§ 1. Числовая и буквенная алгебра с методической точки зрения.

Обычно начинают изучение алгебры с буквенных формул, сперва учатся определять их числовое значение, затем производить над ними действия, а числовая алгебра является уже позже108.

Но мне представляется это методической ошибкой.

Каждый из учителей знает то затруднение, которое возникает при решении буквенных уравнений признание членов а3х, 2а3х, ах подобными в противоречии с раньше устанавливаемым понятием подобия.

К числовой алгебре следует подводить уже при решении арифметических задач, согласно историческому ходу алгебры, представляя решение сперва в риторической1"'1 затем синкопированной110 и, наконец, символической форме, но производя те именно операции, которыми задачи эти решает алгебра.

Привожу примеры1":

10 грифелей и 20 карандашей стоят 1 р. 20 к.

10 грифелей и 25 карандашей стоят 1 р. 45 к.

Что стоит грифель и что стоит карандаш?

Решение в форме наглядно-риторической: так как во втором случае приходится платить больше и притом на 1 р. 45 к. - 1 р. 20 к. = 25 к., то это потому, что было 25 - 20 = 5 лишних карандашей. Значит 5 карандашей стоят 25 к., а один 25 : 5 = 5 к.

От этой формы легко перейти к форме

10 гр. + 20 кр. = 120

10 p. + 25 кр. = .145 и путем вычитания получить 5 кр. = 25 коп.

и, наконец, в форме чисто символической: 10х + 20у = 120 10х + 25у - 145 5у = 25 у = 5

Следующим типом являются задачи, определяемые уравнениями: kax + Ь,у = с ах + b2y = d

25 мер овса и 20 пудов сена стоят 16 р. 50 к. 5 мер овса и 12 пудов сена стоят 4 р. 90 к.

Устанавливается, что 25 мер овса и 60 пудов сена стоят 24 р.

25х + 20у = 1650 5х + 12у = 490 обычными приемами.

Наконец приходим к типу, отвечающему общему случаю; а,х + Ь,у = с, а,х + Цу =с.

За 7 груш п 11 яблок уплачено 29 к. За 9 груш и 12 яблок уплачено 33 к. Сколько стоит груша и яблоко?

Следует отметить еще одно затруднение при прохождений буквенной алгебры.

Под а, Ь, с . . . разумеются числа"2.

Но какие числа? В иных случаях самый ход действий предполагает, что а, Ь, с... обязательно целые числа, когда, например, находим общий наибольший делитель 50, а3, Ь1, с1, и 75, а1, Ь3, с2, объявляя его равным 25а2Ь3с2. В других же случаях, например, при определении числовых значений формулы, а, Ь, с имеют и дробные рациональные значения. В дальнейшем а, Ь, с - уже какие угодно числа, как рациональные, так и иррациональные.

§2. Величины различных измерений старой алгебры.

Методические изыскания должны идти параллельно историческим .В иных случаях, хотя далеко не всегда, история может кое-чему научить методиста. Я подчеркиваю: не всегда, так кис великий биогенетический закон, приравнивающий филогенетическое113 развитие онтогенетическому114, - это только грубое приближение. Бесспорно, что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником • оно трудно усваивается.

Так, повторяю, идея числовой алгебры проще, а потому и хронологически алгебра числовая предшествовала буквенной.

Но прибавлю, что много затруднений возникло и от основного взгляда на алгебру, на понимание смысла ее символов, причем через это понимание теперь, при арифметизироваииой с самых азов алгебре, ученик не должен проходить.

Когда предлагается буквенное уравнение ах2 -I- Ьх = с,

что означают буквы а, Ь, с и х (то, что в старой алгебре называлось характеристиками)? У нас такой ответ: а, Ь, с... известные числа, х - неизвестное число.

Алгебраическая величина - это класс, объемлющий два вида непрерывных величин, каковыми являются геометрические величины: длины, поверхности, объемы и дискретные, т.е. числа, причем понятие числа ие вдет дальше рациональной области115, a b понимается или как результат ум моження числа а на число Ь, или как результат умножения отрезка а на отрезок Ь, причем это последнее подвергается также эволюции: в первоначальном понимании это площадь прямоугольник!, настроенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид)116.

Но над этими понятиями стоит объемлющее их понятие умноження (multiplicatio), понимаемое как получение количества, которое к умножаемому имеет то же отношение, какое множитель к единице (Рснальди- ни"7 говорит - "к posilum", т.е. положенному, избегая говорить "к единице", относя последнюю только к числам).

Виэта"8 говорит: числовая логистика (по нашему алгебра) это та, которая оперирует с числами, специфически же оперирует видами (especes) или формами, гак буквами алфавита.

Виэта различает величніш различных порядков:

линейные

площади - planum

телесные - solidum.

Что они теряют свой первоначальный геометрический смысл, это следует из того, что Внэтой признается и solidum-planum и planum- planum1" ит. д.

Но, во всяком случае, это разнородные величины, которые нельзя складывать и вычитать120.

Но возможно умножение и деление, а так же понятие равенства отношений, или пропорции; отношения, как к однородным, так и к неоднородным величинам.

Можно писать пропорции х plan : A plan = В sol: 1 solid, дающую, согласно определению умноження: х = A plan ? В sol,

Умножение алгебраическое ни в коем случае ие сводится к сложению. Эта мысль выявляется и в принятой Виэтой символике: 18Q это 18 раз взятый квадрат: Q + Q + Q + ... всего 18 раз. Произведение же А на В пишется так A in В.

Насколько серьезное затруднение рождает этот взгляд, можно видеть из следующего характерного примера.

С нашей точки зрения это весьма элементарная операция: преобразование уравнения:

х5 - Ьх = а (1)

подстановкой

а

х=_ (2)

У

Подстановка эта дает сперва

а3 Ьа — = а,

У У

а по сокращении на а и умножении на у3 а2 - by2 = у3.

или у3 + by2 = а2

Но Виэта так не может поступать, Во-первых, при его понимании характеристик уравнение (1) просто не имеет смысла: из объема вычитается площадь и в результате получается длина.

Следует заметить, что неизвестные у Виэты означаются не последними буквами алфавита, а гласными.

Уравнение (1) представляется122 в следующей синкопированной

форме;

Acubus 1 1 ч

> aequal . Z solido - В piano in A J

Если положим А123 равным , то куб А будет

Ері

Zsolido . solido. solido E piano. piano. piano

Z solido _ .

умножается на В в алгебраическом смысле.

Е piano

Согласно терминологии Виэты - ducetur in В planum; в результате уравнение обращается в следующее:

Zsol.sol.sol „ .inZsol „ ...

--Bpl aeq . Z solido

Ері. pi. pi. pi Epl

Дальше идет умножение на Е pi . pi . pi, Antithesis (или перенос второго числа в первую с измененным знаком) и перестановка частей уравнения.

Е pi. cubus + В piano in Е piano quedrato aequatur Z solidi quadrato

или

E cub + В plan aeq Z solidi quadrato

Понимая же E как величину иного измерения, чем А, получается довольно серьезное затруднение. Обычно во второй части ставится Z solid, неизвестные всегда линеГ/ные величины, а преобразование приводит курав- неншо, в котором корень понимается уже в новом смысле.