<<
>>

§3. Различные понимания характеристик.

Между этими примитивными взглядами и арифмепшзацией алгебры, сделавшейся возможной только по установке взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами, усматривается промежуточный момент, когда а рассматривается, как прямолинейный отрезок124 и всякие действия над буквами, например, ab сводятся к действию над отрезками.

Ha OA и ОС откладывается OA = а, ОС = =1 длины; проводится АС; иа ОС откладывается ОВ = b и из В приводится BD || АС; тогда 0D = х = ab, так как

х : а= b : 1

Возможность приложения буквенной алгебры к числам в этом смысле обусловливается тем, О что формальные законы операций: сложения, вычитания, умножения и деления отрезков те же, что соответствующих действий над числами125.

Картезианский взгляд позволяет же отбросить planum и solidum.

Уравнение в современном чистом виде

х3 - ах = b

имеет теперь определенный смысл: разность двух отрезков, определенным образом построенных с помощью неизвестного отрезка, равна данному.

Так Декарт понимает и уравнение между двумя величинами х, у, определяющее кривые.

§ 4.

Число индусов и греков.

Первые последователи Виэты резко отличали числовую алгебру (numerosa) от буквенной (speciosa).

Первая всегда изменялась раньше второй и мы видели, что переход от первой ко второй представлял некоторые затруднения, которых в настоящее время, когда характеристикам дается значение численное, уже нет.

Численный характер алгебры, как мы уже заметили, становится возможным только по установке взаимно-однозначного соответствия между геометрическими величинами и числами (в частности только отрезками и числами)120, т.е. соответствующим расширением понятия числа, включающим-в области чисел и числа иррациональные. Это можно отнести только к Лежандру127, т.е. это произошло гораздо позже, чем обычно думают.

У индусов алгебра говорит о рациональных числах.

Как и наша алгебра, все действия она относит к числам, но при этом берет только числа рациональные; из "двух вышеупомянутых видов алгебраической величины она берет только первое.

Греки старались убеждать, в то время как индусы стремились только показать.

И те и другие выводили числовые тождества, как (а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2 из геометрического чертежа, ио с той разницей, что у греков чертеж сопровождался словесным доказательством, а у индусов он сам говорил. Но говорил ли он о совершенно одном и ТОМ же ИЛИ нет?

Если вимкнуть глубже в характер индусского и греческого мышления, то придется признать, что для индуса положения II книги "Начал" могли быть только средством для установки числового закона, выраженного в риторической форме, в то время как для грека это чисто геометрические теоремы, которые заменяют необходимое в настоящее время приложение алгебры (например, при доказательстве обобщенной теоремы Пифагора).

Вспомним, что у греков арифметика гак учение об исчислении (или лучше сказать логистика, ибо арифметику, кис учение о свойствах чисел, они отличали от науки о методах вычисления), развивалась очень медленно; к четырем арифметическим действиям они не могли прибавлять еще действий извлечения корней, нахождения по рациональному числу такого, которое в квадрате дает это рациональное число, ибо признать иррациональные числа они еще не могли; ио и верить в то, что л/д" число рацио- нальное, т.е. такое, которое античный мир только и признавал, они тоже не могли, так как для некоторых случаев уже имелось доказательство того, что это невозможно, и имелось достаточно аріументов за то, что это и вообще невозможно.

Иное дело индусы128. Вероятно, у них была вера во взаимно-одно- зиачное соответствие между числами и геометрическими величинами, ио только ие как у нас, в области рациональных и иррациональных чисел, а только чисел рациональных. Геометрическая проблема у них сводится к алгебраической проблеме решения уравнений. Последнее лее разрешается с помощью ряда операций, которые являются следствием общих риторических формул; из них только некоторые устанавливались с помощью чер- телса в указанном выше смысле.

§ 5.

Алгебра арабов.

Арабская математика12" это синтез греческой и индусской.

У арабов нет взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами. Отсюда раздвоенность их алгебры.

Числовые уравнения определяют неизвестные числа, но эги же уравнения можно мыслить и как определяющие неизвестные геометрические величины.

Риторическая формулировка Амаями уравнений: "Квадрат и десять корней равны тридцати девяти; (х2 + 10х = 39 - прим. ред.) здесь квадрат то же, что 5ovapiq (степень) у Диофанта, результат перемножения самого на себя; корень это само неизвестное число, названное так по геометрическому решению, потому что когда число определяет площадь квадрата, корень определяет его сторону.

Этим уравнениям можно придать форм}' в виэтовской символике: Q + 10R= 39,

но уравнение это относится и к геометрическим величинам, т.е. мыслится как

AQ+ 10 in А = 39 sol, причем решив последнее, можно решить и первое, ио первое может не иметь решения, когда второе его имеет.

Амаями, высказывая для уравнения

х2 I- рх = q общую риторическую формулу

замечает, что если вопрос арифметический, то необходимо выполнение двух условий: 1) чтобы число корней, т.е. р было четное (т.е. делимое иа 2, для получения — целым), и 2) чтобы квадрат половины числа корней р

и число q составляли в сумме полный квадрат; в противном случае вопрос арифметически невозможен, но геометрически не представляет затруднения.

Арабами устанавливаются геометрические выводы130 общих формул или общих правил разрешения уравнения. В до-алгебраический период геометрігческие задачи, разрешаемые с помощью уравнений 2-й степени, сводятся к одной исследованной Евклидом задаче. Впрочем, сам Евклид это ие всегда сознает. Задачи второго порядка у него сводятся к различным геометрическим задачам, им разрешаемым.

Видимо, эта возможность была сознана только арабами, заменившими общую задачу Евклида более частной и более простой.

Из этой задачи и извлекались сперва формулы решения квадратного уравнения.

I

м

Н F \ К D

А Черт.

L

Дальнейшая стадия, это замена ее выводом, аналогичным доказательствам П-й книги "Начал" Евклида, это доказательство приводит возможность установки, по образцу 11-й книги, основных законов формальных алгебраических операций и вывода отсюда только с помощью f этих операций алгебраических формул.

Такими доказательствами пользуется еще и Виэта131 для уравнения:

р >0

х2 + рх = q

Берется чертеж (2).

Здесь

АВ = х, AG = р AG делится пополам, GD = DA и на DB строится квадрат.

Если отложить на EG 1 GB EG = х и привести EL наль ВН пересечет EL в вершине К квадрата ABKL = х2. Формула

В

АВ, то диаго-

G

х + Р. = q -I- —,

2 J 4

дающая

"Н-т

доказуется тем, что, если

q = DBMIKF,

то, с одной стороны,

q = ABLK + KLMI + DAJCF = x2 + px, а с другой стороны,

DBMI-I = |x , т.е. DB = x + у и вместе с тем

р2

DBMIKF + ЕКШ = q +

4

<< | >>
Источник: Д.Д.Мордухан-Болтовской. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити.-560 с.. 1998

Еще по теме §3. Различные понимания характеристик.:

  1. Глава IV. Характеристики схемообразования в процессе понимания
  2. ГЛАВА XV О ПРИРОДЕ И РАЗЛИЧНОМ ПОНИМАНИИ ДВИЖЕНИЯ И СТРЕМЛЕНИЯ (ИМПУЛЬСА - CONATUS)
  3. 5. Характеристика текстов для распредмечивающего понимани
  4. 13.3. ОСОБЕННОСТИ И ХАРАКТЕРИСТИКА РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕДЕНИЯ
  5. Сравнительные логистические характеристики различных видов транспорта
  6. Глава 2 Что такое психика? Предмет изучения психологии. Различные подходы к пониманию и определению предмета психологии
  7. В. Н. Мясищев отмечал, что правильное понимание невроза как болезни развития личности требует понимания личности человека и закономерностей ее развития (Мясищев В. Н., 1960). В данном разделе раскрывается своеобразие раннего психического развития детей, впоследствии заболевающих неврозами. В общепринятом значении это — анамнез их жизни, раскрываемый посредством стандартизованного интервью с родителями. Помимо этого, характеристики раннего развития детей и самочувствия матери фиксировались опросн
  8. 2. Переход от схем действования при семантизирующем понимании к схематизмам других типов понимания
  9. ,ГЛАВА XIII О ЧЕСТНОСТИ В РАЗЛИЧНЫЕ ЭПОХИ И У РАЗЛИЧНЫХ НАРОДОВ
  10. РАЗДЕЛ I Воспитание различных людей по необходимости различно: оно, быть может, является причиной того умственного неравенства, которое до сих пор приписывалось неодинаковому совершенству органов
  11. РАЗДЕЛ ВТОРОЙ, В КОТОРОМ РАССМАТРИВАЮТСЯ НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ СОСТОЯНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ МОНАД, ПОСКОЛЬКУ ОНИ, БУДУЧИ РАЗЛИЧНЫМИ В РАЗЛИЧНЫХ МОНАДАХ, СПОСОБСТВУЮТ ПОСТИЖЕНИЮ ПРИРОДЫ ТЕЛ