§ 5. Метод неделимых как выпрямление метода исчерпывания.

Он мало убеждает и современников, но много обещает открыть.

Берем его наиболее примитивную форму, которая находится у Кеплера.

Для определения площади круга Кеплер делит круг радиусами на равные бесконечно малью секторы (черт, 1). Эти бесконечно малые секторы он признает тожде- _

ственными бесконечно малым тре- Jp

угольникам с высотой, равной радиусу, и основанием, равным дуге

сектора К. К прямой РВ он восста- ^ В3 В2 Bj В Q

ЧРОТ 1

иавливает перпендикуляр ВС = OA 1 '

и откладывает ВВ, = AAt, В(В, = А^А.и т.д. В силу равновеликости треугольников А,А2С,, BBjC, ит.д. он получает, что площадь круга равна сумме площадей треугольников Вп_. СВя = ВСР, т.е. теорему Архимеда.

В этом рассуждении признается существование актуально-бесконечно малых элементов круга, и при этом признается, что те признаки двух элементов, об уменьшении разности которых свидетельствует интуиция, для бесконечно малых элементов совершенно сравниваются.

Это доказательство прямое в противоположность апагогическому методу исчерпывания.

На это следует обратить внимание. Вне сомнения, в дальнейшем при нападках рационалистов на апагогические доказательства25 развитию метода неделимых способствует не столько его простота и практичность, как прямой характер его выводов.

В дальнейшем у Кавальєри косвенная схема метода исчерпывания превращается в более простую схему метода исчерпывания.

Чтобы доказать, что

А : В = а : Ь,

А и В разбиваются, согласно идее второго метода Архимеда, на части, причем неделимые части (такое понятие, конечно, чуждо Архимеду)

Доказывается, что для всякого.]'

OTJ: PJ = A:B

путем отождествления

CTJ-HPJ, для которых не трудно установить пропорцию aj :pj = a:b

Легко видеть, какому изменению подвергается эта схема при установке понятия бесконечно малого в современном смысле - как переменного с пределом = 0.

Имеем, A = lim^c<.j, B = lim^Pj.

«і - і Рі

;/ьг, а только эквивалентны26, ctj и pj т,е, lim ^ —1, lim = 1, поэтому на основании второй леммы анализа

A = limX«J В = lim^Pj >

а так как а ?: = а : Ь, то

А : В = а : Ь,

Сточки зрения Кавальєри aj н р ( суть не эквиваленты частей А и В, а суть сами эти части, А и В - не пределы суммы, а сами суммы a j и Р j

или, что то же Ctj и fjj.

Отсюда вытекает принцип Кавальєри27, устанавливающий равенство величин из равенства их неделимых, равенство двух тел между двумя параллельными плоскостями из равенства площадей их сечений параллельными этим плоскостям плоскостями и т.д.

Этот метод совершенно чужд античной мысли.

Торичелли28 старается убедить в том, что метод неделимых служил у античных математиков методом открытия, который не совпадал с методом доказательств, но с этим едва ли можно согласиться.

В действительности же психология открытий тех теорем, которые доказывались Евклидом и Архимедом апагогическим путем, много проще, чем думал Торичелли. 2-е пололсение XII книги "Начал" - естественное распространение того, что уже доказано для подобных прямолинейных фигур и вообще подобных фигур. Таково лее происхождение и 18-го положения XII книги.

Теорема Архимеда о площади круга составлена по образцу теорем, относящихся к площадям правильных многоугольников. Значения поверхностей и объемов конусов и цилиндров верней всего были найдены развертыванием их в плоскости, что, конечно, проще метода неделимых.

Совершенно невероятно, чтобы этот метод, совершенно неудобный при нахождении объема и поверхности сферы, применялся Архимедом в этих случаях так эвристический.

Впрочем, сам Архимед в упомянутом выше сочинении совершенно ясно говорит об истории своих открытий. Аиалогон круга - сфера, тре- угольника - конус. Вот эта мысль и руководит Архимедом в поисках вывода, конечно ощупью, формулы для объема шара.

Архимед19 говорит: "Благодаря изложенной теории о том, что шар в четыре раза больше конуса, которого основанием служит большой круг, а высота равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность шара в четыре раза больше его большого круга, причем я исходил из представления, что как круг равен треугольнику, основанием которого служит периферия круга, а высота равна радиусу круга, так и шар равен конусу, которого основанием служит поверхность шара, а высота равна радиусу этого шара".

В сочинении "О шаре и цилиндре" Архимед строит строгое доказательство (причем апагогически) этих положений.

Аналогон параболы - параболоид (коноид) и теоремы об объеме сегмента коноида - аналогон раньше открытой теоремы о площади параболического сегмента.

Теорема о сфероидах - естественное обобщение теоремы о сфере.

,SV