ПРИМЕЧАНИЯ

1 Об истории рода Мордухай-Болтовских см: Annuaire de la Noblesse de

Russie. StPetersbourg. 1900. Прим. ред. 1 М.ПХапланов, Э. Д.Болтовская. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской - рукопись, хранящаяся у Э.Д.

Четыре лекции по философии математики

Прочитаны на курсах для преподавателей средней школы летом 1912 г. Варшава, 1913 [2], IV, 78 с. с илл.

Введение 1

Конспект лекций, прочитанных для школьных преподавателей математики Варшавского учебного округа летом 1912 г. Прим. ред. 2

Кому принадлежат эти инициалы, установить не удалось. Прим. ред. 3

См.: Лекцию 2, Прим. ред.

Лекция I

1 См.: например: Л.С Атанасян. В.Г. Базылев. Геометрия. М. 1986. Прим. ред.

1 Точнее говоря, принять отрицание этой аксиомы - оговорка автора. Прим. ред.

Лекция II

1 В более привычной записи: p&q => р. Прим. ред.

Лекция IV

1 Cf. Arist.Pliys. 207а. Прим. ред.

- В том смысле, что определяемые числа суть корни этого уравнения. Прим. ред.

Психология математического мышления.

Вопросы философии II психологии. 1908. 19. Кн. 4 (94). С. 491-534.

1 Рибо (Ribot). Sur l'imagination creatrice, p. 205,

1 Шопенгауэр. Міф как воля и представление. Т. II. Гл. XLIII. 3

Кант. Антропология. §54. 4

Кант. Антропология.1. §42. 5

Физиологическая психология. Т. II. Гл. XVIII.

с Essai sur Timagination creatrice, ch. IV, p. 199. 7

Физиологическая психология. Т. II. Гл. XVIII.

!> 10 И 8

Сравнение Рибо памяти с кладовой, где в отдельных ящиках сохраняются все наши сведения, не подходит к элементарной памяти. Для объектов последней не существует ящиков. Эта память скорее похожа на перевалочную станцию, где товар перегружается с одного поезда на другой, чтобы тотчас оставить эту станцию.

Binet. Memoir visuelle geometrique. Revue Pliilosophique, 1893, № 1. Гипотеза и наука. В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983, Прим. ред.

Случай и бессознательное.

Вопросы философии н психологии, 1912, кн. I (Щ). С. 97-117. 1

Ф.М. Достоевский. Игрок. Собрание сочинений в 10-ти томах. Т, 4. М. 1956. Прим. ред. 2

Психология. С. 83. 3

A. Binet. Les alterations de la personalite. 1892. 4

Binet, p. 275. 5

Binet, p. 81. 6

Binet, p. 93. 7

Вундт. Физиологическая психология. 8

Рибо. "Болезни личности". СпБ. стр. 66,77.

'' Персонаж рассказа И. Ф. Горбунова (1831-95) "На почтовой станции".

См. ПСС. Спб. 1904. Т. 1. Прим. ред.

10 Binet, р. 319.

" Ф.М. Достоевский. Идиот, С. С. в 10-ти томах. Т. 6. М. 1956. Прим. ред. 0

законе непрерывности.

Вопросы философии її психологии. 1907. Кн. 87 (2). С. 168-184. То же: М. 1907.19 с. 1

Природа не делает скачков - (лат.). Прим. ред. 2

Лейбниц. Соч. 4 т. Т. 2. М. 1983. Новые опыты о человеческом разумении. Кн. 4, гл. 16, §12. Прим. ред,

3 Oeuvres de Leibniz. Nouveaux Essais sur l'entendement liumain. Livre IV. Chap. XVI. §12. Лейбниц, цит. соч., кн.4 гл. 16, §12. I

Н. В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. II Вопросы Философии и Психологии, 1898 г. Книга V (45). С. 697.

5 Cursus der Philosophic. Leipzig. 1875. S. 93-94

* Так называет Некрасов то направление, основанное на идеях Бугаева, к которому принадлежит Бугаев, Некрасов, Алексеев и другие мыслители математики. См.: С.М. Половинин. Московская философско-ма- тематическая школа // Общественные науки в СССР. Сер. 3. философия. 1992 г. № 2. Прим. ред.

7 В.Ґ. Алексеев. Математика, как основание критики научно-философского мировоззрения. Юрьев. 1903 г., С.25.

s Н.В. Бугаев. Математика и научно-философское миросозерцание. II Вопросы Философии и Психологии, 1898 г., книга V (45). 9

Cursus der Philosophic.

П.А. Некрасов, Московская-философская мат. школа. С. 59. II

Ломброзо и Ляски. Политическая преступность и революция. Ч. I, гл. I.

12 Delboeuf. Elements de psychopliisique, p. 148.

Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем.

Математическое образование, 1929, № 1, с. 19-34. 1

Отметим основную проблему определения права, различно решаемую Кантом, Иерингом и др. См.: Шершеневнч. Определение понятия права. Казань. 1896. Коркунов. Лекции по общей теории права. Спб. 1897. 2

Не будем упоминать о классиках схоластики и работах по средневековой философии. Отметим любопытную книгу по популярной схоластике, где можно найти все основные схоластические вопросы: Kuithel. Arisloteles curiosus. Praga.1682. Fylkowski. Philosophia curiosa. 1680. 3

О значении схоластики в истории математики я говорю в работах: "Фи- лософско-математические идеи XVI века.", "Генезис современного числа.", "Аксиоматика XVII в.", "Генезис и история теории пределов." См.: нас. изд.

J Рамус 1515-1572. Waddinglon. Ramus, sa vie, ses ecrils et ses opinions. Paris, 1855. G. Wierkert. Eiicyclopadie des Petrus Ramus. Leipzig, 1848. Ziehen, §. 23. Моя работа: "Фклософско-математическпе идеи XVI века."

5 Renati Descartis. Principia philosophiae. Amstelodami, 1677, и другие работы. Куио Фишер. Т. 1. О логике Декарта. Ziehen. Lehbrucli der Logik. Berlin. Т. I . Cap. 2, §. 23. Там лее о Bouse, §. 32.

" Haureau. De la philosophic scolastique. Paris. 1850. Работы Werner, Rousselot 7

Aristoteles. Opera omnia graece et latine.

Об определениях Аристотеля: Analyt, pr. 1] , с, 3. Об аристотелевском методе: Eiken. Die Methode der aristotelischen Forschung. Berlin. 1872. GoLLini. Aristotele e il metodo scientifico. Pisa, 1873. См. также: Franz Biese, Aristoteles Philosophic. Berlin. 1835-1842. Cousin. DelaMethaphysiqued'Arislotcl. Paris, 1838. О логике Аристотеля: см. Ziehen. Lehbruch derLogik. Berlin, 1920. Teil 1, §. 9. О схоластическом методе: Carl Prantl.

О различных смыслах субстанции. Met. V. 8. О принципе, Met. V, 1. 8

Met. Ю59в34 - 1060а!. Прим. ред. 9

Интересно отметить, что древние при решении проблемы ие ставили вопроса о единственности решения, а находят какое-либо решение, вполне удовлетворяясь им. См.: напр.,"' Арифметику Диофанта". Впервые проблема о единственности решения ставится схоластикой в чисто теологической сфере. См.: S. Ansehni. Prologium... Monoiogium... Migne. Patrologia. Т. 158. Ансельм, 1033-1109. 10

О подобии - Аристотель. Met. V. 9. 11

О-платоновских идеях см. его диалоги: Федон, Теэтет, Софист, Кратил, Филеб, Меной, Федр и т.д. Аристотель против идей Платона. Aualyt. Post, lib. 1, 2, 19. Met., lib. VII, с. .14, 15; X, с. LO; XI, 4, 5, И, 12; XIII, 2; XIV, 3. 12

О субстанциях. Met. V. 8. Взгляды Аристотеля на определение см. Anal. Post. Lib. I. 13, 13

Характеристика античной мысли: Шпенглер. Закат Европы. 14

Petri Rami. Geometriae. Libri XXVII. Basileae.1560. Scholaruin. Mathematicarum Libri imus el trigiiila Basileae, 1569. Fracfurti. 1569

О Рамусе см. мою работу: "Философско-математическне идеи XVI века." 15

Гильберт. Основания геометрии. Русск. пер. Спб. 1923. 16

Об определениях: Bonne], Essai sur les definitions geornetriques. 1870. Liard. Des definitions geornetriques e des definitions empiriques. Paris. Alcan. 1888. Историю и вместе с тем методическое значение определений молено найти в прекрасной книге: Schotten. Inhalt und Methode des Planimetrischen Unterrichls. 1870. 17

Определение знания у Аристотеля. Anal. Post. I, 9. II, 12, 13, 18

Met. 1005b20. Сравните критику Канта в "Критике чистого разума". Уч. эл. I агд., 2 гл., 1 сек. Прим. ред. 19

Возражения антиматематиков собраны в книге: Hugonis Simplicii Crasgbartaci Scoti. Е. Soc. Iesu. deMathematicis disciplinis libri duodecim. Antv. 1635.

Simplicius - латинизированное Hugo Simple, 1594-1654.

См.: Спиноза. Этика.

" Walisi. Mathesis universalis, cap. III. De demonstrationibus mathematicis. 22

Впервые различие доказательств: -ш оті, -ш біоті (quia et quare) у Ал- фараби (ум. в 950). См. Baur. Beitrage z. Geschichte derPliilosophia des Mittelalters. Bd. 4.1-І. 23. Munster 1903. Другая библиография у Ziehen. Lehrbuch der Logik. Bonn. 1920. Т. I. Cap. 2, § 19, также Ziehen, Т. IV, § 135, S. 805. [Это различие восходит к Аристотелю. См. An. Post, кн.1, гл. 13.J Прим. ред. 23

L'arl: de peuser. р. З 92 (это так называемая Пор-роялевская логика Арно иНиколя) Pierre Nicole, 1625-1695, Anloine Arnauld, 1612-1694. [В русском переводе: А. Арно и П.Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Требования пор-роялевской логики Арио старается осуществить в своем "Nouveaux elements de Geometrie". Paris, 1683.

A

E

D Прим. ред.

F E

25 Прим. ред. Евклид доказывает теорему Пифагора (для треугольника ABC), доказывая равенство треугольников DАС и ВАГ, откуда следует равновели- кость квадрата на катете АВ и прямоугольника AGFE, являющегося частью квадрата на гипотенузе АС. Аналогично доказывается, что оставшаяся часть квадрата на гипотенузе равна квадрату на другом катете.

Legendre. Elements de Geometrie.

Ct! b'

а _ а' + 1У b _ а' + Ь' а' ~ а ' Ь' а2 = а'2 + a'b'; b2 = b'2 + а'Ь' а2+ b2 = а'2 + b'2 + 2a'b' = (а' + Ь')2= с2 Прим. ред.

23 О софистах: "Диалоги" Платона: Софист. Протагор. Xenophonti. Memorabilia. Soc. XVI-II, 2. Sextus Empiricus. Adversus Logicos. Lb. VII. А. Гиляров. Греческие софисты. Москва, 1888. И. Ягодинский. Софист, Протагор. Казань, 1916. См. мою работу: "Об апагогических доказательствах". 29

Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского. Спб. 1819. "Начала" Евклида. Пер. Ващенко-Захарченко. [См. также пер.: Мордухай-Болтовского. М. 1950. J 30

Elem. Euclidis ed. Heiberg. IX, 12. Sacceri. Euclides ab omni naevo vindicatus. Milan. 1739.

Aristotelis. Analytica Post. Lib. I, cap. 26. Интересно отметить, что Спиноза не может обойтись без апагогических доказательств. См.: его "Этику", 1 часть, т. V, 8, 11 и 14. 32

В особенности интересно выпрямление Озанамом XI теоремы книги III "Начал: "Если круг ABC касается круга AIKM внутри этого последнего, то прямая, соединяющая их центры, проходит через точку их касания". Ozanam. Cours de Mathematiques. Paris, 1720. Sect. XI. 33

Kepler. Nova stereometria dolionuu, 1615. Opera omnia. IV, pp. 537538. Эмбрион еще до Кеплера у Stifiel. Arithmetica integra Nova. 1544. Appendex libri secundi. О методе неделимых, Brunschwigg. Les etapes. Lib. Ill, ch. IX, p. 160. Ziehen. Geschichte der Math, in XVI und XVII Jahrh. Leipzig. 1903, S. .121. Bon Cavalieri. Geometria indivis. cont. novaquidein ratione promota, Bonouiae. 1635, 1653. Exercitationes. Bon. 1643. Метод неделимых проходит через три ступеии: Roberval, Gregorius. Vencentio и Taquet. Cantor II, 392. Против апагогических доказательств - Рамус (1515-1572).

3J P. Rami. Proemium Mathemalicum. 1507. p. 428-429. 35 Savvilii. Lectioacs.

м История полной математической индукции: Francisko Maurolico. Arithmeticae, Libri duo. 1557. Veil. 1577. Jacob Bernoulli. Ars consectandi, изд. 1713. Opera I, 282-283. Pascal. Oeuvres. Paris. 1908. Т. Ill, p. 456. Cantor. Vorlesungen. B. Ill, S. 341. G. Vacca. Surleprinciped'induction math. Revue de Metli. 1911, p. 30. 37

Возведение принципа полной математической индукции в определение - см.: Кутюра. Принципы математики.

О сверхлогичности полной математической индукции: Менделеев. Метод математики. 38

Пуанкарэ. Гипотеза и наука. [В книге: А. Пуанкаре. О науке. М. 1983.J 39

Anal. Poster. Lib. I, С. XIX, XXI, XXII, XXIII.

,с Более подробно: Лобачевский и основные логические проблемы в математике. [См.: наст, изд.] " Первый опыт построения математической системы без аксиомы исключенного третьего. Brouwer. Begrundung derMengelelire unabliangig von logischen Satz von Abgesclilossenen, dritterTlieil. См. мои работы: Sur les syllogismes en logique et hypersyllogismes en Metalogique. Прот. О-ва ест, при С.-Кав. гос. университете Metalogique, Metaalgebre, Прот. О-ва ест. при С.-Кав. гос. университете за 1928 г. До меня понятие металогики было обработано, но только с философской, а не математической стороны, проф. И. Васильевым. (Журнал министерства народного просвещения, 1905).

Метаалгебра.

Ученые записки Научно—исследовательского институ та математики и физики при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25.

1 Аксиома III, Гильберта (Основания геометрии. М. 1948)

Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой а без общих точек, пусть А'В' и В'С' - два отрезка на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом АВ = А'В' и ВС = В'С', то всегда также АС = А'С'.

а

1 j 1

Л ВС

а'

н І 1

Л' В' с

О числовой характеристике утверждаемого тождества.

Известия Донского университета, 1925, т. 7, с. 40-43.

Лобачевский и основные логические проблемы в математике.

Известия Северо-Кавказского университета, 1927, т. 1(12), с.78-95. 1

Речь, прочитанная на торжественном заседании в память столетия открытия неевклидовой геометрии. 2

Вуидт в следующих словах формулирует закон гетерогонии целей; "Воля всегда проявляется так, что результаты постоянно более или менее выходят за пределы первых мотивов воли". Вундг. Этика. Рус. пер. Отд. I, гл. IV, стр. 282. 3

Такова, например, совершенно не обоснованная вера в то, что всякое уравнение разрешается в радикалах, Такова необоснованная вера в то,

г dx

что все интегралы, даже I ? . приводятся к интегралам

VI + х4

рациональных функции и выражаются в конечном виде (см.: Lettre XIII d'Euler a Goldbach). Такова вообще вера в то, 1гго решение проблемы в частном случае при введении некоторых ограничительных условий Q способствует решению проблемы в общем случае. Вместо проблемы Р

решается (РП), где Q подбирается так, что не поддающаяся в общем случае решению задача решается при этом ограничении. Весь метод обычно зиждется на этом ограничительном условии. Если снять его, то разрушится и вся постройка. Вообще решение проблемы при ограничительном условии Q ничего не дает для решения общей проблемы, ибо метод для решения Р при предположили!, что Q не имеет места, будет тот же, что в общем случае, т.е. при п и без О безразлично.

1 Построение корня уравнения xJ = а (решение Делийской проблемы) сперва вовсе ие являлось задачей более простои, чем решение уравнения хJ+ах = b и арабские математики не находили оснований сводить вторую задач)' к первой. Задача о построении корня уравнений 3-й степени с помощью циркуля и линейки с развитием арабской алгебры должна была превратиться в задачу о нахождении иррационалыюстей по X книге "Начал" Евклида, удовлетворявших этому уравнению, а в дальнейшем, когда алгебра расширила сферу радикальных выражений, - о разрешении уравнений 3-й степени с помощью радикалов 2-й степени. Тщетные попытки решения этой проблемы привели к сомнению в возможности ее решения, которое вероятно было и у арабов, превратившееся в уверенность после доказательств невозможности решения уравнения 3-й степени с помощью иррационалыюстей Евклида, Естественно, путь дальнейшей эволюции проблемы - замена области иррациональносгей Евклида областью иррацгюшльностей более общего характера, зависящих от радикалов высших степеней, т.е. принятия ЛГ'ЛГ'ЛГ за элементы построения.

Таким образом была поставлена задача о решении в радикалах кубического уравнения, которое вскоре и было решено в этом смысле Тар- таглия и Карданом. Затем вскоре такая же задача была решена Ферари для уравнения 4-й степени. 5

Этическая проблема подвергается метаморфозе.

Вывод моральных норм из эгоистических интересов, из единственного стремления организма к самосохранению (Suuin esse conservare), конечно, Спинозой ("Этика") понимается совершенно ішаче, чем дарвинистами второй половины XIX столетня. Мы имеем сперва логический вывод всей системы альтруистической морали из эгоистических предпосылок, здесь иет ии слова о том, каким образом возникла альтруистическая мораль.

У сенсуалистов XVII века исследование генезиса морали является только средством для эгоистического ее обоснования. Любимая их мысль, что всякий альтруистический поступок - это эгоизм, скрытый под маской, созданной культурой, что на более низких ступенях культуры, приближающих к естественному состоянию, - маски уже нет. Гельвеций отстаивает тождество блага и полезного. Честь - это привычка к поступкам, полезным для общества. Отсюда заключение, что моралист и законодатель прежде всего должны аппелировать к пользе индивидуума.

Гельвеций прежде всего моралист, оп пытается обосновать этические нормы на эгоизме и, верный характеру того времени, обращается к "методе происхождения", старающейся подойти к естественному состоянию. Но в дальнейшем генетическая этика является уже самоцелью. Мы имеем уже ие вывод альтруистических норм из эгоизма, а объяснение их происхождения из эгоизма дикого человека. Особенно резко различие в понимании эгоистического этического монизма выступает при спенсеровской точке зрения, заменяющей индивидуальный сенсуализм видовым. 6

Те явления радиоактивности, которые обещают решение экономической проблемы алхимии, подводят не к решению алхимической проблемы, а к доказательству ее невозможности. Эту проблему постигает совершенно та лее участь, что и другие проклятые проблемы, иа которые человек веками тратил силы. Превращение в золото металла с меньшим атомным весом потребует та кой энергии, которую нельзя купить на получаемую ценность, превращенный же в золото элемент с большим атомным весом потребует неблагородный металл в количестве, стоющем дороже, чем получаемый продукт.

Одним словом, химик окажется в таком же положении, что Муассои при добывании алмаза из нагретого до 3000° сплава железа и угля.. При затрате тока в 31500 вольт, получались крошечные кристаллики алмаза. Но Содци замечает, что ценность полученной таким образом материи будет ничтожна в сравнении с теми неимоверными количествами энергии, которые будут выделяться при этом процессе. Энергия элементов вещества, освобожденная от заколдованного сна, в который он погружен природой, заняла бы вскоре первое место в народном хозяйстве. В сравнении с ее громадным значением золото явилось бы только побочным продуктом разложения.

Таким образом, вместо алхимической проблемы, мы решаем другую, тоже экономическую проблему.

Основание привилегированности механики чисто психологическое, так как именно механические явления имеют наибольшее значение в обыденной жизни при невысокой культуре, вследствие чего механика и развивается раньше других отделов физики, занимаясь сведением более сложных механических явлений к более простым. Современный же химический атом представляется системой электронов, частиц, несущих положительные и отрицательные заряды и являющихся последними неделимыми. Положительный электрон уподобляется солнцу, окруженному планетами - отрицательными электронами, находящимися в движении, но образующими вообще неустойчивые системы, подвергающиеся распадению,

»

О

Было бы глубочайшим заблуждением полагать, что задача вообще неразрешимая об интегрировании в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных или в квадратурах эволюционировала в задачу вообще разрешимую. Нет никакого основания считать, что всякая особенная точка характеризуется формой вроде тех, которые даются Брио и Бую и Фуксом, Томэ и другими, т.е. формой, построенной с помощью конечного числа символов элементарных трансцендентных и операцией, выражающей алгеброидальное разложение. Очень яркую картину гетерогонии дает история педагогики. Цель воспитания для спасения индивидуальной души эволюционирует в воспитание человечества для встречи второго пришествия. В эпоху Возрождения для воспитания этого трансцендентального идеала представляется необходимым власть над враждебными силами природа. Отсюда утилитаризм пансофии Каменского, сводящийся к собиранию знаний. Знания затем обращаются в самоцель. Но осознание некрепостн пассивного приобретения знаний приводит к упражнению, как средству. Последнее обращается в цель, - воспитание определенных способностей, когда Песталоцци выдвигает формально-воспитательный принцип в противовес материальному.

10 Аксиома или 5-й постулат "Начал" Евклида эквивалентен утверждению о единственности прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Геометрия Лобачевского получается из евклидовой при замене этой аксиомы (постулата) на ее (его) отрицание. " Геометрия Рамуса представляет не что иное, как комментарии к "Началам" Евклида, но не соединенные с их переводом (как. например, комментарии его современника Клавші), а изданные отдельно. Для Рамуса и рамистов самым важным в геометрии является определение, а за ним уже теоремы.

Главный недостаток Евклида, по Рамусу, в том, что он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному. Параллелизм прямых Рамус подводит под общее понятие параллельных линий (гак прямых, так и кривых). Параллельными являются не только прямые, но и две концентрические окружности. Характерным признаком, определяющим параллельность, является равно удаленность. См. мое сочинение: "Фплософско-Математические идеи XVI века" [наст, изд.]. О Рамусе:

С. Waddington: Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. J 855. Сочинения Рамуса:

Dialecticae Libri Duo. 1586. Geometriae Libri XXVIL Basilae, 1569. Scliolarum Mathematicarum Libri novem et triginta. Basileae. 1569. Francfurti. 1569.

Сочинения рамистов: Methodus admirandarum mathematicarum novem libris etc. autore loaliauno Henrico Alstedio. Herbornae. 1623. Об Алште- де: Cantor II ч., 19. Kastner. III. 434-438. RLH Quaestiones. Geometriae Oxoniae 1665. Рамическая тригонометрия: Funkii. 1584. Алгебра Salignaci. Рамическая диалектика: Caesari. 1552, Hunneae, Tousacae, Ursini.

12 Анализ определения параллельных, как прямых равноотстоящих, приводит Клавия к сознанию необходимости оправдания этого определения.

Следует убедиться, что линия, все точки которой равноудалены от прямой, также прямая. И в этом состоит первое положение теории параллельных Клавия. Но при этом положении нет в собственном смысле доказательства, а только пояснение; имеющее целью повысить степень очевидности этого не вполне очевидного положения. Все сводится к ссылке на то, что линия с равноотстоящими от данной прямой точками должна обладать однородностью, равно лежать всеми своими точками, причем делается попытка пустить в ход определение 4-е первой книги "Начал" Евклида, остающееся у самого Евклида неиспользованным. Дальнейший путь через теорему: если к прямой восстановить два перпендикуляра и соединить концы равных отрезков прямой, то эта

прямая будет перпендикулярна к обоим перпендикулярам. Но через сто лет после Клавия вид этой главы геометрии совершенно меняется. Центр тяжести переносится с определения на аксиому. Уже не ищется определение истинное, удовлетворяющее требованиям логики, но берется такое, из которого можно было бы дойти до дели, проходя через наиболее очевидные аксиомы, вовсе не выставляя требования совершенного минимума, чуждого XVII веку. У Борелли параллельные прямые, а ие линии вообще, определяются как перпендикулярные к одной и той же прямой. (Clavius. Crist. Euclides elementomm libri XV Opera t I. Mains. 1590. Boreli. Euclides restitutus. Pisa. 1658.) 13

Аксиоматика Херигона (Herigonus Cursus Matliematicns. Paris. 1634.) - это коллекция очевидных истин, причем автор уверен в ее полноте. Его совершенно ие интересует вопрос; зависимы или не зависимы эти истины...

Против требования минимума говорит правило Паскаля: "Не следует ничего доказывать, что так очевидно, что не нуждается в каком- либо более ясном средстве доказательства". Pascal. Oeuvres. III. 163182. 14

Арно, выступая в "Nouveaux eleiuens de Geometric". Paris. 1683, против недостатков Евклида с точки зрения пор-роялевской логики, переделывает "Начала", изменяя порядок теорем и соответствующим образом доказательства.

Изучение параллелизма прямых углов у него предшествует равенству треугольников, ибо угол, по его мнению, более простой объект, чем треугольник.

Арнольднанского типа большинство крупных французских учебников до эпохи энциклопедистов;

Lamy, Sauveur, Camus, Varignon, de la Caille, Rivard и другие. В русской методической литературе влияние сказывается иа "руководстве" Остроградского. 15

К учебникам Лежандровского типа следует отнести кроме "Элементов" Лагранжа, оригинальных и переработанных Бланше, учебник, имевший огромное значение:

(Lacroix Elemens de Geometrie a L'usage de 1 'Ecole Norinale. Paris. 1814.). Упомянем Gamier, Vincent, Sonnet, Guiletnin и наиболее обстоятельный учебник Лагранжевского типа: Роше и Комберусс.

Характерно для этой эпохи сочинение, не имеющее ии научного, ни методического значения: Tompson. Geometrie sans axiomes. ("Геометрия без аксиом".). 16

Объекты геометрии превращаются из чистых предметов разума в объекты опыта. Если, по Арно, "душа человека, как бы с первых дней детства, как бы вся погружена и обмотана чувствами и имеет только темные и смутные восприятия предметов, оказывающих действие на ее тело", так что вся ее дальнейшая эволюция представляется своего рода очищением, то для де ля Шаппеля кристально чистая душа ребенка заволакивается метафизическим туманом все больше и больше, загораживающим путь к истинному знанию, основой которого являются именно эти презираемые рационалистами чувства: "II est done evident que les premiers elements de Geometrie posent sur la matiere le plus, expose a nos senses" (Очевидно, что первичные элементы геометрии закладываются в материале, в наибольшей степени представленном нашим чувствам). (De la Schapelle. Institutions de Geometrie. 1765). К этому направлению принадлежат учебники: Clairaut, Bezout, Bossut и другие.

Сюда следует отнести и капитальные сочинения: Bertrand Developpement nouveau de la partie elemenlaire des Matheinatiques. Geneve, 177S. Взгляды математиков этого направления складываются под влиянием "Опытов о человеческом рассудке" Локка, логики и трактатов о чувствах Кондильяка.

Здесь интересно привести мнение д'Аламбера об аксиомах, высказываемое им в Энциклопедии.

В большинстве аксиом он видит только выражение одной и той же идеи двумя различными знаками или словами: "Разве тот, сто говорит, что два и два составляет четыре, обладает большим знанием, чем тот, кто удовлетворится сіштать, что два и два составляют два и два?". Лобачевский в сочинениях о "Началах Геометрии" говорит: "Первые понятия, с которых начинается какая-либо наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить простым и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врожденным не следует верить. (См.: П.С.С. по геометрии Н.И. Лобачевского). Д'Аламбер говорит более определенно:

"Мы сперва рассматриваем тела со всеми их качествами, понемногу производим в уме разделение и абстракцию этих различных свойств и переходим к рассмотрению тел как частей пространства проницаемых, делимых и оформленных".

18 Во вступлении к новым началам геометрии (стр. 13, изд. Хар. Мат. Об. Харьков, 1912.) Лобачевский старается убедить не в логической возможности, сводящейся к непротиворечивости, а в реальной возможности, он старается убедить в том, что в уме нет никакого противоречия в предположении реальности отношений между углом и длиною, которая ему представляется аналогичной отношению между силой и расстоянием.

19 Ни у одного математика до Лобачевского и Больяя ие хватило храбрости публично выдвинуть рад теорем, вытекающих из постулата, которым заменялся Евклидов постулат о параллельных - за геометрическую систему. Мне представляется, что у Гаусса был еще другой страх, кроме страха что он не будет понят (см.: Р. Бонола - "Неевклидова геометрия", стр. 156). Мотив для иеопубликования своих опытов по антиевклидовой геометріга (Engel Stackel. S. 209), о котором он не пишет, говоря о "Ge- schrei der Bootier" (крике беотийцев) - это неуверенность в том, что его рад теорем, продолженный дальше, не встретит противоречия, страх того, что его работа послужит в стыд ему и в славу другого, который двумя—тремя теоремами, прибавленными к антиевклидовой геометрии, скомпрометирует его, с другой стороны - получит ту славу, которой добивался тщетно Гаусс.

Швейкарт ограничивается только заметкой, частным образом переданной Гауссу, печатное же сочинение стоит па точке зрения евклидовой геометрии.

Таурииус в Geomelria prima Coloniae, 1826 (Engel-Stackel. S. 273.) замечает, что найденное им доказательство постулата о параллельных не вполне его удовлетворяет и прибавляет, что исследование вопроса, каково истинное значение логарифмическо-сферичесюй геометрии, содержит ли она что-либо возможное или только мнимое, это достойная задача для ученых, ио переходящая пмницы элементов геометрии.

211 Саккери ищет новые логические приемы, он употребляет сомкнутую на заключении форму простого апагогического доказательства (см. мою работу: Об апагогических доказательствах. Ростов, Научный Вестник. 1922).

Следует доказать В, А, (т.е. если В, то А) из В не-А выводится В, А. Этот прием употребляется Евклидом только один раз: при доказательстве 12-го положения 9-й книги "Начал". (Euclides ab отпї naevo vindicalus autore Ilieronymo Saccherio. Mediolani. 1773, Engel-Stackel. S. 42.)

21 "Я отсюда, - говорит Ламберт, - почти заключаю, что третья гипотеза имеет место; в случае не плоскости она. не так легко поддается, как вторая". - § 82. Theorie der Parallellinien (Engel-Stackel. S. 137).

21 Больяю принадлежит исследование свойств параллельных, независящих от евклидовости, тождественность геометрии на орисфере с обыкновенной геометрией на плоскости, доказательстве! независимости сферической тригонометрии от постулата о параллельных и некоторые геометрические построения, независящие от него.

(Bolyai Johann, Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. 1832.)

23 Согласно Гербарту, пространство ие представляет только субъективную форму созерцания, в каковом случае оно было бы только призракам. Но всякий призрак, все кажущееся указывает на реальное отношение в объективном мире. Субъективной форме обязательно должна отвечать объективная, хотя бы и отличная от нее.

Понятие об этой форме получается обычной гербартовской методой исправления понятии: такое намерение построения реального, по Гербар- ту, умопостигаемого интеллигибельного пространства предполагает отказ в некоторой мере от кантовского взгляда на пространство, как чистую форму созерцания (см.: "Критика чистого разума"). Пространство, по Гербаріу, не только форма созерцания, ио прежде всего понятие. Для построения умопостигаемого, пространства следует признать и выделить концептуалистические элементы пространства и подвергнуть их очистке от кроющихся в них противоречий.

В конечном итоге такой метафизической обработки, пространство должно явиться понятием, причем свестись к отношениям между реалиями, т.е. теми первичными монадами, к которым метод исправления сводит всю вселенную.

Умопостигаемое пространство Гербарта, конечно, нельзя представить, но его можно мыслить, причем в самых общих абстрактных понятиях. Простыми, уже неразложимыми, элементарными отношениями, из которых слагается пространство как сложное отношение, Гербарт выставляет те, которые определяются предлогами "с" и "иа". Гербарт считает возможным снятие созерцательности с этих отношений и сведение их к чистым понятиям. Полное существование двух реалий вместе противополагается их существованию не вполне. Существование а на b может быть существованием в большей или метшей мере. Риман исправляет или, лучше сказать, перерабатывает понятие пространства, ие вскрывая противоречий в евклидовом пространстве, но подымаясь к идее многообразия, объемлющей евклидово пространство, обобщая характерные признаки последнего, выраженные математически. (Rietnanii. Uebera die Hypotliesen die der Geometrie zu Gnmde liegen. Gotting. AbhandlugenXIII. 1868. N. Grassman. Die lineale Ausdehimgslehre. Leipzig. 1844.)

24 Различие между Риманом и Гельмгольцем (Helmliollz. Ueber die That- sachen die der Geometrie zu Grunde liegen) то, что последний старается опытным путем обосновать свои постулаты. Он выходит из простейших фактов, характерезующих движение в трехмерном пространстве, которое, согласно эмпиристической гносеологии XIX века, и создает понятие о пространстве. Это - определяемое™ элемента тремя координатами, существование подвижных твердых тел, свободная подвижность их и моиодромиость пространства, состоящая в возможности движения вокруг точки, приводящего в первоначальное положение. Эти факты, выраженные в формулах аналитической геометрии, естественно обобщаются и на большее число измерений. Другие же факты, тоже наблюдаемые в евклидовом пространстве.

признаются, таким образом, уже не характеризующими пространство как таковое. С. Ли видоизменяет гипотезы Гельмгольца таким образом, что является возможной чисто математическая их обработка. (S. Lie. Theorie der Transfbrmationsgruppen. Leipzig. 1828-1893, Т. ПІ,) 25

Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non Euclidea. Giornal di Mat. Vol VI. 1868, фр. Пер.: Houel. Annales Scient. de l'Ecole Nor- male. Т. VI. 1869. 26

Klein. Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie. Math. Aim. VI. 1871. Т. VI. 1873. VIII. 1874, 27

Poincare. Sur les hypotheses fondamentales de la Geometrie. Bulletin de la Soc. Mat. de France XV. 1887. 28

Гильберт, Основания Геометрии. Петроград. 1923. С. 63.

2* См. мое сочинение: Об апагогических доказательствах. Ростов. Научн, Вестник. 1922. 30

Выпрямление доказательств достигается большей частью введением постулатов, относящихся к бесконечным классам. К этому следует прибавить еще те логические аксиомы, которые узаконивают вывод из бесконечного ряда силлогизмов, лежащего в основе полной математической индукции, И. Менделеев (в "Методе математики") относит это к сверхлогическому в математике. Но признание существования бесконечного числа силлогизмов, связующих сложения А, В, С, Р, Q, R, и вывод из истинности А, В, С, истинности Р, Q, R, не более сверхлогичны, чем всевозможные постулаты, лежащие в основе современной теории множеств. 31

Аксиома IIL. Если для двух треухольников ABC и А(В,С, имеют место конгруэнции

АВ=А,В,, АС=А,С1, ZBAOZB.A.C, то всегда имеют место и конгруэнции ZABC=ZA!B1Cp ZACB=ZA1C,B) 32

Существуют теоремы недоказуемые, хотя и истинные. Для доказательства таких теорем у нас просто не хватает очевидных постулатов, Такие положения должны найтись среди очень простых положений теории чисел и ситуационной геометрии. Видимо, такова знаменитая теорема Гольдбаха, что всякое четное число представляется суммой двух простых чисел, и теорема о бесконечном числе пар последовательных простых чисел с равной разностью.

Можно предполагать, что такими же являются и следующие весьма общего характера положения:

Всякая форма ш (х), выражаемая в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных и алгебраических функций, алгебраически неразложимая, иначе говоря, не представляющаяся произведением s (х) л (х), где & (х), Т) (х) при всяком целом х тоже целые числа, содержит бесконечное множество простых чисел. Только в случае более точного определения формы может существовать доказательство этого положения, так как из одного условия о неразложимости, конечно, ничего нельзя вывести.

Хорошо известно доказательство такой теоремы для ю(х) = ах+р Может будут построены доказательства и для некоторых более сложных выражений, например, для ах2 + Ьх + с (а, Ь, с, взаимнопростые и Ь2 - ас [ 0, но для произвольно написанных со (х) такое доказательство явится улее невозможным.

Другое положение о невозможности существования формы (о (х), содержащей исключительно простые числа. Мы идем дальше, мы утверждаем, что в теории чисел существует неизмеримо больше недоказуемых истинных положений, чем доказуемых.

Вообще больше теорем недоказуемых, чем доказуемых. Если на первый взгляд представляется, что в геометрии всякая задача может быть решена, то только потому, что те задачи, которые мы рассматриваем, - это простейшие, теснейшим образом связанные с очевидыми постулатами, лежащими в основе геометрии.

Рассматриваемые нами геометрические объекты - треугольник, четырехугольник, круг и т.д. настолько лее просты, гак просты рациональные дроби, рассматриваемые в начале курса интегрального исчисления.

Чтобы получить неразрешимые задачи и недоказуемые свойства следует усложнить эти формы так, чтобы явилась необходимость, наряду с постулатами меровой геометрии, и в постулатах ситуационной геометрии, которые уже определенным образом будут недостаточны. Задача о ветвях алгебраической кривой в общем случае всегда остается именно в силу этого неразрешимой.

В настоящее время уже никто не верит в то, что всякая функция, выражающаяся в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных, может быть проинтегрирована в конечном виде с помощью элементарных трансцендентных. Те лее, кому приходилось над этим размышлять, знают, что в большинстве случаев такие выражения не интегрируемы в конечном виде, более того, если написать совершенно произвольно какое-либо выражение (далее рациональное) от х, то молено быть уверенным, что оно неинтегрируемо. При подборе примеров неинтегрируемости для моего сочинениям "Об интегрировании трацецендентных функций в конечном виде" (Изв. Варш. Универ. 1913) я брал выражения наугад, ио примеры интегрируемости я получал скрытым от глаз читателя дифференцированием. Правильная постановка проблемы интегрирования в конечном віще: Определить, молено ли выразить данный интеграл J f(x)dx какой—либо трансцендентной определенного конечного класса в лыовиллевском смысле и, если возможно, то найти это выражение.

В то время, как частные аксиоматические проблемы можно считать вполне определенными, общая проблема об основании геометрии является пока ие вполне определенной.

Паш, ставящий в основу геометрии простейшие эмпирические данные, лучшим образом характеризующие пространство, и Пеаио, ставящий в число постулатов непростую истину о непересекаемости в одной точке трех диагоналей четырехугольника (G. Peano. I principii die Ceometria logicamente exposita. Torino. 1889), решают, собственно говоря, различные проблемы.

Должно ли ставиться при построении системы геометрии условие очевидности , должны ли постулаты быть аксиомами? Если да, то системы Пеаио и Гильберта не годятся, ибо пользуются совершенно неочевидными постулатами.

Но что при выборе постулатов должно заменить очевидность? О простоте, выдвигаемой Пашем, молено спорить больше, чем об очевидности.

Как бы ни подчеркивался формальный характер системы, очевидность если не всех, то большей части постулатов принимается во внимание, Возведение определений в аксиомы по существу не меняет дела. Объект А определяется признаками сс,|3,у , которые даются очевидными положениями, но тот же объект молено определить и признаками а1 ,у 'р', которые даются не очевидными положениями. Нет основания предполагать, что минимум постулатов попадает именно на группу положений очевидных или вообще содержащих очевидные положения.

Материалом для этих заметок служат мои большие работы: "Схоластика и Математика", "Законы эволюции проблемы". Печатание больших работ в настоящее время иевозмолено, вне сомнения эти работы я не увижу в печати.

Геометрия как наука о пространстве.

Известия Ростовского пед. ип-та, 1940, т. 10, с. 10-25. 1

Геометрию ісак науку о формах определяют Becker, 1872; Fischer, 1887. Oriller, 1887, см.: Schoolen-Jnhalt und Methode des Planimetrischen unterrichts. Leipzig, 1890, Bd I, kap, 2, s. 161. 2

Наглядной геометрией является геометрия индусов. Наглядный элемент находится в большой мере в учебниках

XVIII в., например, De la Chapelle - "Institutions de la Geometrie" и Д. Мордухай-Болтовской - О школьном геометрическом доказательстве - журнал "Математика в трудовой школе", 1928.

2 Геометрию определяют, как науку о пространстве: Bartolomei, 1851, Helmliollz - Pop. Wiss. Vortrage, Crell, Grunert, 1870. 4

"Начала" Евклида - пер. Петрушевского или Ващенко-Захарченко. [См. также пер. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М. 1950.] 5

К рационалистическим учебникам я отношу в некоторой мере учебники арнольдианского типа, начиная с Arnauld - Nouveaux elements de Geometrie, 1667-1684. 6

PrincipiaPliilos., Amsterdam!. 7

Спиноза. Этика, пер. Модестова. 8

Russel. Les fondements de la Geometrie. 1901.

5 Delboeuf. Prologomenes philosopliiques de geometrie. 1860. 10

Д. Мордухай-Болтовской. Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем, [наст, изд.] 11

Образцом является Гильберт. Основания геометрии, метод, обработка М. 1948; Hallsted. Geometrie rationelle.

Matheseos Universae in usum studiosae Juventutis adornata. Venetii, 1713. Пусть даны два отрезка АД = а, и А2В, = а2, которые (как любые два

12

Leibnitii. Cliaracleristica Geometriae In Euclidis, Leibnizius math.

Будем строить на этих отрезках треугольники АДЕ, н А,В2Е2 так, 4TOZE,A,B1 =ZE3AJB2 = А И ZE^A, =ZE2B2A2 = Р. Для этого построим окружности С, и С2 с центрами в точках А, и А2 и радиусами а, и а2, соответственно. Затем проведем в этих окружностях радиусы А,М, и А2М2 так,ЧТО М,А,В1 = М2А2В2 = А . Построив аналогичным образом окружности D( и D2 С центрами в В, и В2 и радиусами по-прежнему а, и а2 и проведя в них радиусы B,N, иВ2Ы2так, что N^A, = N2B2Aj =|3 (на чертеже не указаны), получим Е, и Еа как пересечения А,М, и B,N,, А,М2 и B,N2. Окрулсности С, и С2 строятся на радиусах АД и А2В2 одним и тем же действием - построением окрулсности по заданному радиусу - откуда следует, что С( и С2 подобны. Далее, радиусы А,М, и А2М, тоже строятся одним и тем же действием - поворотом данного радиуса на данный угол (если этот поворот осуществлять циркулем и линейкой, с помощью построения равных вспомогательных треугольников, утверледение остается в силе). Следовательно, сектор М,А ,В, подобен сектору М2А2В2. Рассуждая таким образом, доходим до утверждения подобия треугольников A fi 1Е1 uA,BJLT Прим. ред.

A' Q' В'

Центр вписанной в треугольник окружности это точка пересечения биссектрис углов треугольника; точку касания внешней окружности со сторонами треугольника моясной найти, опустЕїв из точки пересечения биссектрис перпендикуляры на стороны треугольника. Прим. ред. Suzanne. La maniere d'etudier les mathematiques. Д. Мордухай-Болтовской. Теория подобия X. Вольфа и постулат де Ле- века. "Вест. опыт, физики и элем, матем", 1906, 20

Исследование изогенности и гомогенности пространства с точки зрения теории непрерывных групп - см. мою статью: "Основания геометрии неизогенных и негомогенных пространств с точки зрения теории групп"// Известия СКГУ. Delegue выставляет основным свойством пространства делимость, непрерывность, бесконечность, гомогенность и изотропность, которые понимаются уже в смысле возможности существования схемы с центром в любой точке. Delegue. Essai sur les principes des sciences mathematiques. Paris, 1908. 21

Бертран Женевский, 173 1-1812. L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elemental re des mathematiques prises dans toute son etendue. A Geneve. 1778. Его же - Elements de Geometrie. Paris. 1812, О нем: Cantor. Vorlesungen, В. IV. 22

Petri Rami. Geometriae libri 27. Basileae, 1509. Scholaruin Mathem. Libri • unus et triginta, 1569. О нем см. мою работу: Философско-математи-

ческие идеи XVI в. [наст, изд.]

^ Рассел называет гомогенностью то, что я называю выше изогеииос- тью.

25 Валлис (1616-1703). См.: Stackel und Engel. и Oeuvres, t. VI, I, V, ch. V, p. 472. 27

Lambert (1728-1777). Theorie der Parallelinien, 1788.

Stackel und Engel. Die Theorie der Parallelinien von Euklid bis auf Gauss. Leipzig. 1893. 28

Delboeuf. Prologoinenes philosophiques de la Geometrie. Liege. 1860. Lanciennes et les nouvelles Geometries. Revue philosophiques, 36-39. 29

Определение Евклида: прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно своих точек, 4 опр. I кн. "Начал" Евклида. Пер. Петру- шевского, 30

Париосвязность изогениого пространства сводится к наличности инварианта группы преобразования движений, зависящего от двух точек. Lie. Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig, 1888-93. 31

См.: Lambert. Theorie der Parallelinien. 32

Petri Rami. Geometrie libri 27.

Мордухай-Болтовской. Философско-математические идеи XVI века, [наст, изд.] 33

Например,

31 Leibnizens Math. Schriften (her. Gebhardt), Abt II, В. I. Characteristica Geometrica IV in Eucl. Exor/sioc

35 Д. Мордухай-Болтовской. Генезис и история пределов. Изв. СКГУ. 1928.

Из прошлого пятой киигн "Начал" Евклида.

Математическое образование, 1916, № 7, с. 255-263; № 8, с. 277-289. 1

Как только дробь становится числом, результаты 7-й книги начинают толковаться в обобщенном виде. В пропорции a:b=c:d а, Ь, с, d могут оказаться не только целыми числами, но и дробями. Характерно определение Беха-Эддина деления, как определения числа, которое с единицей находится в том же отношении, что делимое с делителем. Nouvelles Annales Т.5, 1846, Khelasat de Beha-Eddin. 2

Евклидовых "Начал" восемь книг., пер. Ф. Петрушевского, Спб. 1819. [пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950] 3

Более подробно об этом см. ниже. 4

Опр. 3 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству", (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред. 5

"Совмещающиеся друг с другом равны между собой" (по изд. 1950г. - 7-я аксиома). Прим. ред.

4 Аксиома параллельных (по изд. 1950 г. - 5-й постулат). Прим. ред.

7 Все теоремы относятся к 5-й книге. Прим. ред.

s Табличка эта значительно продолжена классами:

a:b>c:d-^c:dc:d-^a:c>b:d, a:b>c:d-^a + b:b>c+d:d, и т.д. 9

В изд. 1950 г. Мордухай-Болтовской отбрасывает оба варианта как неподлинные. Прим. ред. 10

Euclid's Elemente funfzhen Bucher ubers. J. Lorenz Halle. 1840. 11

Euclides elementorum Libri XVI Auctore Christoplioro Clavio. Trancofurti Auno MDCLIV. 12

Из неравных линий, неравных поверхностей или неравных тел, если избыток большего перед меньшим будет совокупляем сам с собою, то он может превзойти всякую предложенную величину из рода тех, кои взаим ио сравниваются.

Творение Архимеда. Две книги о шаре и цилиндре. Пер. Ф. Петрушев- ского. Спб. 1823. С. 5. [Архимед. Соч. М. 1962.] 13

Прим. 4 на стр. 187. "Начала" Евклида. М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев. 1880.

Этим определением Евклид хочет показать, что сравниваемые величины должны быть однородны, например, длина и длина, площадь и площадь и т.д. Но длина и площадь, соотношения в смысле вышеизложенного, иметь не могут, так как, сколько бы раз длину не повторили, площадь не получится. 14

Отношение друг к другу имеют величины, которые, взятые кратно, могут друг друга превзойти, (нем.) Близкий перевод дает сам Мордухай- Болтовской в изд. "Начал" 1950 г.: "Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". Прим. ред. 15

Jacobi Peletarii. Medici et Matliematici. Cominenlarii fres... Basileae, см. мою статью: Философско-математические идеи XVI века. Cantor. Vorlesungen ueber Geschichte der Matheraatik. В. II. S. 565.

" Ближайшим родом (лат.). Прим. ред. Исправленный Евклид (лат.). Прим. ред.

№ Arzet. Clavis Mathematica. 1634.

14 Ozanam. Cours de Mathematiques. 1720. 20

Taquet. Elementa Geometriae. 1654. 21

Euclides restitutus etc. a Alp. Borelio. Romae. 1670. 22

Euclides ab omni naevo vindicatus... auctore Hieronymo Sacchero, Mediolarni. 1738, см. также Engel-Stackel. Die Theorie der Parallellinien. Leipzig. 1875. 23

"Некоторая" (лат.). Опр. З 5-й книги: "Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величии по количеству". Прим. ред. 24

Определение 20-е 7-й книги: "числа называются пропорциональными, когда первое второго, а третье четвертого суть равнократиые, или равночастные, или равномпогочастные". Евклид. "Начал" три книги в пер. Петрушевского. 1833. 25

Taquet. Elementa Geometriae plauae ас solidae etc. Antverpiae. 1654. 26

L'art de penser. А. Арно, П. Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991. Прим. ред. 27

Dechales. Elementorum Euclidis Libri Octo ad faciliorem captum accomodati auctliore P. Claudio Francisco Milliet Dechales Carnbericus Soc. les. Lugundi MDCLXXV.

-s Интересно сравнить теорию Таю с теорией Саньо д' Овидио, в которой роль равенств (*) играют

піа = тіЬ + аі aj njC^Pjd + Cj Cj mj =Pj- 29

Рассел, Пеаио. 30

Amaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683, (анонимно, как его пор-роялевская логика). 31

Здесь можно отметить более грубый способ уже не сократить, а отделаться от 5-й книги, относящийся к этому времени. Это Euclidis elementorum sex libri Henrici Coetsii. 1692, где 5-я книга сводится к числовой теории пропорций с пояснениями на числах, вместо евклидовых доказательств 7-й книги, причем поясняется, что автор это делает потому, что читатель привык более мыслить в числах, а то, что оп говорит о числах, легко распространяется и на линии.

Вне сомнения, в связи с арифмегизацией геометрии в XVII веке находится и онтологическая проблема, о которой велся спор между Арно, стоявшим на точке зрения Декарта, и Мальбраншем, шедшим дальше его. Это проблема вроде схоластической "universalia in re" или "ante rem" [универсалии в вещах или до вещей (лат.)] сводится к вопросу: numerus ante rem numeratam ant in re іштега(а?[числа до перечисленных вещей или в перечисленных вещах (лат.)] В переводе на математический язык: дается ли число счетом или число следует понимать общее. Решение вопроса в последнем смысле приводит к признанию относительных величин Арно за числа.

1 32

Т.е. части вида —, где и - целое. Прим. ред. 33

Конечно, в основании этого доказательства те идеи, которые лежат в основе метода исчерпывания Евклида (см. 12-ю книгу: 2, 5, 10, 11, 12 предложения). 34

Величина как род, величина вообще (лат.), Прим. ред.

33 De la Caille. Lectiones elemenlares matliematicae Seu elementa Algebrae et Geometriae. 1762.

Количество пли величина (лат.). Прим. ред.

Искусство открытия (лат.). Прим. ред.

36 Herigonus. Cursus mathematicus nova etc. Paris. MDCXXXIV. 35

Descartes. Geometrie. Liv. I.

Интересно проследить влияние, оказанное картезианской философией на арифметизацию геометрии. После сведения материальной вселенной к "rnundus geometricus", к движущимся геометрическим фигурам в пространстве, объявив все остальное иллюзией, оставался только один путь - к Мальбраншу и Беркли, к признанию только одной ре- альности - духа. Вместе с тем число, как принадлежность духа, независимая от опыта в материальной вселенной, переводится на высшую, в сравнении с пространством, плоскость существования. Malbnmsclie. Reponse а 3 lettres de Arnauld, Recherche de la verite 6. Ch. V. Брюнсвиг характеризует две ступени Декарта и Мальбранша так: первый прилагает алгебру к геометрии, второй сводит геометрию к алгебре. Bmnschvigg 9. Les etapes de la philosophie mathematique, p. 130. Эприкес. Вопросы элементарной Геометрии. Спб. 1913, статья Д, Вайлати "Учение о пропорциях", стр. 220 и дальше. Euclidis. Megareusis Elementorum Geometriae, Lib. XV. cum- commentalionibus. Сатрапі. 1491.

Перевод Мордухай-Болтовского в изд. 1950 г.: "Говорится, что отношение составляется из отношений,.когда количества этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто". Прим. ред. "Начала" Евклида. Ващенко-Захарченко, стр. 214. Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение сторон. Прим. ред. 46

47

См. об относительном умножении отношений, напр. Кутюра. Философские принципы математики, стр. 29. D. Vitale, Euclide restitulo. Roma. 1680.

Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. Alcan. 1912, p. 47.

48 Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1788. 59 L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques prise dans toute osou etendue. A Geneve. 1778. 50

Legendre. Elements de geometrie. 51

Учебники лежандровского типа: Gamier, Vincent, Terquem, Sonnet, Dupin, Fournier, Nicollet, Pascal, а также позднейший Rouclie et Coniberousse. 52

Lacroix, Elements de Geometrie a l'usage de l'Ecole Centrale des Quatre nations. Paris. 1814. 53

A. Sannia ed E. D'Ovidio. Elementi di Geometria ad uso dii Ginmasii e degli Iustituti Tecnici. Napoli. 1916.

34 G. Veronese. Elementi di Geometria ad uso dei Gimnasi e instituti tecnici. Padova. 1911, parti 1, t. П. См. также геометр ич. учебники Энрикеса и Амальди, Инграми, де Наолиса и т.д. 55 Гурьев. Основания Геометрии. Спб. 1825 и другие его сочинения.

Метод исчерпываиия.

Математическое образование, 1928, № 6, с. 229-240.

1 Аристотель о бесконечности - "Pliys.". Cap. V. "De General, et Corrup". Cap. III.

г Примеры reductio ad infinitum — приведение к бесконечному (лат.) - можно найти у Аристотеля и у схоластиков.

Первым образцом такого доказательства является известное зеноновс- кое доказательство несуществования пустого пространства. См., например, Таниери - "Первые шаги греческой науки". Укажем также доказательства существования первой материи и первого двигателя у Аристотеля, - "Мех.", гл. XIV, с. 1; "Phys.". VIII. С. 49. 3 О статическом характере античной мысли см: Шпенглер - "Загат Европы". [М.1993] Т I. А Определение Д'Аламбера предела см.: "Encyclopedie methodique des aits etdes metiers" (Diderot), статья Limite, также Melanges, § XIV, Об истории пределов см. мою статью "Генезис и история пределов". О Д'Аламбере см.: Bobynin. "Elemente der Geometrie" в Cantor. "Vorlesungen ub. Ges. der Math", В. IV, Ab. XXII, S. 355, также В. Ш, статья Бобынина — "Элементарная геометрия и ее деятели во второй половине XVIII века", "Журнал мин. нар. проев.", сер. XII, 1907, № 1, отдел 2.

5 См., напр.:, Поссе. "Курс дифференциального и интегрального исчисления", § 5. У Коиш ("Уроки диф. и инт. исчисления", пер. Буняковско- го, С. 1831) этот пункт не выявлен. i То есть для VE>0 нетолькоЗп, так что|Ап-А|<е, но 3N , так что для Vn>N |AN- А|<є . Прим. ред. 7

Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Его работа в "Math. Ann.", 21, 23, и "Acta Math.", t. П. [Г.Кангор. Труды по теории множеств. М. 1985] 8

У Клавия впервые выступает этот постулат. См.: "Euclidis elementorum libri XVI". Auctore Christoplioro Clavis. Francfurli. 1654. См. также Эн- рикес. "Вопросы элементарной математики". С. 1915. С. 220, статью Вайлати: "Учение о пропорциях". "Мат. обр.". 1916 № 7-8.

Arist. "Phys." VIII. 1. Tiedemann. "Geist der Spec. Philos". B. 111. S. 542. Thorn Aq. p. 1, q. 7, a. 2,1 Sent, des 43, q. 1. Quodex ub. g. a. 1. lib. 10 q. 2. a. 4. XI Met. lec. 10. Аргументы Прокла за вечность вселенной у Philipon 'a "Contra Proclum de aetemitate rnundi. Ven. 1535. Схоластики, пытаясь примирить Аристотеля со св. писанием, признавали высказываемое Аристотелем за передачу чужого мнения. Thom. Aq. 1 p. q. 46. 10

См. "Аналитики Аристотеля". Конспект в "Логике" Владиславлева. [Met. 1005 Ь20] Об Аристотеле Britmchvigg. "Les elapes de la philosophic inathemalique". Alcan. Paris. 1912. p. I, ch. V. Milhaud. "Aristote et les mathemaliques". "Archiv furGesch. der Phil", t. XVI. 1903. 11

Brunschvigg p. I, ch. Ill, ch. IX.

Обэлейцахсм. Arist,:"Phys", 1-4,"DeCoelo", ПІ, 1."Desophis. el.",28. Simplic. in "Phys". Arist. 8, 9, 22, 24, 25. SextEmpyr. Pyrrh. hyp. ЇЇІ, 65. "Adversus mathematicos", X, 46. 12

Понятие переменного некоторое время остается связанным со временем, всякое изменение мыслится во времени. Время является универсальным независимым переменным у Баррова и Ньютона (1643-1727). Barrow. "Lectiones oplicae et Geometriae".

Newtoni. "Theoria fluxionum" (теория ({ипоксой, фр. пер. 1740 г.) Ньютон. Математические работы. M.-JI. 1937. см. Cantor. "Vorlesungen Ps." ІП. 13

"Начала Евклида", русские переводы; Петрушевского, (1833), Ващенко-Захарченко (1880). [Мордухай-Болтовского (1950).] Немецкие: Lorenz. Halle 1840.

" "НачалаЕвклида". О методе исчерпывания: Klugel. "Math. Worterbuch. Exhaustionsmethode". 15

Выражение "исчерпание", "метод исчерпывания", видимо, впервые встречается у Такэ, который, выявляя общие схемы метода исчерпывания и устанавливая с помощью его положения общего, абстрактного характера, ведет его к превращению в метод пределов.

Andreae Taquet е. soc. jesu "Opera mathematical Losani. 1666. Taquet. "Elementa Geometriae planae et Solidae". Antverpiae. 1684. 16

Паппус во времена Диоклетиана (284-305 по P.X.)

"Collect. Max". IV, II. Старое издание Коммадина Veil. 1589; Hultscz. Vol. I. XIII. Berolini. 1875-78. 17

Основа их: Legendre. "Elements de Geometrie". Давидов. Элементарная геометрия. 1922.

Методическая переработка: Lacroix "Elements de Geometrie a 1'usage de FEcole centrale des Quatre nations". Paris. 1814. К этому типу относятся известные учебники: Rouche' etComberousse, Niewenglowski, Hadamard (хотя не вполне). О Лежандре и его учебнике см.: Bobynin. "Lehrbucher". 18

"Опыт усовершенствования элементов геометрии". Спб. 1798. "Основание геометрии". Спб. 1825. О Гурьеве (1766-1813) см.: Bobynin. S. 319. 19

Archimedis "Opera" (ed. Heiberg). Архимед (287-212 до P. X.). [Архимед. Сочинения. М. 1962.] 20

"О шаре и цилиндре", пер. Петрушевского. [Архимед. Соч. М. 1962.] 21

MilhaucL "La methode d'Archimede". "Rev. ScienL". 1908. 22

См. литогр. записки Д. Мордухай-Болтовского "Курс диффер, и ин- тегр. исчисл.". Т. I, Варшава. 1915. Также четыре лекции по философии математики. (Наст. изд.). 23

Д. Мордухай-Болтовской. "Философско-математические идеи XVI в." [наст, изд.] 24

Kepleri. Novastereometria doliorum. Изд. 1615. Также в "Opera omnia." Francfurti 1871, vol. IV, p. 537-538. [Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. М. 1935] Bon. Cavalieri. "Geometria indivisib." Bononiae. 1635 (1653). [Кавальєри. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940] Walisii. "Arithmetica infimlonim". Opera Oxoniae. 1693. Аксиоматику исчисления бесконечно малых актуальных см. у I'Hopital. "Analyse des infin.

.petite". Paris 1759. [Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л. 1935] Историю исчисления бесконечно малых - в книге: Gerharclt. "Die Entwickelung der Hoheren Analysis". Halle, 1855. В "Vorlesungen" Cantor'a В. II, k.78. "Infinitesimal Betrachtung". Kepler. Cavalieri. Из старых книг: Knorre. "Dissertatio geometrica de methodo exliaustiones et indivisibilium". Wittenburguae, 1692. 25

Об апагогических доказательствах - моя статья в "Ростовском научном вестнике" за 1922. [См.: "Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем" в наст, изд.] Аристотель об апагогических доказательствах "Analitica Pos", lib. I; см. также пор-роя- левскую логику: "L'art de penser" (Арно и Николя). [А. Арно и П. Ни- коль. Логика или искусство мыслить. М. 1991] Примеры выпрямленных доказательств (с помощью введения бесконечно малых) молено найти в книге Ozanam. "Cours de Mathematiques". Paris. 1720; lect. XI. 26

Эта форма вырабатывается впервые Дюамелем - Duhamel. "Elements de calcul infinitesimal". Paris. 1860, ch. IV, V, VI. 27

Обработка принципа Кавальєри в смысле современных идей - см.: Weber-Wellsein. "Энциклопедия элементарной математики", изд. Матезис. Одесса. Т. II, книга III, § 90. Принцип Кавальєри, стр. 262; см. Также: Heinze. "Genetische Stereometrie". 28

Торичелли (1608-1647). "De dimensione parabolae" в "Opera Geometrica". Florence. 1644. О нем Cantor. "Vorlesungen". B. IL S. 883.

25 Квадратура параболы Архимеда: Arch. "Opera" (ed. Heibug), I, 288. [Архимед. Соч. M. 1962] Cantor. "Vorlesungen". В. I. К. 29, S. 289. См. также Duhamel. "El. de calc. inf.", ch. V, p. 29.

Из истории метода наложения в элементарной геометрии

Математическое образование, 1928, JVa 3, с. 107-113. 1

На русском языке: евклидовы "Начала", восемь книг, пер. Ф. Петрушевского, или "Начала Евклида" в пер. Ващенко-Захарченко. Киев. 1880. Пользоваться в виду неточности перевода следует очень осторожно. [См. также пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950.] Хороший перевод: Euclids Elemeuteu funfzelm Buches ubers, L. Lorenz, Halle, 1840. 2

Legendre. Elements de Geometrie, Paris, иеск. изд., напр. 1837. Русское издание в переводе Баландина и Бунтац: Лежандр. Основание геометрии и тригонометрии Спб, 1837; в другом издании: "Элементарная геометрия Лежандра", Спб. 1879, переработка Blauchet Legendre. Elements de Geometrie, 1813. Серьезная методическая переработка Лежандра- Lacroix. Elements de Geometrie a 1'usage de Гесоїе Centr,, Paris. 1814. Этот учебник лежит в основе всейучебнон литературы лежаддрова типа. 3

Это доказательство вошло в употребление значительно раньше "Элементов" Лежандра; см.: например, Coeti. Euclidis elementorum sex libri priores, 1697; "Элементы" Лежандра, кн, I, пред. XII. 4

"Начала" Евклида, кн. I, пред. VII. "Элементы" Лежандра, кн. I, пред. X. В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса ("Элементарная геометрия", Москва, 1914, стр. 27, §38). Таким образом, третий случай равенства общего типа треугольников заменяется первым случаем равенства треугольников; причем, теорема доказывается непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопустимо с евклидовой точки зрения.

3 Lcgendre - Blanche!, Liv. 1. Prop. X (см, Давидов); у Legendre'a изд. 1837 теорема доказана иначе. 6

Aristotelis. Metaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece el latine, изд. Didot. [Аристотель Соч. в 4 Т. T.l. М. 1976.] 7

Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Пер. Фета. Т. I, § 15,

8

л

А

Очевидность как критерий истинности. См.; Descartes. De Prima Philosophia. IV, p. 25, 34, 39. Regulae ad dirigendum ing. 2 p. 4 (Декарт. 1596-1658. Виндельбанд. I стр. 34), см. Также Arnoldi Geiiinx. Logica fundamentalis. Lugd. 1662. 10

Аналитика Аристотеля. Есть французский перевод. Dernieres Analitiques. Logique d' Aristote trad, par Barthelemy Saint-Hillaire, 1842. О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch derLogik, Bonn. 1920. Bd. 1, § 9. 11

Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый - о параллельных, иногда относится к аксиомам - II аксиома.

11 О постулатах Евклида см. Hauber. Christomatia Geometrica. Tubingen. 1820. § 127; также Savillus. Praelectiones tredeciin Oxoniae, 1820; см. также Brunschwigg. Les etapes de la philosophie inathematique. Paris. 1912, стр. 89. Les postulats. Там же библиография. [Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989.] [Аристотель. Соч. в 4 Т. Т.2. М. 1978], 13 Понимание постулата Кантом в логике родственно евклидову. Постулатом, говорит Кант (Логика I, 2 отд., § 38), называется практическое непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий

возможное действие, в котором подразумевается, что способ его выполнения непосредственно очевиден. 14

Savilli. Praelectiones. О Савиллн (1549-1622) см. Cantor. В. II, S. 664, р. 131, также Kastner, 1,249, III, 19-26; Ball. History of mathematics at Cambridge, p. 29. 15

Hobbes. DeCorpore, ch. VI, S. 13. Lond., 1839, p. 72. [Гоббс.Избранные произведения. M. 1964.1 Brunschwigg, неправильно считая определения Евклида номинальными, считает, что цель постулатов - придать им реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоб- бса.

Brunschwigg. Les etapes etc. Liv. II. ch. VI, p. 91. О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элементарной математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, напечатанного в Verhandluingen der dritten intern. Math. Kongress in Heidelberg 1904; см. также Tannery, La Geometrie grecque. 16

Например, Arzet. Clavis Matliematica, 1635. 17

Euclidis - Heiberg, vol. 1, p. 11.

Прим. ред. / Y\

19 Этим наложением Евклид в предл. 4 1-й книги / \ \

доказывает равенство треугольников по двум / \\

сторонам и углу между ними ("первый случай / \ \

равенства треугольников" по терминологии ав- L ^

тора). Прим. ред. A(D) В(Е)

2(1 О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophic Scolastique, Paris. 1850. 21

Euclides elementonim libri XV auctore Cliristophoro Clavio. 22

В теоремах о равенстве треугольников Евклид доказывает: а) равнове- ликость; б) равенство сторон и углов. Euclides-Heiberg, s. 17: "et triangulus triangulo aequaiis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri".

[Треугольники будут равны друг другу и их элементы будут равны друг другу, (лат.)]. 23

Zeuthen. Historic des Mathematiques trad. par. Mascart;. Paris. 1902, p. 72. [Цейтен. История математики в Древности н в Средние века. М,- Л. 1938.] Взгляды Платона - см. диалоги Тимей, Феяон, Республика, Федр, Критон. Аристотель - бесполезность идей: Met. II. 2. Et. I, 4; опровержение: Met I, 9 XIII, 4, 9 VII. 6. 13.

Brunschwigg. Les etapes. Liv. II. Ch. IV, p. 67 см. Zeller. Die philosophie der Griechen, II. Teil. II Abh. Die Dialektik der Ideenlehre, 24

Умное место (греч.). Прим. ред. 25

О рационализме см. Bouillier. Historie de la philosophie cartesienne. 18141816. О логике Декарта см. Ziehen, 1.1 Cap. 2. § 23. Классическое сочинение по логике рационалистического направления. Арно. L'art de penser (пор-роялевская логика). [А. Арио, П. Николь. Логика, или искусство мыслить. М. 1991.]

24 Millet Dechales. Elementoium Euclidis. Libri Octo Lugundi 1675. Claude- Fransois Millett-Dechales (1621-1678). Его же. Cursus sen Mundus geometricus, см. Cantor III 4-6, 15.

Гильберт. Основания геометрии (есть на русском языке). [М. 1948.]

Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683. - Арнольдиан- ские учебники: Varignon. Elements des Mathematiques. Amsterdam. 1734. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1750. Camus. Cours de Mathematiques. 1735 и многие другие XVIII века.

Об аксиоме Арно см.: Исследования о происхождении некоторых основных идей.., Часть: Аксиоматика XVII в. в наст. изд. Прим. ред.

Savilli. Praelectiones. Lib. X. p. 196.

"Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред.

Т.е. теорема сводится к утверждению о равенстве треугольников по 3-м сторонам, которое принято гак аксиома. Прим. ред.

Savilli. Praelecliones. Lib. IX, p. 170, p. I.

Философско-математические идеи XVI века.

Известии Донского университета, 1919, т. 2, с. 1-48.

1 L: Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathemalique. Paris, Alcan. 1912.

1 Выражение Амоса Каменского.

3 Cardani. Opera Omnia. 1663. De Subtilitate. Libri XXI. Basileae 1554.

1 Искусство изобретать (лат.). Прим. ред.

5 Искусство доказывать (лат.). Прим. ред.

(> С. Waddington. Ramus, sa vie, ses ecrits et ses opinions. Paris. 1855. Также: M. Владиславлев. Логика. Обозрение индуктивных и дедуктивных приемов мышления и т.д. Спб. 1881. 7

В. Виндельбанд. История философии. Спб. 1898, стр. 358. 8

Самый общий род (лат.). Прим. ред. 9

Первичное (греч.). Прим. ред. 10

Небытие (греч.). Прим. ред.

!| Универсалии (лат.). Прим. ред. 12

Дыхательные звуки (лат.). Прим. ред. 13

Интересно отметить, что в XVII веке все три типа: определение, постулат и аксиома сводятся к одному: к аксиоме, тогда как в современную эпоху "формально-гипотетической" математики они сводятся к определению, (см. Пуанкарэ. Наука и гипотеза).

Главным моментом определения является не называние, а указание очевиднейшего, первейшего и известнейшего свойства объекта. Постулат и аксиома отличаются только тем, что первое относится к построению, второе к свойству.

Borelli. Euclides RestitiUus 1679. У других авторов эти понятия совпадают, и термин-постулат совершенно отпадает.

" Спиноза. Этика. 15

Rami. Dialecticae Libri Duo. 1586. Waddington. Ramus. 1855, p. 364. 16

Выдержки из старых алгебр и подробный исторический очерк см.: L. Mattliiessen. Grundzuge der Antiken mid modern Algebra. Der litteralen Gleichungen. Leipzig. Teubner. 1896. 17

Утверждение (фр.). Прим. ред. 18

Боэций 470-570. Boelhii In Porphyrium, Isag I. VI, p. 86. Porph. Isag. III. 19

Abelard. Dialectica liber Divisionum et Defmitonum. Remusat. Abelard, Т. I, f. 439. 20

Комментарии Клавия помещены тоже отдельно от них же в собрании его сочинений. 21

Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского, Спб. 1819, стр. 2. 22

Через род и [специфическое] различие (лат.). Прим. ред. 23

Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae 1569. Sltolarum Matliematicanim Libri unus et triginta. Basileae 1569. Francfurti 1569. Определение параллельных прямых, как прямых равноудаленных ведет свое начало с Геминуса и Посидония (1 в. по P. X.) 24

Параллельные линии суть линии везде равноудаленные (лат.). Прим. ред.

15 Определение 10 1-й книги. Евклидовых "Начал" восемь книг. Пер. Петрушевского, стр. 2.

26 Подобные прямолинейнык фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. Пер. с лат. Мордухай-Болтовского, М. 1950. Прим. ред. 27

Подобие же кругов и шаров понимается посредством соответствующих многоугольников с бесконечным числом сторон (лат.). Прим. ред. 28

Eucliclis elementorum Libri XV... auctoc Crist. Clavio. Francfiirti. 1654 (первое издание 1574). Прим. ред. 29

Постулат З I книги "Начал": "... из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг" (пер. Мордухай-Болтовского). Прим. ред. 30

В дальнейшем существование геометр, объек. - это отсутствие противоречия в определяющих его логических терминах. 31

Сравни Аристотеля: Est vero interrogantis, ita disputationem induere ut respondentem cogat maxiiue improbabilia dicere ex iis, quae propter thesin sunt necessaria. Respondentis contra est ne sua culpa videalur accidere absurduni, aut quod sit contra opinionem omnium, sed propter tlicsin. Aristoteles. Topicorum Lib VIII. Cap. IV. ["Вопрошающий должен так вести речь, чтобы заставить отвечающего говорить самое неправдоподобное, необходимо вытекающее из тезиса. Отвечающий же должен так вести речь, чтобы несообразное или противное общепринятом}' казалось получающимся не по его вине, а из-за тезиса". Аристотель. Топика, кн. 8; гл. 4. Соч. 4 Т. Т. 2, пер. Иткина. М. 1978.] 32

Alberti Dureri. Institutionum Geometricorum Lib. Lutetiae 1532. 33

Клейн. О преподавании геометрии. Вестник Опытной физики и элементарной математики. № 537. 1911 год. 34

Чертеж, схема (лат.). Прим. ред. 35

Точка есть то, что не имеет частей [ср, опр. 1 ки, I "Начал" Евклида]. Линия - то, части чего суть точки. Поверхность - то, части чего суть линии. Тело - то, части чего суть поверхности. Или иначе: точка есть неподвижный момент, линия это движущаяся точка... также точка есть то, что не имеет ни одного измерения,., (лат.). Прим. ред. 36

Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik В. I. 1907. § 73. Пселл (p. 1028 г.) известный средневековый логик, сочинение которого Eis Trjv. Арісгтотєіоо^ Ах>уіхлу---Имел0 большое значение в средние века. Michaelis Pselli. Compedium Mathematicum aliaque tractatus eodem pertinens. Lugn. Bat. Exo fficine Elzeviorum. 1647. Gulielmo Xylandro interpretato. 37

Срав. определение Анариция: угол - количество, имеющее протяжение, границы которого сходятся в одной точке. 38

Т.е. любой отличный от треугольника многоугольник, который здесь рассматривается как составленный из треугольников. Прим. ред.

Т.е. любой отличный от пирамиды многоугольник, который здесь рассматривается как составленный из призм. Разбиение многогранника на пирамиды проводится аналогично триангуляции многоугольника. Прим. ред. 10

Пентаэдр - призма с треугольным основанием. Всякая другая призма может быть составлена из пентаэдров: разбиение призмы на пентаэдры находится во взаимно-однозначном соответствии с триангуляцией многоугольника, лежащего в основании призмы. Прим. ред. 11

Напр. Henrici und Tretlein.

42 В учебниках XVII в. и XVIII в. Штурма [I. Sturmii Mathesis Iuvenalis] и Вольфа различаются три части элементарной геометрии: евтимстрия, или лонгиметрия, эпипедеметрия или планиметрия, и стереометрия. См. также: Аничков. Теоретическая и практическая геометрия. Москва. 1780.

13 Евклидовых "Начал" восемь книг Пер. Петрушевского. Спб. 1819, стр. 30. 44

Т.е. если угол ZABC равен ZA^C, при равных основаниях АС и AjC,, то если Е внутри ABC, то ZAEC > ZA^C,. 45

Arnaldus. Nouveaux elemens de Geometrie. 46

Остроградский. Руководство к геометрии. 1855. 47

О линиях в круге (лат.). Прим. ред.

18 О сегментах круга, об списывании круга и труголышка, о вписывании треугольника (лат.). Прим. ред.

" Конус есть то, что содержится между конической поверхностью и основанием. Цилиндр есть то, что содержится между цилиндрической поверхностью и противоположными основаниями (лат.). Прим. ред. 30

Т.е. поверхности, образуемой движением прямой линии, (лат.). Прим. ред. 31

Variurn это кривое тело, основание которого представляет собой обвод, а образующие - прямые [идущие] кругом от края до края по основаниям (лат.). Согласно данной выше классификации, gibbum - это вид тела, однако в данном случае фактически определяется поверхность этого тела, что и позволяет автору называть variiun поверхностью. "Основаній в этом определении - это направляющие поверхности". Прим. ред. 52

Через род (кривое тело) и [видовое] отличие (сторона) (лат.). Прим. ред. 53

Цилиндр противополагается конусу, между тем как в настоящее время цилиндр - вырождение конуса, когда вершина ушла иа бесконечность. Это точка зрения диа лектической логики, встающей выше логики классов, разбивающей неизменность видов. Цилиндр, с одной стороны, не конус, ибо в нем прямолинейно-образующие параллельны, в то время как в конусе ие параллельны, с другой стороны, цилиндр - вид конуса, ибо нельзя указать, когда при удалении вершины конус перестает быть конусом. 54

Methodus admirandarum mathematiconim novem libris exliibens universam Mathesin autore Johanno Henrico. Alstedio Herbornae Nassoviomm. 1623. Johann Heinrinli Alsted 1588-1638. Cantor. II. 719. Kastner ПІ. 434-438. 55

Alstedi. Novum speculum Logicis minime vulgaris. 1652,

54 Riff. Quaestiones Geometricae in Euclidis et R Rami ^"шг/^ият4' adsumscholae Matliematicae collectae doctore Rufo. Oxoniae. 1665. 57

Определения образов (видов) (лат.). Прим. ред. 58

Исследования свойств данных величин независимо от их вида (лат.) 59

Эвтиметрия линий. Термин "эвтиметрия", по-видимому, происходит от греч. 8VTO%IA (счастье) и обозначает "хорошее" сочетание геометрических обекгов. Прим. ред.

я В гегельянстве дихотомная система заменяется трихотомной, и принципом построения является не родовое соподчинение, а диалектический принцип, противополагающий тезису антитез и соединяющий их в синтезе. Точка и пространство - это первые тезис и антитезис, точка и пространство, и их отрицание и примирение, обретается в прямой линии, которая га к количество-расстояние и кале качество-направление дает снова тезис и антитезис и т.д. (Гегель. Философия природы.)

41 Arnaldus. Nouveaux eleinens de Geometrie. Paris. 1683.

62 Здесь уместно упомянуть логистическую точку зрения: линия здесь объявляется классом точек, которым присуще определенное свойство; наиболее существенным представлятся не отношение вида к роду, не отношение части к целому, а соотношение между объектами, удовлетворяющими одной и той же системе постулатов и подвергающимся тем же формальным операциям. См.: Ingrami. Elementi di Geometria. Bologna. 1904. Pieri. I principia delli Geometria, и др. его сочинения.

й Т.е. точек прямой. Прим. ред.

De la Caille. Lectiones elementares Matliematicae seu Elementa Algebrae ct Geometriae. 1762.

Порочный круг (лат.). Прим. ред.

w Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

В прошлом столетии угол имеет интересную историю, ярко отражающую "механизацию" геометрии ог начала к середине столетия. От евк- лидовского угла, как наклонения (принятого Хауффгом 1803 г., Бреве- ром 1822 г., Паукером 1823 г., Коберлейном 1824 г., Креллем 1824 г., ван Свинденом 1834 г., Ульрихом 1836 г., Рехтом 1844 и Эбенсбергером 1850) и разновидности угла, как раскрытия (ouverture) (Безу 1812, Де- велей 1818, Махистр 1845) через бертраиовское определение угла, как неопределенного пространства между двумя непараллельными прямыми (Форстерланг 1847, Кнорр 1849, Бекер 1859, Турих 1868, Адам 1869, Беер 1869, Шлегель 1872 г.) эволюционирующая мысль составителей

учебников пришла к углу, как различию направлений (Тибо 1822 г., Фишер 1833, Вундер 1840, Эбенсбергер 1850, Кунце 1851, Хейдегреих 1856, Соиидорфер 1865, Зененберг 1868, Турих 1898 ), а отсюда к отклонению (Abweichung) направления (Соломон 1847, Август 1852, Пернет 1857, Виганд 1863, Функ 1864, Грунерг 1870, Нагель 1873, Брок- ман 1871, Спикер 1873, и, наконец, к величине поворота (Grosse der Drelumg) (И. Мюллер 1844, Любсен 1850, Кунце 1851, Фрезеииус 1853, Франке 1860, Сонндорф 1856 (два опред.), Хейс и Энгвейлер 1870, Спикер 1873 (два опред.).

Интересно отметить, что в некоторых немецких учебниках имеются два угла; угол - lineatum и угол - planum. Взаимное наклонение двух пересекающихся прямых называется углом (Winkel), а ограниченная ими часть плоскости (Winkel-raum), причем равным углам отвечают равные угловые пространства и обратно.

(Крелль 1826, Форстнер 1826, Бретшиейдер 1844, Август 1852, Сте- фенхагер 1847, Мюллер 1844 и Спикер 1873).

См. историю определений: Schotten. Inhalt und Methode des planimetrischen Unterichts. Teubner.

Параллельные пространства играют валеную роль в теории параллельных Бетрана, в основе которой лежит принцип: "Каждое параллельное пространство меньше угла."

Крелль, дополняет его еще вторым принципом: "Каждое ограниченное пространство меньше угла". Интересно отсюда вытекающее доказ, того, что внешний угол в треугольнике больше внутреннего с ними не смежного.

У Мерея (Meray. Nouveaux de geometrie.) за изложением теорем и Операций, относящихся к углам, следует изложение теорем и операций, относящихся к параллельным полосам.

Lacroix. Elemens de Geometric Г usage cle ГЕсоїе Centrale des Quatre- nations. Paris. 1814.

Lacroix. Essais sur 1 'enseignement en general el sur ceiui des Mathematiques en particulier. Paris.

См.: Бобынии. Элементарная Геометрия и ее деятели во второй половине XVIII века. // Журнал Министерства народного Просвещения. Ordo Arnoldianus в учебниках: Lamy. Elemens de Geometrie. Paris. 1685.

Sauveur (revu par !e Blond) Geometrie elemenlaire et practique. 1753. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1768. Заметно сильное влияние Арно иа сочинения.

Varignon. Elemens de Mathematiques. Amsterdam. 1734. De la Caille. Lectiones elementares. 1762. Camus. Coms de Mathematiques. 1755.

Интересно отметить, что в "Руководстве начальной Геометрии" Остроградского в отношении плана проводятся арнольдовские идеи. У Остроградского, в противоположность Лежандру, курс не начинается с треугольников, но ему очень рано приходится пользоваться теоремой о конгруэнтности Арно.

"Когда Вы встретите на боках двух равных углов части, соответственно равные, необходимо допустить равенство линий, соединяющих в каждом угле концы этих частей".

Также как Арно, когда с Остроградским доходим до треугольников, то все уже оказывается готовым, так как "треугольник, говорит Остроградский, можно рассматривать, как совокупность двух наклонных и секущей этих наклонных, ограничив первые и последние точками взаимных пересечений".

Остается только приложить к треугольникам свойства наклонных. Идея Арно провести теорию параллельных и перпендикулярных до исследования случаев конгруэнтности треугольников - конечно, не совершенно независимо от него, нашла осуществление и в учебниках чисто лежандровского типа, например в Геометрии Ньевенгловского. Путь же указан Омом.

Ohm. Die геіне Eleinentar - Mathematik... Berlin. 1826. 70

Этот фактор играл не меньшую роль, чем желание систематизирования. В этом отношенин интересны сочинения Дешаля, Арце и Симпсона. 71

Предисловие, (фр.). Прим. ред. 72

То же - 5-й постулат. Прим. ред. 73

"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней" (пер. Мордухай-Болтовского). Возможен перевод: "Прямая линия есть та, которая равно лежит своими точками". Прим. ред. 74

То же акс. 9 (в изд. М. 1950). Прим. ред. 75

Dechales. Elementarum Euclidis Libri Ос to... autore Claudio Franciscio Millet Dechales...MDCLXXV. 76

Джордано Витале (1633-1711) выводит из равенства AC=EF= BD, что ZC -ZD = d и отсюда, что AB и CD при условии одинаковости расстояний трех точек А, Е, равно отстает друг от друга, но если для какой-либо точки G перпендикуляр к АВ .. GH > АС, то откладывая QI = АС получаем противоречие Сгодной стороны СШ + HID меньше 2d, ибо ZAC1 = Z СШ и Z BDI =Z HID представляют части прямых углов, с другой стороны эта сумма, как сумма внешних углов прямоугольных треугольников, больше 2d.

Vitale. Euclide restituto. 1680.

Бонола. Теория параллельности и неевклидовы геометрии. Энриквес. Вопросы Элементарной Математики Спб. 1913. 77

Euclidis restitutus a Alphonso Borellio. Romae. 1679.

78 При движении вдоль CD концом перпендикуляра, не лежащим на CD. Здесь использовано первое положение Клавші: линия, все точки которой равноудалены от прямой, тоже прямая. Прим. ред. 75 Euclides ab omni naevo vindicates... autore Hieronymo Sacclierio. Mediolani MDCCXXX1II см.: Enget und Stackel. Die Theorie der Parallelinien. Leipzig. 1895.

Каган. Основания Геометрии. Исторический очерк. Одесса 1907 г. 8(1 Pascal. Oeuvres. Hachelte. Paris. 1872. 1613-182. Cantor. Vorlesungen.

Leipzig. 1900. s. 681-682. Si Евклидовых "Начал" восемь книг, пер. Петрушевского. Спб., 1819, стр. 108.

"Начала" Евклида с толк., пер. М. Ващенко-Захарченко. Киев, стр. 146. 82

Friedlein. Procli Diadochi in primum Euclidi elementorum librum coinmenlarii. Leipzig, 1873. 83

Les quinze livres des elements geornetriques d'Euclide Megarien Traduits devrecen Francaispar. P. Le~Mardele, Paris. 1632.

81 В учебнике вольфиансюго типа: "Ежели прямые линии и углы закрываются взаимно друг друга, то они равны между собой, ежели равны, то друг друга взаимно закрывают". Аничков. Теорет. и Пракг. Геометрии Спб. 1780. 85 Arzet. Clavis Mathematica...MDCXXXIV.

У Кардана (Opus novum de proporionibis. Opera IV. 542-546) имеется доказательство, что угол (смешанный) между двумя пересекающимися равными кругами равен углу между равными хордами этих уголов (на основании положения, что углы сегментов с равными хордами равны). Aristotelis. Analytica Priora Lib, I Cap. ХХШ (no Didot).

Исследования о происхождении некоторых основных

идей современной математики.

Известия Северо-Кавказского ун-та, 1928, т.З, с. 35-129. 1

Методическая сторона настоящей темы более развита в моей работе: Риторическая алгебра н арифметические задачи. "Педагогическая мысль". Ростов-на-Дону. 1918. 2

Примитивное решение должно было выступать в периоды упадка математики. Вне сомнений, путем проб решились и задачи Алкуина. 3

Regula falsi при решении некоторых задач:

August Eisenlolir. "Ein. mathem. Handbuch der Alten Aegypter." Leipzig. 1877. Бобышш. "Древнеегипетская математика в эпоху владычества Гик- сов". Журнал Мни. Нар. Проев, за 1909 г„ № 10, II. (Regula falsi применяется в исчислении х а у: главы ХЕ, XII, XIII.) Фальшивое правило у индусов ishlakarman. Как отмечает Кантор, египтяне пользовались этим правилом инстинктивно, а индусы вполне со- знателыю. Cantor. "Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik" Bd. I, s. 371. 4

Khelasat al I-Iisab ou Essence de Calcul de Belia-Eddin. Nouvelles Annales, Т. V. 1846.

Regula falsi, называемое также правилом уменьшения и увеличения, находится у Авраама бен Эзра (ИЗО), Ибн Альбани (1222), Алказади (1480). О них смотри: Libri. Histoire des sciences math. Т. I, p. 304-312. Сочинение Альбани переведено на французский язык: Talkys dylbn Albani publ. et traduit par Aristide Mare. Rome. 1865. p. 26-27. О Еэг- Эддинесм, Nesselman. Behe-Eddins der Rechenkunst. Berlin. 1843. 5

Магницкий. Арифметика. 6

Albert Girard. Invention nouvelle en l'Algebre. Amsterdam. 1629.

Эта форма regula falsi называется иными prope veri, см.: Эйлера. - Theoria planetorum et commetarum, также Ньютона: De mundi systema in fine Princip. L. 3. 41. 7

Matthiessen. rundzuge der Antiken und Modern Algebra der Lit. Gleichungen. Leipzig. 1878, 8

Издание Диофанта: Guil. Xilander: Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum - libri sex. Изд. Bachet. 1760 с примечаниями Фермата о Диофанте. Cantor. Vorlesungen. В. I, s. 433. [См. также: Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. Веселовского. М. 1974.] 9

Ehrenfricdt Walter von Tschirnhausen (1651-1708),

Cantor. Vorlesungen. В. Ill, s. Ill, см. его переписку с Лейбницем. Leibniz. Opera. IV, s. 423-500.) 10

Аристотель (384-322 до н. э,). О нем. см.: Историю философии. Zeller'a, Windelbandt'a и др. Aristotelis. Opera omnia graece et latine. Parisiis. Didot, 1.1. De praedicamentis. [Или рус. пер.: Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т. 2. М. 1978.]

(Categoriae) Cap IV. Об Аристотеле работы: Biese, Phlosophie der Aristoteles. Berlin, 1877 и др. Библиограф, см.: Ziehen. Lehrbuch der Logik; о его значении для истории математики: Cantor. Vorlesungen. В. 1, s. 238. 11

Cap. VI, [5Ы1, 6а19]. 12

Следует отличать то лоао и - quantum от 7госготт|<; - quantitas. 13

Categ. VI, 6a26. По-видимому, автор имеет в виду оппозицию 5ovaj.ii^ svspysux (обычный перевод: "возможность - действительность"), которая обсуждается Аристотелем в Met. VIII, хотя и ие применительно к "равному" и "неравному". Прим. ред. 14

Arist. Met. lib. VIII. 15

О схоластике: Heaureau. De la philosophie Scolastique, p. I, II. Paris., Rousselot. Etude sur la philosophie de inoyen age.

Подробное изложение средневековых философских систем: Tiedemami. Geist der speculativen Philosophic. В. IV. Marburg. 1793. 16

О Дунсе Скотте (1274-1308) и скоттистах см.: Pluzanski. Essai sur la philosophie de D. Scott Paris. 1887. Изложение его системы: Boyvin. Philosophia scolica. 41. Paris. 1668. Abergoni. Resolutio doctrinae Scolicae, Lyon. 1643. 17

Фома Аквинский (1227-1274).

Его сочин.: Sancti Tliomae Aqunatiis doc. angelici. Opera оишіа jussu Leonis ХПІ. Roinae 1884. Изложение его системы: Guerinois Clypeus ThoraisticaePliilosophiae. Venetii. Таюке учебники; Piny, Reiclil, Schnell. Rabes и многие другие. 18

Рационалисты: Декарт (1596-1650), Арно (1612-1694), Гейлинкс (16251669), Мальбранш (1638-1715). См.: Ziehen. Т. 1. kap.2, s.26-29. Тщательный и тонкий анализ рационалистической мысли в книге Е. Н. Спеїсгорского: Проблема социальной физики в XVII веке. Варшава. 1910. 19

S. Thorn. Aq. 4 Contra gent. С. 65. Summa Theologiae. I p. q. 14 ar. 12. Opusc.76. q. 5, art. 3. Opusc. 48 art. 12. Того же мнения и Суарец, 20

Kepleri. Nova Stereometria dolorum. Opera omnia IV, p.p. 537-538. 21

Cavalieri. Geometria indivisilibus contin. nova quodam inethode promota Bononiae. (1635, 1653).

21 Formaliter ex natura rei, см.: Boyvin. Prantl, Geschichte der Logik. 23

О пространственном мышлении античной математики см.: Шпенглер. Закат Европы. 1923, гл. I. О смысле числа. 24

"Начала" Евклида. Опр. 2, кн. 1.[Пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950] 25

Критику евклидова определения мысли с точки зрения требований, предъявляемых аналитиками к определению - см.: Arist. Topic. Lib. VI, cap. VI. 5. 26

Опр. 5 кн. 1 "Начал" Евклида. Прим. ред. 27

Опр. 1 кн. 11 "Начал" Евклида. Прим. ред. 28

Подробный разбор см.: Guerinois Clipeus. Q. Ill, art. 3. 29

Scotus Soncinas (Quacstiones Melapliyscae acutissimae. 1622), Capreollus и др. ссылаются на Arist. 5 Met.

3" Soncinas. Met. Lib. V. Q. XXI. 31

Albertus Magnus (1193-1280). Opera ed. Pet. Jammy. Lyon 1653, vol 21. 32

Определение Архимедом площади сегмента параболы.[См.: Архимед. Квадратура параболы. Соч. М. 1962.] 33

Arcliimedis. Opera (ed. Heiberg) I s. 288. см. таюке Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Malheinatik. Leipzig. 1894. B. s. 34

О месте (Locus) см.: Aristotelis. Naturales Ausculationes. Lib. IV. Cap. I, II, ПІ. [Phys. IV. см. Аристотель соч. в 4-х томах. Т. 3. М. 1981.] 35

Arist. Categ. Cap. VI. 5а15-36. 36

Это утверждение автора странно, поскольку непрерывной непространственной величиной у Аристотеля является время. Прим. ред. 37

Там же. 38

Newtoni. Methodus fiuxionuin. 1678. в Opuscula Nevvtoni I (есть и на французском языке: Cantor. III. 108, 168.) [Ньютон. Математические работы. M.-JI. 1937. Метод флюксий. Пер. Мордухай-Болтовского.]

3'' Учение Аристотеля о субстанциях. См. Met. V. cap. VIII.

10 Categ. Cap. VI.

" S. Thoin. S. Т. I p. 30, art 3. Quodlibeta 10 art. 1. q. b. de Potentia art. 2. Gnerinois. Clypeus P. T. 1. II dePraed. Art. IV, II. О времени: S. Thom. 5 Met. Cap. 13.

45 О движении: Аристотель не называет движение, перечисляя роды количеств в 5 кн. "Метафизики". Движение не количество: большинство фомистов против Фонсеки, Конимбринценза и др. 14

"Неполное" - (лат.). Прим. ред. 15

Евклид. "Начала", 7, изд. Петрушевского, очер. 2. Euclides Elementa funfzehn Bucher uberz I. Lorenz. Halle. 1840. [Также пер. Мордухай- Болтовского. M. 1950.] 16

Аристотель выражается несколько иначе, противополагая единицу не числу, а множеству: единица противоположна множеству, как мера тому, что измеряется. Arist. Met. lib X Cap. VI. 47

Реалисты приписывают универсалиям (общим понятиям) реальное существование (Ансельм. Шампо, Бернард Шаргрский). Номиналисты признают только символическое их значение. У позднейших схоластиков, у Фомы Аквинского компромиссное решение. 48

Концептуалисты универсалии находят в душе, но при этом не как слово или символ, а как ее модус. Это мировоззрение берет верх и его придерживаются рационалисты. К концептуалистам примитивного типа молено отнести и Абеляра. Remusat. Abelard 1.1, II. Paris 1845. Также Haureau, Prantl и др. 49

Met. V. гл. 6.

10 О методе Аристотеля см. Biese. 51

Met. Lib. XI cap. VI. Об идеальных числах Платоиа см.: L. Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris. Alcan. 1912. 52

Там же. 53

Альберг Великий (1193 - 1280). Haureau. La phil. sul-XII, cah. XVII.

34 Г. Кантор. Кутюра. Принципы математики.

Внедряясь глубоко в анализ абстрактных понятий, схоластика разделяет два понятия единства: одно трансцендентное, отвечающее вещи в себе (unum quod convertitur cum ente по Колонне), и единство как принцип числа. Одно определяется как неделимое, отделенное от других вещей, т.е. отрицательно. Другое определяется положительно, числен- но. При таком отделении трансцендентного единства от численного, единица впервые выступает как численная определенность, как первое число. Трансцендентное единство схоластиков не следует смешивать с сингулярным классом тождеств, трансценд, и числового единства. Тождество трансценд. и числового единства см.: Suarez XV Areolus, Cupreolus (in 2 dist. 18), Ochain (in 4q. 4) u quodib. 4 q. 29-33, 7q. 25, также Albertus de Sax. I Phys. gr.

Против этого Фома: S. Thorn. S. T. 3 par. q, 11 art. 2 in 4 dis. 2 art. 9. Alb. Mag. I. Phys. t. 104. Soncin 5 Met. 2, а также Durandus, Mauronius, Hervaeus и другие. 35

Soncinas. Mel. lib. X. Q. VIII. 36

Там нее. 37

Об абстрактном понятии группы см.: Кутюра. Принципы Математики. Изд. Карбасникова.

58 Guerinois. De praedic. Quant, art. V.

3!> Aristotelis. 8 Met. Cap. 3, также Phys. Cap. 3.

60 О Росцелине. См. сочин. Абеляра. Remusat Abelard.

S1 Отметим чисто схоластическую проблему: о том, следует ли деление относить к материальному объегау или к его количеству (это слово употребляется в смысле пространства). Наряду с отрицательным решением (Suarez, Fonseca) и положительным (Soncinas, Capreolus, Caetenus, Sanschez) еще имеются и средние компромиссные. Некоторые томисты думают, что хотя части и относятся к вещи, но само их получение невозможно без пространства (Mailhed, Goudin), другие же видят роль пространства в создании порядка между частями (Casrna deLen). См. учение Лейбница о пространстве, как порядке вещей.

® Suarez. Metaphys. Disputationes torai duo. Venetiis. 1619. Disp XLIV, XLV. О различении соединения и составных его элементов. За реальное различие Suarez, Arriaga, против Conimbricensis. Об этом вопросе подробно Knittel. Aristoteles curiosus. Progae. 1682.

я О материи и форме. См. Aristoteles. О нераздельности формы и материи. Alb. Mag. і Phys I trac. II.

64 Об учении Фомы о материи см.: Haureau. La philosophie scolaslique, XII. Ch. XX, p. 104

й Жегалкин. Транс финитные числа.

<Л Кантор. Учение о множествах. Новые идеи в математике. Сб. 6. Ueber die unendlich lineare Punktmannigfaltigkeiten. Math. Ann. B. 15-21-23. 1879-1884.

S7 О multitudo: Аристотель, Met. Lib. XII. Cap. I.

№ Soncinatis. Questiones metaphisicales acutissimae. 1622. Lib X.

® Sonc. Lib. X. Q. X. За это прив. места из 10 кн. Метафизики Аристотеля и Thorn, 4 Met.

70 Sonc. Lib. X. Q. VIII. За это прив. место из 8 кн. Метафизики Аристотеля.

71 Arist. Met. Lib! IX, cap. VI.

71 Об Анаксагоре см. Zeller. Geschichte d. Ph., также Таниери. Первые шаги греческой науки.

Ср.: Лебедев А. В. Фрагменты ранних греческих философов. М.1989. Анаксагор, фр. 17: "ничто не рождается и не гибнет, но соединяется ... и разделяется". Приведенная автором формулировка - позднейшая. Прим. ред.

Ансельм. Patrologia Migne. 1853, t. CLVIII,

Sonc. Met. Lib. V. Q. XVI.

16 Конечно, эти возражения создавались арабскими, а не христианскими схоластами. 77

Generatio следует отличать от ortus (тому и другому отвечают русское слово "рождение"): об ortus см. Aristoteiis. Naturales Ausculationes. Lib. VIII. 78

Soncin. Lib. Xll. Q. XV-XVI. 79

О философах до Аристотеля см. в "Метафизике" самого Аристотеля. Также Zeller. G. d. Philosophie. 80

Учение Аристотеля о против.: Arist, Met. Lib. X. cap. IV. О средних, cap. V. 81

Там же, cap. VI. 82

Arist. Met. Lib. X. cap. IV, V. 83

Гегель. Логика, см. также Куно Фишер. История новой философии. 84

Arist. Phys. I. cap. VII. Met. Lib. IV. Tiedemann, s. 263. 85

Из ничего ничего не происходит - (лат.). Прим. ред. 86

S. Thorn. Aq. Opusc. 31 in. Arist. Met. Lib. XII. c. 2.

^ Аристотель о холоде. De Coelo, Lib. IV. Телезий. О нем: Carriere. Die pliil. Weltanschanung der Reformatiouszeit. Stuttgart. 1847. VII, s. 314353.

38 Кардан. Там лее, VI, s. 324 - 352.

89 Arist. Categoriae, Cap. VII.

50 Т. е. в отношении "отец-сын". Прим. ред.

91 Alb. Mag. Ill, p. 207. Тії. Aq. Opusc. 48.

91 Авиценна. Die Metaphysik. Avicennas enthaltend die Mel. Theologia etc. ubersetzt underlautertvonM. Hortz. Leipzig. 1909. 10 Кар. 857, Старое издание Avicenas Opera. Venetiis. 1523. 93

За умножение Hurtado. 15 Met. s. 10. Скотт. Scot, in 3 dis. 8 q. I, против Thorn. S. T. 3 p. q. 35. a 5, см. также Knittel, Aristoteles curiosus 1682 ex libris Met. Q. XLVni. 94

См.: Guerinois. De Praed. Relat. Sonc. Lib. V. 95

Hervaeus Natalis, 1323. Quodlie II q. 14. Buhle § 797.

% Wilhelmus Durandus, 1332. In Mag. Sent. I dist. 17 q. 3 q. Buhle §806.

97 In Mag. Sent. II dist. I. q. 5 Buhle. s. 770.

SB Более подробно об этом смотри мою работу. Из прошлого 5-Й книги "Начал" Евклида.[наст. изд.].

59 Евклид. "Начала". Опред. 3. 5-й книги. 100

Там же, определение 5. 101

Евклид "Начала". Кн. 1. 102

Там же, кн. 7-9. 103

См.: (Arnauld). Nouveaux Elements de Geometrie. Paris. 1687. 104

Арно - Antoune Arnauld (1632-1684) вместе с Николем составил знаменитую пор-роялевскую логику (L'art de penser). [ См.: А. Арно, П. Николь. Логика или искусство мыслить. М. 1991.] 105

Newton. Arillimetique universelle par Beaudeaux. Paris. 1902. [Ньютон. Всеобщая арифметика, М.-Л. 1948.]

100 L. Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. Geneve. 1788.

WT Legendre. Elements de Geometrie; у Вольфа иррациональное число понимается как отношение линии к линии (Ontologia § 405), но у него еще не всякое отношение линий есть число.

108 Многими сознается, что центральной проблемой алгебры является уравнение; в этом случае предпосылается введение, где говорится сперва о численных, затем тотчас о буквенных уравнениях. См.: Lacroix. Elements d'Algebre. Поздн. издание: Prouhet. Paris. 1879. У Briot (Lecons d'Algebre) эта часть развита больше.

Ш9 Словесная алгебра. 110

Полусимволическая. Эйлер в " Anleitung гит Algebra, Petersburg. 1802", излагая свойства чисел, уже при сложении и вычиташш пользуется буквами, для "представления результатов в общем виде". Аналогичным образом поступает и Глаголев в элементарной алгебре (Москва, 1907), и Борель-Штгеккель в элементарной математике, изд. "Матезис".

Schubert. Element. Arithmelik und Algebra. Leipzig. 1910, указывает наряду с буквенными выражениями и уравнения. Давидов, Малинин и другие начинают прямо с буквенных выражений. 111

Уравнения, к которым приводятся обычно арифметические задачи, следующие: у - с = m (х + с) (перекладывание см. Егоров, зад. 1317), ах + by = с, у = х + d (деление на неравные части, зад. 1320), ах + by = с, у = тх (т. е. части, из которых одна кратная другой, 1491 и д,), х + у = s; у : х = т: ц (деление, зад. 1521). 112

См.: Шапошников и Вальцов. Сборник алгебраических задач. Давидов в начальной Алгебре, III гл. стр. 63, говорит, что взаимнопростые, это такие одночлены (и многочлены), которые общим наибольшим делителем имеют ± 1. 113

Развитие вида.

,и Развитие индивидуума. 115

Этот взгляд приводится и в XVIII веке, см. De la Caille. Lectiones elementairs mathematicae. 1762. 116

Евклид. "Начала". І книга. 117

Coroli Renaldini. Ars Analytica. Anconae. 1644.

us Viela. In artem analyticam Isagoge. 1591, Cantor. Vorlesungen uber

Geschichte der Mathematik. B. IT. Leipzig 1900. 119 Т.е. произведения площадей и тел, и двух площадей. Это допускает

уже Диофант. Прим. ред. ш Смотри: Lex homogenarum. Isagoge, р, 5. Marie. Histoire des sciences matheinatiques, t. ІП, p. 9-19. Renaldini, p. 107. 121

Isagoge, p. 132-134, у Виэты эта операция ставит целью освобождение

от иррациональности; полагая х = 80у уравнение х'1 - 8х = V80 приводим к 80у4 - 8у = 1. 122

Renaldini. Cap, XXIX, р. 211. 123

Неизвестное. Прим. ред. 124

Декарт. La Geometrie de Rene Descartes. Livre I. Paris - Hermann. 1898. Геометрия начинается с построения алгебраических выражений с разъяснением их смысла. 125

Картезианская точка зрения служит у Гильберта для основания теории пропорций без архимедова постулата (Streckenreclinung). Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Leipzig. 1899. S.32 и др. издания. Есть и русское. [Гильберт. Основания геометрии. М. 1948.] 126

См. мою работу: Из прошлого пятой кииги "Начал" Евклида. Математ. Образование за 1916 г. Большое историческое значение в этом отношении имеют {Amaldus-). Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683 и L. Bertrand. Developpemeut nouveau de la partie eleinentaire des Mathematiques. A Geneve. 1778. 127

Legendre. Elements de Geometrie (много изданий).

m Об индусах подробно: Ващенко-Захарчепко. История математики, Киев, 1883, стр. 377. Переводы иа английский Bja-Ganita и Lilavati (Bascara) - Stracliey. 1811. Taylor. 1816, см. также Buchner. De algebra lndorum. Elbing. 1821. 129

Об арабской алгебре, между прочим; Matthiesen. Grundzuge der Antiken und Modernen Algebra. Leipzig. 1878. 130

См. главным образом сочинение Магомета бен Музы (около 830 г.). Liber Mahmeti filii Moysi Alclioarissmi de algebra et almuchabal incipit.... известно в средние века.

Английский перевод Rosen. London. 1831. 131

Renaldini. Геом. выводы числовой алгебры, стр. 66, 77, 85; буквенные стр. 128, 133,136. [См. также: Аль-Хорезми. Математические тракта- ты. Ташкент. 1964., Сабит-ибн-Корра. Математические трактаты, М. 1984.]

133 Количественную то*псу зрения можно увидеть у индусов. У Диофанта "+" знак операции. 133

Например, в курсе алгебры Лакруа. Истер, данные смотри в книге: Мрочек и Филиппович. Педагогика математики. 134

Reualdini. Alg. Speciosa. AQ + В in A = ZQ (p. 128) AQ В in A = ZQ (p. 131) В in A AQ= ZQ (p. 134) 135

Renaldini. Alg, Speciosa Cap. III. Operalio Secunda, см. также p. 126. 136

Renaldini. Parabolismus в числовой алгебре. Cap. X, p. 59. 137

Renaldini. Alg. Speciosa, Cap. IX, p. 121. 133 Viete. Introduction,

!3<) Renaldini. Cap. XV, p. 148.

M0 Vieta. De aequationum recognilone et emendatione 1615, p. 123-124. ,41 Там же, p. 132- .1.34. 142

Renaldini, p. 230. 143

P. 216. 144

Renaldini, p. 175. 145

Renaldini. Algebra Spec. Cap. II, p. 129.

Renaldini. Alg. Spec. Cap. XXIII. Vieta de recogn. Cap. 19, 20, 21. Виэта решает задачу о построении уравнения, определяющего данные положительные корни й дает следующие формы: (а + Ь)х - х = ab, х3 - (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)x = abc; р. 158. 1,7 У Жирарда (Cantor В. II, s. 777) отрицательные корни фигурируют наряду с положительными, им придается геометрическое значение и "-" объясняется "отступая","+" "идя вперед". Многие корни являются только показателями того, что корней меньше, чем степеней уравнения, причем настолько, каково число многих корней. Но Харриот не признает отрицательных корней (Cantor, 790. Kastner. В. Ill, 42-46, 179-181). 143 Renaldini, p. 235.

В современной символике:

х3 -Ьх = -fz\ (х3 - Ьх)2 = X6 - 2bx" +b V; х6 - 2bx" -i-b2x2 = z.

(а2 + 2ае + е2 + b)(a -I- е) = (а2е + гае2 + е3 + be) + (а3 + 2а5е + ае2 + ab) = а3 + + За2е + Зае2 + е3 + be + ab). Прим. ред.

х2 + 2bx = z; пусть х + Ь = е, тогда е2 = х2 + 2bx + b2 = z + b2,

откуда х ч-b = Vz-t-b2 и х = л/z+ b2 -b; если b = 1 и z = 20, x = уІ2 \ - 1. Прим. ред. 132

Klielasat al Hisab ou Essence de Calcul de Beha-Eddin. Nouvelles Annales XV. 1846. 133

Из Lucas Pacioli. Liber Abaci. Лука Пачиоли (1445-1514). О нем также: Лоренц. Элементы Высшей Математики.

Лебедев. Очерки по истории точных наук. Кто изобрел алгебру? Петроград. 1919. 154

Если х2 + рх = q, то х = +q --j- Прим. ред. 155

Аничков. Теоретическая и практическая арифметика. Москва. 1786. 156

"Начала" Евклида в переводе Ф. Петрущевского или Ващенко-Захар- чеико [или Мордухай-Болтовского. М. 1950]. 157

Petri Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569. Scholarum Mathematicanmi. Libri unus et triginta. Basileae 1569.

,i!i Euclidis elementorum. Libri XV, auctore Crist. Clavio. Francfurt (1574), (1654). 159

Borelli. Euclides restitutus. 1679. 160

Arnaldus. Nouveaux elements de geometrie. Paris 1683. 161

Saccheri. Euclides ab oinni naevo vindicatus.

1C" Lambert. Tlieorie der Parallellinien. 163

Legendre. Elements de Geometrie. Paris. 1794. 164

Grassmann. Die line-are Ausdehnungslehre. Leipzig 1844.

1(55 Riemann. Ueber die Hypothesen die der Geometrie zu Grunde liegen, есть русский перевод. Каз. Мат. Об.

т Helmholtz. Ueber die Thatsachen die der Geometrie zu Grande liegen.

"7 Lie. Theorie der Transformationsgnippen. Leipzig. 1888-1893.

И8 Статьи Бельтрами в Annali di Mathematica. 1865. 169

Klein. Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie. Mat. Ant. IV, VI. XXXVIL 170

Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Прекрасный исторический очерк оснований геометрии можно найти в основаниях геометрии проф. В. Кагана. Одесса 1907. 171

Legendre. Elements de Geometrie и все учебники лежандрового типа: Garnier-Vincent, Terquem, Lacroix и другие. В этом отношении в высокой степени характерна книга: Perronet-Tompson. Geometrie sans axiomes, ou le premier livre des elements d'Euclide demontre d'une maniere completement rigoureuse, trad, de l'anglaise par van Tenas, Paris, 1836, в которой доказываются все аксиомы, но только с помощью сложных стереометрических рассуждений. 172

Pascal. Oeuvres, III, p. 163-182. 173

Характерны сами названия сочинений: Tschirnliausen. Medicina mentis sive artis inveniendi praecepta generalia. Amstelodami. 1687. Чиригау- зен (1651 - 1708). О нем см,: Cantor В. Ill 3. 112., Hansch. Ars inveniendis. Synopsis regularum praecipuorum arti inveniendi 1727. 174

Regulae ad di recti onem ingenii. Oeuvres morales et pliilosopliiques par Amedee. Paris 1855. Рассуждения о методе, пер. Любимова. Ж. М. Н. П. СПБ. 1885 - 86. О Декарте: Ziehen. S. 26, 99. [Декарт. Соч. в 2 Т. Т.1. М. 1989.] 175

(Arnaldus). Nouveaux Elements de Geometrie. Paris 1683. 176

Пусть CA = CB и DA = DB

Утверждается, что для любой точки Е прямой CD ЕА = ЕВ

177

Varignon. Elements de Mathematiques. Amsterdam. 1734. 178

Что, разумеется, не верно. Автор имеет в виду следующее. Согласно первому аргументу Арно, свойством, которым обладают две точки прямой, обладают и все другие точки этой прямой, поскольку - де прямая определяется двумя точками. Однако это не верно, как показывает приведенный контрпример.

А

—

СЕ D

178 См. прим. 176. 180

Herigonis. Cursus matheinaticus nova brevi et clara methodo demonstatus per notas reales et universales utra usuni cuiuscunque idiomatis intellectu faciles. A Paris 1634. О нем: Cantor. Vorlesungen, В. II, S. 656. 181

Бертрановское определение угла, как иеопред. части плоскости, ограниченной двумя прямыми, и как наклонения, различия направлений, дают безусловно различные вещи, которые у Крелля, Бретшнейдера, Шликера и др. различаются, как Winkel (угол), и Winkelraum (угловое пространство).

1Яг Hilbert. Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899 и др. издания.

183 "В начальном основании Математики" Н. Муравьева (руководстве Воль- фианского типа), 1752, даются два определения:

Дефиниция 3: одинаково называются, когда одно вместо другого взять можно.

Дефиниция 4. Когда одна величина в другой один раз содержится, такие величины называются равными.

Прим. ред.

1S5 Fortunato a Bruno. Elimen. Matli. 1738, см. такие аксиом, опыты у Roliauet. Oeuvres posthumes. Euclide. 1690. Nebe. Nucleus Aritlimeticae. 1666. 186

В современной символике: Дано:

АВ = AC,

требуется доказать: ABC = АСВ и CBD = ВСЕ Доказательство:

Продолжаем АВ до AD и АС до АЕ = AD

Имеем: AD = АЕ, АС = АВ, DAE общий => Д D АС = Л ВАЕ => BE = DC, DCA = ЕВА, ADC = АЕВ;

BD = СЕ (по постр.), DC = BE и BDC = СЕВ => Д BDC = = Д СЕВ => CBD = ВСЕ; (и т.д.) и DCB = ЕВС = ABC = ABE -ЕВС и АСВ = ACD - DCB => ABC = ABC = АСВ (и т.д.) (Здесь используется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - предл.4 1-й кн. "Начал" - но не используется утверждение о сумме смежных углов, которое доказывается у Евклида позлее - в предл. 14.) Прим. ред. 187

Предл. 10 ХІ-Й кн. "Начал". В современной символике: Дано: AB||DE, AC||DF.

Требуется доказать: ВАС = EDF

Доказательство: отлолсим АВ = АС = DE = DF, соединим AD, ВС, EF, BE, CF. В А = ED и BA|[ED => AD = BE и AD||BE, (предл. 33, I кн.) аналогично CF = AD и CF||AD => ВС = EF и BC||EF => Д ABC = A DEF (по 3-м строронам - предл. 8 I кн.) => ВАС = EDF (и т.д.) Ш8 Elementa Euclidis. Declaratio Autore. Wuil. Oughtredo Anglo. Oxoniae.

1662. William Oughtred. 1574-1600, см. Cantor. В. II, s. 720. 189 Т.е. величин, квадраты которых соизмеримы или несоизмеримы, см. опред. 2 книги X "Начал". Прим. ред. 190

Т.е. в отношении "золотого сечения": = — см. опред. 3 книги VI

a b

"Начал". Прим. ред. 191

Beaulieu. La luraiere des mathematiques. 1673 (литогр.). Ему же принадлежит: La geometriefiancaise ou la pratique aisee. 1676. См. Maupin. Opinions et curiosites touchant les mathematiques. Paris. 192

Peano. Formulaire mathematique. Кутюра. Принципы математики. 193

Datis omnium terminonun proprietatibus reciprocis seu definitionibus qualibusque invenire dellnitiones optirai generis. [С помощью данных соответствующих свойств или определений всех терминов найти определения лучшего рода (лат)]. Lett, a Tscliirnhaus. 1679. Werke Math. IV, 481. Briefvveksel I. 194

Phil. VII. 184. 195

Phil. IV. 161, VI. 490, 495, 594, VII 553. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М. 1984., стр.99.]

1% Phil. I, 188.

191 Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. М. 1984. стр. 119. Прим. ред. 198

О принципе противоречия см. там же, стр 138. Прим. ред. 199

Четыре картезианских правила: -

не принимать за истину того, что не очевидно; -

делить всякую проблему на элементарные; -

располагать свои мысли в порядке от простейшего к сложному; -

соблюдать полноту перечня мыслей.

См.: Декарт. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989., С. 260. Критику Лейбницем этих правил см.: Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. С. 157-158 и далее. Прим. ред. 200

Евклид применяет метод исчерпывания во 2-й части XII кн., 5. XII, 10. XII, И. XII, 12. XII, 18. XII. 201

См. Архимед. - Две книги о шаре и цилиндре и т.д. пер. Петрушевско- го. 1823. [Архимед. Соч. М. 1962.] 202

Напр. de la Cliapelle. Institutions de Geometrie. 203

Aristotelis Phys. 1,6-9, IL, III, VII, VIII, - Thomas Aquinatis Phys. I lec. 13; сильное изменение в учении о материи у Скотта. Scot. Sent lib. II dist. 12 q. см. Haureau. De la philosophic Scolastique. Paris. 1850. t. II, против дуализма формы и материи - философы ранней эпохи возрож- я&тяЛгршсола (1.485) и Лоренцо Валла (1457), Agricola, Deinventione dialectica. Coloniae, 1527. 204

Платон об идеях: Тимей, Федон, Федр и другие диалоги. Аристотель о платоновских идеях: Metaph. І. ХПІ с, 4, 1.1, с. 6. 205

Проблемы essentia et: existentia, см. Arlistot. Met. IV.,,, V14, X8. Thomas Aquin. Deente et essentia. Cap. I и другие.

D. Scotti in 2 lib. sent. d. 6, q. 1.

Кроме I-Iaureau еще сочинения по истории схоластики.

Rousselot. Etude sur la philosophie dans le moyen age. 1840-47.

Prantl. Geschichte der Logik im Abendlande. 4 Bde. Wulf. Histoire de la philosophie medierale.

Штеккель. - История средневековой философии. 1912 г. Материалы. Migne. -Patrologia. Tiedemann. - Geist der Specul. Philos. В. IV. Marburg. 1793, также Buhle, Cousin. Fragments philosophiques. 1840 и др. 206

Сочинения Фомы Аквинского изданы были в 1570 г. Последнее издание Thoraae Aquinatis. - Opera Omnia jussu Leonis XIII edita Romae. 1887.

Развитие идей Фомы Аквинского у Суареца. F. Suarez. Metaph. derli. tomiduo. Venetus. 1619. Disp. 16 de intensione. О Фоме Аквииском Heaureau, t. II, ch. XXI, против Ф. Аквината. Дуне Скотт in 1, lib. 17, q. 3. Д. Скотт. 1270-1308. Dunsi Scotli. Opera omnia Lugd. 1639 12 vol. Об интензировании 8 Met. in. I, lib. sent. dis. I, q.5. Его философию лучше всего изучать по Boyvin - Philosophia Scotistica a prolexitate et Subtil itatibus etc. Liberata et vindicate Par. 1643.

F. E. Abergoni. Resolutio doctrinae Scoticae. Lugd. 1643. Крупнейшие скотгисты: Trans. Majronius, Ferrara, Aurelis, Burleig и другие. 207

В прямой зависимости от Д. Скотта, вставшая против его реалистических, школа номиналистов Оккама. К ней принадлежат: Buridan, Pierre d'Ailly, Holcot, Oresmus, Biel. 208

Формально по природе вещей - (лат.). Прим. ред.

О формальностях Д. Скотта, кроме сочинений самого Д. Скотта, см. Prantl - Geschichte der Logic im Abendlande. Bd. II. Cap. XIV, c. 20. Pluzanski. - Essai sur la Philosophic de D. Scott. Paris. 1887. 210

Эмпедокл, около 444 [до н.э.]. Diog. Laert. VIII, 51.

Об Эмпедскле. Arist. Met, I. 4. De geuerat. et corrupt. 1.1, 8. II, 6 Pliys., II, 4. 211

Bernardino Telesio. 1508-1588. Его сочинение: De natura juxta propria prinapia. Romae. 1565, Neap. 1586, о нем писал Бэкон. De principiis et origine etc. 212

Орезм Ншюлай-ученик Оккама (1275-1337), главы позднейших средневековых номиналистов, ученика (хотя и восставшего против учителя) Д. Скотта. Guilielmi Occami, Summae logicae. Охоп. 1675 и др. сочинения. 213

Cantor. - Vorlesungen, II, 2, 130, сочинение Орезма: Tractatus de latitudinibus, изд. Max. Cuitze, в Zeilschriftfur Mat. und Physik. t. XIII, s. 92. [Орезм H. Трактат о конфигурации качеств. // Историко-математи- ческие исследования, вып. XI. М. 1958.] 214

Kepleri. - Nova stereometria doliorum. Lin. 1615. Opera omnia IV, pp. 537-538. Kantor. В. II. S. 750. [И. Кеплер, Новая стереометрия винных бочек. М.-Л. 1935.] 215

Cavalieri. - Geometria indivisilibus promota. Bonn. 1635 (1653) [Б. Кавальєри. Геометрия неделимых. М.-Л. 1940.], также его Exercitationes geometricae. Bonn. 1647. Дальнейшее развитие у Валлиса. Wallis.

Arithmetica infmitorum. Opera Mat. Oxoniae. t. I. 1647. Klugel. Mat. Worterbuch. Caval. Met. Актуально бесмзпемно малое еще имеется, хотя в измененном виде, у Пуассона (1883). О методе неделимых см. Brunschwigg. Les etapes de la philosopliie mathematique. Alcan. 1912. Liv. III. Ch. IX. p. 160, см. также Pascal. Reflexions sur 1'espris geometrrique. Penscees et opuscules. 1909. 216

Здесь интересно изучить знаменитый спор об угле касания между Кла- вием и Пелетарием.

Euclidis elementorum. Libri XV. Auctore Cliristophoro Clavio. Hieroni Cardani. De subdlilale. Basiliae. 1554. 217

Descartes. Geometrie. 1637 [Декарт P. Геометрия. M.-JI 1938], также Notes Florimond de Beaune, о нем Brunschwig. Les etapes, ch. VII, p. 113.

2ia Newtoni. Melhodus fluxionum. 1678 в Opuscula Newtoni I. Есть иа французском языке. Theorie des fluxions. Cantor. Ill, s. 108, 168. [Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937.] 219

Principium quoddam generale etc. 1716. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. Т. 3. M. 1984. стр. 357 (Письмо г-на Лейбница о всеобщем принципе ...)] Вин- дельбанд 1. 1913, стр. 363. Brunschwigg. Les etapes. p. 209.

Более подробняя формулировка у Лейбница Animadversiones in. partem generalem Principiorum Cartesianorum Adpunct sec. ad. art. 45. [Лейбниц. Т.З. С. 218-265. (Замечания к общей части декартовых "Начал").] 220

Лейбниц. Изб. Фил. Соч. Москва 1890. Новые опыты о человеческом разуме, стр. 200. [Лейбниц. Соч. в 4 Т. М. 1983. Т. 2, стр. 56.]

221

Принцип Лейбница в геометрической форме дает первую часть принципа непрерывности Понслэ, в силу которого свойства формы, открытые для первоначальной, распространяются нате случаи, когда некоторые ее части сделались 1) нулями, бесконечностями или 2) мнимыми. Application d'Analyse et de Geometrie. t. II. Brunschwigg. Les etapes de la philosophic mathematique. Paris. 1912.

[Параболу можно рассматривать как предельный случаи эллипса, большая ось которого становится бесконечной. Если получать эллипс сечением конуса плоскостью, то наклоняя секущую плоскость так, чтобы эллипс все больше и больше вытягивался, мы получим параболу тогда, когда секущая плоскость окажется параллельной одной из касательных плоскостей конуса. Основное свойство конических сечений - постоянство отношения расстояний от всякой точки кривой до фокуса (точки) и диремгриссы (прямой) - имеет место и для эллипса, и для параболы: для эллипса это отношение меньше единицы, а для параболы оно равно единице.]. Прим. ред. 222

Newtoni. Philosophiae naturalis principia. Mat. London 1686 lib. Ньютон - Математические начала натуральной философии. Пер. А. И. Крылова.

Известия, Н иколаев. Моск. Академии. Петроград 1915. См. также Богомолов: Общие основания ньютоновского метода первых и последних отношений. Физ. Мат. Об. Каз. Унив. 1926. 223

Euclidis Opera, ed. Heiberg. Lipsiae. 1883. Et si aequalibus aequalia adduntur tola aequalia sunt. [Если к равным прибавляются равные, то и целые будут рДвны. Евклид. "Начала", пер. Мордухай-Болтовского. М. 1950.] 224

Аксиоматика исчисления бесконечно малого в конце XVII в. см, у l'Hopilal.. Analyse der infuiiments petits. 1713. [Лопиталь. Анализ бесконечно маЛых. М.-Л. 1935,] 225

Fermat. Methodus adinq. maximum et minimum. Newton. Theorie des fluxions. [См. Ферма о методе максимума и минимума в кн.: Декарт. Геометрия: М.-Л. 1938; Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937.] 226

Ср. соотв. места в логике Гегеля. 227

Такое отождествление элемента его эквиваленту и теперь производится, как простой.методический прием, конечно, в полном несогласии с современными научными идеями. См. конец учебника геометрии Давыдова. 228

Понятие об эквивалентных бесконечно малых и основные леммы, к ним относящиеся, видимы впервые у Дюамеля. 229

Wotfius. Compedium elemlentorumMatheseos. 1711. WeidJeri. Institutiones Mathem. и другие. Русский учебн., напр., Аничкова. Философия Мат. акт. бесконечно малого. Iacopo Belgrado (1704-1789). De utriusque analyseos usu 1661-62, см. Cantor. В. IV. § 651. Cantor В. ПІ 270-271 и др. места Ch. Wolff (1679-1754). 230

Бертран Женевский. 1731-1812. L. Bertrand. Developpeinent nouveau de la partie elementaire des. Mathematiques prises dans toute son etendue. A Geneve. 1778. L. Bertrand. Elements du Geometrie. Paris. 1812. См. также Cantor. В. IV Bobynin. Lehrbuch der Geometrie § 382. 231

De la Caille. Lectiones elementares Mathematicae. 1762. 232

О взглядах сенсуалистических см.: Encyclopadie methodique, mathematiques. Elements de Geometrie и др. Condillac. Traite des sensations. Paradoxes и друг. Об энциклопедистах - Морель, Дидро и энциклопедисты. 1882. 233

До Кеплера взгляд этот у Штиффеля - Arithmetica integra Norim. 1544. 234

Datis ordinatis etiam quaesita sunt ordinata, см. выше. Прим. ред.

235

Прим. ред.

ш Kastner. Anfangsgrunde des Arithmetik. Geometrit ebenen und spharischen

etc. Gottingen. 1786. О Кестнере: Cantor. III. 576. 237 При уменьшении АВ, OD будет увеличиваться, a CD уменьшаться, поэтому ABC будет становиться меньше относительно АВО. С

Прим. ред. 238

д'Аламбер (1717-1783) см. в Encyclopadie metliodique; Limite, также Melanges de litt. d'histoire et de la philosophie. Nouv. ed., t. V. Amst. 1767. Cantor-Bobynin. Статья Бобынина "Элементарная Геометрия и ее деятели во второй половине XVIII в", есть и на русском языке. Лейтмотивом предреволюционной мысли является идея прогресса; человечество мыслится в прогрессирующем развитии, в движении к этическому или экономическому совершенству, при котором оно постепенно приближается к идеалу, но никогда его окончательно не достигает. Это идея исторического предела, вполне соответствующая пределу математическому, впервые определенно формулируется Тюрго в "Рассуждении о всеобщей истории" и развивается Кондорсэ в его "Эскизе исторической картины прогресса человечества".

Идея предела выступает также в маймоновском понимании кантовской вещи в себе, которая является предельным понятием, пределом полноты сознания или сознанием иррационального предела рационального познания.

Соломон Маймон (1757-1800). Versucli uber die Transcendental philosopliie (1790). Виндельбандг, II, стр. 168. 239

Ак. Гурьев (1766-1813). Опыт усовершенствования элементов геометрии. Спб. 1798, стр. 34.

Такое же определение Бланше (Blanschet); о нем Cantor-Bobynin. § 351, см. также Гурьев. Основание Геометрии. Спб, 1811. 210 De la Schapelle. Institutions de Geometrie. 1765. И| Simon I'Huillier(1750-1840) L'Huillier. Principiorum Calculi differentialis et integralis expositio elementaris. Tubingen. 1793, также на французском языке. Berlin. 1786.

245 См. § 8 настоящей работы, также Russel. Einfuhrung in die Matliemat. Philosophie. Munchen. 1923. Кар. 10. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996.]

213 Legendre (Blanche!), Elements de Geometrie. 244

Площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу. 245

Lacroix. Elements de Geometrie a 1'usage de l'Ecole Centrale des Quatres nations. 1796-1799, в связи с ней: Essai sur l'enseigneinent general et sur celui des mathematiques, Paris. 1816, особая переработка у Gamier. Geometrie. 1813.

ш Гурьев. Опыт исследования элементов Геометрии. Спб. 1798. 247

Периметры вписанного, описанного многоугольника, длина окружности; при этом следует использовать постулат Архимеда: выпуклая объемлющая более объемлемой. В этом направлении следует переработать изложение Остроградского, (Руководство по Геометрии), Семашко (Элементарная Геометрия). 248

Наиболее полные и отделанные: старый - Rouclie et Comberousse, новый Niewenglowski et Gerard. Paris. 1900.

Вне сомнения, элементарная учебная литература создала и теорию пределов введения в анализ. Основные леммы об эквивалентности впервые встречаются у Дюамеля. Duhamel. Elements de Calcul Infinitesimal. Paris. 1860. 249

Давидов. Элементарная Геометрия. Поел, изд. 1922, стар. изд. 1867 н др. 250

Киселев. Геометрия. Москва, 1914. 251

Кант. Критика чистого разума, пер. Лосского.

232 Мах. "Механика" и др. сочинения. 253

Авенариус. Критика чистого опыта. Спб. 1905 г. Prolegomena zu einer Kritik der reincn Erfahrung. Lpz. 1876 и др. работы. 254

Cantor. Gnindlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Его работы в Acta Met, II. Math. Ami. 18 (1881) 21 (1883), [Г. Кантор. Труды по теории множеств. М. 1985.]

Идея определения предела фундаментальным рядом впервые выдвинута Мераем, Meray. -Remarques sur la nature des quantites etc. Revue des Soc. Scien, Sc. Math. XIV. 1869. 280. См. теорию пределов в итальянских учебниках. A. Sannio et Е. d'Ovidio. Elementi di Geometria. Napoli, 1916. G. Verouese.'Elementi. Padova, 1901. Также учебники Энриквеса, Амальди, Паолиса.

256 Энриквес. Вопросы элементарной математики. Спб. 1913. Статья де Витали.: Постулат непрерывности и его применение к Элементарной Геометрии, стр. 133. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные 'гасла. Одесса, 1909.

25' Дальнейшее обобщение порядкового понятия о пределе см. Bertrand Russell. Einfuhrung in die Matlieinatiscli. Philosophie. Munclie'n, 1923. Кар. Limes und Stetigkeit. § 99. [Рассел. Введение в математическую философию. М. 1996. Гл.: "Пределы и непрерывность, стр. 94.] 257

Rami. Geometriae Libri XXVII. Basileae. 1569. 258

Евклид. "Начала", пер. Петрушевского; пер. Ващенко-Захарченко. Euclides Opera omnia ed. I-Ieiberg et Menge. Euclidis Elementa, Lipsiae 1883. [Пер. Мордухай-Болтовского. M. 1950.]

255 Высший род - (лат.). Прим. ред.

2011 Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683.

Естественный свет - (лат.). Прим. ред.

Descartes. Oeuvres par Amedee. Paris. 1835. Regula ad directionen ingenii. [Декарт. Правила для руководства ума. Соч. в 2 Т. Т. 1. М. 1989.]

2М La logique ou l'art de Penser. Amsterdam. 1675. [А. Арно и П. Николь.

Логика или искусство мыслить. М. 1991.] 264 De la Chapelle. Institutions de Geometrie. 1765.

2Й Д. Мордухай-Болтовской. Энциклопедисты и теория пределов. Речь, произнесенная 18 ноября 1917 г. в Об-ве Естествоиспытателей при Донском университете по поводу 200-летия со дня рождения д'Аламбера (не напечатана).

Кондорсэ. Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума, русский перевод. Также: Генезис и история теории пределов (в настоящем сборнике). 266

Encyclopedic methodique des art etc. (Diderot). Axiomes, limite и другие статьи. 267

Песталоцци. Pestalozzi. Anschaungslehre der Zahlenverhaltnisse. Zurich. 1803. О Песталоцци см.: E. Janicke u G. Schurig. Geschichte des Unterrichts der Malhemalik in den Volkschulle. Gotha. 1888, s. 63. 268

Критика чистого разума, пер. Лосского. 269

Впервые умственный счет вводится Келлером, затем Бирманом. F. Kohler. Anweisung zuin Kopfrechnen. 1797. H. Biermann. Anieitung zum Rechuen imKopf. 1790, см.: lanicke. S. 53. 270

540 фраз типа: 19 раз по одному, 9 раз по 2 и 1 раз половина двух, 440 фраз: 9 раз 9 и 8 раз и часть от 9 есть 89 раз; 89 единиц есть 8 раз Ю и 9 раз десятая часть от десяти; 729 фраз типа: 3 раза десятая часть от 100 есть три раза 10,3 раза 10 есть 30 и т. д. Противники Песталоцци: Пассавант, Нимейер и др. Janicke, s. 72. Последователи: Тиллих, Шмид, Стефани, Тюрк и др. Janicke, s. 78. 271

Трейтлейн. Методика геометрии, пер. Крогиуса. Pestalozzi. ABC der Anschanung oder Anschaungslehre der Massverhaintnisse, 1803, См. также статьи Schurig, Geschichte der Methode der Raumlehre im deutschen Volksschulunterrichtc при упомянутой выше книге Янике. 272

Кант. Критика чистого разума. О Канте см.: Куно Фишер. История философии. Виндельбанд. История философии, т. II и др. 273

Grube. Leitfaden fur das Rechnen etc. Berlin 1842. Много других изданий, о нем: Janicke, s. 112. Русские руководства: Лаульсон. Методика арифметики. Евтушевский. Методика арифметики. 274

Encyclopadie des Arts et des Metiers (Diderot). Об энциклопедистах см. Морей. Энциклопедисты. Основы эмпириков XVIII в. Дж. Локк. Опыт о человеческом рассудке. [Локк. Избранные философские произведения. М. I960.] Наиболее крупные представители - Кондильяк, Боннэ. 275

Наиболее крупный представитель - Дж. С. Милль (его система логики). Сюда следует отнести всю школу позитивистов, начиная с О. Конта. 276

Tibot. Lehrbuch der Geometrie. 1822. 277

Моя статья о Евклиде и Лежаидре. Из истории метода наложения в элементарной математике. [См. наст, изд.] 278

О ней см.: Schotten. Planimetrische Unterricht. В. II. 279

Функциональный мотив, но без арифметизации, можно уловить и в одном вольфиаиском учебнике XVIII века, отличающемся некоторой оригинальностью среди многочисленных учебников этой школы. Horvath. Elemlenta Matlieseos Tynaviae. 1773. Теорему I "Начал" Евклида Хорват формулирует так: "Если в каком-либо треугольнике ABC увеличивается угол А, причем сторона АС переходит в АС', сторона противоположная возрастает, т. е. ВС' > ВС и наоборот и т. д.

Кроме евклидовского Хорват приводит еще и такое рассуждение: "... ибо чем больше возрастает Z А в Д ABC, тем более расходятся крайние точки В и С, тем более ВС приближается к сумме сторон АВ и ВС и, наоборот, чем больше убывает угол А в Д ABC, тем крайние точки В и С больше сходятся, тем сторона ВС больше приближается к АВ. 280

Аксиома: если

АС = АС' = АС" = Ь,

то если Z С"АВ < Z CAB = ос < Z С'АВ, то ВС" Z ВС = a < ВС' и обратно, если ВС" < ВС = а < ВС', то Z С"АВ < Z CAB = а < Z С'АВ

Если a = b, то Z CAB = Z СВА. Доказательство:

Пуста Z CAB = а и Z CBA = (i. Предположим, что |3 > a , возьмем С' так, что Z CAB = (3 и Z С'ВА = a; ДАВС = ДАВС' => AC' = AC = b и ВС' = ВС = а, что противоречит аксиоме. Аналогично отбрасывается |3 < a . Прим. ред. 281

Шеллинг и Гегель, см.: Куно Фишер. История новой философии. 282

G. W. Hegel's. Werke. Berlin. 1883. Wissenscliaft der Logik.

Гегель. Логика, пер. Чижова [и позднейшие издания]. Старые сочинения о Гегеле: Karl Fischer, Michelet и др. 283

I. Beskiba. Lehrbucli der Geometrie. Wien. 1826. 284

Bertrand. Developpement nouveau de la partie elementaire des Mathematiques. A Geneve. 1778.

Его же. Elements de Geometrie. Paris. 1812. См. о нем: Cantor. В. IV. (Bobynin). Lehrbucli der Geometrie § 382. 285

См. главным образом Baltzer: Die Elemente der Mathematik. XII. Leipzig. 1870. Правильный взгляд на бесконечно удаленную точку следует отнести к Гауссу. Lettre de Gaussa Schumacher, t II, p. 268. 286

Kastner. Aiifangsgnmde der Aritlimetik, Geometrie ebenen und spharisclien etc. Gottingen. О Кестнере Cantor. Ill, p. 576. 287

Или несобственные, согласно современной терминологии. Прим. ред. 288

Reye. Die Geometrie der Lage и другие руководства по проективной геометрии: Staudt, Staudigl, Cremona, Enriques и др. 289

Прим. ред. 290

Poncelet. Traite des proprieles perspectives des figures. Paris. 1882. 291

Теорема Дезарга- см.: Brouillon project d'une atteinte и т.д. Oeuvres de Desargues pub. par Fondra. Paris. 1864. 292

Franz. Die Philosophie der Mathematik. Leipzig. 1842. 293

Scliotten. Inhalt u. Methode d. Planimetrische Uuterriclits. 294

Delboeuf. Prolegomenes. 295

Legendre. Elements de Geometrie, Paris. 1837. 296

Clialibaus. H. M. Historische Entwickelung der speculativen Philosopliie von Kant bis Hegel. Leipzig. 1839. Также Michelet и другие. 297

Философия природы. 298

N. Grassman. Die Ausdehimgslelire. Berlin. 1862.

V. Schlegel. Die Grassmanische Ausdehungslehre, Leipzig. 1896. 299

Riemann. Ueber die Hypotliesen, die der Geometrie zu Grande liegen. Gott. Abhandlungen. XIII. 1868. Есть и на русском языке. [Риман. Сочинения. М. 1948.] 300

Высший род - (лат.). Прим. ред. 301

Bolzano. Paradoxen des Unendlichen. [Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса. 1914.]

зо: Кантор. Учение о множествах. [Р. Кантор. Труды по теории множеств. М. 1985.]

303 Fontenelle. La geometrie de l'infini.

Из прошлого аналитической геометрии

Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4,

с. 217-235. 1

Лучшее издание "Конических сечений" - Гейберга (Apollonii Pergae Opera. Lpz., 1891-1893); ИЯгодинский дал русский перевод 1-й книги в "Изв. Сев.-Кав. гос. ун-та за 1928 г.". Об Аполлонии см. также: Г.Цейтен. История математики в древности и в средние века. Пер. П.С.Юшкевича.М., 1938, и H.Zeitlien. DieLehrevondenKegelsclinitten in Altertlium. Kopenhagen, 1886. 2

Д.Д.Мордухай-Болтовсюой. Аналитическая геометрия. Курс лекций. Варшава, 1913. 3

С.Я.Лурье. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.-Л., 1935. См. Г. Цейтен. Цит. соч., стр. 66-67.

3 См. Р.Декарт. Геометрия. Пер. А. П, Юшкевича. М. 1938, и там же: П.Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест и "Приложение к Введению в места, содержащие решение телесных задач с помощью мест". 6

G.F. de I'Hospilal. Traite analytique des sections coniques. Paris, 1707. 7

Д. Д. Мордухай-Болтовской. Первые шаги буквенной алгебры. - "Изв. Сов. Кавк. Гос. Унта-та за 1928 г.". 8

M.Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd. II, 1899, стр. 436. Cardanus Opera, t. 4, p. 371, 434. 9

Д.Д. Мордухай-Болтовской. Психология математического мышления. - [наст.изд.] 10

M.Getlialdi. de resolutione et compositione Mathematica, 1630; Его же: Variorum problematum collectio. 1607. См, M. Cantor. Цит. соч., т. II, стр. 809-811.

" И. Ньютон. Математические работы. М.-Л., 1937. 12

J. de Witt. Elementa curvarum lineanmi. 1659. 13

Develey. Geometrie analytique. Paris. 1824,

M A. Clairaut. Recherches sur les courbes a double courbure. Paris. 1731.

15 J. Todhunter. A treatise on plane coordinate Geometry. 1862. (Имеется русский перевод).

,0 A. Durer. Underweysung der Messung, 1525.

17 J.B. Biot. Geometrie analytique. Paris. 1802.

18 G.S.Klugel. Matliematisches Worterbucli. Leipzig, 1803-1808. " Орезм. Траісгат о конфигурации качеств, Историко-математические исследования. Вып. 11. М. 1958, - Прим. ред, 20

Н. Wieleitner. Nicolaus Oresmus graphische Darstellung .-"Natur und Kultur", H. 14, 1912; Его же: Der Tractatus de latitudinibus formaram.- "Bibl. mathem." (3). 1913. 21

Ph. de la Hire. Nouveaux elements des sections coniques. Paris. 1679. 21 Т.е. символов для величин углов. Прим. ред. 25

G.Cramer. Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques. Geneve, 1750.

24 L. Brunschwigg. Les etapes de la philosophie matliematique. Paris, 1912. 23 L. Euier. Introductio in analysin infinitorum. 1748. [JI. Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Т.1-2. М. 1961.]. Прим. ред. 26

A.G. Kastner. Anfangsgnmde der Analysis endliclier Grosse. 27

Врио и Бую. Кривые второго порядка. 28

Сальмон. Аналитическая геометрия. М. Гербек. 1892

Поризмы и данные

Труды Совещания по истории естествознании 24-26 декабря 1946 г. Под редакцией X. С. Коштоянца. M.-JL, Изд-во АН СССР, 1948, с. 161-172.

' Euclides. Opera omnia. Elementa, ed. Heiberg-Menge, 1896. 2

A. M. Legendre. Les elements de Geometrie, I изд., 1794. 3

M. И. Владиславлев. Логика. (Приложение). 2-е изд. 1881. [Аристотель. Соч. в 4 Т. Т. 1. М. 1976.] Прим. ред. 4

An. Post. I. 13. Прим. ред. 5

Pappi. Collectiones, ed. Hullsch. Berlin. 1876.

4 P. Декарт. Геометрия, пер. и комм. А. П. Юшкевича, М. 1938. 7

Д. Мордухай-Болтовской, Четыре лекции по философии математики, [наст, изд.] 8

R. Simpson. Phil, transactions of Roy. Soc., 1723, №72; Opera reliqua Glasguae, 1776, стр. 317-394. 9

G. S. Klugel. Matliematisches Worterbucli, Leipzig, 1807. 10

Поризм (греч.). Прим. ред. 11

Н. G. Zeuthen. Die Lehre von den Kegelscliiiitten im Altertuin. Kopenhagen. 1886.

11 A. Girard. Invention nouvelle en l'algebre, 1629; ed. D. Bierens deHaan. Leiden, 1884, 13

P. Fermat. Oeuvres. Porismes. 14

M. Ghasles. Les trois livres des porismes. Paris. 1860. 15

J. E. Montucla. Histoire des Mathematiques, vol. II, стр. 216; M. Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 1906. Bd. I, стр. 280.

|(ї J. Playfair. Transactions of Edinburg Society of Sciences, 1794, vol. Ill; M. Cantor. Vorlesungen, Bd. IV, стр. 89.

Ньютон. Всеобщая арифметика. М.-Л. 1948. Прим. ред,

G. F. Castillon. Add. Newtoni Arithmeticae, стр. 124.

M. Chasles. Les trois livres des porismes, Paris, 1865.

Д. Мордухай-Болтовской. О моделях ко II книге "Начал" Евклида. Вестник опытной физики и элементарной математики за 1915 г.

Clebsch. Vorlesungen uber Geometrie. Leipzig. 1876. 12 Hesse. Werke. Munchen, 1891,

Проблема смерти.

Рукопись передана дли публикации ш личного архива Л.Ф. Болтовс- кой. Датировка рукописи пс установлена. 1

Иов: 14; 10 - 12. 2

Иов: 21. 3

Матф.: 25, 32-46. 4

Бл. Августин. О граде Божием, кн. 13, гл. 11. 5

См. опровержение о вечности души Боїу св. Августина "О граде Божи- ем" кн. 10, гл. XXX. См. также учение о бессмертии по благодати св. Иринея (кн. 3, гл. 15) или Дамаскина, прим. ко второй книге: Изложение прав. Веры. Творения. 1894 г.

і Творения кн. 2 изд. 1894 г. 7

И. Кант. Критика чистого разума. 8

Там же. 9

См: Платон. Федон. 10

См.: Лейбниц. Исповедание природы против атеистов. Соч. в 4 Т. Т.І. С. 78-84. М. 1982. Прим. ред. 11

Творения бл. Августина, т. 2, кн. 2, гл. 3. 12

См.: Платон. Федон, 107а. 13

Этика, кн. 2, теор. 10, 23. 14

Moses Meudelssohn. Erusalem der Uber die religiose. Maclit und Judentum. 1783. Прим. ред.

13 Мир как воля и представление. Т.2. 16

Куно Фишер. История философии. Кантовская философия, учение о свободе. Вещь в себе, как воля. Кант. "Критикачистого разума". Методы. 4.2. 17

Критика чистого разума. Трансцендентальная аналитика. Дедукция понятий чистого разума. 18

Дидро. Сон д Аламбера. Ламетри. Человек - машина. Душа - функционирующая материя. 19

Эрнст Геккель. Мировые загадки. М. 1902. Лукреций. О природе вещей. 20

Проблеме сновидений Д. Д. Мордухай-Болтовской посвятил специальную работу: Психология и Метафизика Сновидений - 236 страниц рукописного текста. Рукопись датирована 29.04.1949 г. Прим. ред, 21

Рибо. Болезнь воли. 22

Рибо. Память. 23

Цитата не установлена. Прим. ред.

34 Физиологическим коррелятом связной системы вторичных сознаний является полигон Грасса. Физиологическое введение в философию. 25

Циглер. Физиологическая психология. 26

См. Лейбниц. Соч. в 4 Т, Т.1. М. 1982. С. 159, 324, 385. Прим. ред. 27

О. Конт. 28

Герней, Майерс, Подмор. Прижизненные призраки и др. телепатические явления. (129, 133, 186.). 29

О Граде Божьем, кн. 10, гл. 30. 30

Премудрость Соломона 11, 15. 3' Кор. XX: 44.

32 Св. Августин. О Граде Божием. Кн. 13, гл. 16, 20. Средние века

После смерти Д.Д. Болтов скоги рукопись была нелегально переправлена на Запад и опубликована в эмигрантском журнале "Возрождение" (La Renaissance № 233) о шопе 1971 г. (стр. 57-71). ' Стояла мать скорбящая (лат,) Прим. ред.

Приложения

/. Математики и вычислители.

Сообщение о докладе на заседании общества естествоиспытателей и психологии математического мышления 13 апрели 1928 г. // Бюллетень научных обществ и учреждений Северо-Кавказского края, 1928, № 15/4, с. 4.

И. Эволюция попятил функции в прошлом и в настоящем. Ученые записки Научно-исследовательского института математики и фшнкн при Ростовском ун-те, 1937, т. 1, с. 21-25. 1

Tidemaun Geist der spek. Philosophie Marburg 1793 Dunsi Scott; Opera Lugduni 8 Met. in lib. sent, dist lg. 5 2

Oresmus (1320-1381). Curtze Zeitsch Mat. und Pliys. (1858). S. 14. H. Орезм Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования, вып. 11. М. 1958. 3

Newton (1642-1727), Methodus fluxiouum. ed. Castillion. И. Ньютон. Математические работы. М.-Л. 1937, 4 Leibnitz (1646-1710). Journ. des savants 1694. Acta erud. 1694. Лейбниц. Избранные отрывки из математических сочинений // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 1(23). 5

Euleri. Introductio. 1745. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. М. 1961. 6

Cauchy (1784-1852). Lecons sur le Calcul Diff. 1836. 7

Lejeune-Dirichlet. Crelle's lournal B-d I p. 135. Repetorium 1837,1.1. 8

Morgan. The differential Calculus. 1836, p. 94. 9

Weierstrass. Functionenlehre. Berlin. 1876, p. 69. 10

Вейль. Философия математики.

III. Принцип достаточного основания в механике и в геометрии. Принцип достаточного основания в механике н геометрии. Научная конференция, посвященная 80-летию унипсрситета. Тезисы докладов, вып. 2. Ростов н/Д, 1949, с. 86.