестве грамматического правила: тем самым из него устраняется неопределенность. «Доказательство должно быть обозримым» означает, собственно, не что иное как: доказательство не эксперимент. То, что вытекает из доказательства, мы принимаем не потому, что так однажды получилось, или потому, что так часто получается. В доказательстве мы видим основание для утверждения: так должно было получиться.

К данному результату приводит, доказывает его не сама эта зависимость, — мы убеждаемся в этом и принимаем эти конфигурации (картины) за образцы того, что получается, если ... Доказательство является нашим новым образцом того, что получается, если ничего не прибавляется и не убавляется, если мы правильно считаем и т. д. Но эти слова показывают, что я толком не знаю, образцом чего является доказательство. Я хочу сказать: посредством логики Principia Mathematica можно обосновать арифметику, в которой 1000 -f 1 = 1000; а все, что для этого нужно, ставило бы под сомнение очевидную правильность расчетов. Если же мы их не подвергаем сомнению, то причина этого кроется отнюдь не в нашей убежденности в том, что логика истинна.

Если в ходе доказательства мы говорим: «Это должно получиться» то определяют это не основания, которые нам не видны. Нас заставляет принять данный результат не то, что мы его получили, а то, что он конец этого пути.

Это и служит доказательством — то, что нас убеждает: конфигурация, нас не убеждающая, не является доказательством даже в том случае, если она способна пояснять доказанное высказывание в качестве примера.

Это значит: для демонстрации того, что доказано, не может потребоваться физическое исследование конфигурации доказательства.

87

5— 1923 40.

Увидев на картине изображение двух людей, мы не говорим сначала, что один на вид меньше другого, а уж потом — что один, кажется, стоит дальше другого. Вполне возможно, что в глаза бросится не малая величина фигуры, а ее отдаленность. (Это, как мне кажется, связано с вопросом о «геометрическом» понимании доказательства.) 41.

«Доказательство — образец того, что называют таковым».

А образцом чего должен служить переход от „(х) • fx" к ,/а"? По крайней мере это образец того, как можно умозаключать от знаков типа „(х) • fx".

Образец я представляю себе в виде некоего обоснования, но в данном случае это не является обоснованием. Образец (х) fx fa не обосновывает вывода. Что же касается обоснования вывода, то оно лежит за пределами этой знаковой схемы. И все же что-то есть в том, что математическое доказательство создает новое понятие. — Каждое доказательство — как бы признание определенного использования знаков. А что в нем признается? Только такое употребление правил перехода от формулы к формуле? Или же в некотором смысле признаются и «аксиомы»?

Можно ли сказать: я признаю р р как тавтологию?

Я принимаю „pz>p", например, как максиму вывода.

Мысль о том, что доказательство создает некое новое понятие,

можно примерно выразить и так: доказательство — не сумма его

оснований и правил вывода, а новое здание — хотя оно и являет

пример и одного, и другого стиля. Доказательство — это новая

парадигма.

Понятие, создаваемое доказательством, может быть, например, неким новым понятием вывода, правильного умозаключения. Но почему я признаю это верным умозаключением — основание этого лежит за пределами доказательства.

Доказательство создает новое понятие — создавая новый знак или будучи таковым. Или же отводя предложению, выступающему его результатом, новое место. (Ибо доказательство не движение, оно — сам путь.) 42.

Невозможно представить себе, что эта подстановка в этом выражении даст что-нибудь иное. Или: я вынужден признать, что это непредставимо. (Результат же эксперимента может оказаться тем или иным.) Тем не менее можно представить себе случай, когда на вид дока- зательство меняется, — в своей глубинной основе оставаясь тем же самым, и тогда говорят, что оно неизменно, каким бы ни было внешнее впечатление.

Разве, по сути, ты не говоришь лишь то, что доказательство берется в качестве доказательства?

Доказательство должно быть наглядным процессом. Или также: доказательство является наглядным процессом. Доказательство доказывает не нечто, скрытое за доказательством, но само доказательство. 43.

Если я говорю: «Прежде всего должно быть очевидно, что эта подстановка действительно дает в результате это выражение», — то я мог бы также сказать: «Я должен принять это как бесспорное утверждение», — но тогда для этого должны быть веские основания, например то, что одна и та же подстановка неизменно дает один и тот же результат и т. д. Так не заключается ли наглядность именно в этом?

Я хочу сказать: там, где нет наглядности и, значит, уместно усомниться в том, что результат действительно получен вследствие этой подстановки, — там доказательство разрушено. И вовсе не каким-то глупым и несерьезным способом, не имеющим отношения к природе доказательства.

Или: логика не служит основой всей математики уже потому, что сила логического доказательства заключена в силе геометрического доказательства и разрушается вместе с ней *. Это значит: логическое доказательство, например РАССЕЛОВСКОГО типа, имеет силу до тех пор, пока оно обладает также геометрической силой убеждения % и сокращение такого логического доказательства может обладать такой силой и оставаться благодаря этому доказательством, в то время как полностью выполненная РАССЕЛовская конструкция таковым не является. Мы склонны верить в то, что логическое доказательство обладает своей собственной абсолютной доказательностью, проистекающей из безусловной надежности основных логических законов и правил логического вывода. Хотя все же доказанные таким образом суждения не могут быть достовернее, чем правильность применения этих законов вывода.

Логическая достоверность доказательства, смею утверждать, не превышает его геометрической достоверности. 44.

Если же доказательство является образцом, то необходимо 5* уточнить, что должно считаться верным воспроизведением доказательства.

Если, например, в доказательстве встречается знак „І I I I I I I I I I то не совсем ясно, должна ли считаться воспроизведением этого знака только «численно равная» группа черточек (или, скажем, крестиков) или же годится и какое-то другое, не слишком малое число. И т. д.

Однако возникает вопрос, что должно считаться критерием воспроизведения доказательства — критерием тождества доказательств. Как их надо сравнивать для установления тождества? Являются ли они тождественными, если одинаково выглядят? Мне хотелось бы, так сказать, продемонстрировать, что в математике можно избежать логических доказательств. 45.

«Посредством соответствующих дефиниций мы можем в логике РлссЕла доказать, что „25 х 25 = 625"». — А можно ли определить обычную технику доказательства при помощи РАССЕЛОВ- ской? Но как можно определить одну технику доказательства через какую-то другую? Как может одна из них объяснить суть другой? Ведь если одна является «сокращением» другой, то она должна быть систематическим сокращением. Вместе с тем требуется подтверждение того, что можно систематически сокращать длинные доказательства и таким образом получать новую систему доказательств.

Длинные доказательства сначала всегда сопровождают короткие, как бы опекая их. Но наконец наступает момент, когда они уже не могут более сопутствовать коротким и те проявляют свою самостоятельность .

Рассмотрение длинных, недоступных обозрению логических доказательств— это лишь средство показать, как эта техника — покоящаяся на геометрии доказательства — может утратить силу, а новая техника — стать необходимой. 46.

Готов утверждать: математика — это ПЕСТРАЯ смесь техник доказательства. — И на этом основывается возможность ее многообразного применения и ее значимость.

А это ведь равноценно утверждению: владея системой исчисления, подобной РАССЕЛОВСКОЙ, И создавая на ее основе с помощью соответствующих дефиниций системы, подобные дифференциальному исчислению, вы бы изобретали новый раздел математики, Но можно было бы просто сказать: придумай человек десятичную систему счета — это было бы некое математическое изобретение! — Даже если бы он уже располагал Principia Mathematica РлссЕла. — Каким образом приводятся в соответствие две системы доказательств? Устанавливают правило перевода, посредством которого выражения, доказанные в одной системе, можно перевести в выражения, доказанные в другой системе.

Ведь возможно представить себе, что некоторые — или все — системы доказательств сегодняшней математики скоординированы таким образом с одной системой, например системой РлссЕла. Так что все доказательства, хотя и более дотошным способом, были выполнимы в этой системе. Значит ли это, что тогда существовала бы только одна система, а не много систем? — Но тогда должна существовать возможность показать в рамках этой одной системы, что она может быть преобразована во множество других систем. — Одна часть системы будет обладать особенностями тригонометрии, другая — алгебры и т. д. Таким образом, можно сказать, что в этих частях используются различные техники. Я говорил: тот, кто изобрел счет в десятичной системе, сделал математическое открытие. А не мог ли он сделать это открытие всецело в РАССЕЛОВСКИХ символах? Тогда он открыл бы, так сказать, новый аспект.

«Но тогда истинность истинных математических суждений была бы доказуема, исходя из этих общих оснований». — Мне кажется, в этом-то и загвоздка. Когда мы говорим, что математическое суждение истинно? —

Мне кажется, что мы вводим, сами того не ведая, новые понятия

в логику РлссЕла. Например, когда уеганавливаем, какие

знаки формы „(3 х, г/, z,..)" должны считаться эквивалентными друг другу, а какие неэквивалентными.

Является ли само собой разумеющимся то, что „(З х, г/, z)" не есть тот же знак, что и „(3 х, г/, z, /г)"?

Но допустим, я сначала ввожу „р v q" и „~р" и конструирую с их помощью несколько тавтологий, а затем развертываю, например, ряд ~р, —р, р и т. д. и ввожу такую запись, как ~1р,

~2р, ... ~10р, ... Я бы сказал: сначала мы, пожалуй, совсем не думали о возможности такого вот упорядочивания, а теперь ввели в наше исчисление новое понятие. В этом и состоит «новый аспект». Ясно ведь, что я мог бы здесь ввести понятие числа, хотя бы и очень примитивным и ограниченным способом, но этот пример показывает все, что мне нужно.

Насколько верно было бы утверждать, что с помощью ряда ~р, ~~р, р и т. д. в логику вводилось бы некое новое понятие? — Так вот, прежде всего можно сказать, что это сделано с помощью «и т. д.». Ибо это «и т. д.» символизирует новый для меня закон образования знаков. Характерным признаком этого служит то, что для объяснения десятичной записи необходимо рекурсивное

Новая техника

Можно сказать и так: иметь понятие о РАССЕЛОВСКОМ построении доказательств и пре дложений еще не значит иметь понятие о лю-

Я бы сказал: РАССЕЛОВСКОЄ обоснование математики как бы запаздывает с введением новых техник — до тех пор пока наконец, не сочтут, что они уже больше вовсе не* нужны.

(Пожалуй, это похоже на то, как если бы я столь долго философствовал о понятии измерения длины, что забыл о необходимости реально установить для такого измерения ту или иную единицу

47. А можно ли то, что я хочу сказать, выразить так: «Если бы

ла, то с помощью РАССЕЛОВСКОЙ техники, например, дифференциальное исчисление еще, конечно, не было бы изобретено. Стало быть, тот, кто открыл бы этот тип расчета в расселовском исчислении »?

Предположим, передо мной РАССЕЛОВСКИЄ доказательства предло- „р р

„~р — „р =

и вот я нахожу сокращенный способ доказаг

„р = -Ю р",

Это равнозначно тому, как если бы я наї расчета в рамках прежнего исчисления. В чем же состоит эта ходка?

Скажи мне: открыл ли я обучении умножению мое подвид этих вычислений, как умножение с жителями, а потому я ввел запись „а" = ...?" Очевидно, что использование одной только «сокращенной» записі

или какой-либо иной записи — „ Ш2" вместо „16 х 16" — еще не дает ничего нового. Важно то, что мы теперь эти сомножители просто считаем.

Является ли „1615" просто другой записью „ 16 х 16 х 16 х 16 х 16 х 16 X 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16х 16 X 16"? Доказательство того, что 16І5 = .... состоит не просто в том, чтобы умножить 16 на самое себя 15 раз и получить этот результат, — доказательство должно показывать, что число используется в качестве сомножителя 15 раз.

Если я спрашиваю: «Что же нового в «новом способе исчисления», называемом возведением в степень», то ответить на этот вопрос очень трудно. Слово «новый аспект» неопределенно. Оно означает, что мы теперь смотрим надело несколько иначе, — но вопрос в том, каково существенное, важное проявление этого «иного видения». Прежде всего я хочу сказать: «Вовсе не обязательно, чтобы бросалось в глаза, что в определенных случаях все сомножители равны» — или: «Произведение одинаковых сомножителей есть новое понятие» — или: «Новое заключается в том, что мы по-другому производим расчеты». При возведении в степень явно существенно то, что учитывается число сомножителей. Однако это не означает, что мы каждый раз обращаем внимание на это число. Нам не должно бросаться в глаза, что имеются произведения с 2, 3, 4 и т. д. сомножителями, хотя мы часто получаем такие результаты. Новый аспект — но снова встает вопрос: что является его существенной стороной? Для чего я использую то, на что обратил внимание? Пожалуй, прежде всего это выражается в записи. Я пишу, например, ,,а2" вместо „ах а". Тем самым я адресуюсь к числовому ряду (отсылаю к нему), чего раньше не происходило. Так я устанавливаю здесь новую связь! — Связь — между чем и чем? Между техникой подсчета сомножителей и техникой умножения.

Таким образом каждое доказательство, каждое отдельное исчисление дает новые связи,

Но одно и то же доказательство показывает, что ах ах ах а ... = Ъ, и вместе с тем что ап = Ъ; нужно лишь осуществить переход согласно определению „а"".

Так именно этот переход и является новым. Если же это лишь переход к старому доказательству, то как он может быть важным? «Это только иной способ записи». Когда же он перестает быть только другим способом записи?

Не в том ли случае, когда годится лишь один способ записи, а никакой другой не может быть использован таким образом? Если кто-то вместо ,/(а)" напишет „(а)/' — это можно назвать «открытием нового аспекта»; можно сказать: «Он рассматривает функцию как аргумент ее аргумента». Или если кто-то вместо „ах а" запишет „ х (а)", можно сказать: «То, что раньше рассматривали как особый случай функции с двумя аргументами, он рассматривает как функцию с одним аргументом». Тот, кто делает так, конечно же, в некотором смысле изменяет аспект, он, например, соединил это выражение с другими, сопоставил с теми, с которыми раньше не сравнивал. — Но является ли в данном случае это важным изменением аспекта? Нет, до тех пор пока не будут сделаны определенные выводы. Верно, введя понятие числа отрицаний, я изменил аспект логического исчисления. «Так я его еще не рассматривал», — можно было бы сказать. Но важным это изменение становится только тогда, когда оно захватывает применение знака. Осмысление фута как 12 дюймов, конечно, означало бы изменение аспекта «фута», но важным это изменение стало бы лишь в том случае, если бы и длина теперь измерялась в дюймах. Тот, кто вводит подсчет знаков отрицания, вводит новый способ воспроизведения знаков.

Правда, для арифметики, толкующей о равенстве чисел, совершенно безразлично, как устанавливается числовое равенство двух классов, но для ее выводов не безразлично, как сопоставляются друг с другом соответствующие знаки, каким способом, например, устанавливается, одинаково ли число цифр в двух числовых знаках. Не введение числовых знаков в виде сокращений, а метод счета, — вот что важно. 48.

Я хотел бы объяснить неоднородность математики. 49.

«Я могу доказать и в РАССЕЛОВСКОЙ системе, что 127 : 18 = 7,05». Почему бы и нет. — Но должен ли при доказательстве РлссЕла получаться тот же результат, что и при обычном делении? Оба они, конечно, связаны друг с другом посредством счета (скажем, правилами перевода); но не попытка ли это осуществлять деление посредством новой техники — поскольку истинность результата зависит тут от геометрии переложения?

А положим, кто-нибудь скажет: «Ерунда — такие рассуждения не имеют никакого значения для математики».

— Но дело здесь не в неуверенности, ибо мы совершенно уверены в своих выводах, а в том, пользуемся ли мы все еще логикой (РлссЕла), скажем, производя деление. 50.

Изначальная значимость тригонометрии заключается в ее связи с измерениями длин и углов: она является разделом математики, ориентированным на измерение длин и углов. Применимость в этой области также можно назвать «аспектом» тригонометрии.

Допустим, я делю круг на равные сектора и определяю косинус одного из них путем измерения — расчет это или эксперимент? Если это расчет — является ли ОН НАГЛЯДНЫМ? Нагляден ли расчет при помощи логарифмической линейки? Если нужно определить косинус угла путем измерений, будет ли тогда предложение формы „cos а = п" математическим предложением? Что тут служит критерием решения? Говорит ли это предложение о чем-то внешнем — действиях с линейками ИТ. п., или же о чем-то внутреннем — связанном с нашими понятиями? Относятся ли фигуры (рисунки) в тригонометрии к чистой математике или они являются только примерами возможного применения? 51.

Если в том, что я намерен сказать, есть нечто истинное, то, например, счет в десятичной записи должен обладать своей собственной жизнью. — Конечно же, каждое десятичное число можно представить в форме:

и, исходя из этого, выполнять в этой записи четыре вида вычислений. Но жизнь десятичной системы должна быть независимой от счета при помощи единиц-черточек.

52. В связи с этим мне все время приходит на ум следующее: хотя в логике РлссЕла можно доказать выражение „а : Ь = с", но она не научит нас строить правильное выражение этой формы, то есть она не научит нас делить. Процесс деления соответствовал бы, например, некой систематической проверке доказательства РлссЕла, скажем с целью получить доказательство предложения типа „37 х 15 = х". «Но техника такой систематической проверки основывается в свою очередь на логике. Можно опять же логически доказать, что эта техника должна привести к цели». Значит, это сходно с тем, как доказывалось бы в Евклидовой системе, что то или иное построение можно осуществить этим или ИНЫМ способом. 53.

Что старается показать тот, кто стремится показать, что математика — это не логика? Он ведь хочет сказать нечто в этом роде: — если завернуть столы, стулья, шкафы и т. д. в достаточное количество бумаги, они в конце концов будут выглядеть как шарообразные.

Он не стремится показать, что для каждого математического доказательства невозможно строить «соответствующее» ему (каким- то образом) доказательство РлссЕла, он хочет показать другое — то, что признание такого соответствия основывается не на логике. «Но мы ведь всегда можем вернугься к простым логическим методам!» Ну, а если признать, что мьі это можем сделать, то как же получается тогда, что мы не дожиты этого делать? Или мы слишком поспешно, неосмотрительно уходим от этого дела? Но как мы возвращаемся к простому выражению? Избираем ли мы, например, путь вторичного доказательства и, дойдя до конца, возвращаемся назад к первичной системе, чтобы осмыслить, куда мы попали; или же движемся в двух системах и в конце пути соединяем конечные пункты? А откуда мы узнаем, что в первичной системе в обоих случаях получим один и тот же результат? А разве продвижение во вторичной системе не заключает в себе силу убеждения?

«Но мы можем, совершая каждый шаг во вторичной системе, думать, что он мог бы быть совершен и в первичной системе!» Дело именно в этом: можно представить себе, что он мог бы быть совершен, — не совершая его.

И почему мы принимаем одно вместо другого? На основе логики? «А разве нельзя логически доказать, что оба преобразования должны привести к одинаковому результату?» — Но ведь здесь речь идет о результате преобразований знаков! Как может решить этот вопрос логика? 54.

Как может доказательство в системе черточек доказать, что доказательство в десятичной системе является доказательством? Ну, а разве с доказательством в десятичной системе дело обстоит не так же^ как с построением в Евклидовой системе, относительно которого доказано, что оно действительно является построением определенной фигуры?

Можно ли сказать так: «Перевод системы черточек в десятичную систему предполагает рекурсивное определение. Это определение не вводит, однако, сокращения одного выражения через другое. Индуктивное доказательство в десятичной системе не содержит, конечно, множества всех знаков, которые переводились бы через рекурсивное определение в систему знаков-черточек. Потому это общее доказательство не может быть переведено путем рекурсивного определения в некое доказательство в системе черточек»? Рекурсивное определение вводит новую технику знаков.— Оно должно, следовательно, осуществлять переход к новой «геометрии». Нам преподается новый метод опознания знаков. Вводится новый критерий идентичности знаков. 55.

Доказательство показывает нам, что должно получиться. — И поскольку каждое воспроизведение доказательства должно демонстрировать именно это, то оно должно автоматически воспроизводить, с одной стороны, результат, а с другой — обязательность его сохранения.

Это значит: мы воспроизводим не только условия, в которых был получен однажды данный результат (как при эксперименте), но и сам результат. И все же доказательство не является игрой с заранее оговоренными условиями, поскольку оно должно быть способно снова и снова вести нас [указывать нам путь]., Мы должны быть способны, с одной стороны, совершенно автоматически воспроизводить доказательство, а с другой — это воспроизведение всегда должно оставаться доказательством результата . «Доказательство должно быть обозримым» — это положение, по сути, обращает наше внимание на различие понятий: «повторить доказательство» и «повторить эксперимент». Повторить доказательство не означает воспроизвести условия, в которых однажды был получен определенный результат; это значит повторить каждую ступень доказательства и его результат. Стало быть, доказательство должно быть чем-то, допускающим совершенно автоматическое воспроизведение, но при всем том каждое такое воспроизведение должно обладать доказательной силой, заставляющей признать данный результат. 56.

В каком случае мы говорим: одно логическое исчисление «соответствует» другому, пусть даже оно является его сокращенной формой? — «В том случае, если его результаты путем соответствующих дефиниций могут быть переведены в результаты этого другого исчисления». Но разве оговорено, как нужно производить расчет при помощи этих определений? Что позволяет нам приз- нать этот перевод? Является ли он в конечном счете игрой с заранее оговоренными правилами? Он становится таковой, если мы готовы признать только тот перевод, который приводит к привычному результату.

Почему мы называем некую часть логических исчислений РАССЕла соответствующей дифференциальному исчислению? — Потому что в ней доказываются предложения дифференциального исчисления. — Но ведь не в конечном же счете, не post hoc? — А разве это не безразлично? Достаточно того, что эти доказательства можно найти в системе РлссЕла! Но не являются ли они доказательствами этих предложений лишь в том случае, если их результаты можно перевести только в эти предложения? И будет ли это верным даже в случае умножения -в системе черточек при наличии нумерации черточек? 57.

Здесь следует вполне определенно сказать, что расчеты в записи при помощи черточек всегда совпадают с расчетами в десятичной записи. Возможно, для того чтобы добиться надежного совпадения, мы в какой-то момент будем вынуждены прибегнуть к тому, чтобы заставить несколько человек повторить расчеты с черточками. И то же самое мы предпримем при расчетах с еще большими числами в десятичной системе.

А это, конечно, свидетельствует уже о том, что не доказательства в системе черточек делают убедительными доказательства в десятичной системе.

«Но ведь если бы даже не было вторых, то можно было бы использовать первые доказательства, чтобы доказать то же самое». — То же самое? Что значит «то же самое»? — Это значит, что доказательство с помощью черточек убедит меня в том же самом, хотя и не тем способом. — Ну, а если бы я сказал: «То, к чему нас ведет доказательство, не может быть определено независимо от этого доказательства»? — Убедился ли бы я при помощи доказательства в системе черточек в том, что доказанное предложение обладает потенциалом использования, которым его наделило доказательство в десятичной системе, — показала ли бы, на пример, система черточек то, что это предложение может быть доказано и в десятичной системе? 58.

Разумеется, было бы бессмысленно говорить, что одно предложение не может иметь больше одного доказательства, — именно это мы и утверждаем. Но нельзя ли сказать: это доказательство показывает, что ... получается, если делать это; другое доказательство по- называет, что это выражение получается, если делать нечто иное? Ибо разве, например, математический факт, что 129 делится на 3, независим от того, что этот результат получается при этом расчете? Я подразумеваю: существует ли факт этой делимости независимо от логического исчисления, в ходе которого получается такой результат; или это является фактом именно данного исчисления?

Представь себе, что говорилось бы: «Путем счета мы познаем свойства чисел».

Но существуют ли свойства чисел вне счета? «Два доказательства доказывают одно и то же, если они меня убеждают в одном и том же». — В каком же случае они убеждают меня в одном и том же? Откуда я знаю, что они убеждают меня в одном и том же? Конечно же, не в результате интроспекции. К принятию этих правил можно подвести разными путями. 59.

«Каждое доказательство демонстрирует не только истинность доказанного предложения, но и то, что оно может быть доказано таким образом». — Но ведь оно может быть доказано и другим способом. — «Да, но доказательство доказывает это определенным способом и при этом доказывает, что это может быть продемонстрировано именно этим способом». — Но и это можно показать с помощью какого-то другого доказательства. — «Да, но не именно этим способом». —

Это означает примерно следующее: данное доказательство есть математическая сущность, которая не может быть заменена никакой другой; можно сказать, что оно способно убедить нас в чем-то таком, в чем не в состоянии убедить ничто иное и что можно выразить неким предложением, не соотнесенным ни с каким другим доказательством. 60.

Но не допускаю ли я грубой ошибки? Для арифметических предложений и предложений логики РлссЕла как раз существенно то, что к ним ведут различные доказательства. Более того, что к каждому из них ведет бесконечно много доказательств.

Верно ли, что каждое доказательство убеждает нас в чем-то таком, в чем может убедить нас только оно? Не стало ли бы тогда доказанное предложение как бы избыточным, а само доказательство тем, что уже доказано?

Убеждает ли меня доказательство лишь в доказанном предложении? Что значит: «Доказательство является математической сущностью, которая не может быть заменена никакой другой»? Это означает ведь, что каждое из доказательств имеет свое собственное значение, каким не обладает ни одно другое. Можно было бы сказать: «— что каждое доказательство, даже уже доказанного предложения, вносит определенный вклад в математику». Почему говорится о вкладе, если дело состоит лишь в доказательстве предложения? Ну, можно сказать: «Новое доказательство выявляет (или создает) новую связь». (Но тогда разве не существует математического предложения, говорящего о наличии этой связи?) О чем мы узнаем, когда видим новое доказательство, — помимо предложения, которое и без того уже знали? Узнаем ли мы нечто такое, что не может быть выражено в математическом предложении? 61.

Насколько использование какого-то математического предложения зависит от того, что позволено считать его доказательством, а что нет?

Можно же сказать: если выражение „137 х 373 = 46792" в обычном смысле верно, то должна существовать такая схема умножения, в крайних точках которой находятся стороны этого равенства. И такая схема является образцом, удовлетворяющим определенным правилам.

Берусь утверждать: не признай я схему умножения одним из доказательств предложения, это означало бы, что и применение этого предложения выпало из схем умножения. 62.

Подумаем вот о чем: недостаточно того, чтобы два доказательства приводили к одному и тому же знаку-предположению! Ибо откуда мы знаем, что этот знак оба раза говорит об одном и том же? Это должно вытекать из других взаимосвязей. 63.

Точное соответствие верного (убедительного) перехода в музыке и математике. 64.

Представь себе, что я даю кому-нибудь задание: «Найди доказательство предложения...» — решение должно было бы заключаться в предъявлении мне определенных знаков. Прекрасно, а каким условиям должны удовлетворять эти знаки? Они должны быть доказательством такого предложения — но является ли это геометрическим условием? Или психологическим? Иногда это можно назвать геометрическим условием; там, где средства доказательства заранее предписаны и ведется поиск определенной их комбинации. 65. Являются ли предложения в математике антропологическими предложениями, которые говорят о том, как мы, люди, умозак- лючаем и вычисляем? — Является ли свод законов сочинением но антропологии, которое сообщает нам, как люди, принадлежащие к этому народу, обращаются с вором и т. д.? Можно ли сказать: «Судья справляется в книге по антропологии и в соответствии с этим приговаривает вора к тюремному заключению»? Так ведь судья ИСПОЛЬЗУЕТ свод законов не как руководство по антропологии. 66.

Предсказание говорит не о том, что человек, следующий при преобразовании этому правилу, получит именно это, а о том, что он получит такой результат в том случае, когда мы говорим, что он следует этому правилу.

А что, если бы мы сказали, что математические предложения в этом смысле являются предсказаниями: они предсказывают, чего достигнут члены того или иного общества, которые обучились этой технике, в ходе совместных согласованных действий "с остальными членами этого общества? „25 х 25 = 625" означало бы тогда, что люди, если они, по нашему мнению, следуют правилам умножения, при умножении 25 х 25 придут к результату 625. — То, что это — верное предсказание, никаких сомнений не вызывает; как и то, что счет, по сути, основывается на таких предсказаниях. Это значит, что мы не называли бы нечто словом «считать», если бы не могли с уверенностью высказать подобное предположение. Это означает, собственно: счет — некая техника и все сказанное относится к сущности техники. 67.

Это согласие принадлежит счету по самой его сути, поскольку он надежен.

В технике счета должны быть возможны предсказания.

А это делает технику счета похожей на технику игры наподобие

шахмат.

Но как в таком случае обстоит дело с согласием — не означает ли оно, что один человек сам по себе не мог бы считать? Ну, во всяком случае, один человек не смог бы считать лишь однажды в своей жизни.

Можно было бы сказать: все возможные позиции в шахматах позволительно понимать как предложения, гласящие, что они (сами по себе) являются возможными игровыми позициями; или же как предсказания: люди могут достичь этих позиций в результате определенных ходов, которые они единодушно объясняют согласно правилам. Тогда полученная таким образом игровая позиция является доказанным предложением этого рода. «Счет есть некий эксперимент». Счет может быть экспери- ментом. Учитель просит ученика произвести некий расчет, чтобы понять, умеет ли он считать; это эксперимент. Когда утром в печке разводят огонь, является ли это экспериментом? Может являться в том или ином случае.

Вот так же и шахматные ходы не являются доказательствами, а положения фигур не являются предложениями. И математические предложения не являются игровыми позициями. И, таким обра зом, они не являются также предсказаниями. 68.

Если расчет — некий эксперимент, что является тогда ошибкой в расчете? Ошибка в эксперименте? Конечно же, нет; ошибка в эксперименте появилась бы в том случае, если бы не соблюдались условия эксперимента, если бы, например, кого-то заставили считать при страшном шуме.

А почему не скажешь: хотя ошибка в расчете — это не ошибка в эксперименте, но это все же неверный ход эксперимента — иногда объяснимый, иногда необъяснимый. 69.

«Расчет, например умножение, является экспериментом: мы не знаем у что получится, и узнаем это лишь тогда, когда будет выполнено умножение». — Конечно, так же как нам неизвестно, когда мы идем гулять, в каком месте окажемся через пять минут — но разве это делает прогулку экспериментом? — Нет; но при расчете я же хотел заранее знать, что получится, ведь меня интересовало именно это. Мне любопытно знать, каков будет результат. Но не в том смысле, что я намереваюсь сказать, а то, что я должен сказать.

Но разве на примере этого умножения ты интересуешься не тем, как именно будет считать большинство людей? Нет, во всяком случае, в обычной ситуации — нет, если даже я устремляюсь вместе со всеми в какой-то общий пункт назначения. Но ведь расчет как раз и показывает мне экспериментально, где находится этот пункт. Он позволяет мне мысленно отправиться в путь и уяснить, куда я попаду. А правильное умножение есть образец того, как мы все проделываем этот путь, когда нас направляют таким образом.

Опыт учит, что мы все признаем такой расчет верным. Мы осуществляем расчет и получаем результат. Но я хочу сказать, что нас здесь интересует не достигнутый — скажем, при тех

или иных условиях — результат, нас интересует картина

действия, разумеется, действия убедительного, так сказать, согла- сованного, но картина не итога эксперимента, а пути к нему. Мы не говорим: «Значит, мы действуем вот так!» — а говорим: «Значит, это происходит вот так!» 70.

Наше согласие проявляется в одинаковых действиях, — но мы пользуемся этой тождественностью только для предсказания того, с чем согласятся люди. Так же как предложением «Эта тетрадь красная» мы пользуемся не только для того, чтобы предсказать, что большинство людей назовет эту тетрадь «красной».

«И это мы называем „тем же самым"». Если бы не существовало совпадения в том, что мы называем «красным» и т. д. и т. д., язык перестал бы существовать. Каково же положение дел с согласием относительного того, что мы называем «согласием»? Мы можем описать феномен языковой путаницы; но что является для нас ее симптомом? Это не обязательно должна быть сумятица и хаотичность в действиях. Скорее уж, это тот случай, когда я не разбираюсь в том, что говорят люди, не могу реагировать согласованно с ними.

«Это для меня не языковая игра». В таком случае я мог бы также сказать: хотя они сопровождают свои действия произнесением звуков и я не могу назвать эти действия «путаными», но все же у них нет языка. — Но, может быть, их действия стали бы путаными, если бы им помешали издавать эти звуки. 71.

Можно сказать: доказательство служит пониманию. Эксперимент предполагает это.

Или даже: математическое доказательство формирует наш язык. Но все же нельзя отрицать того, что посредством математического доказательства можно делать научные предсказания относительно доказательств, выполняемых другими людьми. — Если у меня кто-то спрашивает: «Какого цвета эта книга» — и я отвечаю: «Она зеленая», — то не могу ли я с тем же успехом ответить: «Люди, говорящие по-немецки, называют ее „зеленой" („grim")»? А разве он не мог бы при этом спросить: «А как называешь ее ты?» Ведь он хотел услышать мой ответ. «Границы эмпиризма.» 72.

Но ведь существует наука об условных рефлексах счета; является ли это математикой? Такая наука должна опираться на эксперименты: и этими экспериментами будут вычисления. Но что, если эта наука стала бы весьма точной и, наконец, даже «математической» наукой?

Ну, а является ли результатом этих экспериментов совпадение расчетов людей или же их согласие в том, что они называют «согласием»? И т. д.

Можно сказать: такая наука не функционировала бы, если бы у нас не было согласия в понимании идеи совпадения. Понятно, что можно использовать математические работы для изучения антропологии. Но не вполне тогда ясно одно: должны ли мы говорить, что «этот текст показывает нам, как у этого народа принято оперировать знаками», или же мы должны говорить: «Этот текст показывает нам, какие разделы математики освоил этот народ»? 73.

Могу ли я, закончив операцию умножения, сказать: «Итак, с этим я согласен — »? — Но могу ли я то же самое сказать, сделав лишь одно действие в умножении? Например, произведя умножение „2x3 = 6"? Не более чем, глядя на этот лист бумаги, я могу сказать: «Итак, это я называю „белым"»?

Это, на мой взгляд, было бы аналогично такому заявлению: «Вызывая в своей памяти то, что делал сегодня, я провожу своего рода эксперимент (я заставляю себя проделать все сначала), и воспоминание, которое затем проявляется, призвано показать мне, что ответят на вопрос о моих действиях другие, видевшие меня люди». Что произошло бы, если бы мы чаще оказывались в такой ситуации: мы выполняем расчет и находим его правильным; затем выполняем его еще раз и обнаруживаем, что результат неверен: мы полагаем, что раньше допустили ошибку, — если затем мы произведем его снова, то нам покажется неверным наш второй расчет и т. д. ? Ну, а надо ли все это называть расчетом или нет? — В любом случае невозможно применить этот расчет для предсказания того, что некто в следующий раз придет к тому же результату. — А нельзя ли сказать, что он неверно вычислил в этот раз, так как в следующий раз так же он уже не сосчитает? Я мог бы сказать: там, где существовала бы такая неуверенность, не было бы счета.

Но с другой стороны, я все-таки говорю: «Счет правилен — в том виде, как он выполнен». Не может быть ошибки в счете „12 х 12 = = 144". Почему? Это предложение включено в наши правила. Является ли „12 х 12 = 144" высказыванием о том, что все люди, умножающие таким образом 12 на 12, непременно получают 144? 74.

Допустим, я многократно произвожу один и тот же расчет,' чтобы удостовериться в том, что делал его правильно, и в конце концов признаю его верным. — Разве я повторял эксперимент не с целью убедиться в том, что и в следующий раз все будет протекать так же? — Но почему троекратное пересчитывание должно меня убеждать в том, что и в четвертый раз ход процесса будет тем же самым? — Я бы сказал: я пересчитывал, чтобы быть уверенным в том, что «я ничего не пропустил».

Опасность здесь в том, что мы ищем, как мне думается, оправдание своему действию там, где этого оправдания не требуется и где мы должны просто сказать: мы делаем это вот так. Если кто-то снова и снова проводит эксперимент «постоянно с одним и тем же результатом», он тем самым делает эксперимент, который учит его тому, что называть «одинаковым результатом», то есть как использовать слово «одинаковый». Измеряет ли тот, кто измеряет стол дюймовой линейкой, и саму линейку тоже? Если он измеряет линейку, то он не может при этом измерять стол. А что, если бы я сказал: «Измеряя стол дюймовой линейкой, человек проводит эксперимент, который учит его тому, что получается при измерении этого стола всеми другими дюймовыми линейками». Ведь нет сомнения, что, исходя из измерения одной линейкой, можно предсказать, что даст измерение другими линейками. Как несомненно и то, что невозможность такого предсказания разрушила бы всю нашу систему измерения.

Ни одна линейка, можно сказать, не была бы верной, если бы все линейки в общем не совпадали. — Но, говоря это, я не имею в виду, что они были бы тогда все неверными. 75. Счет потерял бы смысл, если бы наступила неразбериха. Подобно тому как потеряли бы свой смысл слова «зеленый» и «голубой». И все же кажется нелепым утверждать, что предложение арифметики говорит: сумятица не наступит. — Не сводится ли решение этой проблемы просто к тому, что в случае наступления сумятицы предложение арифметики стало бы не ложным, а бесполезным? Подобно тому как утверждение, что длина этой комнаты 16 футов, не стало бы ложным в том случае, если бы наступила неразбериха в масштабах и измерениях. Его смысл, а не его истинность основывается на упорядоченном осуществлении измерений. (Но не будем здесь догматичны. Есть переходные случаи, затрудняющие рассмотрение.)

А что, если я скажу: математическое предложение выражает уверенность в том, что неразберихи не будет? —

Тогда и употребление всех слов выражает уверенность в том, что неразберихи не будет.

Но ведь нельзя же сказать, что употребление слова «зеленый» свидетельствует, что путаницы не будет, поскольку тогда употребление слова «путаница» в свою очередь должно было бы утверждать то же самое об этом слове.

Если „25 х 25 = 625" выражает уверенность в том, что здесь мы всегда легко придем к согласию, что путь, который заканчивается этим предложением, вполне приемлем, то почему оно не выражает уверенности в чем-то ином — скажем, в том, что мы всегда сможем прийти к согласию относительно его употребления? С этими двумя предложениями мы играем не в одну и ту же языковую игру.

Можем ли мы быть равно уверены в том, что там увидим тот же цвет, что и здесь, и в том, что будем склонны назвать цвет тем же самым, если он будет тем же самым?

Вот что я хочу сказать: математика как таковая является всегда мерой, а не измеряемым.

76. Понятие счета исключает неразбериху. Что получилось бы, если бы кто-то, производя умножение в разное время, получал бы разные результаты, понимал это, но считал бы, что все в порядке? — Но тогда он не смог бы использовать умножение для тех же целей, для которых используем его мы! Почему же нет? А разве не ясно, что у него тогда ничего не должно было бы получаться. Интерпретация счета как эксперимента представляется нам единственно реалистичной.

Все остальное, полагаем мы, просто вздор. В эксперименте мы имеем нечто вполне осязаемое. Это почти то же, как если бы утверждалось: «Поэт, когда он пишет стихи, проводит психологический эксперимент. Только так можно объяснить то, что стихотворение может иметь ценность». Сущность эксперимента искажается, если думать, что каждый процесс, результат которого нас очень интересует, являетсятем, что мы называем «экспериментом». Каким-то обскурантизмом представляется заявление, что вычисление — это не эксперимент. Точно так же, как и утверждение, что математика не оперирует знаками или — боль не является формой поведения. Но происходит это только потому, что люди полагают, будто тем самым утверждается существование некоего неуловимого, то есть подобного тени, предмета наряду с предметами,

которые всеми нами отчетливо воспринимаются. Тогда как мы всего лишь указываем на разные способы употребления слов. Это почти то же самое, что сказать: «голубое» должно обозначать

голубой предмет, иначе нельзя было бы понять назначение

этого слова.

77. Я придумал игру — с таким расчетом, что тот, кто начинает, всегда должен выиграть; значит, это не игра. Я изменяю ее; теперь все в порядке.

Проделал ли я эксперимент, в результате которого выяснилось, что начинающий всегда выигрывает? Или же выявилось, что это происходит потому, что мы склонны играть таким образом? Нет. Но

ведь результат получился не таким, как ты ожидал! Конечно же, нет; но это не делает игру еще и неким экспериментом. Но что это значит: не знать, из-за чего исход всегда должен быть таким? Так ведь все дело в правилах. — Я хочу знать, каким образом я должен изменить правила, чтобы добиться верной игры. — Но ты же можешь изменить их, например, совсем — то есть выбрать вместо твоей совершенно другую игру. — А вот этого я не хочу. Я хочу в общем и целом сохранить правила и только устранить ошибку. — Но это так неопределенно. И к тому же просто неясно, что следует считать такой ошибкой. Это почти то же самое, что сказать: в чем ошибка в этой музыкальной пьесе? Она нехорошо звучит в исполнении на этих инструментах. — Тогда как ошибку не обязательно искать в инструментовке; можно выло бы искать ее в темах. Предположим, однако, что игра такова, что тот, кто начинает, всегда может выиграть с помощью определенного простого трюка. Но это не дошло до сознания, — тогда это некая игра. И вот кто-то обращает на это наше внимание, и это перестает быть игрой. Какой поворот можно дать этому, чтобы уяснить ситуацию? — Я ведь хочу сказать: «И это перестает быть игрой», — а не: «И теперь мы понимаем, что это не было игрой».

Значит, я хочу сказать, это можно истолковать и так: кто-то другой не обратил наше внимание на что-то, но научил нас вместо нашей игры какой-то другой игре. —— Но как может новая игра вывести из употребления старую? — Мы теперь понимаем кое-что по-иному и не можем дальше играть так же наивно. Игра состояла, с одной стороны, из наших действий (игровых действий) на доске; и эти игровые действия я мог бы сейчас вы- поднять столь же хорошо, как прежде. Но с другой стороны, для игры было существенно, что я слепо пытался выиграть; теперь же я не могу более вести себя таким образом.

78. Предположим: первоначально люди обычным образом практиковали 4 вида счета. Затем они начали использовать в вычислениях выражения в скобках, а также выражения типа (а — а). И вот они заметили, что, например, умножение становится при этом многозначным. Должно ли это было бы сбить их с толку? Должны ли были бы они сказать: «Теперь прочный фундамент арифметики, кажется, пошатнулся»?

И если бы они теперь требовали доказательства непротиворечивости, ибо иначе они на каждом шагу подвергались бы опасности

сбиться, чего они требовали бы? В общем, они требовали бы

порядка. А разве раньше порядка не было? — Ну, они требовали бы порядка, который бы их теперь успокоил. — А разве они как дети и их надо убаюкивать?

И все таки умножение из-за своей многозначности стало как бы практически непригодным — то есть: неприменимым в прежних нормальных целях. Предсказания, которые основывались на умножениях, теперь бы не срабатывали. — (Если бы я хотел предсказать, какую длину будет иметь шеренга солдат, которая может быть образована из каре 50 х 50, я снова и снова приходил бы к неправильным результатам.)

Значит, этот тип вычислений неправилен? — Скорее, он неприменим для этих целей. (Вероятно, применим для других.) Не вроде ли того, как если бы я однажды вместо умножения стал бы делить? (Такое действительно может случиться.) Что означает: «Ты должен здесь умножать, а не делить!» — Что тут верной игрой является обычное умножение, что в нем невозможно оступиться? А что вычисление с помощью (а — а) — неподходящая игра — что в ней невозможно не споткнуться? (Описывать, а не объяснять — вот, чего мы хотим!) А что, если мы не вполне ориентируемся в нашем исчислении? Мы в лунатическом сне прошли путь между пропастями. — Но даже если мы сейчас говорим: «Теперь мы бодрствуем», — можем ли мы быть уверены, что в один прекрасный день не проснемся? (И тогда скажем: значит, мы снова спали.)

Можем ли мы быть уверены, что не существует пропастей, которых мы не видим?

А если я бы сказал: пропастей в исчислении нет, если я их не вижу! А не сбивает ли нас сейчас с толку чертенок? Ну, если и сбивает, это не имеет значения. Чего не знаешь, — о том не волнуешься. Предположим: один раз я делил бы на 3 таким образом:

1 1 11 1

а другой раз таким:

шТЇЇТПТІТГГІ 11

и не заметил этого. — И вот кто-то обращает на это мое внимание.

На ошибку? А так ли уж безусловно, что это ошибка? И при каких обстоятельствах мы называем это ошибкой?

79. ~/(Я = tfi(f)Def. ф(ф) = ~ф(ф)

Предложения „ф{фУ и « »ф{ф)" иногда, кажется, говорят нам то одно и то же, иногда же совершенно противоположное. В зависимости от того, как мы его рассматриваем, предложение «ф(ф)»> казалось бы, говорит то ~ф(ф), то нечто противоположное. И в одних случаях мы рассматриваем его как результат подстановки

1 Ф '

в других как

К.

1 Ф

Мы готовы заявить: «„ Гетеро л огический" — это не гетерологичес- кий; то есть можно назвать это „гетерологическим" по определению». И это звучит вполне правильно, проходит совершенно гладко, и противоречие вовсе не обязательно бросается нам в глаза. Если же противоречие замечено, мы склонны были бы прежде всего сказать: в утверждение о том, что ? гетерологично, мы вкладываем в том и другом случаях разный смысл. Один раз это — несокращенное утверждение, другой же раз — утверждение, сокращенное согласно определению.

Затем мы попытались бы выйти из положения, сказав: ,,ф{ф) = фх(фУ\ Но зачем нам так себя обманывать? Ведь здесь действительно два противоположных пути ведут к одному и тому же. Или же: столь же естественно в этом случае сказать ,~ф(ф)"> как и ^ф(фу\

Сказать, что С расположено справа от пункта А и что оно расположено слева, одинаково правомерно в соответствии с определенным правилом,

которое гласит, что некое место расположено в направлении, указанном стрелкой, если к нему ведет дорога, начинающаяся в этом направлении.

Рассмотрим это с точки зрения языковых игр. —

Первоначально мы играли в игру только с прямыми дорогами.

80. Можно ли, например, представить себе, что если я вижу что- то голубое, то это означает, что предмет, который я вижу, не голубой — что видимый мною цвет всегда расценивается как тот, который исключен? Я мог бы, скажем, допустить, что Бог всегда показывает мне какой-то цвет лишь для того, чтобы сказать: не этот. Или же происходит так: цвет, который я вижу, говорит мне только о том, что этот цвет играет некую роль в описании предмета. Он соответствует не предложению, а просто слову «голубой». И описание предмета может, таким образом, с равным успехом означать: «он голубой» и «он не голубой». Тогда говорят: глаз показывает мне только голубизну, а не ее роль. — Мы сопоставляем зрительное восприятие цвета со слуховым восприятием слова «го- лубой», если не слышим в предложении остального. Я хотел бы показать, что человека можно подвести к тому, чтобы ситуацию: нечто является голубым, — он пытался описать с помощью слов «оно голубое», и «оно не голубое». Что, стало быть, в наших силах так изменить метод проецирования, что „р" и „~р" приобретают одинаковый смысл. Но это утрачивается, если не ввести чего-либо нового в качестве отрицания. При этом языковая игра может из-за противоречия утратить свой смысл, характер языковой игры.

И здесь важно сказать, что этот характер очерчивается не тем, что говорится: звуки должны производить известное воздействие. Ибо языковая игра (2) * лишилась бы характера языковой игры, если бы вместо 4 приказаний строители издавали все новые и новые звуки и даже если было бы можно доказать с точки зрения физиологии, что каждый раз именно эти звуки заставляют помощника приносить те строительные камни, которые он приносит. Здесь также можно было бы сказать, что языковые игры важно, конечно, рассматривать и потому, что они постоянно продолжают функционировать. То есть важность их рассмотрения определяется тем, что люди могут быть приучены к такой реакции на звуки. С этим, как мне кажется, связан вопрос о том, является ли вычисление экспериментом, имеющим целью предсказать ход вычислений. Что если кто-то выполнил вычисление и — правильно — предсказал, что в следующий раз будет вычислять иначе, ибо обстоятельства в следующий раз изменятся хотя бы потому, что таким способом вычисление произведено уже много раз? Вычисление — это феномен, который мы узнаем из вычисления. Так же как язык — это феномен, который мы знаем из нашего языка. Можно ли сказать: «Противоречие безвредно, если его можно изолировать»? А что мешает нам изолировать его? То, что мы как следует не ориентируемся в исчислении. Стало быть, в этом и заключен вред. И это как раз имеется в виду, когда говорят: противоречие показывает, что в нашем исчислении что-то не в порядке. Оно есть просто локальный симптом болезни всего тела. Но тело больно только тогда, когда мы не ориентируемся. Исчисление несет в себе скрытую болезнь, а это значит: то, что мы имеем, и в том виде, в каком оно имеется, не исчисление, и мы не ориентируемся, то есть не можем провести никакого ис- числения, которое бы «в сущности» соответствовало этому подобию исчисления и лишь исключало из него все непригодное. Но как возможно не ориентироваться в некотором исчислении; разве оно не открыто нам?

Допустим мы усвоили исчисление у ФРЕГЕ вместе с его противоречием. Но так, что это противоречие не представляется чем-то болезненным. Оно, скорее уж, являет собой признанную часть исчисления, с его помощью вычисляют. (Вычисления не служат обычной цели логических исчислений.) — Так вот, ставится задача заменить это исчисление, вполне респектабельной частью которого является противоречие, другим, в котором не должно быть этого противоречия, ибо исчисление хотят использовать в целях, сделать противоречие нежелательным. — Что это за задача? И какого рода неспособность имеется в виду, если говорят: «Мы еще не нашли исчисления, удовлетворяющего этому условию»? Говоря: «Я не ориентируюсь в исчислении», — я имею в виду не состояние души, а неспособность что-либо сделать. Часто для прояснения какой-то философской проблемы бывает полезно представить себе историческое развитие, например в математике, совершенно иным, чем оно было в действительности. Если бы оно было иным, то никому бы не пришло в голову говорить то, что говорят в действительности.

Я бы поставил вопрос, например, так: «Стремишься ли ты в своем исчислении к пользе? — Тогда у тебя не возникнет и противоречия. А если ты не стремишься к пользе, то в конце концов неважно, если даже противоречие и получится».

81. Наша задача заключается не в поисках исчислений, а в том, чтобы описать нынешнее состояние дел.

Идея предиката, истинного относительно себя самого и т. д., опирается, конечно, на примеры, — но ведь эти примеры были глупостями, они же вовсе не были придуманы. Но это не говорит о том, что такие предикаты нельзя было бы использовать, а противоречие не имело бы применения!

Я имею в виду следующее: если внимание действительно направлено на использование, то не придет в голову написать ,/(/)". С другой стороны, если знаки в исчислении употребляют, так сказать, без каких-либо предпосылок, то можно написать и ,/(/)", а потом нужно сделать выводы, и нельзя забывать, что еще нет никакого представления о возможном практическом использовании этого исчисления.

Сводится ли вопрос к тому: «Где мы покидаем область применимости?» —

Ибо разве невозможно хотеть породить противоречие? Чтобы мы с гордостью за наше математическое открытие сказали бы: «Смотри, вот рк мы производим противоречие». Разве невозможно, чтобы множество людей стремились, например, произвести противоречие в области логики и чтобы в конце концов кому-то это бы удавалось?

Но почему же люди должны пытаться сделать именно это? — Ну, я, пожалуй, не смогу здесь предположить какую-то убедительную цель. А почему бы, например, не с целью показать, что в этом мире все неопределенно?

Эти люди, правда, никогда не стали бы на самом деле использовать выражения типа ,/(/)", но они были бы рады жить в соседстве с противоречием.

«Усматриваю ли я некий порядок, мешающий мне неожиданно прийти к противоречию?» Это все равно что сказать: покажи мне в моем исчислении порядок, который убедит меня, что я таким способом ни разу не приду к числу, которое... Я приведу ему тогда, например, рекурсивное доказательство.

Но разве неправильно сказать: «Что ж, я пойду своим путем дальше. Увижу противоречие, тогда и нужно будет с этим что-то предпринять»? — Значит ли это: в действительности не заниматься математикой? Почему это не должно быть вычислением? Я спокойно пойду этим путем дальше; если мне придется наткнуться на пропасть, я попытаюсь ее обойти. Разве это не значит «идти»? Представим себе такоий случай: люди некоего племени могут считать только устно. Они еще не знают письменности. Они учат своих детей считать в десятичной системе. В их счете часто встречаются ошибки, цифры повторяются или упускаются, а они этого не замечают. Вот какой-то путешественник записывает фонограмму их счета. Он учит их письменности и письменному вычислению и затем показывает им, как часто они ошибались при устном счете. — Должны ли теперь эти люди признать, что прежде они, собственно, и не производили вычислений? Что они только топтались на месте, а теперь идут? А разве они не могли бы сказать: раньше наши дела шли лучше, наша интуиция не была отягощена мертвой буквой? Невозможно постигнуть дух с помощью машин. Возможно, они говорят: «Если тогда мы, как утверждает твоя машина, повторяли какую-то цифру, то, значит, так и надо было».

Мы доверяем, например, «механическим» средствам вычисления или счета больше, чем нашей памяти. Почему? — Должно ли быть так? Я могу ошибиться в счете, машина, сконструированная нами так-то и так-то, не может. Должен ли я придерживаться такой точки зрения? — «Что же, опыт научил нас тому, что выполнение вычислений с помощью машины более надежно, чем с помощью памяти. Это научило нас тому, что наша жизнь пойдет более гладко, если мы будем производить вычисления с помощью машин». Но должна ли гладкость обязательно быть нашим идеалом (должно ли быть нашим идеалом все завернутое в целлофан)?

А разве я не мог бы доверять памяти и не доверять машине? И разве невозможно не доверять опыту, который «морочит мне голову» тем, что машина надежнее?' 82.

Прежде я не был уверен, что среди типов умножения, соответствующих этому описанию, нет ни одного, который дает иной результат по сравнению с признанным. Но допустим, моя неуверенность такова, что появляется лишь в преддверии нормального типа вычислений; и предположим, мы сказали: она ничему не мешает, ибо если я вычисляю совсем уж необычным образом, то должен все это еще раз обмозговать. Разве это не было бы правильно? И все же я хочу спросить: должно ли доказательство непротиворечивости (или однозначности) непременно дать мне большую уверенность, чем та, что есть у меня и без того? А если я действительно пускаюсь на авантюры, разве я не могу пускаться на такие авантюры, в которых это доказательство больше не дает мне какой-либо уверенности?

Моя цель заключается в том, чтобы изменить установку по отношению к противоречию и к доказательству непротиворечивости. (А не в демонстрации того, что это доказательство показывает мне что-то незначительное. И как это могло бы быть]) Если бы для меня было важно, например, порождать противоречия в эстетических целях, то я бы без долгого раздумья принял индуктивное доказательство непротиворечивости и сказал бы: безнадежно стремиться произвести противоречие в этом исчислении, доказательство показывает нам, что это не получится. (Доказательство в теории гармонии.) 83.

Пожалуй, удачным можно считать такое выражение: «Это исчисление не ведает этого порядка (этого метода), а то исчисление ведает».

А как быть, если говорят: «Исчисление, не знающее этого поряд •ка, собственно, не есть исчисление»?

(Канцелярия, не знающая этого порядка, собственно, не есть канцелярия.)

Беспорядка, смею утверждать, избегают в практических, а не в теоретических целях.

Порядок вводят потому, что без него не клеится дело, — или же его вводят, подобно обтекаемым формам детских колясок и ламп, поскольку он, к примеру, где-то в другом месте оправдал надежды и, таким образом, стал стилем или модой.

Злоупотребление идеей механического обеспечения безопасности в отношении противоречия. А как быть, если части механизма сплавятся друг с другом, сломаются или погнутся? 84.

«Только доказательство непротиворечивости демонстрирует мне, что я могу доверять исчислению».

Что это за предложение: только в таком случае можно доверять исчислению...? А если ты доверяешь ему без такого доказательства? Какого типа ошибку ты совершил?

Я навожу порядок, я говорю: «Есть только эти возможности: ...» Это похоже на то, как если бы я определял возможные перестановки элементов A, JS, С: прежде чем появился бы порядок, у меня было бы лишь туманное представление об этом множестве. — Совершенно ли я теперь уверен, что ничего не пропустил? Порядок — это средство ничего не пропустить. Но не пропустить какую-либо возможность в исчислении, или: не пропустить какую- либо возможность в реальности? — А достоверно ли, что люди никогда не захотят вычислять иначе? Что они никогда не будут воспринимать наше исчисление так же, как мы — счет дикарей, числовой ряд которых доходит только до пяти? — Что мы никогда не захотим Интерпретировать реальность иначе? Но это отнюдь не та уверенность, которую должен нам дать этот порядок. Должна быть обеспечена не вечная правильность исчисления, а Только, так сказать, временная.

«Но ты ведь имеешь в виду эти возможности! — Или же другие?» Порядок убеждает меня в том, что, имея эти 6 возможностей, я ничего не пропустил. Но убеждает ли он меня также в том, что ничто не сможет опровергнуть мое теперешнее понимание таких возможностей? 85,

Можно ли представить себе, что возможность построения се- миугольной конструкции вызывает те же самые опасения, что и структура противоречия, и что доказательство невозможности семиугольной конструкции имело бы столь же успокоительное воздействие, как и доказательство непротиворечивости? Как получается, что мы вообще склонны (или близки к этому) в (3 — 3) х 2 = (3 — 3) х 5 сократить (3 — 3)? Как получается, что этот шаг по правилам выглядит понятным, и как получается, что он потом все-таки оказывается неприменим? Пытаясь описать эту ситуацию, необычайно легко ошибиться. (То есть ее очень трудно описать.) Описания, которые непосредственно приходят в голову, вводят нас в заблуждение — так, в этой области, устроен наш язык.

При этом всегда от описания соскальзывают к объяснению. Это происходит или же выглядит примерно так: у нас есть исчисление, скажем, с помощью костяшек на счетах; заменим его исчислением с помощью письменных знаков. Это исчисление приблизит нас к такому расширению способа вычисления, к которому не подводило первое исчисление, — или, пожалуй, лучше сказать: второе исчисление стирает различие, которое в первом нельзя было не заметить. Ну, а если проведение этого различия было смыслом первого исчисления, а во втором это различие не проводится, то тем самым второе утратило способность быть эквивалентом первого. И теперь, по-видимому, могла бы возникнуть проблема: где мы отошли от первоначального исчисления, какие рубежи в новом соответствуют естественным границам старого? У меня есть система правил вычисления, смоделированных по правилам некоего другого исчисления. Я взял его себе за образец. Однако вышел за его пределы. Это было даже преимуществом; тем не менее теперь новое исчисление в некоторых ситуациях (по крайней мере для старых целей) стало непригодным. Поэтому я пытаюсь его изменить, то есть заменить его несколько иным исчислением. Притом таким, которое обладает преимуществами нового, будучи лишено его недостатков. Но является ли это ясно определенной задачей?

Существует ли — можно также спросить — правильное логическое исчисление, только без противоречий?

Можно ли, например, сказать, что хотя «теория типов» РлссЕла и избегает противоречия, но исчисление РАССЕЛЯ все же не универсальное, а искусственно ограниченное, искаженное логическое исчисление? Можно ли сказать, что чистое, универсальное логм ческое исчисление еще только должно быть найдено? Я играл в игру и следовал при этом четким правилам, но как я им следовал — это зависело от обстоятельств, и эта зависимость не была записана черным по белому. (Это представление в некоторой степени вводит в заблуждение.) И вот я захотел так играть в эту игру, чтобы «механически» следовать правилам, и «формализовал» игру. При этом, однако, я дошел до таких ситуаций, где игра утратила всякий смысл: я хотел поэтому их «механически» избежать. — Формализация логики не вполне удалась. Но зачем вообще ее пытались провести? (Зачем она была нужна?) Не исходила ли эта потребность и мысль о том, что она должна удовлетворяться, из неясности в другом месте?

Вопрос «Зачем она была нужна?» был очень существенным вопросом. Ибо исчисление было придумано не для практической цели, а для того, чтобы «обосновать арифметику». Но кто говорит, что арифметика есть логика; или же что надо сделать с логикой, чтобы превратить ее в каком-то смысле в фундамент арифметики? Если нас подталкивают к таким попыткам, например, эстетические соображения, то кто говорит, что в этом можно преуспеть? (Кто говорит, что это английское стихотворение может быть, к нашему удовлетворению, переведено на немецкий?!) (Даже если и ясно, что для каждого английского предложения, в каком-то смысле есть перевод на немецкий.) Философская неудовлетворенность исчезает благодаря тому, что мы больше понимаем.

Благодаря тому, что я считаю позволительным сокращение (3 — 3), этот тип вычисления утрачивает свой смысл. А что, если, например, ввести новый знак равенства, который должен был бы выражать: «равно, после этой операции»? Но разве уместно было бы говорить: «Выиграл в этом смысле», — если в этом смысле я выигрывал бы каждую игру?

Исчисление провоцировало меня в определенных случаях на упразднение его самого. Теперь я стремлюсь к такому исчислению, которое этого не делает, и исключаю такие ситуации. — Но означает ли это, что любое исчисление, в котором такое исключение не происходит, является ненадежным? «Что же, выявление этих случаев было для нас предостережением». — А не ошибочно ли понял ты это «предостережение»?

86. Можно ли доказать, что ничего не пропущено? — Конечно. А не придется ли кому-нибудь позже признать: «Да, я что-то пропус- тил; но не в той области, для которой имеет силу мое доказательство»?

Доказательство непротиворечивости должно дать нам основания для предсказания; и в этом его практическая цель. Это не значит, что такое доказательство принадлежит физике нашей вычислительной техники — стало быть, прикладной математике, — но это значит, что тем ближайшим его применением, ради которого мы ценим это доказательство, служит некое предсказание. Это предсказание не таково: «Этим способом не получится беспорядка» (ведь это было бы не предсказанием, а математическим выражением). Предсказывается другое: «Не произойдет никакого беспорядка».

Я хотел сказать: доказательство непротиворечивости может успокоить нас только тогда, когда оно является убедительным основанием для этого предсказания. 87.

Там, где мне достаточно доказательства, что противоречие или трисекцию нельзя соорудить таким способом, там индуктивное доказательство дает то, чего от него требуют. Однако если я должен опасаться, что что-то тем или иным образом когда-то может быть истолковано как порождение противоречия, то никакое доказательство не может избавить меня от этого смутного опасения. Ограда, которую я возвожу вокруг противоречия, не есть сверхограда.

Как исчисление может быть в принципе упорядочено путем того или иного доказательства?

Разве оно могло не быть верным исчислением до тех пор, пока не нашли этого доказательства?

«Это доказательство чисто механическое; его могла бы выполнить машина». Что за машина? Машина, изготовленная из обычных материалов, или же сверхмашина? Не путаешь ли ты твердость правила с твердостью материала?

Мы увидим противоречие в разном свете, если рассмотрим его появление и его последствия как бы антропологически или же если взглянем на него с возмущением математика. То есть мы увидим его по-разному, если попытаемся просто описать, как противоречие влияет на языковые игры, и если посмотрим на него с позиции математического законодателя. 88. Но стоп! Разве не ясно, что никто не хочет прийти к противоречию? Что, стало быть, тот, кому ты укажешь на возможность противоречия, сделает все, чтобы противоречие было невозможно? (Что, следовательно, тот, кто этого не сделает, простофиля.) А, допустим, он ответил: «Я не могу представить себе противоречия в моем исчислении. — Ты, правда, показал мне противоречие в другом исчислении, но не в этом. В этом нет противоречия, и я не вижу здесь возможности для него»?

«Если мое понимание исчисления в какой-то момент с необходимостью изменится, если благодаря окружению, которого я сейчас не вижу, непременно изменится его аспект — тогда и продолжим разговор об этом».

«Я не вижу возможности противоречия. Так же не вижу, как и ты, по-видимому, не видишь возможности такового в твоем доказательстве непротиворечивости».

Знаю ли я, что мне покажется опасным противоречие, столкнись я однажды с таковым там, где сейчас считаю его невозможным? 89.

«Чему учит меня доказательство, помимо его результата?» — Чему учит меня новая мелодия? Разве я не чувствую искушения сказать, что она учит меня чему-то? —

И9

6 — 1923 90.

Роль ошибки в расчете я еще не объяснил. Роль предложения: «Должно быть, я ошибся в вычислении». Это, по сути, ключ к пониманию «оснований» математики.