<<
>>

§ 3. Способ приближенного решения уравнений.

Regula falsi, бесспорно, родоначальник приближенных методов вычисления. Сущность простого фальшивого правила молено представить следующим образом: полагая в уравнении

А(х) = К (6)

х = хо; имеем

Решение тогда определяем из пропорции

х _ К Хо Кц

Если нельзя уїсазать точное значение для х, естественно довольствоваться приблизительным, которое ісак можно меньше отличается от первого.

Такое нетомное значение х находится примитивным способом проб, как это указано в § 1.

Предположим, что система операции А (х) разлагается иа С (х) и D (х); уравнение (6) символически представляется в следующем виде: [C(x),D(x)]=K (7)

Пусть все затруднение в D(x).

Задачу С(х) = К мы решили бы просто. (8)

Конечно, первое, что приходит на мысль, это просто отбросить D (х) и решать ур.

(8).

Этот прием может дать приближенное решение, но как получить ещо, более точное?

Тут выступает благотворная идея.

При разыскании более точного значения х ие отбрасывать D (х), а производить эти операции над первым приближением х = а, т.е. решать уравнение

[С(х), D(a)] = К (?>)

В этом и состоит выправление неточного решения в более точное X = Ь. Следующий момент состоит в решении уравнения [C(x),D(b)]=K (10)

И т.д.

И здесь метод обоснован верой в то (что в общем случае, конечно, неправильно), что ряд а, Ь, с... сходится к корню заданного уравнения (7).

В то время, как в первоначальном виде выправление ложного предложения иа основании полученного при нем результата производилось до точного значения неизвестного, при переходе от точного решения уравнения к приближенному понятие о выправлении ложного предложения обратилось в полученное из этого ложного предложения другого, тоже ложного, но более, чем первое приближающегося к истинному. Для решения уравнения Кеплера

х - esinx = и (11)

где u, е даны, причем е мало, берут х = и за первое предположение - первое qjy6oe приближение xQ.

Выправление этого грубого приближения совершается с помощыо уравнения

х - esinx = и о

дающего тоже неточное, по, вообще, более полное, чем первое, приближение.

Эта же идея прилагается и Жерардом" к решению уравнения третьей степени

х3 - mVx - mV = 0 (12)

к которому сводится всякое уравнение типа Xі - рх - q = О

Полагая sin 2 ю = — г

приводим (12) к виду

sin 2оо + 2m = 2tg(0.

Для получения последовательных приближений, берем со = х (при- ближ. полученного пробами).

Второе получаем из уравнения sin2со + 2m = 2tga , третье из sin 2со + 2m = 2tg|3.

В этом виде regnla falsi избегают даже в высших технических заведениях, вследствие невозможности строгого обоснования этого метода.

Конечно, это большая ошибка, ибо высшее техническое заведение должно обращать внимание на те отделы математики, в которых нуждаются технические науки, и лучше дать технику в руки плохо обоснованный метод решения трансцендентных уравнений, чем не дать ничего.

С развитием разложения в ряды как орудия исследования, regula falsi принимает такую форму: х = х0 - грубое приближение корня уравнения

f(x) = 0 (13)

так что точное значение будет:

х = х +11.

о

Уравнение (13) представляется в форме разложения a+ali + ah2+...

=0

0 I 2

К этому-то уравнению и применяется та операция, которую мы прилагаем к уравнению Кеплера, т.е. отбрасывание членов;

air + a h3 + ...

2 3

и определяется первое приближение

Полагая

X = X + h +h' = х +h',

О I 1

мы аналогично определяем уравнение для h'; с помощью его приближаемого значения, получаемого отбрасыванием членов a' h'* + ..., выправляем х, до более точного значения х(+ h', и т.д.

Формула Тейлора дает возможность написать для h, h\ h", так сказать, готовые формулы и установить так называемый метод Ньютона приближенного определения корней уравнения.

<< | >>
Источник: Д.Д.Мордухан-Болтовской. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити.-560 с.. 1998

Еще по теме § 3. Способ приближенного решения уравнений.:

  1. Раздел II, в котором идет речь об апелляциях на неправосудные решения и о способах приведения их в порядок
  2. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИЗИСА
  3. 8.1. ПОВЕДЕНИЕ ПТИЦ ПРИ ПРИБЛИЖЕНИИ САМОЛЕТА
  4. 2.1.3 Уравнение материального баланса сушащего газа.
  5. 2.1.2 Уравнение теплового баланса сушащегося вещества.
  6. 2.1.1 Уравнение материального баланса сушащегося вещества.
  7. Определение кривой уравнением и функции графиком
  8. 2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.
  9. 2.1 Уравнения материального и теплового балансов для получения динамической модели процесса сушки.
  10. РАССУЖДЕНИЕ ПЕРВОЕ ОБЩЕЕ СРАВНЕНИЕ ТОГО СПОСОБА, КАКИМ ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЗНАНИЯ ДОСТИГАЕТСЯ В МАТЕМАТИКЕ, С ТЕМ СПОСОБОМ, КАКИМ ОНА ДОСТИГАЕТСЯ В ФИЛОСОФИИ
  11. А н а л и т и ч е с к и й способ
  12. Способы мышления
  13. Способы формовки
  14. Синтетический способ
  15. 4. СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ
  16. СПОСОБ ИССЛЕДОВАНИЯ