§3. Особыеслучаиоптимальноговыборапотребителя.


В первом параграфе этой главы была представлена основная теоретическая модель оптимального выбора потребителя, лежащая в основе формирования индивидуального спроса. Это - хорошая и весьма корректная модель, которую мы будем неоднократно использовать в процессе изучения микроэкономики.
Однако, как любая модель, она очень абстрактна, так как базируется на целом ряде упрощающих анализ предпосылок. Реальная жизнь гораздо сложнее и разнообразнее теоретических моделей. Поэтому в данном параграфе мы рассмотрим некоторые особые случаи оптимального выбора потребителя, которые были исключены из предыдущего анализа из-за наличия большого количества жёстких предпосылок.
Угловое решение, или граничный максимум.Как правило, задача максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении имеет решение в виде «внутреннего» максимума, когда потребляются положительные (ненулевые) количества всех благ. Но в некоторых случаях предпочтения индивида таковы, что максимум полезности достигается при нулевом потреблении одного из благ. Если, например, наш индивид не очень сильно любит гамбургеры, то он, возможно, не станет тратить на их покупку какую-либо часть своего дохода. Эта возможность представлена графически на рис. 2.3.
33

U
и
и
x2
X
Здесь предполагается, что индивид потребляет только рыбные котлеты (их количество показывается на оси абсцисс) и гамбургеры (их количество откладывается на оси ординат). Обратите внимание, что кривые безразличия на рис. 2.3 являются довольно крутыми. Их крутизна демонстрирует предпочтения потребителя относительно двух рассматриваемых благ. Очевидно, что наш индивид любит рыбные котлеты гораздо больше, чем     гамбургеры,     так     как     ради     одной
дополнительной котлеты он готов пожертвовать
x1
X 1*
x
РыбныекотлетыX1              1
несколькими гамбургерами. Линия бюджетного
Рис. 2.3ограничения в данном случае, напротив, является
пологой. Это означает, что рыбные котлеты в данный момент времени стуят дешевле, чем
гамбургеры. Понятно, что в такой ситуации рациональный потребитель вообще не станет покупать
гамбургеры: они и менее предпочтительны, чем рыбные котлеты, и дороже последних.
Эта ситуация изображена на рис. 2.3: оптимальный товарный набор (x1*, x2*) находится на границе потребительского множества. Функция полезности максимизируется в точке M, где x* = (x1*,0). В этой точке гамбургеры не потребляются вообще, так как любая точка линии бюджетного ограничения, в которой покупается положительное количество гамбургеров (x2 > 0) , даст потребителю меньшую полезность, чем точка M. Заметьте, что в точке Млиния бюджетного ограничения не обязательно касается кривой безразличия U3. На рис. 2.3 в этой точке бюджетная
линия оказывается более пологой, чем кривая безразличия. Следовательно, в данной ситуации в точке оптимума соотношение цен двух благ оказывается меньше, чем предельная норма замещения второго товара первым:

(2.27)

pp

< MRS

2-1

(x1*, x2*)

В противоположность случаю с внутренним максимумом, неравенство между MRSи соотношением цен может возникать при угловом решении, потому что дальнейшее увеличение потребления первого блага за счёт сокращения количества второго блага уже невозможно. При данном наклоне бюджетной линии «внутренний» максимум достигается только при отрицательном количестве гамбургеров (x2 < 0) , что вполне логично с точки зрения математики, однако не имеет
экономического смысла. Если бы гамбургеры резко подешевели, бюджетная линия стала бы круче, и
тогда, возможно, потребитель начал бы покупать и гамбургеры. Но это уже стандартная задача на
34

«внутренний» максимум. Хотя угловые решения не будут составлять предмет основного анализа в нашем курсе, нам тем не менее следовало бы помнить о возможности появления таких решений.
Абсолютно взаимозаменяемые блага (совершенные субституты).
Совершенные субституты - это блага, которые служат для удовлетворения одинаковых потребностей, так что потребителю абсолютно всё равно, какой из этих товаров потреблять и они легко заменяют друг друга в потреблении. Предпочтения потребителя в отношении двух таких благ описываются функцией полезности:
(2.28)   U(x 1,x2) = a?x1+b?x2,где a>0, и b>0; a,b = const



x2

кривыебезразличия

Рис. 2.4.

x1

Поскольку товары 1 и 2 абсолютно взаимозаменяемы в потреблении, то естественно измерять полезность от общего числа этих товаров, значит мы имеем аддитивную функцию полезности. Покажем, что кривые безразличия в этом случае будут прямыми линиями.
(2.29)a?x1+b?x2=const
(2.30)
x 2= b - a*
= tg ? .
где - a =tg?

a
Предельная   норма  замещения   MRS= b ,   значит,   MRSздесь  не  убывает,   а  является
постоянной величиной, отражающей пропорцию, в которой один товар может быть заменён другим. На рис. 2.4 представлена карта кривых безразличия для товаров - совершенных субститутов.
Пусть,  например,  функция полезности имеет вид:   U(x1,x2) = 2x1+x2. Это означает, что
нашему индивиду абсолютно всё равно, потребить две единицы второго блага или одну единицу первого блага. Действительно,
tg? = x 2 = a= 1 = 2?x2=2?x1.
Таким образом, потребитель одну единицу первого блага обменяет только на две единицы второго блага. Следовательно, первое благо является для него в 2 раза более ценным, чем второе благо. В этом состоит экономический смысл коэффициентов в данной функции полезности:   они  показывают  предпочтения   потребителя   относительно   благ  из  товарного
набора.
35

Приведём несколько примеров абсолютно взаимозаменяемых в потреблении благ. Для некоторых людей это могут быть Кока-кола и Пепси-кола, конфеты «Мишка косолапый» и «Мишка на севере», автомобили «Вольво» и «Тойота», джинсы «Levis» и «Wrangler».
Задача максимизации полезности для случая совершенных субститутов выглядит следующим
образом:
maxU(x1 ,x 2 ) = max(a?x 1+b?x2) при условии, что
(2.31)    x1,x2x1,x2
p1?x1+p2?x2=I
К сожалению, данная задача не может быть решена стандартным способом, описанным в §1. Здесь не выполняется предпосылка о строгой выпуклости отношения предпочтения, кривые безразличия являются прямыми линиями и, следовательно, предельная норма замещения не убывает по мере движения вдоль кривой безразличия, а является постоянной величиной, равной тангенсу угла наклона кривых безразличия. В общем случае наклон бюджетной линии может не совпадать с наклоном линии уровня полезности, как показано на рис.2.5, что приведёт нас к угловому решению, когда будет покупаться только одно из благ. На рис. 2.5 это первое благо, на которое потребитель и


x2

I
X1* =
x1
Рис. 2.5.
Из уравнения бюджетного ограничения выразим функцию полезности:
Ip1
(2.32)
x2 = p2- p2?x1


*      Ix1 =; p1
2* = 0.
тратит весь свой доход:
Если соотношение цен на рынке изменится, и линия бюджетного ограничения станет более крутой, то, возможно, потребитель переключится на потребление второго блага, перестав покупать первое.
Здесь предлагается авторское решение задачи потребительского выбора для случая совершенных субститутов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике. Возможно, вам удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи. x2 через x1 и подставим это выражение в

36

U = a?x1+b?(—- p 1 ?x 1) =
(2.33)
= (a-b?p 1   ?x1+b?p
Исследуем данную функцию, учитывая ограниченную область значений, которые может принимать x1:


x
(2.34)

U = ( a - p  ?b?x1+ b? I
0
1
I p1

Здесь функция полезности Uзависит только от x 1 и она линейна.
Следовательно,
а) если  b > p,  тогда U( x1)   - возрастающая функция и её максимум достигается при

p1
наибольшем значении x 1, то есть при x 1 = —. Тогда

= 0.

ap1
б)  если   -< p1 ,   тогда U( x1)   - убывающая  функция и  её  наибольшее значение  будет

0;
достигаться при наименьшем значении x 1 ? x 1* =0, x*2=
в) если b = Рp, тогда Uне зависит от jcx^> х*

I
p2
I
p1

.
,x2

0

I
p2

Итак, функция некомпенсированного спроса на товар 1 может быть представлена следующим образом:
fx 1 = , если?>

(2.35)

0

I p1

,еслиa = p 1



x1 * =0,если a< p-

37

Этот вывод согласуется с принципом углового решения: если MRS> p1   (а в нашем случае
p2
MRS= b ), то потребитель будет потреблять только первое благо.
x2
Абсолютно    взаимодополняемые блага   (совершенные   комплементы).
aНаклон луча=    =tg(?)
X*2
X
x1
Рис. 2.6.
Это такие товары, которые всегда потребляются вместе некоторым индивидом и всегда в фиксированной пропорции. В реальной жизни примерами таких благ могут служить правая и левая перчатка, правый и левый ботинок, теннисная ракетка и теннисный мяч. Для отдельных потребителей это - чай и сахар, кофе и молоко, джин и тоник. Вообще следует иметь в виду, что принадлежность благ к совершенным комплементам и совершенным субститутам зависит только от вкусов и предпочтений того или иного потребителя. Для кого-то, например, огурцы и помидоры являются взаимозаменяемыми благами, а кто-то потребляет их только вместе в салате как взаимодополняемые товары.
Здесь не выполняются предпосылки о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Функция полезности не дифференцируема и не возрастает при увеличении значения только одной из переменных. Кривые безразличия (см. рис. 2.6) имеют необычную конфигурацию.
Такой вид кривых безразличия означает, что увеличение количества одного из благ без соответствующего увеличения количества другого блага не изменит полезности этого набора для потребителя. Отсюда понятно, что норма замещения одного блага другим в этом случае равна нулю:

(2.36)
RS= - ? x2
В принципе, можно также велика:


0
=
= 0
U=const       ?x1
сказать, что норма замещения одного блага другим бесконечно



(2.37)

RS = - ? x 2

= - ? x     =>±?



U=const

38

Предельная норма замещения MRS= 0, так как - dx 2 = 0 при подходе справа (- dx 2   при
dx1dx1
походе слева не существует).
Функция полезности для совершенных комплементов будет иметь вид:
(2.37)   U(x 1,x2) = min{ax 1, bx 2}, гдеa,b>0, a,b = const
Знак «min» означает, что уровень полезности определяется значением наименьшего из элементов в фигурных скобках. Рассмотрим три возможных случая.
Пусть a?x1В этом случае количество второго блага оказывается избыточным. Пусть теперь
a?x1>b?x2, тогда U(x1,x2) = b?x2.
Здесь избыточным оказывается количество первого блага. И, наконец, предположим, что a?x1=b?x2, тогда U( x1,x2) = a?x1 = b?x2. Здесь товары потребляются в нужных пропорциях. Когда это происходит,

(2.38)    x1    b
"=
Это   и   есть   пропорция,   в   которой   должны   потребляться   блага,   являющиеся   совершенными комплементами.  Экономический смысл коэффициентов в данной функции полезности в том и состоит, что они показывают пропорцию потребления взаимодополняемых благ. Пусть, например, потребитель всегда на одну чашку чая кладёт две ложки сахара: x 1 - число чашек
чая; x2- число ложек сахара. Тогда U(x1,x2) = min{ x1,12 x2}, то есть a = 1, b = 1
Задача максимизации полезности для случая совершенных комплементов выглядит следующим образом:
max U ( x 1, x2) = max (min {   ,bx 2 } )
(2.39)    x1,x2              x1,x2
при условии, что p1?x1+p2?x2=I
К сожалению, данная задача не может быть решена стандартным способам, описанным в §1, так как рассматриваемая  функция  полезности является  недифференцируемой.  Её  графическое  решение
представлено на рис. 2.6. Оптимальный набор (x 1*,x2) всегда будет находиться на луче, выходящем из начала координат под углом, тангенс которого равен b , в той его точке, где этот луч пересекается
с линией бюджетного ограничения. На рис. 2.6 это точка С. Данное графическое решение означает, что потребитель максимизирует полезность, полностью расходуя свой доход на покупку товарного набора, и потребляет блага в правильной пропорции.
39

Однако графический анализ не позволяет вывести функции спроса потребителя. Здесь предлагается авторское решение задачи потребительского выбора для случая совершенных комплементов, которое не приводится в других учебниках по микроэкономике. Возможно, вам удастся найти более простое и элегантное решение данной задачи.
Из уравнения бюджетного ограничения выразим x2 через x1 и подставим это выражение в функцию полезности:

min a
U

0

x2=^--x 1
U=b· —-b· —·x1
X

P2P2

=>
X

U (x1) =
x1

¦x 1,b (    - p 1-x 1)
от      x1 : Обе
Теперь Uзависит только от одной переменной -x 1. В фигурных скобках представлены фактически два
U
U(x1) = a-x1
зависимости
типа     зависимости
U(x1) = b-I-b.p1.x1.
p2p2
линейные и представлены на рис. 2.7 в виде прямых. Прямая U= a-x1 имеет положительный наклон (tga= a).     Вторая     зависимость     отрицательная:

tgjs= -b-p1 .
Рис. 2.7.
p
Для     того,     чтобы     определить
2
минимальное значение функции,  мы сравниваем два значения   Uна каждой из прямых   \/x1 . Очевидно, что на интервале x 1 е [0, x 1* ):

I

p1

а на интервале x 1е(x1*,x 1/):
I
p1
I
p1
a.x1>b.I -b.p1.x1^U(x1) = b.I -b.p1.x1 В точке x 1* :

I
p1
U(x1) = a-x1=b.p-b.p.x1
Итак, мы определили U( x1) как минимальное из двух наблюдаемых значений U\/x1. На рис.
2.7 это - жирно выделенная часть графика. А теперь, чтобы максимизировать функцию полезности, нужно из минимальных значений Uнайти максимальное значение. На графике видно, что максимум
U( x1) наблюдается в точке С, то есть при x 1* . В этой точке выполняется равенство:
40

Решив  это  уравнение   относительно   x 1* ,   получим  функцию   некомпенсированного   спроса потребителя на первое благо:
b?I
b? p1 +a? p2
(2.40)x1* =
Для того, чтобы найти функцию некомпенсированного спроса на второе благо, подставим найденное значение x 1* в уравнение бюджетной линии:
*     I      p 1              b?I
x2= p2- p2?b?p1+ a?p2
После несложных преобразований получаем:
a?I
(2.41)   x2= b
Легко видеть, что спрос потребителя на каждое из благ прямо зависит от дохода потребителя и обратно - от цены данного блага. Аналогичная зависимость наблюдалась и для функции полезности Кобба-Дугласа, и для совершенных субститутов. В рассматриваемом случае спрос потребителя на каждое из благ, кроме того, обязательно зависит и от цены другого блага, причём в обратном отношении: чем дороже товар 1, тем меньше спрос на товар 2. Это связано с тем, что совершенные комплементы потребляются только вместе и никогда не потребляются порознь.
Пример для самостоятельного рассмотренияВыведите косвенную функцию полезности для случая двух благ, являющихся совершенными комплементами.
41

<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по экономике. 2013. 2013

Еще по теме §3. Особыеслучаиоптимальноговыборапотребителя.:

  1. ТЕМА 11 Империя на Востоке: Арабский халифат
  2. Рассказ о походе Хулагу-хана на Багдад, обращении гонцов между ним и халифом и исходе тех обстоятельств
  3. ТЕМА 10 Византия и Балканы в VШ-Xвв.
  4. СИМЕОН (Симеон Великий) (864? — 27 мая 927)
  5. ИКОНОБОРЧЕСТВО
  6. Иконоборство
  7. ТЕМА 9 Византия в VIII-X вв.
  8. СЕРЕДИНА IX в.
  9. КЛЮНИЙСКАЯ РЕФОРМА
  10. КЛЮНИЙСКИЙ ОРДЕН