Определение кривой уравнением и функции графиком

Схоластический спор о том, что меняется при изменении субстанции - форма или материя, привел еще Дунса Скотта к такому решению: ни материя, ни форма не меняются. Но форма проходит через формы форм или формальности. Форма - это метафизический предок переменного х, формальности - его значений ар а аг..ап.

Орезм строит то, что мы могли бы назвать графиком, откладывая время по оси Ох, а по перпендикулярам - значения формальностей, и связывая таким образом с кривой различные типы изменения во времени. Можно сказать, что и у Орезма имеются координаты точки на кривой: х является у него долготой, а перпендикуляр у - широтой.

Оказал ли Орезм влияние на Декарта? Такое влияние можно было бы ожидать у Декарта, который прошел через схоластическую науку. Но в геометрии Декарта мы нигде ие можем уловить такого влияния.

Метафизическое понятие о функции задерживается в своем развитии и не вступает в область математических исследований. Учение о долготах и широтах Орезма ничего не дает кроме довольно примитивной классификации типов изменения, отвечающих различным типам графиков. Мы ие находим у Орезма чего-либо такого, что могло бы натолкнуть на обратный подход - на изучение не функции по графику, но графика по функции.

Следует также отметить, что у Орезма только х является линией, а у есть собственно не линия, а некоторый тонкий прямоугольник, стоящий на Ох, т.е. на отрезке, соответствующем мгновенному изменению времени.

У Орезма, как и у Фомы Аквинского, нет еще непрерывного изменения; изменение идет скачками в ничтожные промежутки времени (мгновения)20 .

Я думаю, что учение Орезма вряд ли оказало влияние не только на Декарта, ио и на Ньютона в его учении о флюэитах и флюксиях. 10.

Аналитическая геометрия без преобразования координат

Аналитическая геометрия в современной законченной форме с общим исследованием кривых второго порядка могла развиться только вместе с теорией преобразования координат. Чтобы уяснить, какое значение имело в истории аналитической геометрии преобразование координат, я предлагаю обратиться к тем приемам, которые применялись до введения в аналитическую геометрию общих формул преобразования координат.

Каким образом решался вопрос, представляется ли какая-либо кривая уравнением

?ф,.к(а,Ь,с...)хУ=0? (И)

Для решения этой задачи выводится сперва общее уравнение этой кривой при каких угодно осях координат:

(12)

и затем определяется, возможно или невозможно определить а, Ь, с... через а,|3,у ...так, чтобы коэффициенты (11) и (12) оказывались пропорциональными.

Так, например, можно установить, что геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно, есть окружность, сравнив получаемое на основании этого свойства общее уравнение с уравнением окружности

(х-а)2+(у-[})2=у2. (13)

Так поступаем и мы, когда выводим условия, при которых кривая второго порядка

Ах2 +2Bxy + Cy2+2Dx+2Ey + F = 0 (14)

представляет окружность (13).

Весьма интересно сравнительно позднее появление уравнения кривой второго порядка в общей форме (14). Бесспорно, что одной из причин этого является ясно выраженная тенденция держаться однородности строения уравнения. В картезианском смысле выражения Ах2, Dx и т.д. понимаются как отрезки, но только при введении масштабной единицы, т.е.

Dx

при представлении Dx как —j- и т.п. Но как Декарт, так и его последователи не пользуются масштабной единицей; на ее месте всегда фигурирует некоторый произвольно взятый отрезок, и уравнение (14) должно писаться в форме:

ах2 2Ьху су2 2dx 2су „ „

_—+ +——+f=0. (15)

m m m m m

Впрочем, в действительности в этой форме общее уравнение кривой второго порядка не пишется, так как в качестве параметров всегда стараются выбирать некоторые определенным образом построенные отрезки.

Еще интереснее отметить, что методы более ранних математиков, в том числе и самого Ферма, колеблются около приема преобразования координат, но эти ученые не могут овладеть названным приемом из-за того, что понятие координаты на плоскости не выяснено.

Без этого приема математическая мысль сперва преобразует уравнение

Jf(x,y) = 0 (16)

в более простое

ф(х',у') = 0 (17)

при помощи формул

ш(х,у)=у'

х = х\ (18)

истолковывая геометрически эту зависимость так, что и х', уоказываются координатами.

Общей методы еще нет.

(19)

х' = ах+Ьу+с у' = а'х + Ь'у+ с'

Так, например, обстоит дело в сочинениях де ля Гира21. 11. Прямая в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия даже во второй половине XVIII в. обходится без тригонометрии. Последняя в своей гониометрической части развивается медленно. Символика и алгебра тригонометрических величин создаются только Майером и Эйлером.

Основные формулы в теории прямой

у = ах -!- b, (20)

a=lga,

где угол a, образуемый прямой с Ох, появляется только вместе с гониометрической символикой22.

Вывода уравнения прямой у Декарта нет; у Ферма уравнение прямой имеется. Это странное явление объясняется различием их подходов. Декарт, идя от кривой к уравнению, извлекает (х, у) из внутренних элементов кривой, принимая, например, за у полухорду, за х ее высоту. Ферма же, идя от уравнения к кривой, дол лее и брать за (х, у) внешние элементы. Молено сказать, что хотя (х, у) у него и не являются координатами на плоскости, но их молено признать координатами точки на прямой.

12. Преобразование координат без тригонометрии

Крамер23 дает общие формулы преобразования координат. Но, во-первых, эти формулы не тригонометрические, во-вторых, они представляют собой формулы преобразования не координат точек на плоскости, а координат точек кривой.

Общие формулы Крамера пишутся так:

x=m+pz+ni (21)

у = п + qz + su,

где коэффициенты р, q, г, s выражаются не тригонометрически, но через заданные отношения сторон различных треугольников, возникающих при преобразовании координат.

Тригонометрические формулы преобразования мы встречаем у Эйлера. Отличие его изложения от современного состоит только в том, что он не пользуется общепринятыми ныне леммами о проекциях. Оперирование с относительными геометрическими величинами, или, как некоторые говорят, с алгебраическими отрезками, тогда еще не производилось. Такого рода приемы могли войти в геометрию только после знаменитого спора об отрицательных геометрических величинах в начале XIX в., определенным образом выявившего право гражданства их в геометрии2,1.