5. Алгебраическая и аналитическая геометрия

К тому же смысл терминов "анализ" и "синтез" сильно колеблется. В методике вслед за Паппом анализ понимается обычно как прием нахождения доказательства (или решения) путем восхождения от следствий к причинам; синтез же, наоборот, вдет от причин к следствиям9. Соответственно этим приемам мышления отличаются и два приема изложения. В этом смысле об аналитическом изложении, противоположном чисто синтетическому методу изложения в "Началах" Евклида, молено говорить лишь применительно к аналитической геометрии в ее развитой форме.

В другом лее понимании анализ толкуется как изучение целого путем дробления его на части, а синтез как воссоединение частей. В этом смысле говорят об анализе бесконечно малых или о химических анализе и синтезе. Хотя эти понимания и различны, но, вне сомнения, меледу ними существует логическая связь; то, что мы находим в целом, мы молеем мыслить обусловленным свойством частей.

Но толкование названных терминов в первом смысле перешло в XVII в. в понимание анализа просто как алгебраической методы; уравнение при этом рассматривается как основание свойств геометрического объекта, например, кривой, и восхождение к уравнению тогда является восхождением от следствий к причинам.

Мы не молеем, однако, настаивать на том, что геометрию Декарта следует назвать алгебраической, потому что при своем зарождении алгебраическая геометрия понималась значительно шире; к ней относились всевозможные алгебраические решения задач (главным образом на построение), в которых ни первый, ни второй из упомянутых принципов не используются.

приведение геометрической задачи к уравнению, определяющему неизвестное, от которого зависит решение задачи; коэффициенты этого уравнения выралеаются через данные величины. Это приложение алгебры к геометрии; 2)

построение корня уравнения, которое, естественно, требовало изучения построения элементарных выралсений. Это прилолсение геометрии к алгебре.

До аналитической геометрии Декарта уже существовала алгебраическая геометрия, и аналитическая геометрия явилась системой специальных методов решения задач алгебраической геометрии.

Следует особое внимание обратить иа работы Гетальди10, приводящего решение задачи на построение к уравнениям 2-й и высших степеней и заключающего, в случае мнимых корней, - о невозможности решения поставленной задачи, а в случае неопределенного уравнения - о бесчисленном мнолеестве решений.

Тщетные попытки решения уравнений выше 4-й степени послу- лсили причиной сдвига в самом понимании решения уравнения, которое стало пониматься не в смысле конструирования (т.е. построения в радикалах), а в смысле вычисления по приближению или же в графическом. В последнем случае корни стали определяться отрезками, определяемыми точками пересечения кривых, которые вычерчиваются не только с помощью циркуля и линейки, например, параболы, эллипса, гиперболы, конхоиды и других.

Интересно отметить, что математики XVII в. занимаются построением сложных алгебраических выражений без сведения их к простым. Конечно, во многих случаях построения получаются более простые, чем те, которые даются общей методой. Следует еще отметить, что алгебраический характер исследования конических сечений выдерживается в XVII и XVIII вв. различными учеными в различной мере, и многие пользуются только алгебраическими обозначениями, ио не алгебраическими операциями.

Даже в середине XVII в.

6. Арифметизация в аналитической геометрии

Заслугой Декарта иногда считают арифметизацию геометрии, приведение геометрических операций к действиям над числами. Но это неверно. Это было бы возможно только в том случае, если бы Декарт представлял себе взаимно-однозначное соответствие между числами и геометрическими ве- о

личинами, т.е. если бы он имел в своем распоряжении иррациональные числа, хотя бы не строго обоснованные, ио принятые на веру. Но в его время этого не было, да и не могло быть. Однако можно сказать, что Декарт в своей не арифметизироваиной, а алгебраизированной геометрии делает первый шаг к арифметизироваиной геометрии. Здесь он уходит дальше Ферма. Для Ферма "характеристики" а, Ь, с, сі... представляют собой, как для Виэта и многих других алгебраистов, величины в общем смысле (uiagnitudines), т.е. либо непрерывные геометрические величины, либо дискретные числа. Конечно, геометрические операции, дающие члены выше третьего измерения, могли иметь при этом только формальный характер: над буквенными выражениями вроде а3Ь п т.п. допускались обычные операции, т.е. по существу все эти гипергеомет- рические операции и элементы играли ту же роль, какую в настоящее время играют комплексные числа. Декарт же все буквы мыслит не как числа,

как делают все математики, начиная с Лежандра, а как отрезки, и операции

a±b, ab, —мыслит как операции над отрезками. Например, построение

с ab , .

величины х =— видно из фиг. 5. с

Одним словом, Декарт поступает так, как Д, Гильберт, в своих "Основаниях геометрии", строящий исчисление отрезков с целыо обоснования теории подобия и теории пропорций без аксиомы Архимеда.