§10. История смешанных углов.

Совершенно верно, что метод схоластической философии отличается от метода той философии, которая развивается от Декарта до Канта.

Совершенно таким же образом и в схоластической философии можно увидеть в искаженном виде все важные идеи, из нее эволюционировавшей философской мысли.

Бесконечно малое в неясной форме выступает и в тумане средне- вковой мысли.

Этот туман начинает рассеиваться в эпоху возрождения. Метафизическое бесконечно малое начинает свою математическую жизнь.

В эпоху Петра Рамуса Вы видите не эмбрион современной научной мысли, а ребенка, правда, еще очень слабого, не могущего самостоятельно стоять на ногах. Прислушайтесь к тому, что говорят комментаторы Евклида, который является для математика XVI века таким же безошибочным, как Аристотель для философов XI века, и Вы легко усмотрите, откуда произошло неделимое, бесконечно малое XVII века.

До Кеплера и Кавальєри следует изучить Кардана, Клавия и Пеле- тария, а в особенности ожесточенный спор последних о 16-й теореме 3-й книги "Начал" Евклида81.

"Прямая, проведенная от конца поперечника круга под прямыми к оному углами, падает вне круга; в пространства лее между прямой и окружностью ие может упасть другая прямая; и угол полуокружия есть больше всякого прямолинейного угла, а остальной меньше".

Доказательство Евклидом ведется от противного.

Предполагается, что перпендикуляр ЇІЗ точки А к диаметру АС лежит внутри круга.

Черт. 7.

Предполагая между окружностью и AF прямую AG, не встречающую окружности. из О опускаем перпендикуляр OD на AG. Тогда OA (как наклонная) > OD, чего быть не может, ибо OD > OA.

Отсюда выводится уже не Евклидом, а Проклом82 следствие, что угол CAT касания менее всякого прямолинейного угла.

Такой угол, меньший всякого прямолинейного угла представляет ли собой величину?

Вот математическая проблема XVI века, в обсуждении которой они пользовались чисто схоластическим методом.

Проблема идет о возможности подведения угла касания под класс величины.

Но самый класс величин ие определяется, он извлекается путем своего рода рефлексии уже готовым, и различные его свойства еще полней его определяющие извлекаются по мере надобности.

Это большое заблуждение - приравнивать схоластические споры к словесным спорам и видеть решение их проблем в надлежащем выборе терминов.

Если мы теперь не рассуждаем об угле касания, то вовсе не потому, что мы имеем правильное решение проблемы, волновавшей Клавия и Пе- летария, а просто потому, что мы такого рода проблемы исключили из области математических исследований, мы разочаровались в возможности математизации сравнения прямолинейных и криволинейных углов, хотя в нематематизированном мышлении мы производим такое сравнение.

Нельзя считать решением ссылку на то, что угол между прямой и кривой - это угол между этой прямой и касательной к кривой, на основании которой все углы касания равны нулю. То, что мы назовем до начала математического изучения и следовательно то, что дается упомянутой выше рефлексией - углом между кривыми (хотя бы мы и не были в силах это точно формулировать словами), конечно, ие тождествено углу между их касательными.

Эти два угла равны только в том случае, если признать угол касания равным нулю, так что упомянутый выше аргумент может родить только ложный круг.

"Угол между кривыми есть угол между касательными" ? это или чисто номинальное определение, где термин "угол" употребляется в смысле безусловно расходящемся с тем, которое уже находилось раньше в нашем уме, или лее представляет положение, выдаваемое за аксиому, что наклонение двух кривых измеряется наклонением их касательных.

Но при этом, в этой формулировке, содержится гораздо больше, чем то, что может быть признано очевидным.

Очевидна не пропорциональность этих наклонений, которую невозможно было бы установить, ибо для этого необходим был бы третий член ~ мера наклонения двух кривых, соответствующая дуге-мере наклонения двух прямых.

В 3-й книге "Начал" Евклида есть две интересные загадки:

Определения 7 и 11-е. 7-

е. Угол отрезка (сегмента) есть тот, который содержится прямою и окружностью круга.

Так что этот смешанный угол, образованный дугой круга и прямой, угол сегмента, не следует смешивать с углом в сегменте, о котором говорится в определении 8. 8-

е. Когда на дуге отрезка, возьмется какая ни есть точка, и от оной к концам прямой, которая есть основание отрезка протянутся прямые, то содержимый протянутыми прямыми угол называется углом в отрезке (в сегменте).

11-е. Подобные отрезки круга суть те, кои вмещают равные углы, или в коих углы взаимно равны.

Ніг в одном из своих доказательств Евклид ие пользуется смешанным углом.

Теорему 24: "На равных прямых подобные отрезки (сегменты) кругов равны", Евклид доказывает на основании 23-й: "На той же прямой и по ту же ее сторону не моїут быть составлены два отрезка кругов подобные и неравные".

В 11-м определении совершенно непонятное повторение одного и того же определения. Мне представляется весьма вероятной следующая гипотеза: "Сперва определение подобия сегментов было: "кои имеют равные углы" соответственно определению подобия треугольников 6-й книге "Начал".

Теорема 24-я о равенстве подобных сегментов на равных прямых доказывалась наложением ( в роде т. 4 I книги).

Причем, как в теор. 4 для прямолинейных углов, так и здесь для смешанных обращалась 8 аксиома 1-й книги: "Совмещающиеся взаимно взаимно равны", т.е. при равенстве углов постулировалась возможность их совмещения.

Возражения против очевидности такого совмещения и вынудили произвести изменение, подставить на место определения (см. вторую часть опред. 11) то, что раньше являлось теоремой, непосредственно вытекающей из упомянутого выше ПОЛОЖЕНИЯ.

Одним словом, по моему мнению, определение 7-е - это рудимент, свидетельствующий о прошлой истории 3-Й КНИГИ,

Первая же часть - тоже рудимент, но подвергшийся некоторому перерождению, затушевавшему его прежнюю историю как полезного органа.

Здесь уместно сказать несколько слов о 8-й аксиоме I книги.

Тот факт, что Евклид в теореме 4 и других пользуется обращением этой аксиомы, заставляет эту аксиому и в системе аксиом представить в прямом и обращенном виде.

Вне сомнения, что сам Евклид ие имел в мыслях обращения аксиомы 8-й в общем случае, а только для углов и отрезков.

Тут было только бессознательное пользование скрытыми аксиомами, наряду с многими другими. Следует помнить, что Евклид совершенно не пользуется нашей идеей равенства геометрических фигур, которое состоит в тождестве формы и размеров при различии в положении.

Положение 4 формулируется так:

"Ежели два треугольника имеют две стороны равные двум сторонам, каждую каждой; и один угол равный одному углу, а именно, кои содержатся сами равными прямыми; то и основание будут иметь равное основанию; и треугольник будет равен треугольнику, 11 прочие углы будут равны прочим углам, каждый каждому, кои противолежат равным сторонам".

См, также положения VIII и XXVI.

"Равны" употребляется здесь в смысле "равновеликитак что Евклидом утверждается: 1)

равновеликость упомянутых треугольников, 2)

равенство некоторых их элементов. Когда же Клавий обращает 8 аксиому то он становится на нашу точку зрения84, он уже понимает равенство в нашем смысле, и в этом смысле, конечно, 8 аксиома обратима, на что и указывает ее дальнейшая судьба, а именно, превращение ее в определение.

Таким образом, судьба смешанного угла мне представляется в таком виде: "Смешанный угол пользовался раньше всеми правами. Но евклидова строгость доказательства, вызванная софистической логикой, изгнала его из геометрии. Но схоластическая логика вернула его обратно, чтобы через сто лет он снова сошел бы со сцены и иа тот раз, видимо, на очень долгое время...",

Смешанный угол последний раз выплывает при борьбе математиков-рационалистов с доказательством с помощью наложения.

Арце, стараясь избегнуть метода наложения, развивает доказательство 5-й теор. I книги, указанное Аристотелем8'.

"Углы равнобедренного треугольника при основании равны".

К евклидовым аксиомам Арце прибавляет еще 6 новых, в числе которых 17-я: "In uno eodemque cicrulo onuies angali semicirculi sunt invicem aequales",

В одной и той же полуокружности все полу о кружные углы равны.

Таким образом, Арце считает возможным говорить о смешанных углах, не определяя их с помощью определенных касательными прямолинейных.

Другой аксиомой утверждается: "18 Cujuslibet segmenti duo anguli sunt invicem aequales. В каждом сегменте оба углы равны. (Z ВСВ = Z СВС)

В

Черт. 8.

./' D

Чтобы доказать упомянутую выше теорему Арце из О описывает окружность радиусом равным ОВ = ОС и замечая, что иа основании аксиомы 17: Z ВСО = Z СВО на основании аксиомы 18: Z ВСВ = Z СВС, откуда согласно евклидовой аксиомы: Z ВСО = Z СВО, что и т.д.