§9. Остроумие как одно из характерных свойств математической способности.

Острый ум может, как меткая стрела, идя издалека, попадать в цель. Остряком называют человека, способного находить общие черты в видимо совершенно разнородных предметах; конечно, ему должна принадлежать способность идти от частного к общему, но центр тяжести его остроумия лежит не в этом, а в способности обнимать умом сразу два совершенно разнородных предмета. Таким образом, остроумие - это способность обнимать в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей мысли. Психологический анализ математического мышления показывает, что математикам главным образом присуще остроумие. В предварительной работе над созданием и проверкой делаемых гипотез мысль математика должна перелетать к различным уже известным ему положениям и методам, отыскивая в них признаки по своей аналогии с теми, которые он находит в поставленной проблеме, дающие надежды на удачу. Отчаявшись найти помощь вблизи, ему приходится обращаться за ней в самые отдаленные области в сфере его математического мышления, связь которых с областью настоящего исследования, может быть, открывается впервые. Ма- тематик должен быть остроумным, и лучшей школой остроумия является математика.

§10. Быстрота математического мышления.

Другое характерное свойство математического ума это его быстрота. Если читатель вспомнит наш взгляд на механизм математического мышления, то он легко увидит, что это свойство обуславливается той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному.

В самом деле, последние гораздо более связаны временем, они должны прийти к окончательному результату не позже определенного дня и часа. Такого определенного ограничения времени для математика нет, он должен только недолго останавливаться на каждой гипотезе, так как иначе, вследствие огромного их числа, он слишком долго не мог бы дойти до результата. -

Это свойство, обуславливаемое, как мы выше уже заметили, значительной ролью бессознательного мышления, не особенно выделяется в том случае, когда ум, не представляя чистый тип математического ума, приближается своим характером к философскому. Подобно тому, как всякое движение совершается быстро и без колебаний, если это движение автоматическое, без вмешательства сознания, точно так же и мышление, поскольку оно принимает во всех своих стадиях характер сознательного философского размышления, проигрывает в бывтроте.

§11. Философ и математик.

Но есть одно свойство ума, которым вознаграждается менее быстрый, в сравнении с умом математическим, ум философский. Такова широта ума, если под последней разуметь способность ума познавать в виде связного целого широкие области.

В то время как в быстром уме главную роль играет бессознательный момент, в широком уме главным двигателем является ясное, недремлющее сознание.

Заметим кстати, что остроумие более присуще философскому уму, чем быстрота мысли. Смелые и удачные скачки принадлежат иногда и философским умам. Но все-таки, остроумие принадлежит преимущественно к характерным свойствам математического ума. Если философ широк, в то время, как математик быстр, то вместе с тем философ глубок, в то время как математик остроумен.

Мы уже выше сказали, что в то время, как в математике главная трудность - в доказательстве, в оправдании сделанных предположений, в философии - не оправдание, а, главным образом, построение этих предположений, составляет затруднение.

§12. Шахматист и математик.

Обнаруженные нашим анализом характерные свойства математического ума - остроумие и быстрая сообразительность, не дают полной его характеристики. Эти свойства присущи также в большой степени и шахматисту, и другого рода игрокам, принужденным мыслить очень быстро в сфере огромного числа комбинаций.

Механизм мышления игрока, в сущности говоря, почти TOT же, что у математика. Первая стадия - гипотеза, воображаемый ход, вторая - проверка, т.е. вывод некоторого более или менее длинного ряда последствий из него, и в случае присутствия явно неблагоприятных среди последних - отказ от этого хода. Но мы должны здесь отметить одно существенное различие.

В то время, как математик успокаивается окончательно лишь [тогда], когда будет найден весь комплеюп аргументов за сделанное предложение, игрок мирится с ними при более скромном требовании, чтобы не было никаких возражений против.

Конечно, в этом отношении математик находится в более затруднительном положении, ему трудно, так сказать, не находя около себя друзей, идти искать их в более далекие области, в то время как для игрока, важно только убедиться, что около него нет врагов. Таким образом, у математика будет перевес в остроумии, в то время как у игрока, по тем же причинам, как у финансиста, полководца и т.д., перевес в быстроте соображения.

§13. Поэт и математик.

Мы уже сказали, что математическое мышление начинает с воображения. Здесь мы должны отметить разницу, которая существует, по нашему мнению, между понятиями: воображение и фантазия. Воображение это деятельность, соединяющая в себе как воспроизведение, сознательное или произвольное, пережитых сложных впечатлений, так и воссоздание, при помощи разложения и комбинирования, составных частей, при помощи фантазии, в новые, еще не пережитые представления.

Таким образом, фантазию мы рассматриваем как составную часть воображения, именно воображение в его созидательном моменте.

Для того, чтобы быть хорошим математиком, нужно обладать хорошим воображением.

Но отсюда слишком далеко до того, чтобы выводить, что поэтическое творчество родственно математическому.

"Я понимаю - пишет Шабельской Софья Ковалевская, - что вас так удивляет, что я могу заниматься зараз и литературой и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит: совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел это одно и то лее. Мне кажется, что поэт должен только видеть, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен математик".

Мы со своей стороны не считаем нужным выступать защитником математики от обвинения ее в сухости. Мы считаем, что хороший математик в то время, когда от мыслит как математик, никогда не бывает поэтом. Мы скорей склонны думать, что математическому воображению присущ совершенно специфический характер: существует огромная разница между вообралсением математика и поэта. Здесь нет ошибки, порожденной предрассудком, о которой говорит С. Ковалевская,

К тому же еще следует заметить, что фантазия и вымысел это не одно и то лее - с этим легко согласиться, но что фантазия поэта должна быть без вымысла, что поэт должен видеть одну реальность, обратившись из художника в фотографа, это положение весьма спорно и во всяком случае совершенно не согласуется с фактическими данными психологии творчества поэтов.

Воображение математика и вообргшение поэта принадлежат к двум различным типам воображения, отмеченным Вуидтом5,

"Индивидуальное воображение, - говорит Вундт,- может отличаться или способностью к чрезвычайно живым и ярким представлениям, или же способностью к весьма разнородному комбинированию представлений: первую форму фантазии можно назвать воспринимающей, вторую комбинирующей.

Математикам, спекулятивным философам и изобретателям присуща, по Вундту, комбинирующая фантазия. Естествоиспытатели преимущественно обладают воспринимающей фантазией. Этого последнего типа фантазией вооружены и поэты. Классификация Вундта будет более полной, если тип воспринимающей фантазии [мы] распределим на два подтипа, но, смотря по тому, относится ли она к чувствам или к ощущениям, в первом случае она может быть названа субъективной, во втором случае объективной. Конечно, фантазия поэта должна быть отнесена к первому из этих подтипов.

Вундт из математиков выделяет геометров, которым приписывает вместо комбинирующей воспринимающую фантазию, которая должна быть, конечно, объективного характера.

В мнении Вундта, как нам кажется, правильно только то, что геометр отличается от алгебриста большим развитием воспринимающей фантазии. В этом смысле геометр ближе к поэту, чем алгебрист. Можно сказать, что в синтетической геометрии древних более поэзии, чем в современной аналитической. Все эти отличия создают совершенно различные облики умам поэта и математика, ставят их в виде двух различных полюсов на сфере человеческого мышления.

Математикам часто доставляет удовольствие, когда сравнивают их науку с поэзией, им представляется, что подобное сравнение служит только похвалой для их любимого занятия и снимает вечно тяготеющее над ними обвинение в сухости. Между тем сходство только в том, что как в поэзии, так и в математике необходима мощная сила воображения, и быстрое и энергичное течение в первом случае образов, во втором - отвлеченных мыслей, заставляет мыслителя позабыть об окружающем, улетать в надзвездные сферы. Фактические данные отнюдь не говорят за какое-либо интимное родство математики и поэзии. Наоборот, среди математиков слишком мало находится любителей поэзии. А среди поэтов, можно сказать не гиперболизируя, любителей математики совсем нет. Достаточно вспомнить Гете, Надсона и т.д.