§ 3. Способ приближенного решения уравнений.
А(х) = К (6)
х = хо; имеем
Решение тогда определяем из пропорции
х _ К Хо Кц
Если нельзя уїсазать точное значение для х, естественно довольствоваться приблизительным, которое ісак можно меньше отличается от первого.
Такое нетомное значение х находится примитивным способом проб, как это указано в § 1.
Предположим, что система операции А (х) разлагается иа С (х) и D (х); уравнение (6) символически представляется в следующем виде: [C(x),D(x)]=K (7)
Пусть все затруднение в D(x).
Задачу С(х) = К мы решили бы просто. (8)
Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить D (х) и решать ур.
(8).Этот прием может дать приближенное решение, но как получить ещо, более точное?
Тут выступает благотворная идея.
При разыскании более точного значения х ие отбрасывать D (х), а производить эти операции над первым приближением х = а, т.е. решать уравнение
[С(х), D(a)] = К (?>)
В этом и состоит выправление неточного решения в более точное X = Ь. Следующий момент состоит в решении уравнения [C(x),D(b)]=K (10)
И т.д.
И здесь метод обоснован верой в то (что в общем случае, конечно, неправильно), что ряд а, Ь, с... сходится к корню заданного уравнения (7).
В то время, как в первоначальном виде выправление ложного предложения иа основании полученного при нем результата производилось до точного значения неизвестного, при переходе от точного решения уравнения к приближенному понятие о выправлении ложного предложения обратилось в полученное из этого ложного предложения другого, тоже ложного, но более, чем первое приближающегося к истинному. Для решения уравнения Кеплера
х - esinx = и (11)
где u, е даны, причем е мало, берут х = и за первое предположение - первое qjy6oe приближение xQ.
Выправление этого грубого приближения совершается с помощыо уравнения
х - esinx = и о
дающего тоже неточное, по, вообще, более полное, чем первое, приближение.
Эта же идея прилагается и Жерардом" к решению уравнения третьей степени
х3 - mVx - mV = 0 (12)
к которому сводится всякое уравнение типа Xі - рх - q = О
Полагая sin 2 ю = — г
приводим (12) к виду
sin 2оо + 2m = 2tg(0.
Для получения последовательных приближений, берем со = х (при- ближ. полученного пробами).
Второе получаем из уравнения sin2со + 2m = 2tga , третье из sin 2со + 2m = 2tg|3.
В этом виде regnla falsi избегают даже в высших технических заведениях, вследствие невозможности строгого обоснования этого метода.
Конечно, это большая ошибка, ибо высшее техническое заведение должно обращать внимание на те отделы математики, в которых нуждаются технические науки, и лучше дать технику в руки плохо обоснованный метод решения трансцендентных уравнений, чем не дать ничего.
С развитием разложения в ряды как орудия исследования, regula falsi принимает такую форму: х = х0 - грубое приближение корня уравнения
f(x) = 0 (13)
так что точное значение будет:
х = х +11.
о
Уравнение (13) представляется в форме разложения a+ali + ah2+...
=00 I 2
К этому-то уравнению и применяется та операция, которую мы прилагаем к уравнению Кеплера, т.е. отбрасывание членов;
air + a h3 + ...
2 3
и определяется первое приближение
Полагая
X = X + h +h' = х +h',
О I 1
мы аналогично определяем уравнение для h'; с помощью его приближаемого значения, получаемого отбрасыванием членов a' h'* + ..., выправляем х, до более точного значения х(+ h', и т.д.
Формула Тейлора дает возможность написать для h, h\ h", так сказать, готовые формулы и установить так называемый метод Ньютона приближенного определения корней уравнения.
Еще по теме § 3. Способ приближенного решения уравнений.:
- Раздел II, в котором идет речь об апелляциях на неправосудные решения и о способах приведения их в порядок
- ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИЗИСА
- 8.1. ПОВЕДЕНИЕ ПТИЦ ПРИ ПРИБЛИЖЕНИИ САМОЛЕТА
- 2.1.3 Уравнение материального баланса сушащего газа.
- 2.1.2 Уравнение теплового баланса сушащегося вещества.
- 2.1.1 Уравнение материального баланса сушащегося вещества.
- Определение кривой уравнением и функции графиком
- 2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.
- 2.1 Уравнения материального и теплового балансов для получения динамической модели процесса сушки.
- РАССУЖДЕНИЕ ПЕРВОЕ ОБЩЕЕ СРАВНЕНИЕ ТОГО СПОСОБА, КАКИМ ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЗНАНИЯ ДОСТИГАЕТСЯ В МАТЕМАТИКЕ, С ТЕМ СПОСОБОМ, КАКИМ ОНА ДОСТИГАЕТСЯ В ФИЛОСОФИИ
- А н а л и т и ч е с к и й способ
- Способы мышления
- Способы формовки
- Синтетический способ
- 4. СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ
- СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ