Лекция I, Логика и Математика

исходные положения очевидно имеют место 2)

все те положения, которые связываются цепью силлогизмов с ними должны быть, как и он, истинны.

Из двух посылок силлогизмом извлекаем третье предложение - заключение. Если мы изобразим точками всю совокупность положений какой-либо математической дисциплины, например элементарной геометрии, и точку А, отвечающую какому-нибудь положению будем соединять прямыми с В, С, D... положениями, из которых А выводится, то получим сеть, которая начинается в точках, отвечающих начальным т.е. очевидным положениям. Можно сказать, что математика обычно интересуется не самой сетью, а только ее узлами. Для нее важно указать какой-нибудь путь, ведущий от очевидных положений А, В, С, D... к интересующему его положению G, существование которого почему-либо подозревается и, если этот путь найден, то математик со спокойной совестью может сказать, что положение G им доказано. Более же глубоким, но еще не успевшим внедриться во все области математики является взгляд, по которому исследование логической сети является не менее важным, чем исследование ее узлов. Нужно предполагать, что логический анализ в будущем будет приобретать все большее и большее значение и интеллектуальная совесть математика будущего времени будет гораздо чувствительнее, он будет искать не какой-нибудь путь от А, В, С...

На первый взгляд кажется, что подобные исследования не предмет математики, а предмет логики.

Конечно, основания подобных исследований черпаются в логике, но результаты, которые получаются путем логических исследований, относятся, тем не менее, к математике.

Возьмем силлогизм т.е. одно из звеньев упомянутой выше логической сети (например 1-ю фигуру) А есть В все В есть С следовательно А есть С.

Им утверждается, что А присуще некоторое свойство (С) определяющее принадлежность А к классу и именно потому, что ему присуще свойство (В).

Можно сказать, что, делая это заключение мы пользуемся только одним из свойств объекта А. Но ведь тому же объекту А могут быть присущи еще другие свойства (Е), (F), (G)... отнюдь не необходимо связанные с (В). Эти последние в нашей логической операции остаются логически не действующими.

Объект А мы могли бы заменить другим объектом Л, которому было бы присуще свойство (В), но признаки (Е) (F) (G)... были бы заменены другими (е),(f),(g)...

Иван - человек, все люди смертны: следовательно Иван смертен. Иван человек, но Иван может быть стар, высок, худ. Но я могу также сказать:

Петр - человек, Все люди смертны следовательно Петр смертен. Хотя Петр в противоположность Ивану может быть молод, низок и толст.

Вместо одного звена, можно взять несколько звеньев, т.е. некоторую логическую цепь, начинающуюся аксиомами. Мы будем тогда доказывать, что объекту

А присущи свойства: а', а", а"'...

В Ь',Ь",Ь"'...

С с', с", с"'...

При этом мы можем использовать не все признаки А, В, С... а только

А а', а", а"'

В Р\ р", |У"

С у', у",у"

наличность которых утверждается системой использованных нами аксиом.

Таким образом нами будет доказываться, что А присущи свойства: а', а", а"'...

В: b',b",b"'...C: с',с",с"'..только потому, что А присущи: а',а",а'"...В: [}',|3",(}'"...С: у',у",у'"...

Если бы А, В, С...

Р',Р",Р"'... У',У",У'"-- то таковые следует признать логически не действующими. Заменяя их другими а', а", а"'...р',(і",р'"...у',у",у'"..., мы получаем вместо А, В, С... новые объекты А, В, С,., относительно которых должны утверждать то же, что о А, В, С.., т.е. наличность для Асвойства: а',а",а"'..., для

В: b',b",b"'.. для С: с',с",с'" и т.д.

Мы будем иметь таким образом одну логическую схему для различных объектов: А, В, С... и А,В,С...

Можно назвать (А,В,С...) и (А, В, С... ) логическими эквивалентами относительно взятой системы постулатов.

В современной геометрии имеет огромное значение эквивалентность точки и прямой относительно одной группы аксиом. Все геометрические свойства можно разделить на две довольно обширные категории.

Теорема Пифагора устанавливает известную зависимость между длинами гипотенузы у катетов. Это не что иное, как соотношение между результатами некоторых измерений. Такие свойства, которые зависят от какого-либо сравнения или, лучше сказать, измерения величин, называются метрическими. Такого рода свойствами занимается почти исключительно низшая, элементарная геометрия.

Но существуют еще совершенно другого рода свойства. Эти последние совершенно не зависят от измерения. Это так называемые зрительные свойства.

Они определяются взаимным расположением геометрических объектов, но при этом предполагается, что это расположение определяется не измерением, а зрительной интуицией весьма общего типа.

На вопрос: "где точка?" - следует отвечать не "на таком-то расстоянии от прямой вправо или влево", а "на прямой, направо или налево".

На вопрос: "где прямая?" - следует отвечать, "на плоскости или в ту или другую сторону от нее" и т.д.

Ясное представление о зрительных свойствах дают уже зрительные аксиомы, относящиеся к основным элементам геометрии.

На плоскости:

Две точки определяют одну прямую, через них проходящую.

Две прямые определяют одну точку их пересечения.

Эти аксиомы обыкновенно формулируют так:

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две прямые определяют точку им принадлежащую.

В пространстве:

Три точки, не принадлежащие одной прямой, определяют плоскость.

Три плоскости, не принадлежащие одной прямой, определяют точку.

Две точки определяют прямую, им принадлежащую.

Две плоскости определяют прямую, им принадлежащую.

И другие.

Мы не будем перечислять все зрительные аксиомы, но отметим следующее их свойство, которое можно легко усмотреть и на четырех только что приведенных.

Каждой зрительной аксиоме отвечает ей взаимная, получаемая заменой плоскости на точку, точки на плоскости (прямая остается на месте).

Из системы зрительных аксиом выводится зрительная геометрия или геометрия положения - главная и важнейшая часть проективной геометрии.

Можно сказать теперь, что веете свойства точки, прямой и плоскости присущи им только потому, что точке, согласно зрительным аксиомам, присущи свойства а', а", а"'.., а плоскости (3', |3", Р"'...

Таким образом, для доказательств а зрительных теорем имеет значение не то, что плоскость представляется интуицией совершенно в ином виде, чем точка, а то, что три точки определяют плоскость, две точки - прямую и т.д.

Так как согласно двойственности аксиом мы можем приписать плоскости свойства а', а", а"'.., а точке [свойства] р', р", [3"'.., то мы будем иметь логическую эквивалентность [А (точки), В (прямой), С (плоскости)]

и [ А (плоскости), В (прямой), с (точки)], взаимные положения будут существовать не только для аксиом, но и для всякой зрительной теоремы.

Мы, таким образом, получаем закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое заменой точки на плоскость и плоскости на точку.

Приведем примеры двух взаимных теорем.

Молено сказать, что прямые, между собой пересекающиеся, т.е.

Взаимная теорема:

Прямые, между собой пересекающиеся, т.е. лежащие попарно в одной плоскости и не проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости.

Существует теорема плоской зрительной геометрии, которую доказывают стереометрическим и соображениями - это теорема Дезарга. В двух треугольниках ABC и А,В, С, соответствующие вершины которых лежат на прямых, проходящих через одну точку, соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и [существует] теорема ей обратная.

Эта теорема вместе с плоскостными зрительным теоремами представляет основание зрительной плоскостной геометрии. Легко усмотреть в этих основных положениях тоже двойственность, существование взаим- пых положений, получаемых обменом точки и прямой. В плоскостной геометрии имеет место закон двойственности:

Каждому зрительному положению отвечает взаимное, получаемое взаимным обмеЕіом точки и прямой.

Теореме Паскаля; во вписанном в кривую второго порядка шестиугольнике противоположные стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, отвечает, как взаимная, теорема Брианшона: в описанном около кривой второго ісласса (или, что то же самое, второго порядка) шестиугольнике прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке1.

Логический эквивалент является главным орудием исследования логической сети. Предположим, что мы имеем ряд независимых постулатов, т.е. таких, что ии один из них не может быть выведен из остальных. Каким образом решается следующая основная задача: теорема G выводится из постулатов А, В, С, D..., как убедиться в том, что эта теорема не может быть выведена из меньшего числа постулатов, например, [из] А, В, С.

Для решения этого вопроса следует только подыскать к исследуемым объектам Р, Q, R... их эквиваленты относительно постулатов:

А,В,С: P,Q,R... Если теперь для Р,Q, R...не имеет места теорема G, то

следует безусловно заключить, что G не может быть выведено из А, В, С.

Так можно доказать, что теорема Дезарга не может быть выведена из одних плоскостных зрительных аксиом.

Чтобы убедиться в этом, можно употребить, согласно Гильберту, следующие логические эквиваленты прямой относительно системы зрительных аксиом.

Берем эллипс С, который назовем основной окружностью, и точку Р (основную точку) вне ее. Назовем пропрямой такой объект, который совпадает со всякой прямой, не пересекающей основную окружность. Если нее прямая пересекает основную окружность в точках А, В, то пропрямой будет объект, образованный частью прямой вне этого эллипса и кругом, проходящим через А, и основную точку Р.

Пропрямая представляет [собой] эквивалент прямой, так как простые геометрические соображения убеждают, что при надлежащем выборе эллипса:

Две точки определяют пропрямую.

Две пропрямые определяют одну и только одну точку, им принадлежащую и т.д.

Если бы теорема Дезарга могла быть выведена из плоскостных зрительных аксиом, то соответствующие стороны-пропрямые двух про- треугольников пересекались бы в точках, лежащих на одной пропрямой, если соответствующие вершины лежат на пропрямых, проходящих через одну точку. Но пример, в котором вершины берут то внутри, то вне окружности С, легко убеждает нас в противном.

С помощью логических эквивалентов доказывается также возможность неевклидовых геометрий.

Неевклидовой геометрией называется геометрия, в основе которой лежит отрицание 11-й евклидовой аксиомы или ей равносильной аксиомы о параллельных, состоящей в том, что из данной точки можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если принять все аксиомы евклидовых "Начал", кроме 11-й2, то мы получим геометрию Лобачевского.

В этой геометрии из данной точки можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную, заключающихся между двумя предельными прямыми, которые Лобачевский называет параллельными.

Геометрия Лобачевского может быть развита, как и геометрия Евклида, не встречая логических противоречий, но приводя к теоремам, в большей или меньшей мере идущим против интуиции.

По геометрии Лобачевского, сумма углов в треугольнике меньше двух прямых и т.д.

Меньшая степень очевидности аксиомы о параллельных линиях (и еще меньшая 11-й евклидовой аксиомы) в сравнении с другими евклидовыми аксиомами убеждала математиков в ее зависимости от более очевидных положений.

Как известно, в продолжение 2000 лет математики старались ее доказать.

Труды Лобачевского составляют эпоху в геометрии, в них заложено зерно логическо-математических исследований. Лобачевский не доказал 11-й аксиомы, не доказал и невозможность такого доказательства, т.е. независимость этой аксиомы от других евклидовых аксиом. Он дал систему геометрии, вполне отвечающей евклидовой, в основе которой лежало отрицание аксиомы о параллельных и которая была свободна от всяких логических противоречий.

За его работой должно было последовать исследование, доказывающее, что и при дальнейшем своем продолжении геометрия Лобачевского не может встретить противоречия.

Для этого необходимо было отыскать объекты, реализованные в обыкновенной евклидовой геометрии, представляющие [собой] эквиваленты плоскостей, прямых и точек относительно тех зрительных и метрических аксиом евклидовой геометрии, которые остаются по исключении аксиомы о параллельных.

Путь, избранный Бельтрами (который ограничивался лишь плоской геометрией) был следующим: за эквиваленты прямых геометрии Лобачевского ои принимал геодезические линии на некоторой поверхности (псевдосферы).

Эти геодезические линии определяются двумя точками, могут быть безгранично продолжены и т.д.

Через данную точку проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную геодезическую линию и заключающихся между двумя геодезическими линиями. К сожалению, задача не была вполне решена. Бельтрами было доказано, что геометрия псевдосферы только в некоторой определенной области совпадает с геометрией Лобачевского.

Другие эквиваленты, например, указанные Клейном, более успешно привели к цели. Установив общую логическую схему для различных объектов

А,В,С... и А,В,С...

естественно искать субстраты для этой схемы, понятия более широкого объема, чем А, В, С... А, В, С...; классы, видами которых являются, как

А, В, С., таки А,В,С.. .

Упомянутые выше двойственные зрительные аксиомы и выводимые из них двойственные теоремы могут быть заменены единичными, объединяющими каждую пару, если установить чисто абстрактные объекты: 1)

элементы — которыми могут быть как точки, так и плоскости 2)

носители первой ступени - прямые

второй ступени - плоскости или точки.

Тогда аксиомы об определяемости тремя точкам плоскости, и тремя плоскостями точки объединяются в следующей абстрактной аксиоме:

Три элемента, не принадлежащие одному носителю первой ступени, определяют носителя второй ступени.

Итак, наш логический анализ ведет нас к построению все более и более общих классов, ведет от объектов интуиции к все более и более абстрактным объектам.

Он вскрывает дальше, что некоторые математические понятия подходят под чисто логические понятия. И многие теоремы вытекают из некоторых свойств, наличность которых может быть установлена для этих логических объектов, не математизируя их.

В высокой степени интересна и поучительна история идеи группы, одной из кардинальных идей современной математики.

Предположим, что мы имеем совокупность некоторых объектов: я,. аг,ау..а^..(а)

и некоторую операцию Р, которую мы производим над некоторыми числами этих объектов. Операция эта может дать, или не дать результата.

Если результат получается, то он может не принадлежать совокупности (о). Если результаты операции Р приводят всегда к объектам (а), то последняя совокупность объектов будет группой относительно операции Р.

Возьмем совокупность целых чисел. Мы будем иметь группы относительно сложения и вычитания, ибо сложение и вычитание целых чисел приводит опять к целым числам. Таким же образом целые положительные числа будут группой относительно сложения.

Совокупность рациональных чисел будет представлять группу относительно всех четырех арифметических действий.

Приведем еще геометрический пример. За операцию Р будем считать определение по трем точкам четвертой гармонической: тогда совокупность всех точек прямой (пушсгуал) будет представлять [собой] группу. Понятие группы, конечно, чисто логическое понятие. Это понятие, разумеется, более широкое, чем число, ибо только частью арифметических аксиом утверждается следующее свойство чисел: что их совокупность относительно 4-х арифметических действий образует группу.

Идея группы может выступить и там, где нет никакого намека на математику Можно, например, сказать, что все человечество относительно брака образует группу.

За упомянутые объекты: ар о,... можно принять также некоторые операции.

В этом случае Р будет операцией над операциями. За Р обычно принимают просто соединение двух операций, т.е. совершение двух операций в последовательном порядке.

Тогда определением группы будет условие: а а = а

т.е. последовательное совершение двух операции - совокупность (а), равносильно одной операции (а).

Группу операций образует совокупность всех проективных преобразований.

Проективное преобразование иа прямой определяется формулой

, _ ах + b сх + d '

связующей координату точки с координатой ее преобразования (образа). Совокупность двух проективных преобразований

ах + b а'х' + Ь' х'= , х" =-

cx+d c'x' + d' дает проективное преобразование:

ах + 13

х"= -

ух+5

Не останавливаясь на многочисленных примерах групп, укажем на то, что молено доказать ряд теорем, относящихся к группе, правда не наиболее общего типа, но столь общего, что под него подходят все те труппы преобразований, с которыми до сих пор имела дело математика. Для этого следует установить ряд постулатов, определяющих тип группы, который молено назвать нормальным.

Молено написать их в символической форме, обозначая через операцию и имея в виду, что а о Ь вообще отлично от b о а.

I) а о Ь = с, т. е. всегда имеется результат, причем, согласно определению группы, оно входит в совокупность а, Ь, с.., П) ( а о Ь) о с ~ а о (Ь ° с) (ассо-циативный закон), III )Іоі = І

(постулируется существование идемпотента (т.е. каким является 1 для умножения, 0 или 1 для сложения))

-IV) постулируется единственность идемпотента, V) модулей направо и налево а о і = а і о а = а

,1 s

VI) взаимных элементов ,

а о а' , = і а' о а = /

«і %

Это постулаты. Основываясь на них молено доказать теоремы:

Тождество обоих модулей и обоих взаимных элементов. Если сто Ь = а о Ь' то b = b'.

Существование решения уравнения а о х = b и т.д. Отсюда мы видим, что, идя по пути обобщения, мы приходим к понятию чисто логическому; не меняя самого метода исследования, мы исследуем это понятие, доказываем ряд теорем, употребляя символику, подобную математической.

Отсюда вполне естественно вытекает стремление свести все математические понятия и аксиомы к чисто логическим, найти чисто логические субстраты тем логическим схемам, в которые укладывается арифметика и геометрия.

Это направление принадлежит школе логиков, [к которым относятся] Пеано, Рассел, Кутюра и т.д.

В основу арифметики и геометрии они кладут чисто логические аксиомы, арифметические и геометрические объекты они определяют логически.

Сводя операции формальной логики к нескольким основным, они приводят их к операциям над символами и таким образом в логике мыслят математически.

Таким образом, если так можно выразиться, производится единовременно и логизация математики и математизация логики.

Но это сближение, или это поглощение математики логикой, становится возможно только при расширении старой классической логики, при включении в нее новых элементов.

Прежде всего приходится развивать наряду с логикой классов, каковой является классическая логика, еще логику предложений.

Классическая логика изучает операции над классами. Классический силлогизм представляет [собой] включение и исключение индивидуумов и видов в классы и из классов.

"л есть by b есть с, следовательно, а есть с" представляет [собой] такую операцию:

"а, принадлежащее классу Ь, включается в класс с, ибо Ь принадлежит

с".

Но в том же силлогизме можно видеть операцию над предложениями, установку связи между большой посылкой и заключением. Заключение вытекает из большой посылки в силу малой посылки.

Таким образом операция силлогизма подводится под весьма общее понятие выведения. Из предложения р может вытекать предложение q в силу малой посылки, но можно рассматривать этот вывод p->q совершенно независимо от того, что обуславливает этот вывод. Можно рассматривать вывод p^q просто как факт.

Логика предложений раскрывает нам, что не все логические операции сводятся к приложению принципов тождества и противоречия.

Но этого мало. Силлогизм устанавливает отношение индивидуума к класс)'. Понятие отношения - предмет логики, но не всякое отношение есть отношение индивидуума к классу. Необходимо поэтому логику предложений и логику классов дополнить логикой отношений.

Но логики имеют немало врагов.

Пуанкаре видит в их определениях ложный круг, определение неизвестного через неизвестное.

В особенности резким выступает это в определении Кутюром единицы:

% "Один, - говорит Кутюра, - есть число элементов класса, два любых элемента которого тождественны".

Один здесь определяется через два, и, если бы Кутюра попросили определить два, то, по мнению Пуанкаре, он определил бы два через единицу.

Мы не считаем, что логики были бы так виноваты, как это представляется Пуанкаре, чтобы все их определения грешили бы в том же отношении.

Приведенное выше словесное определение освободится от этого обвинения, если его несколько иначе выразить:

"Один есть число элементов класса со всеми тождественными . элементами".

Число два, неприятно резавшее ухо, исчезло.

Класс со всеми тождественными элементами - это вместе с тем [есть] тот [класс], в котором любые два элемента являются тождественными.

Обнаружимость тождественности любых двух элементов - это не характерный признак, служащий определением такого класса, а только лучший способ проверки, что данный класс именно таков.

Здесь делается такая же ошибка, как при определении равных треугольников их конгруэнтностью, т.е. возможностью полного положения одного на другой. На это последнее свойство следует смотреть как на свойство, определяемое некоторой аксиомой, имеющей место для треугольников (в то время, как аналогичная аксиома не имеет места для тетраэдров): из нее вытекает способ для удостоверения в равенстве треугольников.

Но я вполне согласен, что логики не дали чисто логических определений арифметических объектов, да и не могут их дать.

Всякое истинное определение должно однозначно соответствовать определяемому объекту, но, конечно, такого соответствия в определениях логиков не имеется.

Говоря о логиках, мы приходим к вопросу о математических определениях, причем будем говорить только о геометрических определениях.

Вот два кардинальных вопроса, касающиеся математических определений: что можно определить и какую роль играет определение в математическом доказательстве?

Очевидно, не все может быть определено. Если логики и стараются логически определить число, то конечно, они не имеют никакого

намерения определить логические термины, входящие в их определения.

Основные геометрические элементы: плоскость, прямая и точки и связи между ними являются неопределимыми геометрическими объектами.

Можно выставлять как определение те основные постулаты, которым подчиняются эти элементы. Но постулаты эти не определяют ни каждый в отдельности, ни даже все вместе ни точки, ни прямой, ни плоскости.

Те признаки, которыми приходится дополнять признаки, задаваемые постулатами, определяются интуицией и выразить их логическими терминами настолько же возможно, как объяснить цвет слепому с помощью звуков.

Всякая попытка определить, например, точку, приводит в лучшем случае к определению точки с помощью других интуитивных данных, в худшем - к определению х через X.

Определения могут быть чисто словесными сокращениями - тогда [мы] будем иметь поминальные.определения.

Пример номинального определения: катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

Роль номинального определения вполне ясна. Номинальное определение сокращает изложение доказательства, дает возможность вместо того, чтобы каждый раз говорить "сторона прямоугольного треугольника" и т.д., употреблять одно слово "катет".

Так что логического, в собственном смысле, значения номинальное определение не имеет.

Но, конечно, не все геометрические определения таковы. Нельзя назвать обычное определение круга номинальным.

Некоторые относят это определение к генетическим и считают, что кроме номинальных определений в геометрии возможны только генетические, т.е. такие, в которых дается способ образования определяемого объекта с помощью известных элементов.

Определяя окружность как геометрическое место точек, отстоящих на одно и тоже расстояние от данной точки, мы вовсе не указываем этим способ образования или вычерчивания круга (хотя это сейчас же выводится из его определения). Мы определяем совокупность точек (пун- ісіуал), удовлетворяющих определенному условию. Этому пунктуалу отвечает одна и только одна определенная кривая - носитель этого пуик- туала. Пушсгуал ие составляет кривой, ио он однозначно с ней связан.

Таким образом дело обстоит так:

Объект В дается заданием объекта А, однозначно с ним связанного, т.е. таким, что, если дается А, то вместе с тем дан В и если дан В, то дан и А. Но связь между /1 и Вне может быть определена в логических терминах, а дается только интуицией. В этом случае имеет место логическая эквивалентность А и В, как для постулатов, так и для выводимых из них положений. Так, в предложении: "две точки определяют пунктуал", пунктуал можно заменить прямой и сказать: "две точки определяют прямую".