§ 11. Теория параллельности Лейбница.

Он определяет параллельные (и при этом не только прямые, но и какие угодно линии), как равноотстоящие.

Все свойства параллельных выводятся просто из этого определения. Но определение это именно предполагает эквивалентную аксиому о том, что геометрическое место точек, равностоящих от прямой, представляет прямую. Как известно, в геометрии Лобачевского это геометрическое место, кривая - гиперцикл. Лейбницианское34 определение, конечно, предполагает такую скрытую аксиому. д В Q М

"Параллельные, — говорит Лей- V 7 'Г 7

бниц, - это те, которые везде нахо- \ / \ /

дятся взаимно в том же отношении'". \ / \ /

„Paralcllae possuiil definiri V Л/

rectae qiialinvicetn ubiciiiique liabent P T

eodemmodo". І ерг.

Лейбницианское определение предполагает, что не только операции восстановления перпендикуляров в различных точках прямой и откладывание равных отрезков дают параллельную прямую, но и что вообще одинаковые построения, производимые над прямой в различных точках, дают также параллельную упрямую.

Так, например, если мы в одном месте отложим отрезок АВ и в другом месте такой же отрезок QM и построим на них равносторонние треугольники, то вес вершины этих треугольников окажутся на параллельной прямой (черт. 2).

Вместо этого построения молено взять и другое. Можно строить равные параллелограммы ABDE, LMNP и брать точки пересечения их диагоналей Т и Q.

То, что существует такое геометрическое место, такое, что каждое из построений, возможное в одном месте, возможно и в другом, - это выводится из изогенности пространства, из того, что пространство здесь таково же, как там.

м

По Лейбницу, из того, что геометрическое место находится в том же отношении к прямой, вытекает ее однородность, но только не в смысле гомогенности, а в смысле изогенности - одинаковые построения в различных местах должны давать те лее результаты. Но подобные построения могут давать различные результаты.

Если на концах отрезка AD построить перпендикуляры AB=DC, то в силу изогенности пространства, следует ожидать, что углы В и С будут равны. Но равенство углов В и А,

D и С отсюда не вытекает, оно вытекает из гомогенности пространства.

Дальше Лейбницу следовало бы так рассуждать:

Если вместо AD взять A'D' и на нем построить четырехугольник A'D'B'C' с прямыми углами при основании и с равными боковыми сторонами, то должны получить угол В' равный В. в С У8 / В' с \ / \ А А' О D' D Уменьшая A'D', мы должны будем прнзнать, что и в том случае, когда A'D' обратить в точку а, В'С' пойдет по AD, углы, смежные углам В', С', окажутся равными углам, смежными с А' и D'. Как и при доказательстве Валлиса, собственно одной гомогенности пространства оказывается недостаточно. Необхо- Черт. 4. димо еще применить общий принцип пределов: то, что остается неизменным при изменении переменных X, Y, Z..., остается верным и в пределе. Это Лейбницем высказано в форме очень общего положения, имевшего у него более метафизический, чем математический характер34. По существу оно совпадает с первой половиной принципа непрерывности Понслэ: если какое-нибудь положение доказано при ограничении так, что некоторые величины а, Ь, с... не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность и не принимают мнимых значений, то оно остается верно и тогда, когда эти ограничения сняты.

Но Лейбниц сам к этому принципу не прибегает. Он говорит, что в виду того, что смежные углы при А равны, пет основанім чтобы они при В оказались неравными. Это довольно темно и требует разъяснения.

У Р

—может зависеть только от — и если 6 = а, то обязательно у = 5 .

Ь а § 12 ІІаллис.

Принцип изогенности пространства, конечно, шире, чем принцип § 4, а гомогенности - чем принцип § 5.

Аксиома § 4 вовсе не постулирует существование где угодно объектов, равных данным, а только указывает условие равенства уже данных, она вовсе не постулирует возможность производства какой-либо операции где угодно. Аксиома § 5 вовсе не постулирует возможности уменьшения в какой угодно мере с сохранением формы.

Но можно сказать, что возможность передвижения и возможность уменьшения объекта - положеній тоже более узкие, чем принципы изогенности и гомогенности тел, когда это передвижение указывается в определенном направлении или уменьшение в определенных размерах.

Теорема параллельных Валлиса постулирует возможность построения иа гаком угодно отрезке треугольника, подобного данному, но он может требовать и меньшего, - только возможности построения такого на продолжении стороны, и при этом только прямоугольного.

Чтобы доказать, что наклоним BQ пересекается с перпендикуляром АР, Валлис строит с тем же углом прямоугольный треугольник АЬС так, чтобы он пересек перпендикуляр. Затем на АВ строит прямоугольный треугольник, существование которого доказывает пересекаемость BQ и АР в силу того, что BQ пойдет вдоль ЬС.

При этом и здесь неизбежно применяется общий принцип теории пределов. Возможность пересечения ЬС с АР доказывается тем, что если бы это не было возможно нн при каком АЬ, сколь мало оно ни было, оно было бы невозможно и при АЬ=0, т.е. когда ВС проходит через А.