<<
>>

Определение кривой уравнением и функции графиком

Функция изучается с помощью графика; можно сказать и наоборот: график в аналитической геометрии изучается с помощью функции. Конечно, первый подход к графику имеет только практическое и методическое значение при воспитании функционального мышления.
Но он же встречается в не вполне математизированной форме в теории широт и долгот схоластика XIV в. Орезма".

Схоластический спор о том, что меняется при изменении субстанции - форма или материя, привел еще Дунса Скотта к такому решению: ни материя, ни форма не меняются. Но форма проходит через формы форм или формальности. Форма - это метафизический предок переменного х, формальности - его значений ар а аг..ап.

Орезм строит то, что мы могли бы назвать графиком, откладывая время по оси Ох, а по перпендикулярам - значения формальностей, и связывая таким образом с кривой различные типы изменения во времени. Можно сказать, что и у Орезма имеются координаты точки на кривой: х является у него долготой, а перпендикуляр у - широтой.

Оказал ли Орезм влияние на Декарта? Такое влияние можно было бы ожидать у Декарта, который прошел через схоластическую науку. Но в геометрии Декарта мы нигде ие можем уловить такого влияния.

Метафизическое понятие о функции задерживается в своем развитии и не вступает в область математических исследований. Учение о долготах и широтах Орезма ничего не дает кроме довольно примитивной классификации типов изменения, отвечающих различным типам графиков. Мы ие находим у Орезма чего-либо такого, что могло бы натолкнуть на обратный подход - на изучение не функции по графику, но графика по функции.

Следует также отметить, что у Орезма только х является линией, а у есть собственно не линия, а некоторый тонкий прямоугольник, стоящий на Ох, т.е. на отрезке, соответствующем мгновенному изменению времени.

У Орезма, как и у Фомы Аквинского, нет еще непрерывного изменения; изменение идет скачками в ничтожные промежутки времени (мгновения)20 .

Я думаю, что учение Орезма вряд ли оказало влияние не только на Декарта, ио и на Ньютона в его учении о флюэитах и флюксиях. 10.

Аналитическая геометрия без преобразования координат

Аналитическая геометрия в современной законченной форме с общим исследованием кривых второго порядка могла развиться только вместе с теорией преобразования координат. Чтобы уяснить, какое значение имело в истории аналитической геометрии преобразование координат, я предлагаю обратиться к тем приемам, которые применялись до введения в аналитическую геометрию общих формул преобразования координат.

Каким образом решался вопрос, представляется ли какая-либо кривая уравнением

?ф,.к(а,Ь,с...)хУ=0? (И)

Для решения этой задачи выводится сперва общее уравнение этой кривой при каких угодно осях координат:

(12)

и затем определяется, возможно или невозможно определить а, Ь, с... через а,|3,у ...так, чтобы коэффициенты (11) и (12) оказывались пропорциональными.

Так, например, можно установить, что геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно, есть окружность, сравнив получаемое на основании этого свойства общее уравнение с уравнением окружности

(х-а)2+(у-[})2=у2. (13)

Так поступаем и мы, когда выводим условия, при которых кривая второго порядка

Ах2 +2Bxy + Cy2+2Dx+2Ey + F = 0 (14)

представляет окружность (13).

Весьма интересно сравнительно позднее появление уравнения кривой второго порядка в общей форме (14). Бесспорно, что одной из причин этого является ясно выраженная тенденция держаться однородности строения уравнения. В картезианском смысле выражения Ах2, Dx и т.д. понимаются как отрезки, но только при введении масштабной единицы, т.е.

Dx

при представлении Dx как —j- и т.п. Но как Декарт, так и его последователи не пользуются масштабной единицей; на ее месте всегда фигурирует некоторый произвольно взятый отрезок, и уравнение (14) должно писаться в форме:

ах2 2Ьху су2 2dx 2су „ „

_—+ +——+f=0. (15)

m m m m m

Впрочем, в действительности в этой форме общее уравнение кривой второго порядка не пишется, так как в качестве параметров всегда стараются выбирать некоторые определенным образом построенные отрезки.

Еще интереснее отметить, что методы более ранних математиков, в том числе и самого Ферма, колеблются около приема преобразования координат, но эти ученые не могут овладеть названным приемом из-за того, что понятие координаты на плоскости не выяснено.

Без этого приема математическая мысль сперва преобразует уравнение

Jf(x,y) = 0 (16)

в более простое

ф(х',у') = 0 (17)

при помощи формул

ш(х,у)=у'

х = х\ (18)

истолковывая геометрически эту зависимость так, что и х', уоказываются координатами.

Общей методы еще нет.

Не сознается даже то, что формулы преобразования должны иметь линейную форму:

(19)

х' = ах+Ьу+с у' = а'х + Ь'у+ с'

Так, например, обстоит дело в сочинениях де ля Гира21. 11. Прямая в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия даже во второй половине XVIII в. обходится без тригонометрии. Последняя в своей гониометрической части развивается медленно. Символика и алгебра тригонометрических величин создаются только Майером и Эйлером.

Основные формулы в теории прямой

у = ах -!- b, (20)

a=lga,

где угол a, образуемый прямой с Ох, появляется только вместе с гониометрической символикой22.

Вывода уравнения прямой у Декарта нет; у Ферма уравнение прямой имеется. Это странное явление объясняется различием их подходов. Декарт, идя от кривой к уравнению, извлекает (х, у) из внутренних элементов кривой, принимая, например, за у полухорду, за х ее высоту. Ферма же, идя от уравнения к кривой, дол лее и брать за (х, у) внешние элементы. Молено сказать, что хотя (х, у) у него и не являются координатами на плоскости, но их молено признать координатами точки на прямой.

12. Преобразование координат без тригонометрии

Крамер23 дает общие формулы преобразования координат. Но, во-первых, эти формулы не тригонометрические, во-вторых, они представляют собой формулы преобразования не координат точек на плоскости, а координат точек кривой.

Общие формулы Крамера пишутся так:

x=m+pz+ni (21)

у = п + qz + su,

где коэффициенты р, q, г, s выражаются не тригонометрически, но через заданные отношения сторон различных треугольников, возникающих при преобразовании координат.

Тригонометрические формулы преобразования мы встречаем у Эйлера. Отличие его изложения от современного состоит только в том, что он не пользуется общепринятыми ныне леммами о проекциях. Оперирование с относительными геометрическими величинами, или, как некоторые говорят, с алгебраическими отрезками, тогда еще не производилось. Такого рода приемы могли войти в геометрию только после знаменитого спора об отрицательных геометрических величинах в начале XIX в., определенным образом выявившего право гражданства их в геометрии2,1.

<< | >>
Источник: Д.Д.Мордухан-Болтовской. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити.-560 с.. 1998

Еще по теме Определение кривой уравнением и функции графиком:

  1. Производственные функции. Определение и назначение
  2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПЛАНИРОВАНИЯ
  3. Определение, понятие, задачи и функций логистики
  4. Методология педагогики: определение, задачи, уровни и функции
  5. Глава I МЕТОД ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭТОЙ ФУНКЦИИ
  6. 2.1.3 Уравнение материального баланса сушащего газа.
  7. § 3. Способ приближенного решения уравнений.
  8. 2.1.1 Уравнение материального баланса сушащегося вещества.
  9. 2.1.2 Уравнение теплового баланса сушащегося вещества.
  10. Технологические графики
  11. 2.1.4 Уравнение теплового баланса для сушащего газа.
  12. 2.1 Уравнения материального и теплового балансов для получения динамической модели процесса сушки.
  13. Растровая, векторная и фрактальная графика
  14. ГРАФИКА
  15. Форматы пиксельной графики
  16. список ГРАФИКОВ
  17. СПИСОК ГРАФИКОВ
  18. Алпатов М.В., Ростовцев Н.Н.. Искусство: Живопись, скульптура, архитектура, графика, 1987