13. Начало истории кривых второго порядка

Аналитическая геометрия на плоскости рождается с того момента, когда эти кривые получают чисто планиметрическое определение. Это знаменует начало новой эпохи. Эллипс становится геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от двух точек постоянна, гипербола - геометрическим местом точек, разность расстояний которых от двух точек постоянна, парабола - геометрическим местом точек с равными расстояниями от точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Стереометрическая сторона дела при этом не исчезает, но отходит на второй план. Наряду с частью, развивающей три планиметрические теории, излагается, но уже во вторую очередь, теория параболы, эллипса и гиперболы как конических сечений. Этот момент относится к де ля Гиру.

У Лопиталя аналитическая геометрия планиметрнзована, но еще не алгебраизована в той мере, как у нас. Начинается она с изучения параболы, эллипса и гиперболы. Определение их дается обычное, но только в геометрической форме. Определением служит, как у Декарта, построение непрерывным движением. "Прикрепляем, говорит Лопиталь, на плоскости концы нити FMf в данных точках F и f, расстояние между которыми меньше длины нити, берем грифель, чтобы держать эту нить натянутой, и двигаем его вокруг этих двух точек так, что он возвращается в прежнее положение. Он описывает тогда в этом движении кривую, которую назовем эллипсом". Парабола, эллипс и гипербола получают у Лопиталя название "конических сечений", раньше чем доказывается, что они возникают как плоскостные сечения конуса.

Наконец, третья эпоха характеризуется тем, что конические сечения подводятся под их объемлющее понятие кривых второго порядка и согласно этому строится и их стереометрическая аналогия - поверхности второго порядка.

В настоящее время обычно подходят к параболе, эллипсу и гиперболе, отправляясь от общего рассмотрения кривых второго порядка.

Эйлер25 оперирует общим уравнением кривой второго порядка. Но он дает значительно меньше, чем наши учебники, и не использует преобразования координат для исследования кривых второго порядка. Вывод упрощенных уравнений кривых второго порядка совершается на основании некоторых общих свойств кривых второго порядка.

К

М

Главная заслуга Эйлера состоит в том, что он первый дает общую теорию кривых второго порядка, основываясь на уравнении

D

О

L

CD иг.

С ос + рх + уу+Зх2 +єху + ^у2 =0. (22) Правда, эту обшую теорию Эйлер развивает не далеко. В пятой главе дается, по терминологии Эйлера, вывод главных свойств кривых второго порядка.

Первое свойство состоит в том, что прямая, проходящая через точку касания и делящая пополам какую- либо хорду, параллельную касательной, делит пополам и все другие хорды, параллельные касательной. Это свойство выводится Эйлером из рассмотрения коэффициентов уравнения кривой (22).

Второе главное свойство, получаемое через рассмотрение свободного члена уравнения (22), состоит в том, что (фиг. 8) для хорд MN, парал-

CL-LD

лельных касательной СК в конце С диаметра DC, отношение имеет

ML-LN

постоянное значение.

Это свойство, как мы видели ранее, было известно и Аполлонию и Архимеду, и играло важную роль в их рассуждениях. Таким образом, далее Эйлер оказывается связанным с "Коническими сечениями" Аполлония.

Из этих свойств и выводится упрощенное уравнение кривой второго порядка. Полагая

CL-LD _к ML-LN~h CD = а (диаметру), CL = х, ML=NL= у, Эйлер получает уравнение

2 1' / 2ч

У =—(ах-х ) (23)

т.е. вида

у2 = 2рх + срс2. (23і)

В эйлеровском "Введении" нет еще ИССЛЄДОВІ1НИЯ кривой второго порядка, заданной общим уравнением в современном смысле. Это исследование у нас разделяется на два момента: 1) приведение уравнения преобразованием к центру и к осям, 2) исследование формы кривой по уравнению.

Что делает Эйлер? Он берет в 6-й главе упрощенное уравнение: у2 =а +|3х+ух2 (24)

и заключает, что при у > 0 имеются четыре ветви, уходящие на бесконечность, которые мы, признавая на прямой только одну бесконечно удаленную точку, признаем за две ветви.

Заключение это выводится из того, что при х = ±со мы получаем для у вещественное значение оо.

При у < 0 и х = ±оо , у становится мнимым, т.е.

15. Кестнер; Врио и Бую

Известный методист-математик Кестнер26 разрешает общее уравнение кривой второго порядка:

a + fix+yy +5х2 +єху +?у2 =0, (25)

что дает:

- (ex + y)±J (вх + у)2 -4? (5x2 + 6x+a) У = ^ ! ? (26)

Из формулы (26) Кестнер делает заключения относительно асимптот или числа ветвей, причем облекает свои выводы в форму, в которой фигурирует еще не отмененный принцип исчезновения конечного в сравнении с бесконечно большим, а также бесконечного низшего порядка в сравнении с бесконечным высшего порядка.

Величина под радикалом, говорит Кестнер, выражается так:

z = (s2 -4^5)х2 + срх + р, где ф,р определяются с помощью коэффициентов уравнения (26). Но, согласно учению о бесконечности, продолжает Кестнер. я принимаю, что когда х бесконечно, то

z = (e2 - 4?5)х2,

ибо остальные члены в сравнении с этим исчезают. Если є2 -4^5 > 0, то кривая лиши имеет возможные ординаты для положительных и отрицательных бесконечных .т. Поэтому кривая не будет эллипсом. Далее, как и у Эйлера, делается заключение о существовании четырех ветвей и о том, что в рассматриваемом случае имеется гипербола.

Если є2 -4^5 < 0, то ординаты при бесконечных положительных и отрицательных абсциссах невозможны и имеется эллипс. При є2 - 4?5 =0 Кестнер берет z=фх + р , заставляет исчезать Р в сравнении с фх и получает параболу.

У Врио и Букэ27, учебник которых сыграл особенно важную роль в истории методики аналитической геометрии, парабола, эллипс и гипербола определяются еще в начале курса их фокальными свойствами (среди примеров определения геометрических мест уравнениями). Сейчас же за этими кривыми рассматриваются: циссоида Диоклеса, строфоида, улитка Паскаля и другие кривые.

Подробное изучение параболы, гиперболы и эллипса следует уже после изучения кривых второго порядка вообще.

В первую очередь дается построение линии второго порядка, представляющее изучение формы кривой по уравнению.

Уравнение

Ах2 +Вху + Су2 +Dx+Ey + F = 0 (27) разрешается относительно у:

У =-Щ-^±~уІМхг+2Ш +Р (28)

и особо изучаются случаи:

М<0, М>0иМ = О.

Далее рассматриваются основные свойства кривой второго порядка. В преобразовании к осям и к центру мы теперь довольно близко следуем Врио и Букэ.

Современные учебники ведут свое происхождение главным образом от большого руководства Сальмона28, который сам находится под влиянием курса Брио и Бую, и других родственных учебников.

Без сомнения, большое значение в развитии аналитической геометрии имело понятие предела, данное д'Аламбером, и понятие о единственности на прямой бесконетео удаленной точки, принадлежащее Понслэ.