§ 2. Функцияполезности.



U2

U1

U

Рис. 1.4

X1

В экономической теории отношение
предпочтения часто описывается при помощи
функции полезности.
Возможность представления
предпочтений при помощи функции полезности
тесно связана с предположением о сравнимости и
транзитивности отношения предпочтения. Однако
для того, чтобы обеспечить существование функции
полезности необходимо ввести ещё одну
предпосылку,              называемую              свойством
непрерывности отношения предпочтения.
Отношение        предпочтения        (f)        на
X
множестве
является
потребительском

непрерывным, если оно сохраняется в пределе.

(1.8)

То есть для любой пары последовательностей {(xn, yJLс отношением предпочтения xnf ynдля всех n мы имеем xf y, где x= limxnи y = limyn.

Если выполняются предпосылки о сравнимости, транзитивности и непрерывности отношения предпочтения, тогда мы можем представить это отношение в виде функции, отражающей зависимость между объёмами потребляемых в наборе благ и уровнем полезности, достигаемым потребителем при потреблении этого набора благ. Функцией полезности может служить любая функция U(x), отвечающая следующему требованию: эта функция принимает бoльшие значения
для тех наборов благ, которые предпочтительнее с точки зрения потребителя, и одинаковые значения для равноценных наборов благ. Формально:
(1.9)
Функция Uявляется функцией полезности, представляющей отношение
предпочтения (f), если \/x,y е X: xf y« U(x) > U(y).
В микроэкономической теории для решения задач используются функции полезности конкретного
вида. Одной из наиболее часто используемых в экономическом анализе является функция Кобба-
Дугласа. Пол Х.  Дуглас был экономистом и работал в Чикагском университете,  а позже стал
9

сенатором. Чарльз В. Кобб был математиком. Предположим, что потребительский набор состоит только из двух благ, тогда функция полезности Кобба-Дугласа выглядит следующим образом:
(1.10)U(x 1, x2) = k.x1.x2 , где k,a# = const,k,a#>0.
Эта функция очень удобна, поскольку она соответствует также и предпосылкам о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Свойство строгой монотонности требует, чтобы функция полезности была возрастающей по каждому из аргументов:
dU(x1,x2)дU( x1,x2)
(1.11)>0 и>0.
Это означает, что увеличение количества каждого из благ в товарном наборе увеличивает для потребителя полезность этого набора.

x2
Свойство              строгой              выпуклости
U4
U3
U1  U2
предполагает, что проекции линий уровня функции   полезности   на   плоскость    (x 1, x 2)
U4
U1
x1
Рис. 1.5.
должны быть строго выпуклы (вниз). На рис. 1.4 представлен график функции Кобба-Дугласа для случая а + Р = 1. Это - коническая поверхность. Если мы осуществим сечение этой поверхности плоскостью при значении полезности U1, то получим линию уровня U1 функции полезности. Спроецировав эту линию на    плоскость    (x 1, x 2),    получаем    кривую
безразличия, каждая точка которой представляет набор двух благ, имеющих для потребителя одинаковую полезность U1 . Аналогичным образом, осуществив сечение на уровне полезности U2 , мы получим кривую безразличия, отражающую для различных товарных наборов значение полезности U2 . Так строится картакривыхбезразличия, являющаяся отображением линий
уровня функции полезности на плоскость (x1, x2 ). Карта кривых безразличия представлена на рис.
1.5. Из понятия функции полезности (см. 1.9) видно, что определение кривой безразличия, данное в §1, идентично определению кривой безразличия, данному здесь.
Свойствакривыхбезразличия. Много ли свойств у кривых безразличия? Это зависит от того, какие предпосылки мы используем в анализе. Предпосылкам, введённым в §1, соответствуют следующие свойства кривых безразличия.
10

x2


lb41     *Х
1. Кривыебезразличиянемогут пересекаться. Это – самое общее свойство. Оно выполняется для всех видов предпочтений потребителя. Данное свойство вытекает из двух основных предпосылок – сравнимости и транзитивности отношения предпочтения.
U1 U2
t
Рис. 1.6.
Доказательство. Допустим, что две кривые безразличия пересекаются, как показано на рис. 1.6. Поскольку разные кривые безразличия демонстрируют различные уровни полезности от потребления наборов благ, то наборы X и Y, принадлежащие разным кривым, не могут характеризоваться отношением безразличия. Пусть набор X более предпочтителен для потребителя, чем набор Y. В то же время  Xи Zпринадлежат одной кривой безразличия U2 -U2 , а также наборы Yи Z
принадлежат   одной   кривой   безразличия   U1 -U1.   Следовательно,   X~ Zи   Z~Y.   Из
предпосылки о транзитивности отношения предпочтения следует, что X ~Y. Но это противоречит предположению о том, что X fY. Значит, кривые безразличия не могут пересекаться.
2.   Каждаяследующаякриваябезразличия, проходящаядальшеотначала координат, отражаетбульшую величинуполезности, чемпредыдущая.
Это свойство связано с предпосылкой о строгой монотонности отношения предпочтения. Последняя подразумевает, что функция полезности является строго возрастающей.
Отсюда каждая кривая безразличия, расположенная выше, показывает и более высокий уровень полезности. Так, на рис. 1.5U1 функции U(x1,x2 ), представленным на рис. 1.4.



x2

Пусть
X X

Рис. 1.7.

%


3.
Кривыебезразличия
имеютотрицательный
наклон. Данное свойство
также связано с предпосылкой о
строгой              монотонности
отношения предпочтения.
потребитель
первоначально
находится в точке A, как показано на рис.
11

1.7  потребляемый им товарный набор (x 11,x 12) доставляет полезность U1. Если мы увеличим
количество первого блага, оставив при этом количество второго блага неизменным, то потребитель попадает в точку B, принадлежащую другой кривой безразличия, отражающей более высокий уровень полезности U2. Если же мы хотим сохранить отношение безразличия, то есть
хотим остаться на прежнем уровне полезности U1, тогда увеличение количества первого блага должно сопровождаться уменьшением количества второго блага, например, при переходе из
точки A в точку C. Формально:   ? x 2 < 0 , то есть отрицательный наклон кривой безразличия.
Если предпосылка о строгой монотонности отношения предпочтения не выполняется, то данное
свойство   отсутствует.   Так,   например,   товарные   наборы,   включающие   в   себя   антиблаго,
принадлежат кривым безразличия, имеющим положительный наклон.
4 Предельнаянормазамещения(MRS) одногоблагадругимуменьшаетсяпри движениивдолькривойбезразличия. Это свойство является наиболее частным случаем, так как исключает из анализа целый ряд благ и видов предпочтений. Оно базируется на предпосылке о строгой выпуклости отношения предпочтения и требует, чтобы кривые безразличия были строго выпуклыми (вниз). Для понимания экономического смысла данного свойства необходимо ввести в анализ понятие «предельная норма замещения».
Предположим, что потребитель потребляет товарный набор, состоящий из двух благ. Нормойзамещениятовара  2 товаром 1 называется то количество товара 2, от которого потребитель готовотказаться ради получения одной дополнительной единицы товара 1, оставаясь при этом на той же самой кривой безразличия (то есть на том же самом уровне полезности):
(1.12)   RS=(-1)? ? x 2 =- ? x 2    U=const
При   бесконечно   малых   приращениях   мы   можем   интерпретировать   норму   замещения   как предельнуюнормузамещения:


? xdx

? x 1>0    ?xdx
(1.13)    MRS = ? l xim0(

U = const

12


x2

Рис. 1.8

x1

Геометрический смысл предельной нормы замещения: MRS измеряет наклон кривой безразличия в каждой отдельной точке. Например, на рис. 1.8 в точке A значение предельной нормы замещения равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к кривой безразличия в данной точке. Строго говоря, в точке A
dx2 = tg$.  Однако в экономической теории норма dx1
замещения, а соответственно и MRS, чаще всего рассматриваются     как     положительные     величины,
поэтому MRS= - dx 2 = tga. dx1

Предположим,  что функция полезности представлена в виде:   U(x1,x2),  где   x 1   и   x2   -
количества каждого из благ, которые потребляет наш потребитель. Под предельной полезностью потребления блага 1 мы понимаем функцию:

(1.14)

5x 1

Предельнаяполезностьтовараx 1    есть   дополнительная   полезность,    получаемая   от
незначительного дополнительного количества товара 1 в потреблении при том условии, что количества всех других товаров в потреблении остаются неизменными.
Очевидно, что величина предельной полезности зависит от точки, в которой частная производная оценивается, то есть она зависит от того, сколько 1-гои 2-гоблага индивид потребляет в данный момент.
Мы можем выписать полный дифференциал функции полезности как сумму частных дифференциалов:
(1.15)   dU(x1,x2) =
дU ( x 1,x2) dx 1 |dU(x 1,x2) dx
Gx 1              Оx2
Это уравнение говорит, что дополнительная полезность, получаемая от небольшого приращения 1-гои 2-гоблага в потреблении, является просто суммой добавочных полезностей, обеспечиваемых каждым их этих приростов.
(1.16)
дx1дx2

13

Это уравнение мы используем для того, чтобы развить концепцию MRS, приравняв полный дифференциал к нулю. Равенство нулю означает, что мы остаёмся на той же самой кривой безразличия, то есть, сохраняем уровень полезности без изменения.
(1.17)   MUxdx1+MUxdx2=0
Заметим, что в этом случае количества всех других благ остаются постоянными. Отсюда влияние на dUоказывают изменения только двух благ: x 1 и x2. Это такой же подход, который был применён к
анализу кривых безразличия.
Произведя несложные преобразования, получаем:

8U

dx2 ~' dx1
аx 1   MUx1
=
=
U
MU
(1.18)
U= const7дx2
Левая часть этого уравнения является просто определением MRS. И отсюда мы получаем вывод, что MRS есть соотношение предельных полезностей двух благ. Заметим, что MRS при этом не зависит от того, как измеряется полезность, хотя этого нельзя сказать о предельной полезности.
<< | >>
Источник: Неизвестный. Лекции по экономике. 2013. 2013

Еще по теме § 2. Функцияполезности.:

  1. ГЛАВА1. Отношениепредпочтения, функцияполезностии бюджетноеограничениепотребителя.
  2. ТЕМА 11 Империя на Востоке: Арабский халифат
  3. Рассказ о походе Хулагу-хана на Багдад, обращении гонцов между ним и халифом и исходе тех обстоятельств
  4. ТЕМА 10 Византия и Балканы в VШ-Xвв.
  5. СИМЕОН (Симеон Великий) (864? — 27 мая 927)
  6. ИКОНОБОРЧЕСТВО
  7. Иконоборство
  8. ТЕМА 9 Византия в VIII-X вв.
  9. СЕРЕДИНА IX в.
  10. КЛЮНИЙСКАЯ РЕФОРМА
  11. КЛЮНИЙСКИЙ ОРДЕН
  12. КАПЕТИНГИ (Capetiens)