§3. Первая архимедова форма метода исчерпывания.

РДР.®, Рв<п) (РД

а разность между соответствующими членами ряда (Ра), дающего приближение по недостать, и ряда;

(ЗЛ<ЗЛ дающего приближение по избытку.

Для устранения предположения В > А пользуются двумя парами

рядов:

R1,wSb(2)>....>S„tn) *

рГ<Р™<....Р„(ш>

Qa(I)>....Q„(m)

для которых

P„(u1) Rj/'0 ^Bпри чем устанавливается возможность исчерпывания разностей Q,/"0 - Ра(ш), Sl/") -R),00 и отсюда выводится, что отношения

п ("О . р ("О о (П) . TJ (П) Чо ' и >

можно предполагать при надлежаще выбранных m, п меньше всякого отношения С : А, где OA. Далее обнаруживается, что всегда при п можно выбрать пі так, что

р т < R о» 0 («о > s (-о

* а — "Ь ' Чі — ,Jlj

Полагая В = А', где А' - величина того же рода, что А, имеем тогда при некотором п

.Sbw: Ра(га) <А':А. Но это невозможно, ибо

.Vn)>A'=B Pa(m)Таким же образом устраняется и случай

В < А.

По этой схеме ведется Архимедом доказательство ему принадлежащей (и потому в евклидовы "Начала" не входящей) теоремы;

Круг равновелик треугольник с основанием, равным длине окружности, и с высотой, равной радиусу. А - площадь круга, В - площадь треугольника, Р./"' - вписанный правильный многоугольник, Qa("' - описанный правильный многоугольник, R« - треугольник с основанием, равным периметру первого и с высотой, равной радиусу,

S» - треугольник с основанием, равным периметру второго, и с высотой, равной радиусу. 2)

Другой пример - это 13-е положение книги о конусе и цилиндре20 о том, что боковая поверхность цилиндра равна площади круга, диаметр которого - среднепропорциоиальное между стороной (т.е.

Здесь А - поверхность цилиндра, В - круга, Р <»п) . поверхность вписаниной призмы, Qhw — описанной, Rn(ni) - вписанного в круг многоугольника, R,® - описанного. 3)

Положение 15-е; поверхность конуса равна площади круга, имеющего радиусом среднепропорциональное между стороной конуса и радиусом его основания. 4)

Поверхность шара равна учетверенной площади большого круга (положение 31-е),

За Pi(m', Q.i(m) принимаются поверхности, описываемые вращением вписанного и описанного в полукруг многоугольника. 5)

Объем шара равен учетверенному объему конуса, основанием которого служит большой круг шара и высота которого равна его радиусу. 6)

Поверхность сегмента шарового, меньше полусферы, равна площади круга, имеющего радиусом прямую, идущую от вершины сегмента к окружности основания (положение 40-е). 7)

Объем сегмента равен объему конуса, основание которого равно поверхности сегмента, а высота - радиусу шара (положение 42-е).

Этот метод дает следующую форму ему соответствующей теории пределов:

U < А < V S <В <Т

и < S < Т < V; lim и = lim V -н> lim S = lim T = limU = lim V A = В и таким образом включающий принцип более общий, чем упомянутый выше принцип Гурьева.

§ 4. Втором архимедова форма метода исчерпывания2'.

В этой форме неравенства (5) заменяются более простыми

Pa(ni)Р,(ш) =а/ш) +а2(т) +

QA("° =А,(П1) +А2("° + АР-І +АР(Т)

где а^т)по мере возрастания m убывает.

Разность Q./"0-Ра(п,), как равная ар(ш) может быть сделана как угодно малой.

Так поступает Архимед при определении объема коноида (тела вращения параболы): ctj представляет входящие и выходящие цилиндры,

Ра (ш), Q а (ш) представляют цилиндры, равновеликие сумме этих элементарных цилиндров, В - объем цилиндра, основание которого - это основание коноида, а высота - половина высоты коноидов.

Этот метод применяется при выводе объема гиперболического конуса (гиперболоида вращения) и площади архимедовой спирали.

Этот метод и теперь применяется в школьной литературе при так называемой "чертовой лестнице", т.е.

Pa('"J < А < Qa('") Pa0'0 Ра*"0 = а/"1' +а2(ш> + ар-]

Q3C"° = АІ{Т) +А2{"° +

Доказьшается, что а/,п) = а/"0, откуда Р/"0 = Р,(,п>, Q,(ш) = Q„Архимеду приходится делать то, что избегается в этой последней форме, суммировать

S-, = a0(,B)+oc1(m) +

находить такую величину определенного рода, например, в первом примере цилиндра, для которой а,, - 1 служила приближением по недостатку, а сумма ст,, - по избытку. Ему приходится суммировать

1 + 2 + 3 + + п

I2 +22 +3 2 + + п2.

Ему не удается этим методом найти площадь сегмента параболы, так кале приходится встречаться с суммой

д/Г +V?+л/з + Vn,

которую он, конечно, не может просуммировать.

Этот метод в обработке идеей предела приводит к основной идее интегрального исчисления22 в том виде, как она ныне (а не во время существования метода неделимых) представляется, а именно к представлению величины А как предела суммы бесконечно великого числа бесконечно малых элелентов. Тогда указанная выше форма сводится к следующей схеме:

А= lim j (анализ)

lim = liin^pj (синтез)

ZPJ=B

A = В

Указанное выше видоизменение архимедовского метода приводит

к схеме:

А = lim ?