<<
>>

7. Функциональное мышление и Декарт

Таким образом, Декарту нельзя ставить в заслугу арифметизации геометрии, ио можно сказать, что в своем исчислении отрезков он встал на промежуточную точку зрения. Аналогично обстоит дело с вопросом об идее функции у Декарта.

Мы тесно связываем аналитическую геометрию с понятием функции.

Мы меняем х и в зависимости от х у нас меняется и у. Но мыслил ли таким образом Декарг? Я думаю, что так он не мог мыслить. Раньше чем начали мыслить у меняющимся в зависимости от х вне времени, что сводится скорее не к действительному изменению, а только к возможности изменения, х и у мыслились как изменяющиеся во времени, т.е. как флю- энты, согласно терминологии Ныотона. Это время у Ныогона же сначала обращается в умозрительное время, а затем превращается в независимое переменное в общем смысле11.

Само слово "функция" употребил впервые Лейбниц (1694) в смысле некоторого отрезка, связанного с точкой кривой, как абсцисса, ордината, радиус кривизны и т.д.

Это геометрически конструктивное понятие о функции вскоре эволюционировало в аналитически конструктивное понятие Ив. Бернулли и особенно Эйлера, при котором функция отождествляется с выражением при помощи аналитической формулы, В дальнейшем динамическое и конструктивное понятия функции сливаются. При этом функциональное мышление со всею определенностью выступает только у Эйлера.

Но н здесь Декарт занимает некоторое промежуточное положение и делает важный шаг вперед в развитии к функциональному мышлению. Во-первых, он определяет кривые форономически, заставляя двигаться точку по кривой или саму кривую по определенному закону. Это еще не функциональное мышление, но это первый шаг к динамическому понятию функции Ньютона - флюэиты. Переход от форономической точки зрения, рассматривающей изменение величины вне времени, к кинематической, связывающей это изменение со временем, и подводит к понятию флгоэит.

Во-вторых, Декарт мыслит актуально бесконечное множество всех точек, которые как некое целое несет кривая; он обнимает мыслью все положения, которые занимает движущаяся точка, и в каждом положении^ мыслит одну и ту же зависимость между х и у.

Однако до понятия функции в смысле табличного соответствия между множествами, которое выступает уже в геометрически конструктивном понятии функции Лейбница, Декарт не доходит; он мыслит бесконечное множество пар (х, у), но не пару двух множеств хну в отдельности.

Анализ сочинений последователей Декарта укрепляет меня в высказанном мнении. Я повторяю, что ордината у сперва вовсе не мыслится как изменяющаяся вместе с х, но рассматривается основное простейшее движение, і® гда угол MPQ движется так, что PQ скользит по Ох, а точка М движется определенным образом по РМ. Де Витт называет ОР интервалом (фиг. 6), РМ - образующей линией12. Величина отрезка РМ определяется тем, что при всяком положении М задается некоторое его свойство, которое характеризуется чисто геометрически. Из этого свойства и выводится в алгебраической форме некоторая зависимость между РМ и ОР. Аналогичная терминология сохраняется Виттом и для других прямых, участвующих в образовании кривой.

При этом то, что мы называем началом координат О, всегда является характерной точкой кривой. Директриса (по-иашему ось Оу) есть прямая, проходящая через О и тоже характерная для образуемой при движении кривой.

Следует отметить, что форономическая форма выражения не изгоняется из аналитической геометрии даже много позднее. Такую форономи- ческую форму выражения можно найти, например, у Девелея'3.

Именно-потому, что подход Декарта был форономи- ческим, а не функциональным, задержалось и развитие пространственной аналитической геометрии. Координаты точки па кривой мыслились как изменяющиеся в зависимости от некоего параметра. Но подобное образование поверхности было фиг- 6.

невозможно, так как она не описывается точкой. Уравнение поверхности могло появиться только с выявлением конструктивно-динамической функции от двух переменных, что следует отнести только к Клсро14.

8. Координатный принцип

Мы уже отметили, что ни Декарт, ни Ферма не имели понятия о координатах в нашем понимании и таким образом использовали ие оба основных принципа, мной указанные, а только второй: определяемость кривой уравнением.

Величины, которыми характеризуют положение некоторых объектов A,B,C,D...

относительно некоторых неизменных объектов, называются координатами.

В настоящее время координаты считают наиболее существенным элементом аналитической геометрии. Тодгентер даже заменил обычный термин "аналитическая геометрия" другим - "координатная геометрия'"5. Но так обстоит дело только в настоящее время, а в прошлом было по-ино-

му. Коордииатпый принцип устанавливает соответствие между точками плоскости и парами чисел. Затем геометры идут гораздо дальше, устанавливая соответствие между прямыми плоскости и координатами ее, а затем между точками (или прямыми) одной плоскости и точками (или прямыми) другой. Начинают мыслить две плоскости как состояние одной, изменяющейся плоскости, как преобразование плоскости при некоторых инвариантах. Но все это относится к недавнему прошлому. В более отдаленном прошлом абстрактной идеи соответствия совсем не было.

О

Фиг. 7.

Понятие о координате в нашем смысле появилось очень поздно. У всех авторов до Эйлера величины (х, у) в уравнении, определяющем кривую, вовсе ие суть величины, определяющие положение тошен на плоскости относительно некоторых осей Ох и Оу. Это только характерные линии на самой кривой. Решая упомянутую выше задачу Паппа, Декарт начинает с установления зависимости между некоторыми отрезками х=АВ и у=ВС. Мы назовем эту зависимость уравнением геометрического места, считая х и у за координаты точки кривой. Но для Декарта х и у не являются координатами в нашем смысле. Он нигде не говорит об определении положения точки на плоскости ни этими, ни какими-либо другими величинами. Более того, эти х, у не подводятся под то

понятие, которое мы обозначаем термином "декартовы координаты". Отрезки MP и MQ здесь проводятся не параллельно Ох и Оу под одним и тем же утлом (фиг. 7), и лишь в частных случаях х, у оказываются нашими прямоугольными декартовыми координатами.

О

Даже у Эйлера нет полного совпадения с нашим подходом

к понятию координаты. Но, в отличие от своих предшественников, Эйлер дает общие формулы преобразования координат, причем с целью преобразования кривой, а не всей плоскости.

Несомненно, что именно эти формулы должны были сыграть роль при выявлении понятия координаты в современном смысле.

Величины (х, у) обращаются в координаты на плоскости, с одной стороны, под влиянием начертательной геометрии, созданной Монжем, с другой стороны, под влиянием картографии, которой занимался Эйлер.

Эмбрион идеи координаты приходится искать еще задолго до Мон- жа. Уже Дюрер16 пользуется координатами точек на плоскости картины, протягивая нить от глаза к изображаемой им точке предмета; он определяет координаты точки пересечения ее с плоскостью картины, которой является плоскость рамы, где натягиваются две нити, параллельные ее краям, и, передвигая их, определяет расстояние от краев рамы. Но едва ли молено уловить в работе Декарта влияние этих дюреровских идей. У Декарта играют роль те основные величины Аполлония, соотношение между которыми дает характерное свойство кривой.

Другой источник понятия о координате лежит в картографии, причем именно здесь можно довольно далеко проследить понятие координаты. Как это часто случается в истории науки, сперва выступает более сложный случай, а затем делается переход к более простому. Птоломей, определяя положение точки на сфере некоторыми координатами, дает вместе с тем первое понятие о преобразовании, правда, не плоскости в плоскость, а сферы в плоскость, что приводит затем к понятию о координатах на плоскости. Но в античное время и во время Декарта эти идеи не получили развития, ибо отсутствовала идея соответствия и преобразования.

На первый взгляд кажется, что рассмотрение (х, у) как координат на плоскости мало вносит в геометрию Декарта. Но если вдуматься, то обнаружится, что только при наличии этого понятия становится возможным метод преобразования координат кие общий метод.

Можно, пожалуй, (х, у) у Декарта, Ферма и Лопиталя назвать координатами на кривой как величины, определяющие положение точки не на плоскости, а на определенной кривой. Преобразование же координат мы

теперь совершаем при помощи формул, связующих (х, у) с (х', у') для любой точки плоскости.

Аналитическая геометрия Био17 начинается с определения абсцисс и ординат почти в современном смысле. Но даже здесь следует прибавить "почти", так как в определении говорится не об абсциссе и ординате, определяющих точку, но об абсциссах и ординатах точек кривой. Отметим, что и у Клюгеля15 координаты определяются только в отношении к графику. 9.

<< | >>
Источник: Д.Д.Мордухан-Болтовской. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити.-560 с.. 1998

Еще по теме 7. Функциональное мышление и Декарт:

  1. Глава 11 Структурные, функциональные и генетические теории мышления (интеллекта) человека
  2. Глава 1. ВЫДЕЛЕНИЕ СОЗНАНИЯ КАК КРИТЕРИЯ ПСИХИКИ Психологическое учение Рене Декарта Р. Декарт (1596-1650)
  3. 11.3. Теории мышления в отечественной психологии Структурная организация процессов мышления 1.
  4. 31. ПРОЦЕССЫ, ФОРМЫ, СВОЙСТВА МЫШЛЕНИЯ. ВООБРАЖЕНИЕ, ТВОРЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
  5. 8. Мышление и интеллект 8.1. Мышление как психический процесс
  6. САНОГЕННОЕ МЫШЛЕНИЕ И АВТОМАТИЗМЫ МЫШЛЕНИЯ
  7. 3.3. Р. Декарт
  8. 19.2. Декарт
  9. Тема 40. РАЦИОНАЛИЗМ Р.ДЕКАРТА
  10. Р. ДЕКАРТ
  11. § 7. Декарт
  12. Р. ДЕКАРТ
  13. IX. ФИЛОСОФИЯ ДЕКАРТА И МЕТОД КЛАССИЧЕСКОЙ НАУКИ
  14. Глава 2. РЕНЕ ДЕКАРТ (1596-1650)
  15. ФИЛОСОФИЯ ДУХА И МАТЕРИИ РЕНЕ ДЕКАРТА
  16. Предмет философии в трактовке Декарта