<<
>>

§ 2. Математическая логика как выражение общности дискретной математики и традиционной логики

Особенности традиционной формальной логики, которые рассматривались нами в предыдущем параграфе, во многом объясняют роль ее и значение для создания и развития математики вообще, математической логики в частности.

Как неоднократно отмечалось ранее, это инструмент, с помощью которого осуществляется построение всех без исключения дисциплин математики.

Если последняя в некотором роде является языком науки, то логика - средством вывода и дальнейшего формирования математических теорий. Суть дела, разумеется, не меняется от того, что в случае формальной аксиоматики используется не традиционная, а математическая логика, которая сама есть результат символизации и математизации традиционной логики, так что и обычная, и математическая логика чаще всего обозначаются одним, более общим термином - „формальная". Причем традиционную иногда образно называют арифметикой логики, а математическую - ее алгеброй.

Необходимо теперь более подробно обсудить вопрос о ста- гусе математической логики. Дело в том, что решение его имеет основополагающее значение для освещения многих других философских проблем математики. Между тем оно не представляется очевидным, как может показаться на первый взгляд, и в специальной литературе высказываются различные мнения по этому поводу.

Некоторые ученые полагают, что математическая логика - это раздел, часть математики (А. Гейтинг, P. JI. Гудстейн, С. А. Яновская). В пользу такого толкования приводятся при этом соответствующие аргументы. Другие, наоборот, выносят ее за скобки математики, ссылаясь на то, что это все-таки логика. Третьи считают, что это математическая дисциплина по

методу и логическая по своему предмету (П. С. Порецкий, Д. Гильберт, В. Аккерман, А. Чёрч, Э. Беркли и др.). Математическая логика интерпретируется многими и как современный этап развития формальной логики (П. В. Копнин, Д. П.

Горский, И. С. Нарский и др.)88. Естественно,-что логика математическая далеко не исчерпывает всех вопросов, изучаемых общей (В. И. Кириллов, А. А. Старченко), как бы первая ни понималась.

Представляется, что с некоторыми оговорками зачисление в область математики математической логики правомерно и ^ вполне оправданно109. Хотя, по мнению специалистов, она и не образует там особого раздела, тем не менее является областью математики, за пределы которой выносить ее осйований нет. Математизация традиционной логики служит дополнительным свидетельством в пользу того, чтобы считать математическую логику дисциплиной математической. Чтобы данное положение стало более очевидным, кратко изложим, в чем ее суть. Но прежде заметим, что термин „математическая логика" употребляют в специальной литературе в двух смыслах - широком и узком. В узком смысле под ней понимают особую дисциплину как таковую, а в широком смысле - совокупность всех построений и исчислений, включая и прикладные проблемы, которые решаются с помощью средств этой специальной логики. То же самое иногда говорят и о математике в целом: под ней понимается и система теоретических дисциплин, и вместе с тем результат использования ее как „языка науки" в сфере всего остального научного знания, т. е. прикладная математика. Хотя это деление весьма относительно, все же оно в определенных рамках представляется правомерным (в особенности, в учебном процессе).

Суть процесса математизации традиционной логики заключается в том, что устойчивые логические формы она выражает знаками и с ними оперируют как с обычными математическими символами, используя в конечном итоге простейшие ариф' метические действия. При этом в разделе исчисления высказываний символами обозначают целые предложения, точнее, суждения, а в логике предикатов - подлежащее и сказуемое, вернее, субъект и предикат. (Однопорядковость соответствующих понятий не означает их совпадения, поскольку логические формы приходится отличать от лингвистических.) Это оказывается возможным потому, что указанные логические формы являются результатом вычленения в мыслительной деятельности главным образом дискретности и устойчивости.

Точно так же обстоит дело и в случае дискретной математики, о чем подробно говорилось в главе I.

Указанное обстоятельство, на наш взгляд, более чем ка- кое-либо другое объясняет близость традиционной логики к дискретной математике. Важно учитывать при этом, что математика и логика изучают формы, которые тем не менее по своей природе различны, даже противоположны: если первая анализирует формы объектов материальной действительности, то вторая - формы мыслительной, нематериальной деятельности. Конечно, они иные, чем те, которые исследует философия, диалектическая логика (математика и традиционная логика фиксируют, повторяем, в этих формах преимущественно статику, устойчивость).

Существенно, что формы традиционной логики, как мы уже убедились, не бессодержательны, однако переход на уровень математической логики означает окончательное их отвлечение от содержания. В связи с этим правомерно утверждение академика А. Д. Александрова, что математика тоже изучает формы в отвлечении их от содержания110.

Интересны замечания Д.Гильберта и В.Аккермана: „Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Переход к логическим следствиям, совершающийся посредством умозаключения, разлагается на свои последние элементы и представляется как формальное преобразование исходных формул по известным правилам, которые аналогичны правилам счета в алгебре; логическое мышление отображается в логическом исчислении. Это исчисление делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содержательное логическое мышление"111.

Можно отметить близость к дискретной математике и ин- 110

Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. М., 1964. Т. 3.

58

J 111

Основы теоретической логики. М., 1947. С. 17.

женерно-математического стиля мышления89, при котором объекты окружающей действительности рассматриваются как нечто сугубо прерывное, неизменное, устойчивое.

Перенесение этого сходного со структуралистским стиля мышления в сферу биологических, а тем более социальных наук всегда чревато негативными последствиями методологического характера, ведет к редукционизму и в связи с этим является данью метафизике.

Идея логического исчисления высказываний, суждений содержалась еще в трудах Лейбница (в работе „Искусство комбинаторики", например). Однако основы математической логики удалось заложить лишь в XIX в. Дж. Булю, который создал алгебру логики. Впрочем, его работы современниками всерьез не принимались и многими, даже видными, учеными рассматривались как простой курьез, плод досужего ума, в лучшем случае.

Одновременно основы новой науки успешно разрабатывал А. Морган, но главным образом — Э. Шрёдер, так что начиная с конца XIX в. она стала называться алгеброй Буля — Шрёдера. Большой вклад в ее дальнейшее развитие внесли П. С. Порецкий, Фреге, Пеано и, конечно же, известный философ Рассел, который совместно с А. Уайтхедом в начале XX в. создал капитальный труд „Принципы математики". Именно с Фреге и Рассела начинается новый этап в развитии логики как исчисления. С середины XX в. она получила особенно большое развитие в связи с успехами кибернетики и информатики и является ныне важнейшей областью математического знания.

От собственно математической иногда отличают символическую логику (М. В. Попович), под которой имеют в виду традиционную формальную логику на нынешнем этапе ее развития, когда она стала пользоваться символикой. Под первой же понимают в этом случае дедуктивную часть современной логики, приспособленную для решения собственных задач математики, главнейшей из которых является проблема обоснования. Иначе говоря, логику в этом случае рассматривают как область математического знания, когда производится полное отвлечение от содержания высказываний.

Отмеченные различия не так уж существенны, но они имеют значение в том отношении, что позволяют понять причину неоднозначного толкования статуса математической логики.

Дело в том, что возражения против включения математической логики в состав математики объясняются, по-види- мому, протестом против отождествления символической и собственно математической логик90. Если же такое различение осуществлять, то собственно математическую логику без всяких оговорок должно рассматривать в качестве математической дисциплины.

Не ставя перед собой цели давать ее изложение, кратко скажем об исчислении высказываний и предикатов, которые имеют сегодня наибольший выход в область прикладных проблем, в частности в сферу моделирования мышления.

Выше уже говорилось о том, <іто при исчислении высказываний суждения обозначаются знаками, с которыми впоследствии можно оперировать как с обычными математическими символами. Логические связки „и", „или", „если, то", „тогда и только тогда, когда", „не" тоже обозначают знаками, так что высказывания приобретают чисто символический вид: р A q, р v Q, р Q, р Q, р (соответствующие операции называют конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентностью высказываний и отрицанием).

В кибернетике и информатике идут еще дальше: „атомарные" (далее неразложимые) высказывания обозначают буквами или иными знаками, а связки, рассматриваемые в качестве логических операторов, моделируют с помощью инверторов, конъюнкторов и дизъюнкторов, что позволяет для последующего исчисления высказываний использовать ЭВМ, где операции логические в итоге заменяются арифметическими

В методологическом отношении существенно то, что при моделировании мышления последнее квантуется на дискретные „атомы", что приводит к значительному огрублению моделируемого процесса. Во-первых, социальная информация при этом полностью очищается от эмоциональной окраски и тем самым утрачивается эта, подчас очень важная, ее составляющая. А во-вторых, в моделируемом процессе фиксируется главным образом дискретность (и, следовательно, в основном устойчивость) мыслительной деятельности. В итоге вероятностный (стохастический) процесс, имеющий прерывно-непрерывный характер, превращается в однозначно детерминированный (даже в случае использования „вероятностных", в частности „эвристических", программ).

Отсюда следует, что понятийное мышление не воспроизводится ЭВМ, а только (более или менее успешно) моделируется, имитируется в весьма урезанном виде, что у машины отсутствует сознание, которое является продуктом общественно-исторического развития и имеет прерывно-непрерывную структуру, вероятностный характер, как и отображаемые процессы естественного происхождения.

Особого внимания заслуживает родство, общность математической логики с теорией множеств. Как далеко распространяется эта близость, можно судить по тому, что в математической логике используется аппарат теории множеств. Так, сумма двух множеств А + В в математической логике тоже выглядит как А V В (читается „А или В"); произведение этих двух множеств А • В записывается как А А В (читается „А и В"); операции дополнения (теории множеств) соответствует отрицание „не-А"; закон исключенного третьего выражается как А V А.

Как видим, основные операции математической логики и теории множеств соответствуют друг другу, что подтверждает положение о значительной роли последней в современной науке, о возможности и необходимости ее использования для развития теории чисел, а в какой-то степени и в исследованиях в области геометрии91.

Это обстоятельство и дает нам право говорить о математической логике как об особой области современной математики, смыкающейся с теорией множеств. Вмсае с гем оно объясняет, почему значение любого термина в искусственном языке, равно как и в традиционной логике, оказывается иным, менее богатым, но зато четко фиксированным, однозначным и в этом смысле более „точным", чем в логике диалектической, которая рассматривает понятия в их развитии и взаимосвязи.

В философском плане важно учитывать, что создание математической логики связано с использованием обычной математической символики и последующим окончательным отвлечением от содержания высказываний, за исключением оценки в части их истинности или ложности (суждения в традиционной формальной логике отвлекаются от содержания лишь постольку, поскольку понятия здесь оказываются дискретными и выражают главным образом момент устойчивости мышления).

Соответственно, семантика и синтаксис применительно к искусственному языку оказываются иными, имеют несколько другой смысл, чем эти разделы семиотики в сфере естественного языка. Иначе говоря, одни и те же понятия в формальной логике и обычных, в том числе философских, науках имеют разное значение, несут различную информационную нагрузку. В ходе формализации в конце концов происходит полное отвлечение от содержания высказываний.

Чтобы все отмеченное не выглядело декларативно, остановимся кратко на проблеме формализации, тем более, что уяснение ее сути служит ключом к решению вопроса о возможностях математического моделирования, который стал особенно актуальным в связи с широким использованием ЭВМ в разных сферах общественной жизни - науке, технике, производстве и управлении.

Если в начале XX в. аппарат математической логики пытались применять преимущественно в целях обоснования математики путем ее полной формализации (Гильберт и др.), то в середине нашего столетия, когда стало ясно, что этого достичь невозможно даже в теории арифметики натуральных чисел, математическая логика стала использоваться главным образом для частичной формализации каких-либо фрагментов научного знайия и, как правило, последующего составления программ для ЭВМ.

Формализация в широком смысле этого слова возникла вместе о мышлением и языком. Дело в том, что любая, идеальная по своей природе мысль выражается с помощью знаков какого-либо языка. А они, в том числе и сложные знаки естественного языка, в качестве которых выступают слова, есть не что иное, как внешняя форма выражения мысли, нечто дискретное и материальное.

С появлением и развитием науки специальные знаки стали использоваться для замещения целых понятий и более сложных смысловых объектов. Процесс этот особенно интенсивно происходил, разумеется, в математике, которую вообще невозможно себе представить в качестве теории, не использующей специальных знаков92. Впрочем, искусственные языки давно уже не сводятся к тем, которые используются математикой (тем более, к алгоритмическим языкам типа АЛГОЛ, БЕЙСИК, КОБОЛ и т. п.); широкое применение нашла символизация в химии и других естественных, а также технических науках.

Под формализацией в узком, собственном смысле понимается такой теоретико-познавательный прием, при использовании которого теория и ее язык подвергаются обработке и анализу средствами математической логики. В итоге содержательная теория предстает в виде формальной системы, или исчисления93. (Далее мы будем иметь дело именно с таким значением термина „формализация".)

Бытует мнение, что важнейшая особенность формализации заключается в том, что в процессе ее происходит уточнение содержания теории через выявление и фиксацию формы94. Более точно сущность этого процесса можно выявить, если будет учитываться то обстоятельство, что в ходе логического анализа языка науки фиксируется внутренняя форма мыслительной деятельности, момент ее дискретности прежде всего. Таким образом удерживается значительная часть социальной информации, т. е. идеального содержания, заключенного в словах естественного языка.

Утрата части информации неизбежно происходит в результате огрубления и обеднения мыслительной деятельности как опосредованного и обобщенного отражения развивающейся внешней действительности. В силу этого семиотические аспекты знаковых систем искусственного происхождения оказываются иными, менее богатыми, чем у естественного языка, выражающего различные компоненты ситуации при обмене информацией между людьми, общении.

Вместе с тем необходимо отметить, что в ходе формализации осуществляется не только систематизация научного знания (т. е. уточнение понятий и связей между рими, четкое определение терминов). Происходит, кроме того, приращение знаний,чему способствует формальная логика. Еще Ф.Энгельс, критикуя Дюринга, пытавшегося отвести диалектике роль инструмента простого доказывания, писал: „Даже формальная логика представляет собой прежде всего метод для отыскания новых результатов, для перехода от известного к неизвестному..."95

Важное методологическое значение имеет также проблема соотношения содержательного и формального в теории 120. Ее правильное освещение позволяет ответить на вопрос о границах и принципиальных возможностях формализации как одного из распространенных в наше время методов познания.

Данная проблема часто рассматривается как вопрос о соотношении дискурсивного и интуитивного в мыслительной деятельности человека. Суть не только в способности диалектики выражать движение понятий, но и в том, что мышление не происходит в чистом виде; оно оказывается в обрамлении различных компонентов неосознанной психической деятельности, так что социальная информация как ее результат оказывается сложным и многоплановым явлением, в котором даже эмоциональная окраска имеет существенный информационный оттенок, несет вполне определенную нагрузку.

Деятельность мозга представляет собой сложный информационный процесс, лишь небольшая часть которого „прорывается" в сферу осознанного. Но и оставшиеся вне его элементы психической деятельности несут значительную нагрузку. Вот почему социальная информация оказывается не стерильной, а эмоциональна окрашенной. В этом находит свое выражение ценностное отношение субъекта к отражаемой действительности, что очень важно для ученых, изобретателей. Совершать научные открытия помогает им интуиция, когда решение проблемы приходит внезапно, путем своеобразного озарения. Не случайно математики говорят, что надо угадать'теорему прежде, чем ее доказать.

В связи с этим интуицию нельзя противопоставлять логике, и опрометчиво выдвинутый два десятка лет тому назад тезис „точность, а не интуиция" ныне заменен на противоположный — „интуиция плюс точность". Сознание, как и отражаемый в нем внешний мир, имеет вероятностный и прерывно-непрерывный характер, в то время как логические (дискурсивные) формы мышления свободны от элементов случайности и непрерывности. Отсюда и принципиальная несводимость мыслительной деятельности человека к формально-логическим операциям (тем более, повторяем, что они всегда осуществляются в обрамлении элементов неосознанного).

В рамках формальной логики знания значительно обедняются, „очищаясь" от элементов неосознанной психической деятельности. В результате же дальнейшей формализации, когда происходит полное отвлечение от содержания высказываний, социальная информация утрачивает свой двойственный, так сказать, идеально-материальный характер. Теперь она оказывается совокупностью, целесообразно упорядоченной системой знаков искусственного языка. Методически в высшей степени важно учитьюать, что последняя - далеко не то же самое, что материальные объекты в виде слов естественного языка (какого-либо сообщения, текста книги и т. п.). Качественное отличие информации, полученной в результате формализации, от той внешней формы, в которой она до этого выражалась, от ее материального носителя очевидно и крайне существенно. В противном случае можно прийти к ошибочному выводу, будто в ЭВМ воспроизводится лишь внешняя форма мыслительного содержания.

Как мы уже говорили, в ходе формализации часть социальной информации, идеального содержания текста неизменно, утрачивается за счет вьюужденного огрубления мыслительной деятельности субъекта. Отсюда понятно, почему, говоря языком математики, „семантика не сводится к синтаксису" (А.Тарский), почему в результате формализации мы неизмен-, но имеем содержательный остаток. \

Программа „сведения семантики к синтаксису", точнее сказать, полной' формализации какой-либо научной теории 1 (хотя бы даже математического характера), которую выдвинул j в свое время Гильберт (а несколько позже пытался по-своему j решить позитивист Р. Карнап)* оказалась утопичной: в любом случае остается неформализуемая часть. Можно, конечно, уменьшить эту часть путем использования более богатых формальных средств, но в принципе она всегда остается. Бо-; лее того, как уже отмечалось выше, Гёделем фактически былаа доказана неполнота формальных систем и показана несостоя* тельность гильбертовской программы обоснования математик ки путем формализации последней средствами математической логики.

Выводы Гёделя свидетельствуют также о том, что чиста логическим путем невозможно преодолеть трудности, возни кающие в ходе полной формализации теорий, о чем более по-«

64 і

I дробно пойдет речь в § 1 главы III. А пока обратим внимание на одно очень важное в теоретическом отношении обстоятельство. Суть его заключается в том, что в результате формализации и последующего составления алгоритмов и программ для ЭВМ происходит своеобразная остановка движения мыслительной деятельности, расчленение последней на „кванты" („атомарные высказывания") и последующая имитация движения понятий в урезанном виде, в рамках однозначных зависимостей96.

В связи с этим можно говорить о наличии „барьера стоха- стичности" при моделировании понятийного мышления, напоминающего биологическую несовместимость, имеющую место в случае трансплантации органов тела одного человека другому (если они не являются однояйцевыми близнецами).

<< | >>
Источник: Жуков Н.И.. Философские основания математики Мн.: Университетское.- 110 с.. 1990

Еще по теме § 2. Математическая логика как выражение общности дискретной математики и традиционной логики:

  1. Сближение .математики с логикой. Становление математической логики.
  2. II. ОРГАНИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ Соотношения диалектики и формальной логики
  3. § 4. Объектно-вещная активность в облачении категории деятельности: логика самоутверждения субъекта как логика самоутраты
  4. Глава II ОРГАНИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ
  5. Лекция I, Логика и Математика
  6. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА МАРКСИЗМА — ЛОГИКА НОВОГО ТИПА
  7. 6. ЛОГИКА, РИТОРИКА И ПОЭТИКА 6.1. Логика, или "аналитика"
  8. 3. ЛОГИКА КАК ОСНОВА ОНТОЛОГИИ
  9. Социология как «логико-экспериментальная наука»
  10. Консерватизм как отвержение логики истории
  11. 1. Логика как отображение бытия и проблема абстрактного и конкретного
  12. 4. ВОСХОЖДЕНИЕ ОТ АБСТРАКТНОГО К КОНКРЕТНОМУ КАК ПРИНЦИП диалектической логики
  13. Индуктивная логика как методология социальных наук. Проблема метода
  14. ТРАДИЦИОННЫЕ И СОВРЕМЕННЫЕ ОБЩНОСТИ
  15. § 2. ФОРМИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ГРАФИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ В ЛОГИКЕ ОСВОЕНИЯЕГО КАК ОДНОГО ИЗ ВИДОВЗНАКОВО-СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ