§ 8. Борьба против апагогического доказательства.

При этом его аргументы, как совершенно не гармонирующие с настроением умов XVI, а тем более XVII века, в эту эпоху уже не повторяются.

По его мнению, более согласны с природой выводы, в которых мы от включения или выключения из класса В переходим к включению или выключению из класса С, объемлющего В.

Положение "ни одно А не есть С" первее, чем "ни одно А не есть В", мы в нем ближе подымаемся к принципам.

В апагогическом доказательстве порядок обратный:

Следует доказать, что А не есть В.

Предполагаем: некоторые А суть В.

Но, по Аристотелю, все-таки тем или другим путем достигается цель науки - построение связи между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале науки.

Крайняя неприязнь рационалистов к косвенным доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, старающегося все многообразие вселенной вывести из одного мирового принципа с помощью постепенного ряда ограничений, созидающих, как логическое следствие из простых, так же легко формулируемых, как теоремы геометрии, свойств божества, все содержание вселенной.

В глазах рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаимоотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к простейшим отношениям. В своих построениях, как метафизических, так и математических, он задается целью не только убедить, но и объяснить, т.е. представить ряд доказанных положений как связную систему истин в порядке, отвечающем установленной им иерархии истин.

Комментатор "Начал" Евклида этой эпохи занят выпрямлением евклидовых апагогических доказательств, что достигается введением явно и неявно новых аксиом.

В выпрямленные доказательства III книги "Начал" Озанама32 приходят в скрытом виде аксиомы теории пределов.

Вообще исчисление бесконечно малых33 со всей системой аксиом, на которых оно основывается, является как система выпрямленных доказательств вместо более сложного апагогического метода исчерпывания.

В XVI веке иападки на апагогические доказательства ведутся как против доказательств "это так", идущих через несущественные свойства.

Но с нами легче мирятся, чем в XVII веке34.

Савилий35, возражая Иосифу Скалигеру на его нападки против апагогического доказательства', объявляет, что "оно равно прямому в отношении истинности и необходимости, но ниже в отношении происхождения и достоинства" (scientiae generatione et dignitate inferior).

Совершенно в духе XVI века кладя центр тяжести интереса в методах изыскания истин, он не может признать (как он выражается) однобокой геометрии, он ждет от сокращения методов и сокращения области обретаемых истин, но не потому, что их нельзя вообще добыть прямым доказательством, а потому, что этого нельзя сделать сейчас.

§9. Полная математическая индукция.

На что указывает история доказательств?

На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявляемые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, ио еще и натуральным, понимая это в смысле доказательств "почему", т.е. адекватными, существенными и непосредственными причинами. Потом, примирившись с ненатуральными доказательствами, требовали прямых, т.е. обходящихся без аксиомы исключенного третьего. Но пришлось и от этого требования отказаться. Более того, именно апагогическое доказательство явилось главным двигателем в лаборатории математической логики.

Возведение принципа полной36 математической индукции в определение целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение, выявляемое его историей37, как логического постулата.

Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в состоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать аристотелевской логикой.

Обоснованность такого рода рассуждений, как справедливо замечает Пуанкаре38, сводящегося к заключению из бесконечного ряда силлогизмов, могла быть признана только тогда, когда математическая мысль вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных результатов с помощью этих операций.

Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свойствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным образом отличается от так называемых логических законов: тождества противоречия и исключенного третьего.

Это, положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверяедаю- щая истинность заключения при истииности посылок.

U верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.

Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже признается за очевидное. Если из U,, U2, ... Un конечным числом силлогизмов выводится W, то при истинности Up U,, ...Un истинно также и W.

Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкционируя правила формальной логики, на основании которых совершается вывод.

Античными мыслителями признавались только те выводы, которые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки и заключения.

В полной математической индукции узакониваются выводы через бесконечный ряд силлогизмов.

Входящие в этот процесс силлогизмы ие осуществляются в действительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силло- гизмов-U , U2, ...Uoo и закон образования можно ясно уразуметь, то при истинности U следует признать и истинность W.

При этом в положении: "если U истинно и существуют силлогизмы U,, U2, ...Un, связующие U с W, то W истинно" понятие "существовать" подвергается эволюции.

В глазах античного математика существование не присуще актуальной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.

Поэтому такая аксиома для п = оо не только не была бы им признана очевидной, но более того - была бы признана совсем ие имеющей смысла, ибо относилась бы к тому, что невозможно.

Аристотель39 вполне определенно говорит, что в положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к высшему, ни при нисхождении к низшему понятию.